CC BY
25
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1 (2012)
Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера
80-летию Мартина Давидовича Г риндлингера посвящается
УДК 510.53+512.54.0+512.54.03+512.54.05+512.543.72
О ФОРМУЛАХ, ИСТИННЫХ НА ПЕРИОДИЧЕСКИХ И КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
В. Г. Дурнев, А. И. Зеткина
Аннотация
Строятся простые примеры V 2-формулы, истинной на любой периодической, в частности, конечной группе, но ложной на некоторой бесконечной группе и позитивной V 3 -формулы, истинной на любой конечной группе, но ложной на свободной группе.
Теорема 1. Формула
^х)^у)(у-1х2у = х3 =^ [у-1ху,х] = 1)
истинна на любой периодической группе, но ложна на некоторой бесконечной группе.
Доказательство. Пусть С - периодическая группа и ее элементы а и Ь удовлетворяют равенству Ь-1а21 = а3. Покажем, что тогда [1-1аЬ,а] = 1, т.е. элементы Ь-1аЬ и а коммутируют. Мы докажем более сильное утверждение: элементы Ь-1аЬ и а - степени одного и того же элемента группы С.
Если а = 1, то утверждение очевидно.
Пусть а = 1 и |а| = п.
Покажем, что число п не делится ни на 2, ни на 3.
Допустим, что п = 2т. Тогда из равенства Ь-1а21 = а3 получим равенство а3т = 1. Тогда п = 2т | 3т, что невозможно.
Допустим, что п = 3т. Тогда из равенства Ь-1а21 = а3 получим равенство а2т = 1 п = 3т | 2т
Поэтому найдутся такие целые числа п и ь, для которых выполняется равенство 1 = 6п + пь. Значит а = а6и. Тогда го равенства Ь-1а2Ь = а3 получим равенства Ь-1а6иЬ = а9и, Ь-1аЬ = а9и. Поэтому [Ь-1аЬ,а] = 1.
Покажем, что формула
(Vх)^у)(у-1х2у = х3 =^ [у-1ху,х] = 1)
ложна на группе Баумслага - Солитэра [1]
{{а,Ь11Ь-1а2Ь = а3}}.
В самом деле, ее элементы а и Ь удовлетворяют равенству Ь-1а2Ь = а3, однако [Ь-1аЬ,а] = 1 по лемме Бриттона [2]. □
Обозначим через Г2 свободную группу ранга 2 со свободными образующими а1 а2
Хорошо известно [3], что если Vm-фopмyлa истинна на всех конечных группах, то она истинна и на свободных группах. Поэтому, на наш взгляд, представляет интерес следующая теорема.
Теорема 2. Формула
^п)^ь)(3х)(3у)(3г)(3'т)(х2п)2(г-1у2ьг)2и)3 = 1 истинна на любой конечной группе, но ложна на свободной группе Г2.
Доказательство. Пусть С - конечная группа, а^У - произвольные элементы. Покажем, что уравнение
(х2и)2(г-1у2Уг)2п}3) = 1 (1)
имеет решение в С.
Для произвольного элемента д факторгруппы С через 1д1 будем обозначать его порядок.
Пусть 1иI = 28(2в' + 1) и 1УI = 2Г(2т' + 1).
Тогда 1и= 28 и IV2г'+1| = 2Г.
По теореме С плова [4] в конечной группе С найдется такой элемент, что элементы и2,8 +1 и Н-1У2г +1Н принадлежат одной и той же силовской 2-подгруппе. Значит этой же силовской 2-подгруппе принадлежит и элемент
д = (и28+1 )2(к-1У2г'+1Н)2.
Поэтому 1д1 = 21 при некотором I.
Существуют целые числа а и в такие, что
1 = 21 а + 3в.
Тогда д = дзв и в качестве решения уравнения (1) можно взять X = и8 , У =
Уг', X = к, Ш = (д-1)13.
Остается показать, что эта формула ложна на свободной группе Г2. А для этого достаточно показать, что уравнение
(хх2а1)2(г-1у2а2г)2и;3 = 1
не имеет решения в свободной группе Г2. Предположим противное. Пусть и, У, X, У, X, Ш - решение этого уравнения в свободной группе Г2, т.е. выполнено равенство
(X2 а1)2Х-1У2а2Х)2Ш3 = 1.
Из последнего равенства по теореме Р. Линдона [5] следует, что в свободной группе Г2 найдется такой элемент А и такие целые числа у и 8, что
Х2а1 = А7, Х-1У2а2Х = Ай.
Покажем, что это невозможно.
Для произвольного элемента и свободной группы Г2 через \и1а1 (г = 1, 2) обозначим сумму показателей образующего элемента а* в выражении и через
а1 а2
2 | = 1 |А|а1,
2 | |Х-1У2а2Ха = 8|А|а2.
Поэтому 2 { у, 2 { |А|а1, 2 \ 8, 2 \
Но с одной стороны
2 | |x2a1|a2 = 1 |А|а2)
2 | \Х-1У2а2Х|а1 = 8Аи.
Поэтому или 2 | у, ил и 2 \ ил и 2 \ ^и 2 \
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. □
Хорошо известно, что V2-тeopия класса всех групп алгоритмически неразрешима [6].
А. М. Слободской [7] доказал алгоритмическую неразрешимость ^-теории класса всех конечных групп. В этой связи естественно возникает следующий вопрос.
Вопрос 1. Разрешима ли V2-тeopия класса всех конечных групп?
Теорема 3. -теория класса всех конечных групп совпадает с V1 -теорией класса всех групп и алгоритмически разрешима.
Доказательство. Достаточно ограничиться формулами вида
(V/x)(xm1 = 1 V ... V xmt = 1 V xpi = 1 V ... V xPk = 1). (2)
Формула (2) равносильна следующей формуле (3)
(^x)((xmi = 1 Л ... Л xmt = 1) ^ (xpi = 1 V ...xpk = 1)). (3)
Обозначим через d НОД(m1,..., mt). Тогда на произвольной группе G истинна формула
(yx)((xmi = 1 Л ... Л xmt = 1) О xd =1).
G
когда на этой группе истинна следующая формула
(^x)(xd = 1 (xpi = 1 V ... xpk = 1)). (3)
А последняя формула истинна на всех группах некоторого класса K, содержащего циклическую группу C(d) порядка d тогда и только тогда, когда
d | pi V ... V d | pk.
Поэтому, если формула (1) истинна на любой конечной группе,
НО,Д(ть... ,mt) I Pi V ... V НОД(т,1 ,...,mt) | Pk.
Значит эта формула истинна и на любой группе. □
В связи с выше сказанным естественно возникают следующие вопросы. Вопрос 2. Разрешима ли позитивная теория класса всех конечных групп? Вопрос 3. Можно ли построить Ча 3-формулу, истинную на всех конечных группах, но ложную на свободной нециклической группе? В случае положительного ответа, каково наименьшее n?
Вопрос 4. Можно ли построить УЭ^формулу, истинную на всех конечных группах, но ложную на свободной нециклической группе? В случае положи-
m
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Baumslag G. and Solitar D. Some two generator one relator non Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. Volume 68. P. 199 - 201.
[2] Britton J. L. The word problem // Ann. of Math. 1963. Volume 77. P. 16 - 32.
[3] Нейман X. Многообразия групп. M: Мир, 1969.
[4] Каргаполов М. П., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М: Наука, 1972.
[5] Lyndon R.C. The equation a2b2 = c2 in free groups // Michigan Math. J. 1959. Volume 6. P. 155 - 164.
[6] Новиков И.С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества теории групп // ДАН СССР. 1952. Том 85. С. 709 - 712.
[7] Слободской А.М. Неразрешимость универсальной теории конечных групп // Алгебра и логика. 1981. Том 20. №2. С. 207 - 230.
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
