CC BY
76
Kabs 2
-25,4043 0,2261 209,7074" -0,2750 -25,4821 594,5080 0,0000 0,0000 0,0000
Результаты моделирования матрицы измерений по уравнению (15):
14,8000 318,2000 1,0000
4b.b000 213.1000 514.5000 212.2000 1.0000 1.0000
32,0835 185,3545 50,4201 14,2717 211,4896 464,3013 448,4777 377,7338 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Матрица абсолютных значений ошибок равна
0,0000 0,0000 0,0000 0,0165 0,0455 0,0201 0,0283 ^modei ^ 0,0000 0,0 0,0000 0,0104 0,0013 0,0223 0,0338 0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0 0,0000 0,0000
сумма ее столбцов
res2 =[0,0000 0,0000 0,0000 0,0270 0,0467 0,0424 0,0621].
Наконец, сумма элементов res2, представляющая собой минимум критерия (11), численно равна
res22 = 0,1783. Полученное значение меньше оценки res 11 = = 0,1985, что свидетельствует об эффективности представленного алгоритма в сравнении с М НК.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Королев, В.И. Оценка параметров, моделирование динамических систем и электрических цепей в среде MatLAB: учеб. пособие [Текст] / В.И. Королев, В.В. Сахаров, О.В. Шергина,— СПб.: Изд-во СПГУВК, 2006,- 272 с.
2. Schroer, B.J. Calibration of robot used in high precision operations [Текст] / B.J. Schroer, A. Rezapour
// Robotics and Autonomous Systems.— 1988. Vol. 4, № 2,- P. 131-143.
3. Soliman, S.A. A new technique for curve fitting based on minimum absolute deviations [TeKCT] / S.A. Soliman, G.S. Christensen, A. Rouhi // Computational Statistics & Data Analysis. 1988,— Vol 6, № 4,- P.341—351.
УДК 539.4.011.1:611.018.4
A.C. Аврунин, Б.Е. Мельников, Л.К. Паршин, P.M. Тихилов, И.И. Шубняков
О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ ЖЕСТКОСТИ И ПРОЧНОСТИ
КОСТНОЙ ТКАНИ
Костная ткань — биологический композит, являющийся главным компонентом элементов скелета млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб. Кости — весьма жесткие и прочные несущие элементы организма, роль которых аналогична конструкционным элементам машин и сооружений. Одновременно с этим кости, будучи элементом живого организма, имеют высокий уровень обменных процессов, обеспечивающих перестройку их локальной архитектуры соответственно изменению вектора преобладающих нагрузок [1].
Один из основных элементов костной ткани — гидроксиапатит (вариант фосфата кальция) [2,3]. Аналогичная минеральная структура встречается в земной коре. Это типично хрупкий материал, который, как правило, обладает пре-
делом прочности на сжатие, в несколько раз превосходящим предел прочности на растяжение [4—8]. К хрупким материалам можно отнести и костную ткань, ибо она разрушается при невысоких значениях относительной деформации в 0,5-4,5 % [8]. Однако для дальнейшего обсуждения необходимо подчеркнуть, что пределы прочности костных элементов на растяжение (55-146 МПа) и сжатие (106-215 МПа) в среднем имеют один порядок [8], а именно 133 и 205 МПа соответственно [9]. Таким образом, костная ткань существенно отличается от гид-роксиапатита по механическим характеристикам прочности.
Другое существенное отличие выявляется при сравнении модулей упругости. У природного гидроксиапатита его значение (40—90, в сред-
нем 65 ГПа) в 3—5 раз превышает модуль упругости костной ткани (10—20, в среднем 15 ГПа) [8].
Вышеизложенное стало основой рассматриваемой в настоящей работе гипотезы о том, что в живой природе формируется механизм, заметно изменяющий механические свойства минерального массива, включенного в композитную костную структуру
Целью исследований была разработка теоретически обоснованной наноуровневой модели механизма, определяющего жесткость и прочность костной ткани.
Отметим, что структура единого минерального массива костей скелета складывается в процессе синтеза костной ткани. Поэтому необходимо кратко остановиться на биологических аспектах рассматриваемой проблемы.
Биологические основы физико-механической модели
Этапность формирования костной ткани является ее принципиальной особенностью. Первоначально создается органический фибриллярный каркас, состоящий из коллагеновых и неколлагеновых белков. Этот каркас — матрица, которая определяет пространственные взаимоотношения осаждающихся на ней кристаллитов гидроксиапатита [2, 3, 10].
Структурные особенности иерархической организации кости. Коллагеновый каркас представляет собой многоуровневую, иерархически организованную конструкцию. Элементы конструкции на всех уровнях устроены винтообразно. Низший (молекулярный) уровень — это длинная винтообразная молекула. На втором уровне несколько молекул коллагена свиваются в микрофибриллу (аналогично канату) и т. д. Всего рассматриваются семь уровней организации кости [2,3,10]. Кристаллиты гидроксиапатита, осаждаясь на коллагеновую матрицу и в последующем объединяясь в единый минеральный монолит, повторяют всю ее винтовую иерархическую организацию [10,11].
Особенности объединения кристаллитов гидроксиапатита. К важнейшим особенностям минеральных структур относятся следующие:
кристаллиты имеют весьма малые размеры (толщина ,ширинаидлинав среднем 4х8х14нм) [2,3, 12];
кристаллиты разделены тончайшим адсорби-рованым на нихгидратным слоем, содержащим ионы фосфата и кальция [2, 3, 12].
Необходимо подчеркнуть, что по мере минерализации органической матрицы кости кристаллиты объединяются в конгломераты. Внутри конгломерата можно выделить копланарные объединения, в которых кристаллиты соединяются "торец в торец", "бок в бок". Их кристаллические решетки не объединяются [10,12]. На рис. 1 представлена идеализированная схема минерального конгломерата.
Теперь, основываясь на приведенных выше биологических особенностях структуры костной ткани, перейдем к описанию предлагаемой физико-механической модели этой структуры.
Физико-механическая модель костной ткани
Элементарный модуль модели. Рассмотрим одиночный кристаллит, окруженный только тем гидратным слоем, который адсорбирован поверхностью этого кристаллита. Толщину этой водной пленки принимаем равной /. На рис. 1 этот элементарный объем выделен штриховыми линиями, а затем показан отдельно на рис. 2.
Рис. 1. Фрагмент конгломерата кристаллитов (штриховыми линиями выделен один кристаллит с адсорбированной его поверхностью гидратной пленкой; толщина пленки, разделяющей два соседних кристаллита, — 2/)
Особенности гидратного слоя. Ионы фосфата и кальция образуют в растворе конфигурацию, которая аналогична пространственному распределению ионов в кристаллической решетке апатита. Толщина этого гидратного слоя (2/) составляет в среднем 1,3 нм (порядка 6—10 диаметров молекулы воды) [12]. Этот слой обеспечивает объединение отдельных кристаллитов в единый минеральный массив за счет сил адсорбции, интенсивность которых весьма велика
Кристаллит
Л'
Гидратный
Рис. 2. Элементарный объем костной ткани (Ат — площадь сечения кристаллита; /— длина кристаллита; Жш — сила, действующая на кристаллит; АВ011 — площадь сечения продольного водного слоя; t — толщина гидрат -ного слоя, относящегося к одному кристаллиту; (/ +2/) — длина продольного водного слоя; Л^д — сила, действующая на продольный водный слой)
благодаря указанной выше чрезвычайно малой толщине гидратной пленки [13].
Водная пленка в данной модели проявляет себя как структура с некоторыми свойствами твердого тела. Благодаря этому минеральный конгломерат не демонстрирует существенных вязких деформаций при обычных нагрузках. Поэтому выделенный элементарный объем можно рассматривать в качестве основного модуля модели, определяющей основные механические свойства костной ткани.
Сопоставление деформаций модели и эквивалентного объема костной ткани. Рассматриваемая модель представляет собой стержневую конструкцию, включающую два параллельных стержня. Основу первого стержня составляет кристаллит гидроксиапатита длиной /, с площадью сечения Аап и модулем упругости Еш. Второй стержень — это своеобразная водная трубка с площадью сечения Лвод, модулем упругости Евт и длиной (/ + 2/). Первый стержень — составной: здесь следует дополнительно учесть работающую последовательно с кристаллитом поперечную водную прослойку, которая имеет длину 2/, площадьЛап, модуль упругости Етя.
Продольная сила N. сжимающая (или растягивающая) оба стержня модели, может быть представлена в виде суммы сил, действующих на каждый из них:
N + N
-"ап -"вод'
Приравнивая деформации первого и второго стержней под действием этих сил, находим, что силой 7Увод можно пренебречь по сравнению с силой Nш. Поэтому для упрощения последующих выкладок примем
Л^ап-
Составим выражение для деформации первого (составного) стержня под действием силы ТУ [7]:
Д/ = -
N1
N Ъ
р А р А
ап ап вод ап
(1)
К ней приравняем деформацию эффективного (условно однородного) стержня костной ткани тех же размеров с модулем упругости Ек т и получим следующее соотношение:
N1 N21 N(1 + 21)
р А
ап ап
Р А
вод ап
Е.
+
(2)
Уравнение (2) удовлетворяется при подстановке в него средних значений всех параметров, известных к настоящему времени: / = 14 нм; 2/ = 1,3 нм [12]; Еш = 15 ГПа [8,9]; Еш = 65 ГПа [8]; Етд = 2,3 ГПа [14]. Крометого, используем средние значения толщины и ширины кристаллита гидроксиапатита: а = 4 нм, Ь = 8 нм [12]. Таким образом, согласно предлагаемой модели модуль упругости костной ткани ЕКТ в 3—5 раз (в среднем в 4 раза) меньше модуля упругости гидроксиапатита Еш, именно за счет податливости межкристаллитных водных нанослоев в минеральном монолите.
Использование модели для объяснения влияния эффектов винтовой организации костной ткани на ее жесткость. Как указано выше, все элементы кости от нано- до макроуровня структурированы винтообразно [2, 3, 10]. Благодаря этому обстоятельству оси кристаллитов расположены под некоторым углом ф к направлению продольных усилий N в кости (рис. 3).
В результате в поперечных сечениях нашей модели возникают касательные усилия, характеризуемые касательными напряжениями. Касательные усилия вызывают деформацию сдвига. Угол сдвига у (рис. 4) связан с касательным напряжением т известным образом [7]:
У = т/С, (3)
где С — модуль сдвига.
Модуль сдвига водной пленки Свод существенно меньше модуля сдвига гидроксиапатита Сап. Поэтому в нашей модели можно пренебречь деформацией сдвига минерального стержня и принять во внимание лишь деформацию сдвига водной пленки. На рис. 4 абсолютная деформация этого элемента модели обозначена символом »У, а ее проекция на направление продольного усилия N в кости — через Д. Значение деформации Д имеет один порядок с деформацией Д/, вычисляемой по формуле (1). Следовательно, увеличивается деформация модели при одной и той же нагрузке, что означает возрастание податливости костной ткани, то есть уменьшение ее эффективного модуля упругости Ект. Эти соображения не учитываются приведенным выше уравнением деформаций (2). Поэтому требуется составить более сложное уравнение деформаций, соответству-
ющее новой, более совершенной теоретической модели. Но здесь возникает другая проблема: новое уравнение не будет противоречить экспериментальным данным лишь в случае, если в него будет подставлено более высокое значение модуля упругости воды Евод, нежели принятое нами выше значение модуля объемного сжатия свободной воды. В доступной литературе мы не нашли рекомендаций для оценки не только величин Евоа и Свод, но даже для их соотношения применительно к водной пленке толщиной 0,5— 1,5 нм.
Моделирование наноуровневого механизма элементарного повреждения кости. Водная пленка имеет низкий предел прочности на сдвиг (срез) по сравнению с пределом прочности на отрыв.
т
жет превзойти предел прочности на сдвиг (срез). В этом случае появляется возможность перемещения одного кристаллита относительно другого по водной прослойке, что можно классифицировать как акт элементарного повреждения костной ткани.
Подчеркнем, что значение касательного напря-т
в зоне растяжения или сжатия кости. Поэтому критическая для кости ситуация возникает тогда, т
вышает порог прочности. Именно это обстоятельство и определяет практически равную вероятность возникновения элементарных повреждений в растянутой и в сжатой области кости. В результате пределы прочности костной ткани на растяжение и сжатие оказываются мало отличающимися друг от друга. Здесь имеются в виду эксперименты, проводимые на образцах,
Рис. 3. Несовпадение продольной оси кристаллита с продольным усилием в кости (УУ — продольное усилие в локальном объеме кости, окружающем отдельный кристаллит; Ф — угол несовпадения усилия Л^ с продольной осью х кристаллита)
Рис. 4. Проекция абсолютного сдвига водной прослойки на направле-
Ф
8— абсолютный сдвиг гидратного слоя; А — проекция абсолютного сдвига 5 на направление продольного усилия N в локальном объеме кости)
вырезанных из кости [8,9]. Можно провести аналогию с равенством пределов текучести на растяжение и сжатие у металлов [7].
Моделирование наноуровневого механизма развития старческой хрупкости костей. Стечением времени (при старении) в кристаллитах гидроксиа-патита, а также в насыщенном растворе гидратного нанослоя происходят замены ионов фосфата на ионы карбоната [12,15]. Несмотря на близость по химическим свойствам, такие замены оказываются неэквивалентными по силам адсорбции: они уменьшаются. Соответственно снижаются значения модуля сдвига и предела прочности на сдвиг (срез) гидратного слоя. В конечном счете это является одним из основных факторов развития хрупкости костей при старении.
Новая теоретическая модель позволяет утверждать, что гидратный слой обеспечивает:
целостность поликристаллического массива кости;
снижение в 3—5 раз модуля упругости костной ткани по сравнению с модулем упругости гидроксиапатита;
акт элементарного разрушения костной ткани при критической нагрузке;
практическое равенство пределов прочности костной ткани на сжатие и растяжение;
снижение характеристик прочности костной ткани при старении.
Высказанные выше предположения о механических свойствах гидратного слоя требуют экспериментальной проверки. Тем не менее предлагаемая модель не противоречит сведениям о структуре костной ткани и ее механических свойствах, а также основам кристаллографии, физической и коллоидной химии. Необходимость проведения экспериментов вызвана не только возникающими теоретическими проблемами, но также и тем, что данная модель может оказаться полезной при создании новых искусственных материалов для применения в медицине.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Frost, H.M. New targets for the studies of biome-chanical, endocrinologie, genetic and pharmaceutical effects on bones: bone's "nephron equivalents", muscle, neuromuscular physiology [Tckct] / H.M. Frost //
Journal of Musculoskeletal Research. — 2000. Vol. 4. № 2,- P. 67-84.
2. Аврунин, A.C. Лекция по остеологии. Многоуровневый характер структуры минерального
матрикса и механизмы его формирования [Текст] / A.C. Аврунин, P.M. Тихилов, А.Б. Аболин, И.Г. Щербак // Гений ортопедии. — 2005. — № 2. - С. 89-94.
3. Аврунин, A.C. Уровни организации минерального матрикса костной ткани и механизмы, определяющие параметры их формирования (аналитический обзор) [Текст] / A.C. Аврунин, P.M. Тихилов, А.Б. Аболин, И.Г. Щербак // Морфология. - 2005. Т. 127, № 2. - С. 78-82.
4. Турчанинов, И.А. Комплексное исследование физических свойств горных пород [Текст] / И.А Турчанинов, Р.В. Медведев. — J1: Недра, 1973. — 400 с.
5. Справочник (кадастр) физических свойств горных пород [Текст] / Под ред. акад. Н.В. Мельникова. — М.: Недра, 1975. — 276 с.
6. Стрюбель, Г. Кристаллография |Текст| / Г. Стрю-бель, Д.Х. Юыммер. - М.: Недра, 1987. - 276 с.
7. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов [Текст] / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. — Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.
8. Lawson, A.C. T.Collagen-calciiim-phosphate composites [Текст] / A.C. Lawson, J. Czernuszka // Proc. Inst. Mech. Engrs. — 1998. — Vol. 212, part H. — P. 413-425.
9. Currey, J.D. Mechanical properties of vertebrate hard tissues |Текст] / J.D. Currey // Inst. Mech. Engrs. - 1998. - Vol. 212, part H."- P. 399-411.
10. Денисов-Никольский, Ю.И. Ультраструктурная организация минерального компонента пластинчатой костной ткани у людей зрелого и старческого возраста [Текст] / Ю.И. Денисов-Никольский, Б.А. Жилкин, А.А Докторов, И.В Мат-вейчук // Морфология. — 2002. — Т. 122. Вып. 5. — С. 79-83.
11. Gamss, В. Bone sialoprotein |Текст| / В. Gamss, R.H. Kim, J. Sedek// Clin. Rev. Oral. Biol. Med. - 1999. - Vol. 10. № 1. - P. 79-98.
12. Ныоман, У. Ньюман M. Минеральный обмен кости [Текст] / У. Ньюман. — М.: Иностранная литература, 1961. — 270 с.
13. Фридрихсберг, Д.С. Курс коллоидной химии |Текст] / Д.С. Фридрихсберг. — СПб.: Химия, 1995. - 400 с.
14. Физические величины: справочник [Текст] / Под ред. И.С. Григорьева и Е.З. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 1232 с.
15. Докторов, A.A. Структурная организация минеральной фазы костной ткани [Текст] / A.A. Докторов // Биомедицинские технологии. — 1999. В. 12,- С. 42-52.
УДК 539
О.В. Антонова, А.И. Боровков
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПОДПЯТНИКОВ
ГИДРОГЕНЕРАТОРОВ
Гидроэнергетика обеспечивает около 63 % возобновляемой энергии во всем мире, что составляет 19 % всей мировой электроэнергии. Лидерами по выработке энергии на единицу населения сейчас являются Норвегия, Исландия и Канада, а наиболее активное строительство гидроэлектростанций (ГЭС) ведет Китай. В России гидроэнергетическая отрасль также активно развивается. На территории нашей страны работает около ста мощных ГЭС, суммарная мощность которых составляет 45 млн кВт и дает 21 % от общего объема вырабатываемой энергии, что, учитывая богатые природные ресурсы, не слишком много.
Российская гидроэнергетика имеет богатую историю и сложившиеся традиции по проекти-
рованию, строительству, монтажу и обслуживанию оборудования ГЭС. Основы развития были заложены еще в советское время, когда был разработан и утвержден план электрификации страны (ГОЭЛРО), содержавший в том числе и установки по развитию гидроэнергетики. Одной из первых мощных советских гидроэлектростанций стала Днепровская ГЭС в Запорожье. К 70-м годам XX века Советский Союз по установленной мощности уступал только американской гидроэнергетике. В те годы строительство велось на многих крупных реках страны, таких, как Днепр, Дон, Волга, Свирь и др. К концу 70-х были построены самые большие ГЭС в мире, действующие до сих пор: Саяно-
