О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4

А. А. Цупак

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НА СИСТЕМЕ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЭКРАНОВ И НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Целью работы является теоретическое исследование скалярной задачи рассеяния плоской волны препятствием сложной формы, состоящим из нескольких объемных тел, бесконечно тонких, акустически мягких и акустически жестких экранов.

Материалы и методы. Задача рассматривается в квазиклассической постановке (решение разыскивается в классическом смысле всюду, за исключением края экранов); для доказательства основной теоремы применяются классические интегральные формулы анализа, распространенные на пространства функций Соболева, элементы теории следов псевдодифференциальных операторов на многообразиях с краем.

Результаты. Сформулирована квазиклассическая постановка задачи дифракции; доказана теорема о единственности квазиклассического решения скалярной задачи дифракции.

Выводы. Предложенный метод исследования позволяет получить важный результат о единственности квазиклассического решения задачи дифракции, который может быть использован при исследовании разрешимости интегральных уравнений задач рассеяния и обосновании численных методов их приближенного решения.

Ключевые слова: задача дифракции, квазиклассические решения, теорема единственности, пространства Соболева.

A. A. Tsupak

ON UNIQUENESS OF SOLUTION OF THE PROBLEM OF ACOUSTIC WAVE DIFFRACTION ON A SYSTEM OF NONINTERSECTING SCREENS AND HETEROGENEOUS BODIES

Abstract.

Background. The work is aimed at theoretical study of the scalar problem of plane wave scattering by an obstacle of complex shape consisting of several solid bodies, infinitely thin, acoustically soft and acoustically hard screens.

Materials and methods. The problem is considered in the quasiclassical formulation (solution is sought in the classical sense everywhere except the screen boundary); to prove the main theorem the author used classical integral formulas generalized for the elements of Soboblev spaces as well as the trace theory for pseudodifferential operators on manifolds with a boundary.

Results. The researcher suggests the quasiclassical formulation of the diffraction problem; the theorem on uniqueness of the quasi-classical solution of the boundary value problem was proved.

Conclusions. The suggested research method allows to obtain the important result on the uniqueness of the quasi-classical solution of the diffraction problem and

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-07-97010-р\_поволжьe\_а).

can be used in the study of solvability of integral equations which arise in the diffraction theory as well as for validation of numerical methods of approximate solution thereof.

Key words: diffraction problem, quasi-classical solutions, uniqueness theorem, Sobolev spaces.

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию скалярной задачи дифракции плоской волны на системе, состоящей из двух- и трехмерных рассеивателей сложной формы. Как задачи дифракции на экранах, так и задачи дифракции на неоднородных телах, по существу, являются хорошо изученными в работах отечественных и зарубежных исследователей. В работах [1-4] исследован широкий класс задач акустического рассеяния в ограниченных и неограниченных трехмерных областях методом поверхностных интегральных уравнений. Исследование скалярных задач дифракции на незамкнутых экранах и их численное решение описано, например, в работе [5].

Изучению задач дифракции посвящен ряд работ автора настоящего исследования. Изучение задач дифракции на объемных рассеивателях методом сингулярных интегральных уравнений проведено в статьях [6-9].

В данной статье рассматривается новый тип задач - рассеивающую структуру образуют и объемные тела, и бесконечно тонкие экраны. Решением задачи называется функция, определенная всюду, кроме края экранов, удовлетворяющая в классическом смысле уравнению Гельмгольца, условиям непрерывности на границе раздела сред, условиям акустической мягкости или жесткости экранов и условиям излучения на бесконечности.

Доказательство основного утверждения вызывает ряд трудностей, связанных с незамкнутостью рассеивающих экранов. Для таких рассеивателей решения, как известно, являются неограничеными вблизи края экрана, поэтому интегральные формулы анализа неприменимы в классической формулировке. В данной статье показано, что первая формула Грина применима для функций из пространств Соболева. На основе указанной формулы и свойств решений уравнения Гельмгольца на бесконечности доказывается теорема единственности.

1. Постановка краевой задачи

Рассмотрим в пространстве М3 задачу дифракции акустических волн на системе непересекающихся тел Q и экранов П1 j, ^2 k.

Пусть

ц = у Ц-,j, Ц.j1 П Ц,j2 = 0 (j1 ф j2), j

^2 = U ^2,k, ^2,kj П ^2,k2 = 0 (k1 Ф k2) -k

объединение конечного числа связных ориентируемых незамкнутых и непересекающихся ограниченных поверхностей класса Cв М3, причем

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион Ц П Ц =0- Край ЭЦ у := Ц',у \ Ц у поверхности Ц у (' = 1,2) есть гладкая кривая класса Сбез точек самопересечения;

О := Ц и Ц2 и ЭО := ЭЦ и ЭЦ •

Определим трубчатые окрестности края экранов:

ЭЦ,5 := и В5(x),

хеЭО

3

где В§ (х) - открытый шар в Ж с центром в точке х радиуса 5.

Предполагаем, что Q^ - ограниченные области, границы которых ЭQi = Qi \ Qj - кусочно-гладкие замкнутые ориентируемые поверхности,

состоящие из конечного числа поверхностей класса С1. Определим Q := и Q^. Предполагаем, что Q П О = 0. Рассматриваемые тела являются

в общем случае акустически неоднородными - неоднородность задачи описывается функцией

k (x) =

ke, xe(U ki (x), x e Qi,

где (х) е С^г-); свободное пространство однородно с волновым числом

3

ке; всюду в Ж выполняются условия Яе к (х) > 0 и 1т к (х) > 0. Здесь и

всюду ниже приняты обозначения: Мс := Ж3 \М; ип := ■Эи - производная

Эп

в направлении единичного вектора нормали п , внешней к области определения функции и .

Предполагаем, что экран Ц1 акустически мягкий, а Ц2 - акустически жесткий с определенным заранее полем внеших нормалей п . Пусть также М - гладкая замкнутая ориентируемая поверхность, содержащая Ц, а М+, М- - области, внешняя и внутренняя по отношению к М.

Задача дифракции плоской волны

и0(х) = е'УЧ+^+Л), хе Ж3

Т 2 2 2

(вектор (а,в,у) задает направление падения волны ио, а +в +'у' =1), на

системе тел и бесконечно тонких экранов состоит в определении полного поля и = и (х)

ие С2 ( иП)с)П С1 (с \Ц)П С1(ё)П С(1,5)с)П

5>0 5>0

П С(М+ \ ЭП2,8) П С(М- \ ЭП2,8), (1)

8>0 8>0

удовлетворяющего уравнению Гельмгольца вне экранов и границы тел

Ди(х) + к2(х)и(х) = 0, хе (Q иП| , (2)

условиям сопряжения на границе дQ тел

ди

[u]l dQ 0

Эп

= 0, (3)

dQ

краевым условиям Дирихле и Неймана на поверхности экранов □ и □ соответственно (за исключением точек края экранов)

□1 =0, -п 1о2 = 0, (4)

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства

ие н}ос(Ж3) (5)

и условиям излучения Зоммерфельда для рассеянного поля и5 := и — ио на

бесконечности

= ikeus + о | |, при 1т ке = 0;

дг ^ г )

и3 (г) = О ^-1 )|, при 1т ке >0; г := |х| (6)

Определение 1. Решение и(х) задачи (2)-(6), удовлетворяющее

условиям (1), будем называть квазиклассическим.

2. Единственность решения краевой задачи

Теорема 2. При 1тк(х) > 0 неоднородная краевая задача (2)-(6) имеет не более одного решения.

Доказательство. Достаточно показать, что однородная краевая задача с условием на экране для рассеянного поля и8=0 имеет только

тривиальное решение.

Дополним экраны ,(■ = 1,2) до произвольных кусочно-гладких

односвязных замкнутых ориентируемых поверхностей дVi, охватывающих ограниченные области V■ с Ж3 таких, что Q П V1, Q П V2= 0. Далее пусть В := Вя (0) - шар достаточно большого радиуса Я и такой, что Q, V с В.

Обозначим Q =:^3 и определим область V4:= В \^ 1 и V2 и V3) с границей

—с

дV4 = дВ и д^ и д^2 и дVз; также рассмотрим ^5 := В .

Рассматриваемую краевую задачу для рассеянного поля и5 сведем к следующей задаче сопряжения в областях У\ :

уг (х) := и3 (х), х еУ-; (А + к2)у (х) = 0, х еУг (г = 1,2,4,5),

— 2

Уз(х) := и3 (х), х еУз; (А + к (х))Уз(х) = 0, х еУз,

-у5 = гк0у5 + о| |, г ^+^; (7)

дг ^ г )

v1(х) = у4(х), хедУ—, у1п(х) = —у4п(х), хедУ—\ф, у(х) = у4(х) = 0, хе Ц , у2,п(х) = —у4,п(х), хе дУ2, у2(х) = у4(х), хе дУ2 \^2,

У2,п (х) = —У4,п (х), х е ^2,

Уз (х) = У4 (х), хедУз, Уз п (х) = —4,п (х), хедУз, у4 (х) = у5 (х), х е дВ, у4п (х) = —у5п (х), х едВ . (8)

Условия у-п = —у^п означают равенство нормальных производных

поля при переходе через границы смежных областей с учетом направления векторов внешней нормали.

Применим первую формулу Грина | (Ау + УиУу )У = | uvn йи

У дУ

в ограниченных областях У- (г = 1, 2, з, 4), беря в качестве и, у соответственно у, у-, и учтем уравнение Гельмгольца:

| (гАу- +1 У у-12 )х = —к2 11 у- |2 йх + 11 У у-12 йх = | уу-^йи, г = 1,2,4,

У У У дУг

| ^узАуз +1 Ууз |2 )х = — | к2 (х) | Уз |2 йх + | | Ууз |2 йх = | у^з^и . (9)

Уз Уз Уз дУз

Применимость формулы Грина в областях У^У^У требует дополнительного доказательства, так как в общем случае решение будет неограниченным (см. [5]) в окрестности края экрана.

Определим дифференциальные операторы Гельмгольца в областях Q и

(( и Й1 и Й2 ) :

Ри(х) := (—А — к2(х))и(х), хе Q,

Реи(х):=(—А — к2)и(х), хе(и^1 и^2) . (10)

Пусть V - произвольная ограниченная область, не пересекающаяся

с дQ и О. Введем пространство Нр (V) - это множество функций из

1 13

пространства Соболева и є Н (V) с Ніос (Ж ) таких, что Ри є (V) (оператор Р определяется по области V согласно (10)). Норма в этом пространстве задается следующим образом:

II и II2 1 :=|| и II2 1 + II Ри Ц? („).

Нр (V) нр (V) Ь2(К)

Важное значение в последующих рассуждениях будет играть следующее утверждение (см. [3, с. 614]) о следах (определение следа см.,

3

например, в [10]): если V с Ж - ограниченная область с кусочно-гладкой (или даже липшицевой) границей, то оператор следа

У о : и ^ У ои := и 1э V

непрерывен, как отображение из Н0С(Ж3) в Ня-1/2(дV) и при всех 5 є (0,5; 1] имеет непрерывный правый обратный оператор

у- : Н-1/^) ^ Н 1ос(Ж3).

1 1/2 Следовательно, для функций и є Нр имеем Уои є Н (дV) для любой

области V рассматриваемого класса, не пересекающейся с дQ и О. Для

функций и є Н (V) в ограниченных областях V определена нормальная

производная на границе дV: у^ := un ^ .

Запишем формулу Грина в виде

(Yiv,u) .= Juvnds = J(uAv + VuVv)dx.

dV V

Этим равенством по гладкой функции у определяется непрерывный функционал У1У в классах достаточно гладких на дУ функций.

Непрерывность У1У сохраняется и в соболевских пространствах. Точнее, верно утверждение (см. [з, с. 617]): если у е Нр (У), то отображение

ф ^ ( Yiv, ф) .= J (у (^-Av + Vy oф• Vv }dx

-.х

У

1/2

представляет собой непрерывный линейный функционал YlV на Н (дУ),

2

совпадающий при у е Н (У) с обобщенной функцией

Уп |дУ е 1/2 (дУ) с Н—1/2(дУ),

1 —1/2

кроме того, отображение Yl : Нр (У) ^ Н (дУ) непрерывно.

Так как пространство С°° (V) плотно в Hp (V), то первая формула Грина может быть распространена по непрерывности. Следовательно, для всех vе Hp (V), u е H1(V) верно равенство J(uAv + VuVv)dx = (yjv, Jqu).

V

из (S)

Преобразуем правые части равенств (9), используя граничные условия

J v1v1,nds = J

J v2v2,nds = J

dVl

эу1\п1

dV2

ЭV;\Q;

J v4 v4,n ds = — J yvl n ds — J v2v2,n ds — J v3v3,n ds + J v4v4,n ds . (11)

ЭК1\П1 _

dV3

dB

dV4 ЭК1\П1

Сложим равенства (9) и (11)

J v4v4 nds = — k^ J I v |2 dx — kI J I v2 |2 dx — Jk2 (x) | v3 |2 dx — k1 J | v4 |2 dx

+

dB

V

V

+TJ I Vvi |2 dx = — J v5v5,nd

(12)

i=lVi

dB

и рассмотрим несколько случаев.

Пусть к(х) всюду вещественно. Беря мнимую часть равенства (12)

с учетом условия излучения, выводим

( л

Im J v5v5,n ds = Im

v dB j

ke J I v5 |2 ds + J o(R

dB dB

J (ikev5 + o( R 1))v5ds

dB

дВ

В силу леммы Реллиха (см. [1, с. 88]) У5 = 0 в V5, откуда иі = 0 в VI в силу условий сопряжения на границах областей и непрерывности всех функций.

Пусть теперь всюду 1тк >0. Из второго условия в (6) следует -2

и(х) = 0(Я ) на сфере дВ и левая часть равенства (12) исчезает при Я ^ +«>. Следовательно,

3

-к2 У [к, |2 сХ - Г к 2( х) | у3|2 сХ + У | Уу; |2 сХ ^ 0, Я ^+- (13)

і=1,2,4 V Vз і=1V;

Беря мнимую часть (13), получим

- Яе ке 1т ке У [ | у; |2 Сх - [ (Яе кіт к)(х) | У3 |2 Сх ^ 0, Я ^+«=.

i=1,2,4V

V

Здесь оба слагаемых имеют один знак в силу ограничений на параметры среды, откуда снова заключаем, что у- (х) = 0, х еУ-, г = 1,2,з,4.

Если, наконец, в свободном пространстве ке >0, а внутри тела (1ткЯек)(х) > 0, то снова получаем тот же результат: сначала по лемме Реллиха находим, что У5 = 0 вне некоторого шара Вр; далее, если необходимо, перейдем к шару большего радиуса Вр так, чтобы выполнялось условие

Доказанная теорема играет существенную роль для дальнейшего исследования поставленной задачи дифракции. Методами теории потенциала исходная краевая задача может быть сведена к системе интегральных уравнений по области Q и поверхностях О-. Несложно показать, что оператор такой системы, как псевдодифференциальный оператор в пространствах Соболева, является фредгольмовым. Прямое доказательство его инъективности затруднительно - его можно провести, установив эквивалентность интегральных уравнений исходной краевой задаче и однозначную разрешимость последней. Результаты такого исследования будут представлены в следующих статьях.

1. Колтон, Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния / Д. Колтон, Р. Кресс. - М. : Мир, 1987. - 311 с.

2. Durand, M. Layer potentials and boundary value problems for the Helmholz equation in the complement of a thin obstacle / M. Durand // Math. Meth. Appl. Sci. -1983. - Vol. 5 (1). - P. 389-421.

3. Costabel, M. A direct boundary integral equation method for transmission problems / M. Costabel, E. Stephan // J. Math. Anal. Appl. - 1985. - Vol. 106.0. - P. 367-413.

4. Tu rc, C. Efficient Solution of Three-Dimensional Problems of Acoustic and Electromagnetic Scattering by Open Surfaces / C. Turc, A. Anand, O. Bruno, J. Chaubell // Proceedings of the Waves Conference (July 25-29, 2011). - URL: https://filer.case.edu/cct21/abstract_waves11_abct.pdf

3

5. Stephan, E. P. Boundary integral equations for screen problems in Ж / E. P. Stephan // Integral equations and potential theory. - 1987. - Vol. 10. - P. 236-257.

6. Смирнов, Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 9. - С. 1190-1197.

7. Смирнов, Ю. Г. Существование и единственность решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче дифракции / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. -

2004. - Т. 44, № 12. - С. 2264-2274.

8. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокаций / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия

откуда и получим требуемое утверждение. Теорема доказана.

Заключение

Список литературы

высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 4 (12). - С. 54-69.

9. Смирнов, Ю. Г. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Ю. Г. Смирнов, М. Ю. Медведик, Д. И. Васюнин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3 (11). - С. 71-87.

10. Агранович, М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей / М. С. Агранович. - М. : МЦНМО, 2013. - 379 c.

References

1. Kolton D., Kress R. Metody integral’nykh uravneniy v teorii rasseyaniya [Methods of integral equations in the scattering theory]. Moscow: Mir, 1987, 311 p.

2. Durand M. Math. Meth. Appl. Sci. 1983, vol. 5 (1), pp. 389-421.

3. Costabel M. A, Stephan E. J. Math. Anal. Appl. 1985, vol. 106.0, pp. 367-413.

4. Turc C., Anand A., Bruno O., Chaubell J. Proceedings of the Waves Conference (July 25-29, 2011). Available at: https://filer.case.edu/cct21/abstract_waves11_abct.pdf

5. Stephan E. P. Integral equations and potential theory. 1987, vol. 10, pp. 236-257.

6. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Differentsial’nye uravneniya [Differential equations].

2005, vol. 41, no. 9, pp. 1190-1197.

7. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2004, vol. 44, no. 12, pp. 2264-2274.

8. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 4 (12), pp. 54-69.

9. Smirnov Yu. G., Medvedik M. Yu., Vasyunin D. I. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2009, no. 3 (11), pp. 71-87.

10. Agranovich M. S. Sobolevskie prostranstva, ikh obobshcheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyakh s gladkoy i lipshitsevoy granitsey [Sobolev spaces, generalizations thereof and elliptic problems in areas with Lipschitz smooth boundary]. Moscow: MTsNMO, 2013, 379 p.

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперком-пьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and super computer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.968, 517.983.37, 517.958:535.4 Цупак, А. А.

О единственности решения задачи дифракции акустической волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.