О двух классах симметричных многогранников Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.172.45

О ДВУХ КЛАССАХ СИММЕТРИЧНЫХ МНОГОГРАННИКОВ © 2003 г. В.И. Субботин

Two classes of convex polyhedrons three-dimensional Euclid spaces which are characterized by the defined conditions of a symmetry are examined. The structure of such polyhedrons is clarified and gives their complete list.

Введение

Рассматриваются замкнутые выпуклые многогранники в трехмерном евклидовом пространстве.

Равноугольно полуправильные и равногранно по-луправильные многогранники [1, 2] являются, в известном смысле, пространственными аналогами следующих двух классов плоских выпуклых многоугольников с четным числом сторон: равноугольно полуправильного (все его углы равны между собой, а стороны равны через одну); равносторонне полуправильного (все его стороны равны между собой, а углы равны через один) [3, с. 39—40].

У равноугольно полуправильного многоугольника ось симметрии любых двух его соседних вершин является осью симметрии всего многоугольника; у равносторонне полуправильного биссектриса каждого его внутреннего угла является осью симметрии всего многоугольника. Цель работы - перенос этих свойств симметрии равноугольно полуправильных многоугольников на случай многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Звездой вершины многогранника называется совокупность'граней, инцидентных этой вершине. Реберной звездой вершины многогранника называется фигура, состоящая из ребер, инцидентных этой вершине.

Определение 1. Выпуклый многогранник назовем сильно симметричным многогранником (с.с.м.) 1-го класса, если плоскость симметрии (п.с.) любых двух его соседних вершин является п.с. реберных звезд этих вершин.

Определение 2. Если п.с. любого плоского угла выпуклого многогранника (т.е. биссекторная плоскость этого угла, ортогональная грани, содержащей этот угол) является п.с. реберных звезд двух вершин, инцидентных сторонам этого угла, то такой многогранник назовем с.с.м. 2-го класса.

Определения 1 и 2 с.с.м. имеют локальный характер. Условия локальной симметрии в этих определениях могут быть продолжены на весь многогранник в целом: определения 1 и 2 эквивалентны соответственно следующим.

Определение 1'. Выпуклый многогранник называется с.с.м. 1-го класса, если п.с. любых двух его соседних вершин является п.с. всего многогранника.

Определение 2'. Выпуклый многогранник называется с.с.м. 2-го класса, если п.с. любого плоского угла многогранника является п.с. всего многогранника.

Докажем эквивалентность определений 1 и 1

Пусть имеет место определение 1, т.е. пусть п.с. любых двух соседних вершин есть п.с. реберных звезд этих вершин. Пусть А и В - некоторые две соседние вершины, а С - отличная от А и В вершина. Тогда ломаной из ребер многогранника, соединяющей А и С,

соответствует симметричная относительно п.с. П вершин А и В ломаная, соединяющая В и С', где С - вершина, симметричная С относительно плоскости П.

Пусть А( — соседняя с А вершина ломаной А...С. Тогда среди ребер, исходящих из вершины В, найдется такое ребро ВВЬ что ребра АА1 и ВВ! симметричны относительно плоскости П. Плоскость Пь проходящая через середину звена АА1 ортогонально к нему, и плоскость П2, проходящая через середину ребра ВВ! ортогонально к нему, будут, очевидно, симметричны относительно плоскости П. Заметим, что если точки А и В симметричны относительно плоскости П и плоскости П1 и П2 симметричны относительно плоскости П, то точки симметричные точкам А и В относительно плоскостей П1 и П2 будут симметричны относительно плоскости П. Поэтому А1 И В1 симметричны относительно П. Следовательно, звену А1А2 ломаной А...С соответствует некоторое симметричное относительно П ребро В1В2 и т.д.. И наконец вершине С соответствует симметричная относительно плоскости П вершина С'.

Ввиду произвольности С и того, что выпуклый многогранник определяется заданием его вершин, из определения 1 следует определение 1 Обратное следование очевидно.

Аналогично доказывается эквивалентность 2 и 2'.

1. Многогранники 1-го класса Теорема 1. Первый класс с.с.м. помимо пяти правильных содержит одиннадцать полуправильных (архимедовых) многогранников, бесконечную серию прямых призм с правильными основаниями и квадратными боковыми гранями, а также одиннадцать групп многогранников, содержащих равноугольно полуправильные грани.

Доказательство. Из определения 1 следует, что все многогранники первого класса имеют равные звезды вершин. Таким образом, все звезды вершин изоморфны между собой. Поэтому комбинаторный тип с.с.м. первого класса принадлежит к одному из 14 комбинаторных типов топологически равноугольно полуправильных многогранников. Следовательно, комбинаторный тип многогранников первого класса такой же, как у правильных и равноугольно полуправильных многогранников.

Условие симметрии определения 1 не исключает того, что многогранник 1-го класса может иметь вместо правильных четноугольных граней равноугольно полуправильные; однако все нечетноугольные грани в силу того же условия должны быть правильными.

Таким образом, чтобы перечислить все многогранники 1-го класса, не являющиеся правильными, достаточно выполнить следующие требования:

1) среди всех равноугольно полуправильных вы-

пуклых многогранников найти те, которые удовлетворяют условию симметрии реберных звезд любых двух соседних вершин;

2) перечислить многогранники, которые являются комбинаторно эквивалентными соответствующему равноугольно полуправильному, удовлетворяют условию симметрии определения 1, но вместо всех или некоторых правильных четноугольных граней имеют равноугольно полуправильные грани.

Прямой проверкой убеждаемся, что из равноугольно полуправильных многогранников определению 1 удовлетворяют 11 многогранников; не удовлетворяют: плосконосый куб [1, рис.14], скошенный ромбокубооктаэдр [1, рис. 14] и плосконосый додекаэдр [1, рис.23].

Перечислим многогранники 1-го класса, среди граней которых имеются равноугольно полуправильные. Построим их. При этом из самого способа их построения будет видна их принадлежность 1-му классу.

1. Очевидно, что призмы, среди граней которых имеются равноугольно полуправильные, исчерпываются бесконечной серией прямых призм с равноугольно по-луправильными основаниями и квадратными или прямоугольными боковыми гранями, а также бесконечной серией прямых призм с правильными основаниями и прямоугольными боковыми гранями.

2, «Кубооктаэдр», или расширенный тетраэдр с треугольными и прямоугольными гранями.

Здесь и в дальнейшем названия многогранников взяты в кавычки, так как одноименные с ними многогранники имеют лишь тот же самый комбинаторный тип.

Этот многогранник получается следующим образом: сдвинем параллельно грани правильного тетраэдра в направлении от его центра на одно и то же расстояние так, чтобы ось симметрии, перпендикулярная грани, оставалась проходящей через центр соответствующей грани. Выпуклая оболочка полученной фигуры представляет собой многогранник, у которого помимо старых граней появляются правильные треугольные и в общем случае прямоугольные грани.

В дальнейшем такое преобразование многогранника будем называть равномерным расширением многогранника.

Из определения равномерного расширения видно, что это преобразование сохраняет условие симметрии реберных звезд любых двух соседних вершин преобразованного многогранника.

3. «Ромбокубооктаэдры», или расширенные кубы с треугольными, прямоугольными и квадратными гранями получаются равномерным расширением куба. В одном из этих многогранников прямоугольные грани примыкают к квадратным граням своими большими сторонами, а в другом - меньшими.

4. Усеченный тетраэдр с полуправильными 6-угольными и 3-угольными гранями.

5. Усеченный куб с полуправильными 8-угольными и 3-угольными гранями.

6. Усеченный додекаэдр с полуправильными 10-угольными и 3-угольными гранями.

7. «Усеченные октаэдры», или расширенные усеченные тетраэдры с полуправильными 6-угольными и квадратными гранями; либо с полуправильными 6-

угольными и прямоугольными гранями; либо с полуправильными и правильными 6-угольными и прямоугольными гранями.

Последние два из «усеченных октаэдров» получаются в результате равномерного расширения усеченного тетраэдра.

8. Усеченный икосаэдр с полуправильными 6-угольными и 5-угольными гранями.

9. «Ромбоикосододекаэдры», или расширенные додекаэдры с прямоугольными, 5-угольными и 3-угольными гранями.

Эти два многогранника получаются из додекаэдра равномерным расширением. В одном из них к треугольным граням примыкают прямоугольные своими большими сторонами, а в другом - меньшими.

10. «Усеченные кубооктаэдры», или расширенные усеченные кубы с правильными 6-угольными, полуправильными 8-угольными и прямоугольными гранями; либо с квадратными, полуправильными 8-угольными и полуправильными 6-угольными; либо с полуправильными 6-угольными, правильными 8-угольными и прямоугольными гранями; либо с полуправильными 6-угольными, полуправильными 8-угольными и прямоугольными гранями.

Эти многогранники получаются равномерным расширением усеченного куба. При достаточно большом расширении прямоугольные грани «усеченных кубооктаэдров» могут примыкать к 8-угольным граням своими меньшими сторонами.

11. «Усеченные икосододекаэдры», или расширенные усеченные икосаэдры с полуправильными 6-угольными, полуправильными 10-угольным и и квадратными гранями, либо с полуправильными 6-угольными, правильными 10-угольными и прямоугольными гранями, либо с полуправильными 6-угольными, полуправильными 10-угольными и прямоугольными гранями, либо с правильными 6-уголными, полуправильными 10-угольными и прямоугольными гранями.

Эти многогранники получаются равномерным расширением из усеченного икосаэдра или из «ром-боикосододекаэдров».

Заметим, что здесь, как и в п. 10, возможно примыкание прямоугольных граней к 10-угольным своими большими сторонами.

Итак, все возможные разновидности равноугольно полуправильных четноугольных граней оказываются реализованными в соответствующем выпуклом многограннике.

Теорема 1 доказана.

Замечание. Все многогранники 1-го класса принадлежат к классу многогранников с равными многогранными углами; однако не каждый многогранник с равными многогранными углами является многогранником 1-го класса. Примером может служить многогранник, который получается из ромбокубооктаэдра равномерным растяжением в направлении параллельных ребер одного из поясов квадратов. Это растяжение преобразует ромбокубооктаэдр в многогранник, отличающийся от ромбокубооктаэдра только одним поясом, который состоит из равных прямоугольников.

Этот пример показывает также, что в определении 1 локальное условие симметрии реберных звезд

вершин для многогранника 1-го класса нельзя заменить на локальное условие симметрии многогранных углов в этих вершинах.

2. Многогранники 2-го класса

Теорема 2. Существует только четыре, не считая правильных, с.с.м. 2-го класса: кубооктаэдр, ико-сододекаэдр, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр.

Доказательство.

Рассмотрим последовательно два случая.

1.У многогранника 2-го класса имеется ■ нечетноугольная грань.

2. Такой грани нет.

1. Итак, пусть сначала у многогранника 2-го класса найдется нечетноугольная грань. Здесь тоже рассмотрим 2 случая:

а) когда степени вершин многогранника нечетные (эти степени равны для всех вершин в силу определения 2);

б) когда эти степени четные.

Рассмотрим случай а).

Если степени вершин многогранника 2-го класса нечетные, то в силу определения 2 многогранник является правильным и составлен из равных нечетно-угольников. Действительно, ввиду нечетности степени вершины А нечетноугольной грани можно последовательным отражением относительно биссекторных плоскостей, проходящих через А, убедиться в том, что все грани многогранного угла с вершиной А представляют собой правильные многоугольники, конгруэнтные рассматриваемой нечетноугольной грани.

В этом случае получаем три правильных многогранника: тетраэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Теперь рассмотрим случай б).

Пусть степени вершин многогранника 2-го класса, содержащего нечетноугольную грань, четные. Тогда у такого многогранника обязательно найдется треугольная грань Р.

Это следует из того, что всякий выпуклый многогранник содержит либо треугольную грань, либо трехгранный угол. Действительно, предположим противное, т.е. многогранник не содержит ни треугольных граней, ни трехгранных вершин. Тогда учетверенное число граней не превосходит удвоенного числа ребер, и учетверенное число вершин тоже не превосходит удвоенного числа ребер многогранника. Но это противоречит формуле Эйлера для числа вершин, ребер и граней выпуклого многогранника.

Итак, в случае б) рассмотрим многогранник 2-го класса с четными степенями вершин и треугольной гранью Б.

Покажем, что эти степени равны 4. Действительно в случае степени 6, используя определение 2, получаем, что расположение граней в вершинах А, В, С грани Б таково, что в каждой вершине грани Б плоские углы составляют в сумме не менее 2л. Рассмотрим теперь четырехгранные углы с вершинами в вершинах грани И. Эти углы могут иметь следующее строение. Либо в каждой вершине сходится четыре правильных треугольника, либо грани четырехгранных

углов чередуются через одну: два правильных треугольника и два квадрата. В первом случае получим правильный октаэдр, во втором - кубооктаэдр. Третий возможный случай - чередуются два правильных пятиугольника и два правильных треугольника. В этом случае получаем икосододекаэдр.

2. Рассмотрим теперь случай, когда многогранник не содержит нечетноугольных граней и, следовательно, содержит трехгранный угол Ф.

Угол Ф ввиду симметрии его граней составлен либо тремя квадратами (случай куба), либо тремя равносторонне полуправильными четноугольниками. Эти равносторонне полуправильные четноуголыгаки необходимо должны быть ромбами, в противном случае либо сам угол Ф, либо смежный с ним будет иметь плоские углы в сумме не менее 2л.

Пусть теперь А,В,С, А',В',С' - вершины ромбов, образующих угол Ф, не совпадающие с вершиной Ф. В силу симметрии среди этих вершин имеются трехгранные.

Рассмотрим два случая:

1) все вершины А,В,С, А',В',С' трехгранные;

2) среди вершин А,В,С, А',В',С" есть нетрехгранные.

В случае 1) получаем ромбоэдр, который не принадлежит второму классу, так как.не удовлетворяет определению 2. В случае 2) в силу определения многогранников 2-го класса среди этих шести вершин три вершины трехгранные (А',В',С') и три нетрехгранные (А,В,С). Причем все трехгранные вершины имеют одну и ту же степень (и даже симметричные реберные звезды) и вершины А, В, С разделяются вершинами А',В',С', чередуясь: А, А', В, В', С, С'.

Степень вершин А, В, С может быть равной 4 или 5. Действительно, шесть ромбов для многогранника 2-го класса не могут сходиться в одной вершине, так как либо в этой вершине, либо в смежной с ней не образуется многогранный угол - сумма плоских углов этого угла будет не меньше развернутого.

Если степень для вершин А, В, С - 4, то, учитывая требование симметричности многогранника относительно биссекторных плоскостей плоских углов в вершинах граней угла Ф, получим ромбический додекаэдр. Аналогично, в случае степени 5 - ромбический триаконтаэдр.

Таким образом, многогранники 2-го класса, среди граней которых имеются равносторонне полуправильные многоугольники, исчерпываются ромбическим додекаэдром и ромбическим триаконтаэдром.

Итак, помимо пяти правильных, 2-й класс содержит еще только кубооктаэдр, икосододекаэдр, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр.

Теорема доказана.

Литература

1. Математическая энциклопедия. Т.4. Статья «Многогранники». М., 1977.

2. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М., 1956.

3. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Ч. 1. М., 1948.

Южно-Российский государственный технический университет

7 октября 2002 г.