CC BY
14
УДК 517+531.01
Б01: 10.18287/2541-7525-2018-24-2-33-54
М.В. Шамолин1
О ДВИЖЕНИИ МАЯТНИКА В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ЧАСТЬ 3. ЗАВИСИМОСТЬ ПОЛЯ СИЛ ОТ ТЕНЗОРА УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
В предлагаемом цикле работ исследуются уравнения движения динамически симметричного закрепленного те-мерного твердого тела-маятника, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Его вид заимствован из динамики реальных закрепленных твердых тел, помещенных в однородный поток набегающей среды. Параллельно рассматривается задача о движении свободного те-мерного твердого тела, также находящегося в подобном поле сил. При этом на данное свободное тело действует также неконсервативная следящая сила, либо заставляющая во все время движения величину скорости некоторой характерной точки твердого тела оставаться постоянной во времени (что означает наличие в системе неинтегрируемой сервосвязи), либо заставляющая центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно (что означает присутствие в системе пары сил). В данной работе рассматривается тот случай, когда силовое поле зависит линейным образом от тензора угловой скорости.
Ключевые слова: многомерное твердое тело, неконсервативное поле сил, динамическая система, случаи интегрируемости.
Цитирование. Шамолин М.В. О движении маятника в многомерном пространстве. Часть 3. Зависимость поля сил от тензора угловой скорости // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2018. Т. 24. № 2. С. 33-54. БО!: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-2-33-54.
1. Введение зависимости от угловой скорости
Данная глава посвящена динамике многомерного твердого тела в пространстве Еп. Но, поскольку данный раздел посвящен исследованию случая движения при наличии зависимости момента действующих сил от тензора угловой скорости, введем такую зависимость с более общих позиций.
Пусть х = ,...,хпш) — координаты точки N приложения неконсервативной силы (воздействия среды) на (п — 1)-мерный диск "Рп-1, Q = (^1,... ^п) — компоненты, не зависящие от угловой скорости. Будем вводить зависимость функций (хш,...,хпN) от тензора угловой скорости П лишь линейным образом, поскольку само данное введение априори не очевидно [1-3].
Итак, примем следующую зависимость:
х = Q + Е,
(1.1)
где Е = (Е1,..., Е") — вектор-функция, содержащая компоненты тензора угловой скорости П. При этом зависимость функции Е от тензора угловой скорости — гироскопическая:
Е
Е1 Е2
Еп
— ^П
(
(1.2)
\К )
Здесь (Ъ,1,...,Нп) — некоторые положительные параметры. Теперь, применительно к нашей задаче, поскольку х1ш =
хш = 0, то
х2М = Q2 — Л-1-
-, х3ш = Qз + Ь,1-
хпМ = Qn + ( — 1)п+%^ .
V
(1.3)
х© Шамолин М.В., 2018
Шамолин Максим Владимирович ([email protected], [email protected]), Институт механики, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, 119192, Российская Федерация, г. Москва, Мичуринский пр., 1.
'п- 2
Таким образом, функция гм выбирается в следующем виде (диск V" 1 задается уравнением
Х1М = 0):
/ 0 \
где
гм
Х2М
\ Хпм /
К(а)'1м--ОН,
N = 2,в1,...,вп-2) , И =
МЛ
Ь,2 \к )
О £ 8й(п).
(1.4)
(1.5)
В нашем случае
=
0
сов в1 вш в1 сов в2
вШ . . . вШ вп-3 СОВ вп — 2 \ вШ в1 ••• вШ вп-2 )
(1.6)
Таким образом, выполнены равенства
—, х3м = Я(а) вш в1 сов в2 + ^1-
Х2Ы = К(а) сов в1 — -
Хп-1,м = К(а) вт в1... вт вп-з сов вп—2 + ( — 1)пЛ-1 ^, Хпм = й(а)вт в1... вт вп-2 + ( —1)п+% ^,
(1.7)
убеждающее нас о том, что в рассматриваемой системе присутствует также еще и дополнительный демпфирующий (а в некоторых областях фазового пространства и разгоняющий) момент неконсервативной силы (т. е. присутствует зависимость момента от тензора угловой скорости).
Итак, для построения силового поля также используется пара функций К(а),в(а), информация о которых носит качественный характер. Подобно выбору аналитических функций типа Чаплыгина [4, 5], динамические функции в и К примем в следующем виде:
Я(а) = А вт а, в (а) = В сов а, А, В > 0.
(1.8)
2. Приведенные системы
Для случая п-мерного твердого тела нас будет прежде всего интересовать случай (1—(п — 1)), т. е. когда в некоторой связанной с телом системе координат Пх1 ... Хп оператор инерции имеет вид
,12,...,12}, (2.1) 4-V-'
п-1
а именно, в гиперплоскости Вх2 ... Хп тело динамически симметрично (другими словами, Пх1 — ось динамической симметрии).
В нашем случае закрепленного маятника действительно реализуется случай (2.1). Тогда может быть получена часть динамических уравнений движения тела, которая описывает движение тела вокруг центра масс и соответствуют алгебре Ли вс(п):
(Ii + (n - 3)/2)ú 1 =0,
(Ii + (n - 3)12)шr-i =0, (n - 2)hü>ri + (-l)n+1(h - h)Wn-i(Q) = = (-1)ninW (a,fii,..., вп-2, s(a)v2, (Ii + (n - 3)I2)Ü>ri+i =0,
(Ii + (n - 3)I2)Úr2-i =0, (n - 2)húr2 + (-1)n(Ii - I2)Wn-2(fi) =
= (-1)n-iXn-i,N (a, 0i,..., вп-2, s(a)v' (Ii + (n - 3)I2)újr2+i =0,
(2.2)
2
(11 + (п — ?>)12)шГп_2-1 = 0, (п — 2)12С^т-2 + (11 — /2)^2(0) = —Хзм (а,в1,..., вп-2, в(а)у2, (п — 2)12С^Гп_1 +(12 — 1^1(0)= Х2м (а, в1, .. ., вп-2, в(а)у2,
при этом гп-2 + 1 = гп-1, а функции Ш^О), Ь = 1,..., п — 1, — квадратичные формы по компонентам Шl,•••,Шf, ] = п(п — 1)/2, тензора О, причем
Wt(Q)Ui =■■■=">*. =0 = 0, s = (n - 1)(n - 2)/2, kj = n, j = 1, . . . , s, i = 1, .. . ,n - 1.
(2.3)
Таким образом, первая группа кинематических уравнений в нашем случае примет следующий вид:
vd cos a = -vcos С, vd sin a cos ei = 1шгп-1 + vsin С cos щ, vd sin a sin в i cos (32 = - 1шгп-2 + vsin С sin щ cos r2,
vd sin a sin ei... sin en-3 cos (3n-2 = = (-1)n+il^r2 + vsin С sin ni... sin Пп-3 cos Гп-2 , vD sin a sin ei ... sin en-2 = (- 1)nluri + vsin С sin ni... sin r/n-2.
И далее, образуется вторая группа кинематических уравнений:
(2.4)
í шГ1 \
V ^rn-1 /
= Ti,2 (гп—2 ) О т2,з(гп-з) ◦ ... ◦
◦Tn 2 (Г2 )Tn 2,n i(ri)
( (-1)nrrn-2fs| sin ni ... sin rn-3 \ (-1)n+i Vn-зСЩ sin ni... sin rn-4
Г2Щ smni -тЩ
li cos £
\ С )
(2.5)
Сразу же заметим, что система (2.2), в силу имеющейся динамической симметрии
обладает s = (n - 1)(n - 2)/2 циклическими первыми интегралами
— , ,0
wfci = Uki
const,
Uhs =
const, s
(n - 1)(n - 2)
2 .
(2.6)
(2.7)
При этом в дальнейшем будем рассматривать динамику системы на нулевых уровнях:
< = ... = < =0. (2.8)
Пространством положений такого (обобщенного) сферического (физического) маятника является (п — 1)-мерная сфера
Яп-1{(С,Г1,...,Гп-2) е Rn-i : 0 < С,ni,..., Гп-з < Гп-2 mod 2^},
г— i
(2.9)
ш
2
n
а фазовым пространством — касательное расслоение (n — 1)-мерной сферы
i;sn-1{(£,ni,...,nn-2;Z,m,---,rh-2) е R2(n-1):
0 < £,Щ,...,ЦП-3 < п, Пп-2 mod 2п}. Теорема 2.1. Совместные уравнения (2.2), (2.4), (2.5) при выполнении условий (2.6)-(2.8),
(1.8) редуцируются к динамической системе на касательном расслоении (2.10) (n — 1)-мерной
(2.9).
Действительно, если ввести безразмерные параметры и дифференцирование:
AB
H
hlB
b* = ln0, n0 = 7-Twr, Hi* = f oU ,
(n - 2)72 (n - 2)12n0
< ■ >= n0v^ < >,
то полученные уравнения будут иметь следующий вид:
£'' + (b* - Hi*)£' cos £ + sin £ cos £-
[ 2 2 2 2 2 2
- [Vi + n22 sin ni + Пз sin ni sin П2 +
+ ... + n'2-2 sin2 ni ... sin2 Пи-з]Щ =0, ni' + (b* - Hi*)ni cos £ + e'nlCo+flkf -
Г /2 2-2 /2*2 • 2
- № + n32 sin П2 + n42 sin П2 sin П3+ . + n'n-2 sin2 П2 ... sin2 Пи-з] sin ni cos ni = 0,
n2' + (b* - Hi*)n2 cos £ + £ 'п2^Й+
+.
n'. cos ni .
+2nin2-
1 'i '2 sin ni
- [n32 + n42 sin2 пз + n52 sin2 пз sin2 П4+
/2-2 -2 ] + ... + Пп — 2 sin Пз ... sin nn-3\ sin n2 cos n2
Пз + (b* - Hi*n cos £ + £'пзсо+СоЙ+
+2nin'foSni +2n2nácont -
Г /2 /2*2 /2-2 -2
- Ln42 + П52 sin П4 + Пб sin П4 sin П5 +
/2-2 -2 1 + ... + nn-2 sin П4 ... sin Пп-з\ sin Пз cos Пз
(2.10) сферы
(2.11)
(2.12)
J!
4 + (b* - Hi*)nU-4 cos £ + £ 'n'n-4СоШЙ+
Пи-4 + (b* "*'/и-4 I S '/n-4cos 5 sin 5
+2n 'n' cos ni i i 2n ' n' cos nn-5
+2ninn-4 sin ni + ... + 2nn-5nn-4
" Пи-з | sin nn-4 cos Пп
2
1 sin Пп-5
- [пп2-з + nU-2 sin2 nn-з] sin nn-4 cos nn-4 = 0,
пп-з + (b* - Hl*)nn-з cos £ + £ ' n'n-з fo+foft+ +2n 'n ' cos ni i i 2n' n' cos nn-4
+2ninn-з sin ni + ... + 2nn—4nn—3 sin nn-4
Пи-2 sin Пи-з cos Пи-з = 0, nU-2 + (b* - Hi*)nU-2 cos £ + £ 'nU-2 co+lft+
2nU-зП2-2^3 =0, b* > 0, Hi* > 0.
+2ninU-2snt +...
В частности, при n = 5 имеем:
£'' + (b* - Hi* )£' cos £ + sin £ cos £- [ni2 + n22 sin2 ni + пз2 sin2 ni sin2 П2] coif =0, + (b* - Hi*)ni cos £ + £ 'ni co+fsfnf - [n22 + пз2 sin2 П2] sin ni cos ni = 0, n2' + (b* - Hi*)n2 cos £ + £'n2co+|inf + - пз2 sin П2 cos П2 = 0,
n1
пз' + (b* - H-M cos £ + £'пз^^ + 2п .Пз "sinsnnr + 2п2Пзжпт
пз^^ +2nin ^
b* > 0, H * > 0. Вспомним для начала про группу переменных z:
Í Шг. \
= Ti ,2 (Пи-2 ) О Т2,з(Пи-з) ◦ . . . ◦ Tn-2,n-i (ni)
V
-i /
z z2
V Zn-i )
(2.13)
(2.14)
где матрица 1 (п), к = 1,..., п—2, получена из единичной наличием минора второго порядка Ык,к+ 1:
T
k,k + i
( 1 0
0 ...
00
0 0
0 0
Mk,k+i
0 0
00
0 0
0 1
(2.15)
0
0
ш
ш
л ж ( mk,k mk,k+1 А
Mk,k+i = , mk,k = mk+i,k+i = cosr, mk+i,k =
V mk+i,k mk+i,k+i J
= -mk,k+i = sin r.
После же перехода от переменных z к промежуточным безразмерным переменным
zk = novTO(1 + b*Hi*)Zk, k = 1,..., n - 2, zn-i = novTO(1 + b,Hu)Zn-i - mv^b* sinС,
(2.16)
система (2.12) будет эквивалентна системе
С' = (1 + b* Hi*) Zn-1 - b* sin С, (2.17)
Z'n-i = - sin С cos С+
+ (1 + b*Hi*) (Z2 + ... + Zn-2)c^ + Hi*Zn-i cosС, (2.18)
sin С
cos С
Zn-2 = - (1 + b*H1*) Zn-2Zn—1~—~Z -
sin С
- (1 + b*Hi*) (Z2 + ... + Zn_3)cos!cosri + Hi*Zn-2 cosС, (2.19)
sin С sin r1
cos С cos С cos ri
Zn_3 = - (1 + b*Hi*) Zn-3Zn-i——t + (1 + b*Hi*) Zn-3Zn-2——т—--+
sin С sin С sin r1
+ (1 + b*Hi*) (Z\ + ... + Zn-4)cos^-^cosr2 + Hi*Zn-3 cosС, (2.20)
sin С sin r1 sin r2
Z[ = - (1 + bHu) Ziщ!]T(-1)s+1Zn-s . cosr- } + sin С sin r1 ... sin rs-1 I
+Hi*Zi cos С, (2.21)
ri = - (1 + b*Hi*) Zn-2^, (2.22)
sin С
cos С
Г2 = (1 + b* Hi*) Zn-3 . o .С , (2.23)
sin С sin ri
r'n-3 = (-1)n+1 (1 + b*Hi*) Z2 . . COSe .-, (2.24)
sin С sin r1 ... sin rn-4
Гп-2 = (-1)n (1 + b*Hi*) Zi CosС .-, (2.25)
sin С sin ri ... sin rn-3
на касательном расслоении
T*Sn-1{(Zn-i, ...,Zi; С, Г1, ■ ■., Гп-2) е R2(n-1) : (2.26)
0 < С,Г1,..., Гп-3 < П, Гп-2 mod 2п}
(n - 1)-мерной сферы Sn-1{(С,rl,... ,Гп-2) е Rn-i : 0 < С,Г1,... ,Гп-з ^ п, Гп-2 mod 2п}.
Видно, что в системе (2.17)—(2.25) порядка 2(n - 1) по причине цикличности переменной rn-2 выделяется независимая подсистема (2.17)—(2.24) порядка 2(n - 1) - 1, которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем (2n - 3)-мерном многообразии.
В частности, при n = 5 получим следующую систему восьмого порядка:
С' = (1 + b*Hi*) Z4 - b* sin С, (2.27)
Z4' = - sin С cos С+
+ (1 + b*Hi*) (Z2 + Z22 + Zi)^ + Hi*Z4 cosС, (2.28)
sin С
cos С
Z3 = - (1 + KHu) Z3Z4——- -
sin С
- (1 + b*Hi*) (Z2 + Z22)cos|cosri + Hi*Zi cos С, (2.29)
sin С sin r1
Z2 = - (1 + b*Hi*) Z2Z4 ^ + (1 + b*Hi*) Z2Z3 ^cosri+
sin С sin С sin Г1
+ (1 + b*Hi*) Z¡^^^^ + Hi*Z2 cos£, (2.30)
sin £ sin ni sin n2
Zi = - (1 + b*Hi*) ZiZ4^ + (1 + b*Hi*) ZlZз-os£ cosni
sin £ sin £ sin ni
- (1 + b*Hi*) ZiZ2cos£ 1 cos П2 + Hi*Zi cos£, (2.31)
sin £ sin ni sin n2
ni = - (1 + b*Hi*) Zз^, (2.32)
sin £
cos £
n2 = (1 + b*Hi*) Z2 . ° .£ , (2.33)
sin £ sin ni
n'3 = - (1 + b*Hi*) Zi , cos £ .-, (2.34)
sin £ sin ni sin n2
на касательном расслоении
T*S4{(Z4,Zз,Z2,Zl; £,П1,П2,Пз) G R8 : 0 < £,m,m < п, пз mod 2п} (2.35)
четырехмерной сферы S4{(£, ni, П2, Пз) G R4 : 0 < £, ПьШ ^ п, щ mod 2п}.
Видно, что в системе восьмого порядка (2.27)—(2.34) по причине цикличности переменной пз выделяется независимая подсистема седьмого порядка (2.27)—(2.33), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем семимерном многообразии.
3. Полный список первых интегралов при любом конечном п
Перейдем теперь к интегрированию искомой системы (2.17)-(2.25) порядка 2(п — 1) (без всяких упрощений — при наличии всех коэффициентов).
Аналогичным образом, для полного интегрирования системы (2.17)-(2.25) порядка 2(п—1) необходимо знать, вообще говоря, 2п — 3 независимых первых интегралов. Однако после замены переменных
( Zn-i \
Zn-2
Z2
V Zi
/
\
Wn-i Wn-2
W2
\ Wi )
Wn-4 = -
Wn-i = -Zn-i, Wn-2 Z3
Zi2 + ... + Zl-2, Wn-з = f
vZ+ZÍ'
. . . , W2 = -
Zn-3
Wi = -
Zi '
Zn-2
система (2.17)-(2.25) распадается следующим образом:
где
при этом
£' = -(1 + b*Hi*)Wu-i - b* sin£, _i = sin £ cos £ - (1 + b* Hi*)wu-20 + Hi*Wn-i cos £,
-2 = (1 + b*Hi*)Wn-2Wn-ic^ + Hi*Wn-2 cos £,
* n-
Wn 2 cos
= ds(wn-i, ...,wi; £, ni,..., Пп-2)
cos ns
n's = ds(Wn-i,.. .,Wi; £, ni,.. .,Пп-2), s = 1,...,n - 3, ПП-2 = dn-2(Wn-i, .. .,Wi; £,ni,... ,Пп-2),
di(Wn-i,... ,Wi; £,ni,..., Пп-2) =
= -(1 + b*Hi*)Zn-2(Wn-i,..., Wi),
d2(Wn-i,.. .,Wi; £, ni,.. .,Пп-2) = (1 + b*Hl*)Zn-з(wn-l, ...,Wi
cos f
' sin f sin ni :
dn-2 (Wn-i,.. .,wi; £,ni,..., Пп-2)
= (-1)n(1 + b*Hi*)Zi(wn-i,..., Wi) -
cos f
sin f sin ni ••• sin Пп—3 ''
Zk = Zk(wn-i,... ,wi), k = 1, ...,n - 2,
— функции в силу замены (3.1).
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
3
W
W
W
В частности, при n = 5 получим следующую систему восьмого порядка:
С' = -(1 + b*Hi*)w4 - b* sin С, w4 = sin С cos С - (1 + b*Hi*)w32CSoS§ + Hi*W4 cos С, \ (3.7)
w'3 = (1 + b*Hi*)w3W4cSo^ + Hi*W3 cosС,
2
d2 (w4,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Г3) Ц—2 ШП
sinП2' \ (3.8)
r2 = d2(w4,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Гз),
w1 = di (w4,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Г3) ^wr ШП ■ ri = di(w4,wi,w2,wi; С,Г1,Г2,Гз),
ni = di(w4,wi,w2 ,wi; С,Г1,Г2,Гз), (3.10)
"}
'}
(3.9)
где
di(w4 ,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Г3) = -Zi(w4,wi ,w2,wi) =
_ w1w3 cos £
,/ 1+w2 sin £ ,
d,2(w4,wi ,w2,wi; С,Г1,Г2,Гз) = Z2(w4,wi,w2,wi) ^ ni =
±-
' sin £ sin П1 /n ii\
cos £ (3.11)
" л/i+w2^J 1+w2 sin £ sin ni '
d3(w4,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Г3) = -Z1 (w4, w3, w2 ,w1) sin £ ^£ sin n2 = = ^ w3 cos £
^ у/ 1+w2^J 1+wl sin £ sin n i sin П2 ,
при этом
Zk = Zk(w4,w3,w2,wi), k = 1, 2, 3, (3.12)
— функции в силу замены (3.1).
Система (3.2)-(3.4) рассматривается на касательном расслоении
T*Sn-1{(wn-i,...,wi; С,Г1,...,Гп-2) е R2(n-1) : (3.13)
0 < С,Г1,..., Гп-3 < П, Гп-2 mod 2п}
(n - 1)-мерной сферы Бп-1{(С,Г1,... ,Гп-2) е Rn-i : 0 < С,Г1,- . ,Гп-з < п, Гп-2 mod 2п}. В частности, система (3.7)-(3.10) рассматривается на касательном расслоении
t*S4{(w4 ,w3,w2,wi; С,Г1,Г2,Гз) е R8 : 0 < С,Г1,Г2 ^ п, гз mod 2п} (3.14)
четырехмерной сферы S>4{(С,Г1,Г2,Г3) е R4 : 0 < С,Г1,Г2 ^ п, щ mod 2п}.
Видно, что в системе (3.2)-(3.4) порядка 2(n - 1) выделяется независимая подсистема третьего порядка (3.2), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, n- 3 независимых системы второго порядка (3.3) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной rn-2) уравнение (3.4) на rn-2 отделяется.
В частности, в системе восьмого порядка (3.7)-(3.10) выделяется независимая подсистема третьего порядка (3.7), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, две независимых системы второго порядка (3.8), (3.9) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной вз) уравнение (3.10) на гз отделяется.
Таким образом, для полной интегрируемости системы (3.2)-(3.4) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (3.2), по одному — для систем (3.3) (всего n - 3 штуки) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (3.4) (т. е. всего n).
В частности, для полной интегрируемости системы (3.7)-(3.10) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (3.7), по одному — для систем (3.8), (3.9) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (3.10) (т. е. всего пять).
Для начала сопоставим системе третьего порядка (3.2) неавтономную систему второго порядка
dwn-1 _ sin £ cos £-(1+btHi -2 cos £/ sin £+Hi „wn-1 cos £
d£ = -(1+btHi „)wn-i-b„ sin £ , (3 15)
dwn-2 _ (1+b^Hi «)wn-2wn-1 cos £/ sin £+Hi twn-2 cos £ V • )
d£ -(i+bfHi *)wn-i-b„ sin £ .
Используя замену т = sin С, перепишем систему (3.15) в алгебраическом виде
dwn-1 = т-(1+b,Hl,)wl -2/т +Hi*wn-i
dr = -(1+btHit)wn-i-btT , (3 16)
dwn-2 = (1+b,Hi,)wn-2wn-l/T+Hitw„-2 V ' '
dr -(i+btMit^wn-i-btr .
Далее, вводя однородные переменные по формулам
wn-1 = U2T, wn-2 = UiT, (3.17)
приводим систему (3.16) к следующему виду:
Лщ. + и = 1-(1+Ь»Яц,)«1+Яц,«2 Т Лт + "2 -(1+Ь»Я1»)«2-Ь» , т йи1 + и = (1+Ъ.,Н1, )и1и2+Н1,и1 Лт + 1 -(1+ЪгН1г)и2-Ъг ,
что эквивалентно
т = (1+Ь*Нц,)(и2-и2) + (Ь„+Нц,)и2 + 1 Т Лт -(1+Ъ,Н1,)и2-Ъ, ,
и = 2(1+Ъ»Нц)и1и2 + (Ъ» + Нц)и1 Лт —(1+ЪtHlt)u2 — Ъt .
Сопоставим системе второго порядка (3.19) неавтономное уравнение первого порядка
= 1 — (1 + Ь*Ни )(и2 — и2) + (Ь* + Щ*)и2 dul 2(1 + Ь* Ии)и1и2 + (Ь* + Н1*)и1
которое несложно приводится к полному дифференциалу:
(3.18)
(3.19)
(3.20)
У (1 + b*Hi*)(u2 + up + (b* + Hi*)u2 + n = 0 (3 21)
Итак, уравнение (3.20) имеет следующий первый интеграл:
(1 + b*Hi*)(u2 + u2) + (b* + Hi*)u2 + 1
= Ci = const, (3.22)
u1
который в прежних переменных выглядит как
@i(wn-b Wn-2; £) =
(1 + b*Hi*)(wU-i + w'U-2) + (b* + Hi*)wn-i sin £ + sin2 £
=---= Ci = const. (3.23)
Wn-2 sin £
Замечание 3.1. Рассмотрим систему (3.2) с переменной диссипацией с нулевым средним [6, 7, 8], становящейся консервативной при b* = Hi*:
£' = -(1 + b2)wn-i - b* sin£, wU-i = sin £ cos £ - (1 + b2* )w2n-2 cosf + b*Wn-i cos £, (3.24)
wU-2 = (1 + b*)Wn-2Wn -1 cof + b*Wn-2 cos £.
Она обладает двумя аналитическими первыми интегралами вида
(1 + b*)(wU-i + wU-2) + 2b*Wn-i sin £ + sin2 £ = C* = const, (3.25)
wn-2 sin £ = C2* = const. (3.26)
Очевидно, что отношение двух первых интегралов (3.25), (3.26) также является первым интегралом системы (3.24). Но при b* = Hi* каждая из функций
(1 + b*Hi*)(wU-i + wU-2) + (b* + Hi* )wn-i sin £ + sin2 £ (3.27)
и (3.26) по отдельности не является первым интегралом системы (3.2). Однако отношение функций
(3.27), (3.26) является первым интегралом системы (3.2) при любых b*,Hi*.
Далее, найдем явный вид дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (3.2). Для этого преобразуем для начала инвариантное соотношение (3.22) при ui =0 следующим образом:
( + b* + Hi* )2 + ( Ci )2 = (b* - Hi*)2 + C2 - 4
Г2 + 2(1 + b*Hi*) J + г1 2(1 + b*Hi*) J = 4(1 + b*Hi*)2 . (3.28) Видно, что параметры данного инвариантного соотношения должны удовлетворять условию
(b* - Hi*)2 + C? - 4 > 0, (3.29)
и фазовое пространство системы (3.2) расслаивается на семейство поверхностей, задаваемых равенством
(3.28).
Таким образом, в силу соотношения (3.22) первое уравнение системы (3.19) примет вид
du2 2(1 + b*Hi*)u2 + 2(b* + Hi*)u2 + 2 - CiUi(Cbu2)
t—— = ---—--———--, (3.30)
dr -b* - (1 + b*Hi*)u2
где
^i(Ci,u2) = 2(1+1b*Hi*) {Ci ± ^2(Ci,u2)}, (3.31)
U2{Cí,u2) = ^C2 - 4(1 + b*Hi*)(1 + (b* + HU)U2 + (1 + b*Hi*)u22),
при этом постоянная интегрирования Ci выбирается из условия (3.29).
Поэтому квадратура для поиска дополнительного первого интеграла системы (3.2) примет
í dr = Г (-b* - (1 + b*Hu)u2)du2
J ~ J A '
A = 2(1 + (b* + Hi*)u2 + (1 + b*Hu)vl) - CiiCi ± U2(Ci,u2)}/(2(1 + b*Hu)). Левая часть (с точностью до аддитивной постоянной), очевидно, равна
ln | sin £ I.
Если
u2 +
b* + Hi^
rb b2 = (b* - hu)2 + C2 - 4
2(1 + b*Hi*) то правая часть равенства (3.32) примет вид
1 í d(b2 - 4(1 + b*Hi*)r2)
4 У (bi - 4(1 + ЬНиИ) ± b2 - 4(1 + bHu)r2
dr i
+
+ (b* Hu)(1 + b*Hu) J (bi - 4(1 + bHu)ri) ± cíy/b2 - 4(1 + bHu)r2
-1-
'*n i* )i i
Vb2 - 4(1 + bHi*)r2
C
1
- b * + Hi *
±-;;-i i,
где
h
dr3
VW-4 (гз ± Ci)
При вычислении интеграла (3.36) возможны три случая. I. Ib* - Hi*| > 2.
, гз = ^b2 - 4(1 + b*Hi*)r2.
hi = -
1
V(b* - Hi*)2 - 4
In
V(b* - Hi * )2 - 4 + y/b2-r¡
+
гз ± C i 1
±
C
V(b* - Hi*)2 - 4
+
V(b* - Hi*)2 - 4 '
' i =
X ln
II. \b, - Hi< 2.
III. \b„ - Hi„| = 2. Возвращаясь к переменной
V(b* - Hi*)2 - 4 -VW-4
гз ± Ci 1
T
C1
arcsm
V(b* - Hi*)2 - 4 ; ±Cir3 + b2
+ const.
\J4 - (b* - Hi*)2 bi (гз ± Ci)
+ const.
hi = T
VW-T2
+ const.
r1
Ci(r3 ± Ci)
wn-1 b* + Hu
+
sin £ 2(1 + b*Hi*)
имеем окончательный вид для величины Ii:
I. |b* - H1*| > 2.
Ii = -
х In
V(b* - Hi*)2 - 4 V(b* - Hi*)2 - 4 ± 2(1 + b*Hi*)ri
±
C1
vb - 4(1 + b*Hi*)2r2 ± C i V(b* - Hi*)2 - 4
+
+
V(b* - Hi*)2 - 4 '
x In
b* - Hi*)2 - 4 T 2(1 + b*Hi*)ri
T
C
vb - 4(1 + b*Hi*)2r 2 ± C i y/(b* - Hi*)2 - 4
+ const.
вид
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
3
1
1
II. \Ь* - Hu\ < 2.
Ii = , 1 arcsin ^ - 4(1 + ЬН*)21±Л ± const. (3.42)
\J4 - (Ь* - Hi*)2 bi^Ь1 - 4(1 ± ЬН*)2r2 ± Ci) V ;
III. \Ь* - Hi*\ = 2.
т ^ 2(1 ± Ь*Ни)г1 t (3 43)
Ii = т-, о =--± const. (3.43)
Ci^Ь2 - 4(1 ± Ь*Н1*)2г2 ± Ci) V ;
Итак, только что был найден дополнительный первый интеграл для системы третьего порядка (3.2) — предъявлен полный набор первых интегралов, являющихся трансцендентными функциями своих фазовых переменных.
Замечание 3.2. В выражение найденного первого интеграла формально необходимо вместо Ci подставить левую часть первого интеграла (3.22).
Тогда полученный дополнительный первый интеграл имеет следующий структурный вид:
®2(wn-i,Wn-2; £) = G ( sin, j = C2 = const. (3.44)
V sin £ sin
Итак, найдены два первых интеграла (3.23), (3.44) независимой системы третьего порядка (3.2). Осталось указать по одному первому интегралу — для систем (3.3) (их всего n-3) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (3.4).
Действительно, искомые первые интегралы имеют вид
/1 + w2
©S'+2(ws; ns) = —-1 = Cs+2 = const, s = 1,...,n - 3, (3.45)
sin ns
©П^п-з, Wn-4; Пп-4, Пп-з, Пи-2) =
i , Cn -1 cos Пп-з n , ,Q
= nU-2 ± arctg^^ -= Cn = const, (3.46)
Cn2 -2 sin2 Пп-з - CU-i
при этом в левую часть равенства (3.46) вместо Cn-2,Cn-i необходимо подставить интегралы (3.45) при s = n - 4, n - 3.
Теорема 3.1. Система (3.2)-(3.4) порядка 2(n - 1) обладает достаточным количеством (n) независимых первых интегралов (3.23), (3.44), (3.45), (3.46).
Итак, в рассматриваемом случае система динамических уравнений (3.2)-(3.4) имеет n первых интегралов, выражающихся соотношениями (3.23), (3.44), (3.45), (3.46) (при этом используются выражения (3.32)-(3.43)), являющихся трансцендентными функциями фазовых переменных (в смысле комплексного анализа) и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
Теорема 3.2. Три группы соотношений (2.2), (2.4), (2.5) при условиях (2.6)-(2.8), (1.4), (1.8) обладают n первыми интегралами (полным набором), являющимися трансцендентными функциями с точки зрения комплексного анализа, выражающимися через конечную комбинацию элементарных функций.
4. Топологические аналогии
Первая группа аналогий снова касается случая наличия в системе неинтегрируемой связи
v = const. (4.1)
В данном случае динамическая часть уравнений движения при некоторых условиях приводится к системе
av s(a) ( Q.\
а = —zn-i + —-Т^-ГТТГТГ И a,Pi,.. ., вп-2, ^ ) '
{ Т ^ v 1 — ■} Г п • • • ■} rn-21
(n - 2)i2 cos a \ v
v2 , í n n i 2 2 \Cosa
--———S(a)rv I a,l3i,...,l3n-2,~ - (zi ± ... ± zn-2)~--
(n - 2) I2 v sin a
av s(a) iv-^ . /
±-^ { V(-1)sZn-i-sAv,J a, ßi, ... , ßn-2, —
(n - 2)I2 sin a \ vy
cos a 2 2 cos a cos ß1 Zn-2 = Zn—2Zn—i :--± (z2 ± ... ± zn_3)~--:——±
sin a n sin a sin ßi
av s(a) { . ( n Q)
(n - 2) I2 sin a v
где
\ V8т Рг \
V2 ( п \
в(а)Д«д ( вп-2, — )
(п — 2)12
сов а сов а сов в1 2 2 сов а 1 сов в2
¿п-з = ¿п^п-1---гп-3гп-2---:—т.--(¿-¡_ + ... + ¿п-4)~--—— . +
вш а вт а вт р1 вт а вт р1 вт р2
аю в(а) , л / ^ П\
+ т-^ -г {Д«,2 а,в1,...,вп-2,-)
(п — 2)12 вт а \ V)
сов вг.
— ¿п-1 + ¿п-2 —
' вт вг.
+
Еп 2 [г, г, П\ 1 сов в2
( —1)^п -1 - вД„,в а,в1,■■■, вп - 2, - -
в = 3 V ю ) 81
V / вт в1 вт в2
}+
Ю2 ( П\
+ 7-гггт-е(а)Ду,2 I а, въ ..., вп-2,- , (4.2)
(п — 2)12 \ V у
¿1 = вп-2 ( ШГ1 вт вп-2 + иг2 сов вп-2 ) +
ц2 ( П \
+( — 1)^7-^г 5(а)Д^,п-Л а,в1,■■■, вп-2, Л =
(п — 2)12 \ V)
{п-2
^=1 ( ' " ^ вШ в1 ■■■ в1П вэ-1
соЭ а I ^ +1 соЭ в8-1 I = \ > ,( —1) + -- Г +
+ ^{ — ^^(«ви-.-вп-., X
(п — 2)12 вт а \ V )
Л£(—. 1 +
['= вт в1 ■ ■■ вт вз-1 |
+( —1)" я(а)Ду,п-2 (а,в1,..., вп-2, ,
(п — 2)12 \ V/
• сов а аv в(а) . / ^ П\
в1 = ¿п-2"Г + —-^Т" ЗГ^ Д«,и а,вl,■■■,вn-2,v),
' вт а (п — 2)12 вт а
п — 2)12 вта \ V
• сов а ^ в(а) . ( п п п П\
в2 = —¿п-3--—Г + 7-гг^--У—^—Ду,2[ а,в1,в2,вз,-
вт а вт р1 (п — 2)12 вт а вт р1 \ V )
сов а
вп-2 = ( — -^-—— +
вт а вт в1 ■ ■ ■ вт вп-з
^ в(а) (г, г,
+ ^-а д. а _ Д«,п-2 [ а,вl,■■■,вn-2,v} ,
(п — 2)12 вт а в1п в1 ■ ■ ■ вт вп-2
( п \
\а,вl,■■■,вn-2,v)
Д«,^а,в1, ■ ■ ■ , вп-2, = (г№, (П ,в2 + 2,вз, ■ ■ ■,вп-2) )
Д«,^ а,в1, ■ ■ ■ , вп-2, П \ = (гм, [в1 + 2 ,в2, ■ ■ ■,вп-2 ) ),
( П \ / п п п
Д«,п-И а,в1,■■■, вп-2, V ) = (гм, 2' ■ ■ ■' 2 ,вп-з + 2 ,вп-
( /пп п \
Ду,п-2 ( а,в1, ■ ■ ■ , вп-2, V ) = (гм, N 2 ' ■ ■ ■' 2 'вп-2 + 2;)
а функция Г« (а, в1, ■ ■ ■, вп-2, п/v) представляется в виде
Г^а,в1, ■ ■ ■ ,вп-2, ^^^ = |гмI = (гм, N(в1, ■ ■ ■, вп-2)) =
п п п
0 • сов- + ^ х8м (а'вl'■■■'вn-2' — j гем (в1, ■ ■ ■, вп-2 )■ (4.4)
«=2 ^ '
(4.3)
Здесь isN (ei,..., вп-2), s = 1,...,n, (iiN (fii,..., вп-2) = 0) — компоненты единичного вектора по оси вектора rN = {0, x2N,..., xnN} на (n-2)-мерной сфере Sn-'2{в1,..., вп-2}, заданной равенством а = п/2, как экваториальном сечении соответствующей (n - 1)-мерной сферы Sn-i{а, Pi,..., ви-2} (заданной равенством (4.1)).
При выполнении условий (1.4), (1.8) система (4.2) примет вид
а' = - (1 + bHi) Zn-i + b sin а, (4.5)
Zn 1 = sin а cos а- (1 + bHi) (Z\ + ... + Z^) — - HiZn-i cos а, (4.6)
ZU-2 = (1 + bHi) Zn-2 Zn-i-.—+
n-2 sin а
sin а
cos а
'Jn-2 Zn-
+ (1 + bHi) (Z? + ... + ZU-з) — ^ - Hi Zn-2 cos а, (4.7)
sin а sin p i
V a 7 cosа f, . hu w 7 cosа cosPi
Zn-з = (1 + bHi) Zn^Zn-i ---(1 + bHi) Zu^Zn^ —
sin а sin а sin в i
- (1 + bHi) (Z\ + ... + ZU^) —- HiZn-з cos а, (4.8)
sin а sin вi sin p2
n-2
Z[ = (1 + bHi) Zi^ V(-1)s+iZ coses-i
sin rv I -^
sin а ' 2 s sin в i... sin es-1 J
-H Z cos а, (4.9) cos а
в' = (1 + bHi) Zn-2 -—, (4.10) sin а cos а
в2 = - (1 + bHi) Zn-зs-, (4.11)
sin а sin в i
cos а
вП-з = (-1)n (1 + bHi) Z2 s- -, (4.12)
sin а sin вi... sin pn-4
вП-2 = (-1)n+ i (1 + bHi) Zis-. cos^ . . . (4.13)
sin а sin вi... sin ви-з
если ввести безразмерные параметры, переменные и дифференцирование по аналогии с (2.11):
AB h iB
b = an0, n0 = ----, Hi = --—-, zk = n0vZk, k = 1,...,n - 1, (4.14)
(n - 2)12 (n - 2)l2no
< • >= nov <'> .
В частности, при n = 5 получим следующую систему восьмого порядка:
а' = - (1 + bHi) Z4 + b sin а, (4.15)
Z4 = sin а cos а - (1 + bHi) Z2 + Z22 + Z2)-0Sа - HZ4 cos а, (4.16)
4 2 з sin а
Z! = (1 + bHi) ZзZ4— + (1 + bHi) (Z2 + Z2) —^ - HZ cos а, (4.17)
sin а sin а sin вi
7' Í1 I Ш W -7 íl , hU \ 7 7 cos а cos в i
Z2 = (1 + bHi) Z2Z4---(1 + bHi) Z2Zз---:—— -
sin а sin а sin в i
, N cos а 1 cos в2 „ ,
- (1 + bHi) Z--. . ;2 - HiZ2 cos а, (4.18)
sin а sin в i sin в2
7' , hU \ 7 7 ^^ ^ 7 7 cos а cos в i ,
Zx = (1 + bHi) ZiZ4---(1 + bHi) Z^---:——+
sin а sin а sin в i
+ (1 + bHi) ZiZ2^-V^ - HiZi cos а, (4.19)
sin а sin в i sin в2
cos а
в = (1 + bHi) Zзc°-, (4.20)
sin а
в2 = - (1 + bHi) Z2 . c°Sa в , (4.21)
sin а sin в i cos а
вз = (1 + bHi) Zi s-. ■ . (4.22)
sin а sin в i sin в2
Теорема 4.1. Система (4.5)-(4.13) (для свободного тела) эквивалентна системе (2.17)-(2.25) (для закрепленного маятника).
Действительно, достаточно положить
С = a, ni = в1, ..., Гп-2 = вп-2, b* = -b, Hi* = -H
(4.23)
а также сопоставить переменные Zk ^ , к = 1,..., п — 1.
Для полного интегрирования системы (4.5)-(4.13) необходимо знать, вообще говоря, 2п — 3 независимых первых интегралов (в частности, для полного интегрирования системы (4.15)-(4.22) необходимо знать, вообще говоря, семь независимых первых интегралов). Однако после следующей замены переменных
/ Zn-1 \ ( 'Шп-1 \
Z
n- 2
Z2 Zi
wn-2
w2 wi
wn-1 = Zn-1, wn-2 = J Zi + ... + Z2-2, wn-3 = ff
wn 4
Z3
w2
Zn-3
+ +
wi
Zn-2
Vz?+-+zn
система (4.5)-(4.13) распадается следующим образом:
a' = -(1 + bH1)wn-1 + b sin a, w'n_ i = sin a cos a - (1 + bH^w^^sna - H1wn-1 cos a, w'n-2 = (1 + bHi)wn-2wn-icna - Hiwn-2 cos a,
w's = ds(wn-i, ...,wi; a,ei,..., вп-2) ^ , e's = ds(wn-i, .. .,wi; a, в1, .. ., вп-2), s = 1, .. .,n - 3,
вП-2 = dn-2 (wn-1, .. .,wi; a, в1, .. ., вп-2 ), di(wn-i, ...,wi; a, в1, .. ., вп-2) =
= (1+bHi)Zn-2(wn-i ,...,wi) cna,
d2(wn-i, ... ,wi; a, в1, .. ., вп-2) =
-(1 + bHi)Zn-i(wn-i,...,wi) snoaei,
dn-2(wn-i, ...,wi; a, в1,..., вп-2) =
где
= (-1)n+1(1 + bHi)Zi(wn-i,...,wi) -
при этом
!sin a sin в i■■■ sin en-3 '
Zk = Zk(wn-i,..., wi), k = 1,.. .,n - 2,
функции в силу замены (4.24).
В частности, при n = 5 система (4.15)-(4.22) распадается следующим образом:
a' = -(1 + bH1)w4 + bsin a, w'4 = sin a cos a - (1 + bH1)w'3 cna - H1 w4 cos a, w'3 = (1 + bH1 )w3w4 ^nf - H1w3 cos a,
w2 = d2(w4 ,w3,w2,wi; a,в1,в2,в3) ,
в2 = d2(w4,w3,w2,wi; a, в1 ,в2,вз),
w'i = di(w4 ,w3,w2,wi; a, в1, в2, вз) ,
в' = di(w4,w3,w2,wi; a, в i ,в2,вз), в'3 = d.3(w4,w3,w2,w 1; a, във2,вз),
где
di(w4,wi,w2, wi; a, в1, в2, вз) = (1 + bHi)Z3(w4,w3,w2,wi)cnf = = ±(1 + bHi)-
wi w3 cos a ..2 sin a '
Vr+w
d2(w4,wi,w2,wi; a, в1, в2,вз) = -(1 + bHi)Z2(w4, wi,w2,wi) = T(1 + bHi)-
sin a sin ei
y/i+w2y/ 1+w2 sin a sin ft '
di(w4,w3,w2,wi; a, в1, в2, вз) =
(1 + bHi)Zi(w4,w3,w2,wi) sin a s™a sin в2
= ±(1 + bH1) . w3, _cosa_
V 1 у/1+w2y/ 1+wl sin a sin вi sin в2:
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
(4.33)
(4.34)
cos a
os a
при этом
Zk = Zk(w4,w3,w2,wi), к = 1, 2, 3, (4.35)
— функции в силу замены (4.24).
Система (4.25)-(4.27) рассматривается на касательном расслоении
T,S"-1{(w„_i,...,wi; а,в1,...,вп-2) G R2(n-1) : (4.36)
0 < а,@1,..., вп-з < п, вп-2 mod 2п}
(n — 1)-мерной сферы Sn-1{(a, ..., вп-2) G Rn-1 : 0 < а, в1,..., вп-3 < п, вп-2 mod 2п}. В частности, система (4.30)-(4.33) рассматривается на касательном расслоении
T,S4{(w4, w3, w2,w1; а,в1,в2,в3) G R8 : 0 < а,в1,в2 < п, вз mod 2п} (4.37)
четырехмерной сферы S4{(a, в1, в2, вз) G R4 : 0 ^ а,в1,в2 ^ п, в3 mod 2п}.
Видно, что в системе (4.25)-(4.27) порядка 2(n — 1) выделяется независимая подсистема третьего порядка (4.25), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, n — 3 независимых систем второго порядка (4.26) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной вп-2) уравнение (4.27) на вп-2 отделяется.
В частности, в системе восьмого порядка (4.30)-(4.33) выделяется независимая подсистема третьего порядка (4.30), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, две независимых системы второго порядка (4.31), (4.32) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной вз) уравнение (4.33) на вз отделяется.
Таким образом, для полной интегрируемости системы (4.25)-(4.27) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (4.25), по одному — для систем (4.26) (всего n — 3 штуки) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (4.27) (т. е. всего n).
В частности, для полной интегрируемости системы (4.30)-(4.33) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (4.30), по одному — для систем (4.31), (4.32) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (4.33) (т. е. всего пять). Следствие 4.1.
1. Угол атаки а и углы в1,..., вп-2 для свободного тела эквивалентны соответственно углам отклонения £ и щ,... ,Пп-2 закрепленного маятника.
2. Расстояние a = CD для свободного тела соответствует длине державки l = OD закрепленного маятника.
3. Первые интегралы системы (4.25)-(4.27) могут быть автоматически получены через равенства (3.23), (3.44), (3.45), (3.46) после подстановок (4.23) (см. также [9]):
©i (wn-i, Wn-2; а) = (1 + bHi)(wU_i + w2n_2) - (b + Hi)wn-i sin а + sin2 а
Wn-2 sin а
©2(wn_i, wn-2; а) = G (sinа, 2 i, 2 2 ) = C2 = const. (4.39)
2 sin а sin а
Ci = const. (4.38)
/1 + w2
©s'+2(ws; Ps) = . д s = Cs+2 = const, s = 1,...,n - 3, (4.40)
sin es
©n(Wn-3,Wn-4; вп-4, вп-з, вп-2) =
а л. Cn-icos рп-з n .
= вп-2 ± arctg^^ -= Cn = const, (4.41)
^CU-2 sin2 вп-з - CU-i
при этом в левую часть равенства (4.41) вместо Cn-2,Cn-i необходимо подставить интегралы (4.4O) при s = n - 4,n - 3.
Вторая группа аналогий касается случая движения с постоянной скоростью центра масс тела, т. е. когда выполнено свойство
Vc = const (4.42)
(Ve — скорость центра масс), поскольку на тело будет действовать неконсервативная пара сил:
T - s^v2 = 0. (4.43)
В данном случае динамическая часть уравнений движения при некоторых условиях приводится к системе
v' = v*(a,p1,...,pn-2,Z), (4.44)
г-l
а' = -Zn-1 + ani\ у ZS. ) sin а+
Ш z2) s-
+
(n - 2)Isni
s(a) cos а ■ rv (а, Pi, .. ., Pn-2, niZ) —
Ti (а,в1,.. ., Pn-2,niZ) — s(a) .
sin а,
mni
Z
+
s(a)
(n — 2)Ian?
Г (a,ei,.. .,fín-2,niZ) —
fn- ZAcos а+
v¿í s /sin а
s(a)
(n — 2) I2 ni sin а
Ín-2 £ (
s =i
( —1)s Zn-i-s Av,s (а, Pi,..., вп-2, niZ)\ —
—Zn-i ■ Ф(а,вl,...,вn-2,Z),
Z' = Z Z COS а + Zn-2 = Zn-2Zn-i~.--г
fn-3 \
Z) co
2 \ cos а cos ei Z„ 1 —--:—-—+
(а)
sin а sin ei (n — 2)I2ni sin а
x {Zn-i Av,i (а,^,..., /3n-2,niZ) +
2
+ Z)( —:1)S+iZn-i-sAv,s (а, ei,..., Pn-2, niZ) -
cos ei sin ei
в(а)
2 -Av,i (а,вl,...,вn-2,nlZ) — Zn-2 ■ Ф (а, Pi,..., Pn-2, Z) (n — 2)i2n|
Z
3 = Zn-3Zn-l~
_ Z^^ 3Z,
sin а
n-3Zn-2~
cos а cos ei sin а sin ei
8=5Z2) c
2 \ cos а 1 cos в2 Z, I —--:—-—:—-—+
sin а sin ei sin в2
+
(а)
a si а
(n — 2) I2 ni sin а
{Av,2 (а,ви..., fin-2, niZ)
ry . 7 cos ei
— Zn-i + Zn-2~
' sin ei
+
n-2 : в
+ V( — 1)s Zn-i-s Av,s (а, вь .. .,en-2,niZ) }+
+
(а)
(n — 2)l2ni v
sin ei sin в2
Av,2 (а, ei,..., Pn-2, niZ) — Zn-3 ■ Ф (а, вь ..., Pn-2,Z),
2
Zi = Z
i = Zi
E(—Ds+iz
cos es-i
+
+
s(а)
( n — 2) I2 ni sin а i
Ín-l £
s=2
sin ei... sin es-i
( —1)n+iAv,n-2 ^^^.^^п^П^ ) cos es-i
( —1)sZn+i-s —
+
+(—1)n
(а)
< o \t 2 Av,n-2 (а
(n — 2)12 ni
fí' = Z COS а + Pi = Zn-2~.--+
sin Pi ... sin Ps-i
2 ^^i,..., Pn-2, niZ) — Zi ■ Ф (а,въ . . . , Pn-2, Z). s(а)
P2 = —+
sin а (n — 2)12п5 sin а
a s^)
sin а sin Pi (n — 2)12п5 sin а sin Pi
en-2 = (—1)n+iZi3 "
Av,i (а,вl,...,вn-2,nlZ),
Av,2 (а, Pi, .. .,en-2,niZ).
sin а sin Pi ... sin Pn-3
+
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
(4.50)
(4.51)
a
a
a
cos а
cos а
a
о s ( a)
+ 7-^--:-■ а ■ д-^v,n-2 (a, в1,..., вп-2,niZ), (4.52)
(n - 2)12n1 sin a sin в1 ■ ■ ■ sin вп-3
где
-i
^(a, в1, ■ ■■, вп-2, Z) = -oni\y Z2 cos a+
(1И
+7-^-s(a) sin a ■ rv (a, в1,. ■ ■ ,вn-2,niZ) +
(n - 2)12ni
T1 (a,вl,■■■,вn-2,n1Z) - s(a)
+--cos a.. (4.53)
mni
Тогда, в силу условий (4.42), (1.4), (1.8), (4.14) преобразованная динамическая часть уравнений движения (система (4.45)-(4.52)) примет вид аналитической системы
п-1
a' = -Zn-1 + b У^ ZS sin a + b sin a cos2 a - bH1Zn-1 cos2 a, (4.54)
®ZS) £
Ш z:2)
Z'n_ 1 = sin a cos a - (1 + bH1) ) Z2.\---+
+bZn-1 ( ZS ] cos a - bZn-1 sin a cos a+
+bHiZ2n_ _i sin a cos a - HiZn-i cos a, (4.55)
z'n-2 = (1 + bHi)Zn-2Zn-i^ + (1 + bHi)ÍY^ z*\ ^+
n-3
£«) c
sin a \ s ) sin a sin в1
-1
+bZn-2 I Z2S\ cos a - bZn-2 sin2 a cos a+
+bH1Zn-2Zn-1 sin a cos a - H1Zn-2 cos a, (4.56)
V Í1 , UU \7 7 cos a П , UU \7 7 cos a cos в1
Z„-3 = (1 + bHi)Zn-3Zn-i---(1 + bHi)Zn-3 Zn-2 —
sin a sin a sin в1
-(1 + bHi) I > *zA cos^^co^+ \ / v s i sin a sin в1 sin в2
® z0 co
ШZl)
+bZ„_3 Zs2 cos a - bZn 3 sin2 a cos a+
+bH1Zn-3Zn-1 sin a cos a - H1Zn-3 cos a, (4.57)
Zi = (1 + bHi)Zic^ (E(-1)S+1Z„-S , 1 +
sin a [2=1 sin вв1 ... sin вь-1 I
+bZi\ >1 Z2 I cos a - bZi sin2 a cos a+
+bH1Z1Zn-1 sin a cos a - cos a, (4.58)
cos a
в1 = (1 + bHi)Z„-2 c-, (4.59)
sin a
cos a
в2 = -(1 + bHi)Z„-3-.-—s-, (4.60)
sin a sin в1
cos a
в„-3 = (-1)„(1 + bHi)Z2 s-—-—-, (4.61)
sin a sin вв1... sin в„-4
в„-2 = (-1)„+1(1 + bHi)Zis-. в°8а . в , (4.62)
sin a sin вв1... sin в„-3 при этом выбирая постоянную ni следующим образом:
ni = n0. (4.63)
В частности, при п = 5 получим следующую систему восьмого порядка:
а' = -Z;3 + b(Z2 + Z22 + Z5 + Z4) sin а + b sin а cos2 а--bHiZ4 cos2 а, Z4 = sin а cos а - (1 + bHi)(Z12 + Z22 + Zo2)-0Sа +
4 1 2 з sin а
+bZ4(Z2 + Z22 + Z^ + Z4) cos а - bZ4 sin2 а cos а+
+bHiZ42 sin а cos а - H1Z4 cos а,
cos а 2 2 cos а cos в1
Zз = (1 + bHi )ZзZ4—--+ (1 + bHi)(Z2 + Z2) —--——
sin а sin а sin в1
+bZ^Z 2 + Z22 + Z2 + Z|) cos а - bZ3 sin2 а cos а+
+bHlZзZ4 sin а cos а — HiZз cos а,
Z2 = (1 + bHi)Z2Z4^ - (1 + bHi^^^ sin а sin а sin в
+
(4.64)
(4.65)
(4.66)
n , Ш W2 cos а 1 cos p2 ,
-(1 + bHi)Z^--:--+
sin а sin а sin в2
+bZ2(Z 2 + Z22 + Z;2 + Z42) cos а - bZ2 sin2 а cos а+
+ bHiZ2Z4 sin а cos а - H Z2 cos а,
cos а cos а cos в
Z[ = (1 + bHi)ZiZ4c--(1 + bHi)ZlZзc--: pp~
sin а sin а sin в
cos а 1 cos в2
+ (1 + bHi )Z iZ2—--:--^ +
sin а sin а sin в2
+bZi (Z2 + Z22 + Z;2 + Z42) cos а - bZi sin2 а cos а+
+bH Z Z4 sin а cos а - H Z cos а, cos а
в [ = (1 + bHi )Zз —
(4.67)
+
в2 = -(1 + bHi )Z2—
sin а cos а
вз = (1 + bHi )Zi—
sin а sin в cos а
(4.68)
(4.69)
(4.70)
(4.71)
sin а sin в sin в2
Для полного интегрирования системы (4.54)—(4.62) порядка 2(n-1) необходимо знать, вообще говоря, 2n - 3 независимых первых интегралов. Однако после замены переменных (4.24) система (4.54)—(4.62) распадается следующим образом:
а = -Wn- + b(Wn2 2 + Wn2 ) sin а + b sin а cos2 а-
-bH Wn- cos2 а,
wU 1 = sin а cos а- (1 + bHi )w22 +
и-i V 1 -W и-2 am а '
+bwn-i(wU_2 + w2n_i) cos а - bwn-i sin а cos а+ +bHiwU_i sin а cos а - Hiwn-i cos а,
wU- = (1+bHi )wn-2wn-i cosa+
+bwn-2 (wU—2 + w2n_ i) cos а - bwn-2 sin2 а cos а+ +bHi wn-2wn-i sin а cos а - Hiwn-2 cos а,
w's = d i (Wn- i, ...,w i; а,вl,..., вп-2) "j1 iffr, es = d i (Wn- i, ...,w i; а, Pi,. . .,вп-2), s = 1,...,n - 3
(4.72)
вП-2 = d2 (wn- i, ...,w i; а, Pi,. . .,в2),
где выполнены условия (4.28).
В частности, при n = 5 система (4.64)—(4.71) распадается следующим
а' = -w4 + b(w3 + w2) sin а + b sin а cos2 а--bHiw4 cos2 а, w4 = sin а cos а - (1 + bHi +
+bw4 (wf + w2) cos а - bw4 sin2 а cos а+ +bHiw2 sin а cos а - Hiw4 cos а, w3 = (1 + bHi +
+bw3 (w3 + w2) cos а - bw3 sin а cos а+ +bHlWзwn-i sin а cos а - Hi wз cos а,
(4.73)
(4.74)
образом:
(4.75)
w2 = d2(w4,w3,w2,wi, a,Pi,P2,P3)Ц^2inir, 1 (4.76)
P2 = d2(w4,w3,w2,w1; a, Pi,Р2,Рз), J
■Ц = di (w4 ,w3,w2,wi; a,Pi,P2,P3) ^^Т1 -nlr , 1 (4 77)
в = di(w4,w3,w2,wi; a, Pi,Р2,Рз), J
= d3(w4,w3,w2,wi; a, Pi, P2, Рз), (4.78)
где выполнены условия (4.34).
Система (4.72)-(4.74) рассматривается на касательном расслоении (4.36) (n — 1)-мерной сферы Sn-i[(a,pi,...,pn-2) G Rn-i : 0 < a, pi,..., рп-з < п, pn-2 mod 2п}.
В частности, система (4.75)-(4.78) рассматривается на касательном расслоении (4.37) четырехмерной сферы S4{(a,pi,р2,р3) G R4 : 0 < a,pi,p2 < п, р3 mod 2п}.
Видно, что в системе (4.72)-(4.74) порядка 2(n — 1) выделяется независимая подсистема третьего порядка (4.72), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, n — 3 независимых систем второго порядка (4.73) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной Pn-2) уравнение (4.74) на Pn-2 отделяется.
В частности, в системе восьмого порядка (4.75)-(4.78) выделяется независимая подсистема третьего порядка (4.75), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии, две независимых системы второго порядка (4.76), (4.77) (после замены независимой переменной), а также (по причине цикличности переменной Р3) уравнение (4.78) на Р3 отделяется.
Таким образом, для полной интегрируемости системы (4.72)-(4.74) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (4.72), по одному — для систем (4.73) (всего n — 3 штуки) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (4.74) (т. е. всего n).
В частности, для полной интегрируемости системы (4.75)-(4.78) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (4.75), по одному — для систем (4.76), (4.77) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (4.78) (т. е. всего пять).
Если вопрос о первых интегралах системы (4.5)-(4.13) (или (4.25)-(4.27)) решается с помощью следствия 4.1, то аналогичный вопрос для системы (4.54)-(4.62) (или (4.72)-(4.74)) решает следующая теорема 4.2.
Сначала отметим, что один из первых интегралов системы (4.72) имеет следующий вид:
Q'í(w„-i, w„-2; a) = (1 + bHi)(w„_1 + w„_2) - (b + Hi)w„-i sin a + sin2 a
wn 2 sin a
Ci = const. (4.79)
Далее, изучим вопрос дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (4.72), используя при этом первый интеграл (4.79). Для этого введем следующие обозначения и новые переменные:
т = sin а, wn-1 = п2т, wn-2 = щт, p . (4.80)
т 2
Тогда вопрос о явном виде искомого первого интеграла сводится к решению линейного неоднородного уравнения:
dp 2((1 + bH1)u2 - b)p + 2b(1 - H1u2 - u2 - U2(C1,u2))
du2 1 - (b + Hi)u2 + (1 + bHi)u22 - (1 + bHiU(Ci,u2) ' Ui(Ci,U2) = 1 {Ci ±y!C2 - 4(1 + bHi)(1 - (b + Hi)u2 + (1 + bHi)u2)},
(4.81)
1 2
при этом постоянная интегрирования C выбирается из условия
(Ь — Н1 )2 + с2 — 4 > 0. (4.82)
Последний факт означает, что может быть найден еще один трансцендентный первый интеграл в явном виде. При этом общее решение уравнения (4.81) зависит от произвольной постоянной С2. Полные выкладки в данном месте приводить не будем, отметив лишь для примера, что общее решение линейного однородного уравнения, полученного из (4.81), даже в частном случае
1 А4 1
\Ь — Н1\ = 2, С1 = ТТА1, А1 = -(6 + Н1)
имеет следующее решение:
Р = Po (U2) = с [1 - A 1 U2]2/( 1+A4)
VC2 - 4A2(1 - A 1 U2)2 ± Ci
VC - 4A2(1 - A1U2)2 T Ci
±a1/(i+a4)
x exp -
2(Ai - b)
C = const.
(1+ А1)А1(А1п2 — 1)' ~ (4'83)
Тогда искомый дополнительный первый интеграл имеет следующий структурный вид (аналогичный трансцендентному первому интегралу из плоской динамики):
ГЛII/ N лЛ Wn-1 Wn-2\ п ,
В2 (wn_i, wn_2; а) = G sin а,-,- = C2 = const,
V sin а sin а /
(4.84)
используя при этом обозначения и замены (4.80).
Итак, найдены два первых интеграла (4.79), (4.84) независимой системы третьего порядка (4.72). Осталось указать по одному первому интегралу — для систем (4.73) (всего п — 3 штуки) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (4.74).
Действительно, искомые первые интегралы совпадают с первыми интегралами (4.40), (4.41), а именно:
в;+2(ws; ßa) =
v/T+Wf
sin ßs
= Cs+2 = const, s = 1,... ,n - 3,
en(w„-3,W„-4; ßn-4, ßn-3, ßn-2) =
ßn-2 ± arctg
Cn-1cosßn-3
^Cßn-2 sin2 ßn-3 - Cn-i
Cn = const,
(4.85)
(4.86)
при этом в левую часть равенства (4.86) вместо С„_2,С„_1 необходимо подставить интегралы (4.85) при в = п — 4, п — 3.
Теорема 4.2. п первых интегралов (4.79), (4.84), (4-85), (4-86) системы (4.72)-(4.74) являются трансцендентными функциями своих фазовых переменных и выражаются через конечную комбинацию элементарных функций.
Теорема 4.3. п первых интегралов (4.79), (4.84), (4.85), (4.86) системы (4.72)-(4.74) эквивалентны п первым интегралам (4.38), (4.39), (4.40), (4.41) системы (4.25)-(4.27).
Действительно, пары первых интегралов (4.79), (4.38), (4.85), (4.40) и (4.86), (4.41) совпадают. Осталось формально отождествить фазовые переменные т, к = 1,...,п — 1, для системы (4.72)—(4.74) с фазовыми переменными т, к = 1,...,п — 1, для системы (4.25)—(4.27). Аналогичные рассуждения, касающиеся пары первых интегралов (4.84), (4.39), не приводим ввиду громоздкости изложения (см. также [10, 11, 12]).
Итак, мы имеем следующие топологичекие и механические аналогии в том смысле, в котором они объяснены выше.
1) Движение закрепленного на (обобщенном) сферическом шарнире многомерного физического маятника в потоке набегающей среды (неконсервативное поле сил при учете дополнительной зависимости момента сил от тензора угловой скорости).
2) Движение многомерного свободного твердого тела в неконсервативном поле сил со следящей силой (при наличии неинтегрируемой связи и при учете дополнительной зависимости момента сил от тензора угловой скорости).
3) Сложное движение многомерного твердого тела, вращающегося вокруг центра масс, движущегося прямолинейно и равномерно, и находящегося в неконсервативном поле сил при учете дополнительной зависимости момента сил от тензора угловой скорости.
О более общих топологических аналогиях см. также [13; 14].
х
Литература
[1] Шамолин М.В. Случаи интегрируемости, соответствующие движению маятника на плоскости // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2015. № 10(132). С. 91-113. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=vsgu&option_lang=rus&paperid=486&wshow=paper.
[2] Шамолин М.В. Случаи интегрируемости, соответствующие движению маятника в трехмерном пространстве // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2016. № 3-4. С. 75-97.
[3] Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости в динамике маломерного и многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Итоги науки и техники. Сер.: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. T. 125. Динамические системы. 2013. C. 5-254.
[4] Походня Н.В., Шамолин М.В. Некоторые условия интегрируемости динамических систем в трансцендентных функциях // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2013. № 9/1(110). С. 35-41. URL: http://docme.ru/doc/1679357/nekotorye-usloviya-integriruemosti-dinamicheskih-sistem-v-t...
[5] Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия // Доклады РАН. 2017. Т. 477. № 2. С. 168-172. URL: http://shamolin2.imec.msu.ru/art-233-2.pdf. DOI: 10.7868/S0869565217320081.
[6] Шамолин М.В. Полный список первых интегралов динамических уравнений движения многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Доклады РАН. 2015. Т. 461. № 5. С. 533-536. DOI: 10.1134/S1028335815040060.
[7] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.
[8] Трофимов В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. № 6. C. 31-33.
[9] Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамиль-тоновых и диссипативных систем // Фунд. и прикл. мат. 2010. Т. 16. Вып. 4. С. 3-229. URL: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=fpm&paperid=1332&option_lang=rus.
[10] Шамолин М.В. Многомерный маятник в неконсервативном силовом поле // Доклады РАН. 2015. Т. 460. № 2. С. 165-169. DOI: 10.7868/S0869565215020127.
[11] Шамолин М.В. Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в динамике многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Доклады РАН. 2013. Т. 453. № 1. С. 46-49. DOI: 10.7868/S0869565213230126.
[12] Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемости систем с диссипацией на касательных расслоениях к двумерной и трехмерной сферам // Доклады РАН. 2016. Т. 471. № 5. С. 547-551. DOI: 10.7868/S0869565216350115.
[13] Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере // Доклады РАН. 2017. Т. 474. № 2. С. 177-181. URL: http://www.mathnet.ru/links/571bc112f52d6d616bb2966029543696/into208.pdf.
[14] Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия // Доклады РАН. 2017. Т. 475. № 5. С. 519-523. DOI: 10.7868/S0869565217230098.
References
[1] Shamolin M.V. Sluchai integriruemosti, sootvetstvvÀushchie dvizheniiu maiatnika na ploskosti [Cases of integrability corresponding to the pendulum motion on the plane]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2015, no. 10(132), pp. 91-113. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=vsgu&option_lang=rus&paperid=486&wshow=paper [in Russian].
[2] Shamolin M.V. Sluchai integriruemosti, sootvetstvuiushchie dvizheniiu maiatnika v trekhmernom prostranstve [Cases of integrability corresponding to the pendulum motion on the three-dimensional space]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2016, no. 3-4, pp. 75-97. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=vsgu&paperid=512&option_lang=rus
[in Russian].
[3] Shamolin M.V. Mnogoobrazie sluchaev integriruemosti v dinamike malomernogo i mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole [Variety of cases of integrability in dynamics of lower-, and multi-dimensional body in nonconservative field]. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Sovremennaia matematika i ee prilozheniia. Tematicheskie obzory [Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz.]. Vol. 125. Dynamical Systems, 2013, pp. 5-254. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=into&paperid=147&option_lang=rus
[in Russian].
[4] Pokhodnya N.V., Shamolin M.V. Nekotorye usloviia integriruemosti dinamicheskikh sistem v transtsendentnykh funktsiiakh [Certain conditions of integrability of dynamical systems in transcedental functions]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaia seriia [Vestnik of Samara State University. Natural Science Series], 2012, no. 9/1(110), pp. 35-41. Available at: http://docme.ru/doc/1679357/nekotorye-usloviya-integriruemosti-dinamicheskih-sistem-v-t... [in Russian].
[5] Shamolin M.V. Novye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiei na kasatel'nom rassloenii trekhmernogo mnogoobraziia [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on the Tangent Bundle of a Three-Dimensional Manifold] Doklady RAN [Doklady Physics], 2017, Vol. 477, no. 2, pp. 168-172. Available at: http://shamolin2.imec.msu.ru/art-233-2.pdf. DOI: 10.7868/S0869565217320081 [in Russian].
[6] Shamolin M.V. Polnyi spisok pervykh integralov dinamicheskikh uravnenii dvizheniia mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole [Complete List of First Integrals of Dynamic Equations for a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2015, Vol. 461, no. 5, pp. 533-536. DOI: 10.1134/S1028335815040060 [in Russian].
[7] Arnold V.I., Kozlov V.V., Neyshtadt A.I. Matematicheskie aspekty klassicheskoi i nebesnoi mekhaniki [Mathematical aspect in classical and celestial mechanics]. M.: VINITI, 1985, 304 p. [in Russian].
[8] Trofimov V.V. Simplekticheskie struktury na gruppakh avtomorfizmov simmetricheskikh prostranstv [Symplectic structures on symmetric spaces automorphysm groups]. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika [Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika], 1984, no. 6, pp. 31-33 [in Russian].
[9] Trofimov V.V., Shamolin M.V. Geometricheskie i dinamicheskie invarianty integriruemykh gamil'tonovykh i dissipativnykh sistem [Geometrical and dynamical invariants of integrable Hamiltonian and dissipative systems]. Fund. i prikl. mat. [Fundamental and Applied Mathematics], 2010, Vol. 16, issue 4, pp. 3-229. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=fpm&paperid=1332&option_lang=rus [in Russian].
[10] Shamolin M.V. Mnogomernyi maiatnik v nekonservativnom silovom pole [A Multidimensional Pendulum in a Nonconservative Force Field]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2015, Vol. 460, no. 2, pp. 165-169. DOI: 10.7868/S0869565215020127 [in Russian].
[11] Shamolin M.V. Novyi sluchai integriruemosti v dinamike mnogomernogo tverdogo tela v nekonservativnom pole [New Case of Integrability in the Dynamics of a Multidimensional Solid in a Nonconservative Field]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2013, Vol. 453, no. 1, pp. 46-49. DOI: 10.7868/S0869565213230126 [in Russian].
[12] Shamolin M.V. Novye sluchai integriruemosti sistem s dissipatsiei na kasatel'nykh rassloeniiakh k dvumernoi i trekhmernoi sferam [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on Tangent Bundles of Two- and Three-Dimensional Spheres]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2016, Vol. 471, no. 5, pp. 547-551. DOI: 10.7868/S0869565216350115 [in Russian].
[13] Shamolin M.V. Novye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiei na kasatel'nom rassloenii k mnogomernoi sfere [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on a Tangent Bundle of a Multidimensional Sphere]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2017, Vol. 474, no. 2, pp. 177-181. Available at: http://www.mathnet.ru/links/571bc112f52d6d616bb2966029543696/into208.pdf [in Russian].
[14] Shamolin M.V. Novye sluchai integriruemykh sistem s dissipatsiei na kasatel'nom rassloenii dvumernogo mnogoobraziia [New Cases of Integrable Systems with Dissipation on a Tangent Bundle of a Two-Dimensional Manifold]. Doklady RAN [Doklady Physics], 2017, Vol. 475, no. 5, pp. 519-523. DOI: 10.7868/S0869565217230098 [in Russian].
M.V. Shamolin2
ON A PENDULUM MOTION IN MULTI-DIMENSIONAL SPACE. PART 3. DEPENDENCE OF FORCE FIELDS ON THE TENSOR OF ANGULAR
VELOCITY
In the proposed cycle of work, we study the equations of motion of dynamically symmetric fixed n-dimensional rigid bodies-pendulums located in a nonconservative force fields. The form of these equations is taken from the dynamics of real fixed rigid bodies placed in a homogeneous flow of a medium. In parallel, we study the problem of motion of a free n-dimensional rigid body also located in a similar force fields. Herewith, this free rigid body is influenced by a nonconservative tracing force; under action of this force, either the magnitude of the velocity of some characteristic point of the body remains constant, which means that the system possesses a nonintegrable servo constraint. In this work, we study that case when the force fields linearly depend on the tensor of angular velocity.
Key words: multi-dimensional rigid body, non-conservative force field, dynamical system, case of integrability.
Citation. Shamolin M.V. O dvizhenii maiatnika v mnogomernom prostranstve. Chast' 3. Zavisimost' polia sil ot tenzora uglovoi skorosti [On a pendulum motion in multi-dimensional space. Part 3. Dependence of force fields on the tensor of angular velocity]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchna-ia seriia [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2018, no. 24, no. 2, pp. 33-54. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2018-24-2-33-54 [in Russian].
Статья поступила в редакцию 27/V/2018. The article received 27/V/2018.
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
2Shamolin Maxim Vladimirovich ([email protected], [email protected]), Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, 1, Leninskie Gory, Moscow, 119192, Russian Federation.
