О движении абсолютно жесткого индентора, взаимодействующего с упругопластической средой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский О ДВИЖЕНИИ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОГО ИНДЕНТОРА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДОЙ

Аннотация. Исследовано движение абсолютно твердого индентора, контактирующего с упругопластической средой, под действием возмущающей силы, содержащей ультразвуковую составляющую. Влияние среды на поведение индентора учтено путем введения в уравнение его движения равнодействующих реактивных и диссипативных сил контактного взаимодействия. Доказано существование устойчивых периодических решений рассматриваемой задачи. Обнаружено явление многопикового нелинейного резонанса. Предложено использование полученных результатов для исследования напряженно-деформированного состояния среды на основе расчетной схемы, предполагающей замену реального контактного воздействия индентора на материал среды действием эквивалентной ему виртуальной подчиняющейся определенному закону распределенной нагрузки.

Ключевые слова: абсолютно жесткий индентор, упругопластическая среда, устойчивые периодические решения, многопиковый нелинейный резонанс.

Abstract. The motion of a rigid indenter in contact with elasto-plastic medium is investigated, when harmonic loading with ultrasound frequency is applied to the indenter. Medium response on indenter motion is modeled by including reactive and dissipative forces into indenter motion equation. The existence of stable periodic solutions for analyzed problem is proved. Nonlinear multiple-peak resonance is discovered. The results are suggested to be used as initial data in strain-stress analysis of medium based on substitution of real contact interaction between indenter and medium for equivalent virtual distributed load applied to contact surface.

Keywords: rigid indenter, elasto-plastic medium, stable periodic solutions, nonlinear multiple-peak resonance.

Введение

В настоящее время все большее распространение приобретают технологии поверхностного упрочнения конструктивных элементов машин пластическим деформированием посредством воздействия рабочего инструмента, колеблющегося с ультразвуковой частотой. Исследование механики таких процессов в большинстве случаев сводится к решению контактных задач о взаимодействии обрабатываемой поверхности с жестким индентором [1, 2]. Поскольку такие задачи являются весьма сложными, то их аналитическое решение ввиду непреодолимых математических трудностей не представляется возможным. В силу специфики поведения материала при высокочастотных механических воздействиях при численном исследовании его напряженно-деформированного состояния с применением современных теорий контактного взаимодействия [3] и конечно-элементных программных комплексов типа ABAQUS, ANSYS [4, 5] и подобных им требуются огромные вычислительные мощности, и даже при их наличии результат не всегда достижим. Поэтому возникает необходимость разработки упрощенных инженерных способов исследования, позволяющих с существенно меньшими затратами

определять напряженно-деформированное состояние обрабатываемого объекта и при необходимости оперативно корректировать параметры технологического процесса. В качестве такого способа упрощения при исследовании механики процесса здесь предложена замена реального контактного воздействия индентора на материал, действием эквивалентной ему, виртуальной, распределенной по определенному закону нагрузки.

1. Физико-математическая модель процесса

В связи с тем, что жесткость обрабатываемого материала значительно меньше жесткости рабочей поверхности индентора, последний в исследуемом процессе представлен в виде абсолютно твердого тела массы m . Его движение рассмотрено отдельно от движения упругопластической среды с учетом ее воздействия путем введения в уравнение движения индентора равнодействующих реактивных ^опр и диссипативных сил N контактного взаимодействия.

По условиям закрепления рабочий орган может совершать только поступательные перемещения. Поэтому исследование его движения сведено к изучению движения его центра масс под действием приложенных к нему активных сил, а также вышеупомянутых равнодействующих сил контактного взаимодействия и диссипативных сил (рис. 1). Связь первой из них с перемещением центра масс индентора w задана по результатам анализа аналитического решения контактной задачи о сжатии соприкасающихся тел [6] в виде

где спр =

A4RE

"М)

- приведенный коэффициент жесткости материала среды,

E - его модуль упругости при отсутствии пластических деформаций на поверхности контакта или секущий модуль при их наличии; V - коэффициент Пуассона, R - радиус кривизны сферической рабочей поверхности индентора.

Рис. 1. Схема процесса ультразвукового упрочнения поверхности

3

В предположении, что диссипативные силы пропорциональны скорости перемещения центра масс индентора (N = -bwv), исследование его движения при нулевых начальных условиях сводится к решению следующей нелинейной краевой задачи относительно переменной w, определяющей перемещение его центра масс:

3

mw + bwv + епр w 2 = F (t), (1)

w = 0, w = 0 при t = 0,

где b - приведенный коэффициент рассеяния энергии в обрабатываемой среде; F (t) - равнодействующая активных сил, возбуждающих колебания инденто-

ра с ультразвуковой частотой.

Наличие в левой части уравнения (1) слагаемого, содержащего перемещение центра масс индентора в дробной степени с четным знаменателем, говорит о том, что в силу физического смысла поставленной задачи равнодействующая активных сил в обязательном порядке должна содержать некоторую стационарную (постоянную) составляющую, обеспечивающую необходимый рабочий натяг между рабочим инструментом и обрабатываемой средой.

С учетом указанной выше специфики рассматриваемого физического процесса равнодействующая активных сил задается так:

F(t) = Fo + Fv sinrnt, (2)

где F0 - постоянная составляющая приложенной к индентору нагрузки, обеспечивающая необходимый рабочий натяг между ним и обрабатываемой средой; Fv - амплитуда переменной составляющей, колеблющейся с ультразвуковой круговой частотой ю, причем Fv существенно меньше F).

Анализ результатов решения контактных задач при упругом поведении материала среды [7, 8] позволяет сделать вывод, что впервые пластические деформации возникают не на поверхности контакта, а на некотором расстоянии от нее под центром давления в точках наибольших значений интенсивности напряжений. Учитывая это, в данной работе ограничимся случаем, когда возникающая в среде область пластических деформаций не выходит на поверхность контакта, и соответственно примем приведенный коэффициент жесткости материала среды постоянным.

2. Обоснование существования устойчивых периодических решений

В силу нелинейности рассматриваемой краевой задачи возникает вопрос об однозначности и возможности физической реализации, получаемых в результате ее решения результатов. При наличии диссипации энергии в контактирующем с индентором материале и по виду правой части (2) уравнения движения (1) можно ожидать существование периодических решений, описывающих состояние колебательного равновесия системы [9] в окрестностях некоторого стационарного (статического) положения равновесия. При этом фактическое существование периодического решения должно быть подтверждено исследованием его устойчивости. Для того чтобы выяснить, является

15З

ли периодическое решение устойчивым или не устойчивым, воспользуемся методом фазовой плоскости и теоремой Ляпунова.

При исследовании устойчивости периодических решений прежде всего необходимо убедиться в том, что установившееся состояние индентора при воздействии только статической составляющей *0 силы ^) устойчиво.

С этой целью методом фазовой плоскости было проведено исследование устойчивости поведения нелинейной системы (1) при Еу = 0. В качестве примера на рис. 2 показан фазовый портрет системы, полученный с применением метода Рунге - Кутта четвертого порядка, для следующих значений параметров:

Е = 2,1 • 1011 Па, У = 0,3, т = 0,018 кг, ^ = 19,62 Н ,

Дкр = 0,07 м , ю = 150000 , Ь = 2,7 Н^-. (3)

с м

При задании в (3) приведенного коэффициента диссипации энергии предполагалось, что при движении индентора рассеивание механической энергии происходит за счет механизма внутреннего трения [10], возникающего в контактирующей с ним среде, при условии, что физико-механические свойства ее материала описываются моделью изотропно-кинематического упрочнения.

Щ м/с м/с

Рис. 2. Фазовый портрет системы (а) и участки траектории, изображающей точки вблизи устойчивого фокуса (б)

В качестве координат фазовой плоскости были выбраны перемещение индентора и его производная по времени. В приведенном примере существование устойчивого состояния статического равновесия системы подтвержда-

_7

ется наличием у фазового портрета особой точки м = WQ = 3,87 • 10 т, М = 0 типа «устойчивый фокус» (рис. 2,а), где - некоторое статическое смещение, которое получил бы индентор под действием постоянной составляющей силы *0, а М - скорость его движения. На рис. 2,б показаны участки траектории и направление движения изображающей точки вблизи устойчивого фокуса.

При наличии периодической составляющей возмущающего воздействия Еу с целью последующей оценки устойчивости периодических решений

с использованием теоремы Ляпунова разложим нелинейную функцию 3

/(*) = *2 в ряд Тейлора в окрестностях значения (точки) * = *0:

( к

^ 12 #0

—к

к!

(4)

f(* )=Е П12 -г'

к=0^г=1 4

В соотношении (4) * = * - *0 . Приведенный выше ряд сходится при условии, что его остаточный член

п+1 (П+1 / - \ ^

Кп (*) =

(п +1)!

стремится к нулю при п ^ с

П| 2 -7

(0 +0#)2 п) (0<0<1)

V 7=1

>° [11]. Легко проверить, что

3

п+1

ііш Яп (#)= ііш #2 ііш ПI _7 _ 1 І —

п—

п—п—^-*" "7" V 27 7=1

#0 +011 т"' = о,

если * < *0 и *0 > 0.

С учетом (2) и (4) краевая задача (1) может быть преобразована к виду

--7

\

о

к!

-# = Я, 8ІИ ЮҐ ,

к =1| 7=1 # = ~#0 , # = 0 при ґ = 0.

(5)

Корни характеристического уравнения линеаризованной задачи (первое приближение при к = 1), соответствующей задаче (5), имеют вид

А = Ъ + 7 С1 Ъ2

Л1,2 = -^ + 7\---------------ТТ

2т \т 4т2

(6)

где с1 = ^ спр *0.

Из физических соображений приведенный коэффициент рассеяния энергии в обрабатываемом материале всегда положителен. Поэтому из (6) следует, что при любых отличных от нуля его значениях действительные части корней характеристического уравнения будут отрицательны. Если характеристическое уравнение системы первого приближения имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то в соответствии с теоремой Ляпунова [12] невозмущенное движение системы устойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были нелинейные члены в уравнении движения (5).

1

Отсюда следует, что периодические решения задачи (5) при наложенных ограничениях W < м>о и м>о > 0 асимптотически устойчивы, что подтверждает возможность их фактической реализации. Наложение упомянутых выше ограничений на характер движения индентора имеет простой физический смысл. А именно: невыполнение хотя бы одного из них означает, что в процессе движения индентора будет происходить его отрыв от контактирующей с ним поверхности и, следовательно, его движение будет неустойчивым и сформулированная выше расчетная схема будет неработоспособной. По окончании переходного процесса величина W определяет в установившемся вынужденном колебательном движении отклонение центра масс индентора от положения статического равновесия w = Wo, а ее наибольшее и наименьшее значения - амплитуду вынужденных колебаний.

Существование периодических решений рассматриваемой задачи и устойчивость соответствующих им состояний колебательного равновесия в окрестностях положения w = Wo подтверждается также наличием на фазовой плоскости устойчивых предельных циклов. В качестве примера на рис. 3 показан фазовый портрет нерезонансного состояния колебательного равновесия, построенный с применением метода Рунге - Кутта четвертого порядка при указанных значениях параметров (3), а также:

(7)

На рис. 3,а показан фазовый портрет системы, а на рис. 3,б - соответствующий ему устойчивый предельный цикл в окрестностях особой точки

w = Wo = 3,87 • 10_7 м, W = 0.

Аналитическое решение линеаризованной задачи (при к = 1), соответствующей краевой задаче (1), получено в виде

w

(і) = Wо + азва 8Ш(Рі + ^) +

К,

+ °2

8Ш ( + ф) .

(8)

здесь

3спр wl

пр" 0 2

«1 = —-------------ю , а2 =

2т т

Ъю Г~2 72 I а2

—, аз = \/ А + В , ф = агС^ —-

V а1

Л а

А = — w0 -Р 0

I АЛ Ъ , Р

\ 1, а = -

1 В У 2т

Ру | ю а Л

2 , 2 а1 + а2 V Р а1 н Р а2 )

6спр mw02 - Ъ 2

2т

В = , ¥уа2

В = -wо + —2—

а1 + а2

Сравнительный анализ численных результатов, полученных на базе решения (8), с результатами решения задачи (1) методом Рунге - Кутта четвертого порядка показал, что аналитическое решение в первом приближении

1

удовлетворительно описывает установившееся движение индентора при частотах внешнего воздействия отличных от частоты собственных колебаний линеаризованной системы и частот, при которых возможно возникновение нелинейного резонанса. Так, например, в установившемся движении наибольшие отклонения индентора в одну сторону от положения статического равновесия w = Wo, рассчитанные тем и другим способами при частоте периодической составляющей силы 23885,35 Гц и для значений параметров (7), совпадают с точностью до третьей значащей цифры. При этом сами наибольшие отклонения не превышают 1,5 % от значения Wo .

н> м/с

0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025

012345678

М? « Ю7, М

а)

н» и м/с 1

0.8

0.Б

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

3.82 3.84 3.86 3.88 3.9 3.92 3.94

М? хЮ7^ м

б)

Рис. 3. Фазовый портрет системы (а) и устойчивый предельный цикл, соответствующий состоянию колебательного равновесия в окрестностях особой точки w = wo = 3,87 • Ю_7 м, W = 0 при г > 0,25 с (б)

Однако хорошее совпадение результатов в установившемся движении не означает, что решением в первом приближении можно пользоваться и для изучения неустановившегося движения индентора в переходном процессе.

В качестве иллюстрации данного заключения на рис. 4 показаны графики движения индентора, полученные для указанных выше значений параметров, во время переходного процесса.

0.06 0.06 0.0601 0.0601 0.0602 0.0602 0.0603 0.0604 0.0604 0.0604 0.0605

а)

б)

в)

г)

Рис. 4. Графики движения индентора в переходном процессе, построенные с применением метода Рунге - Кутта (а, б) и на основе аналитического решения в первом приближении (в, г)

На рис. 4,а,в показаны графики движения индентора в промежутке времени 0,6-0,606 • 10-1 с, а на рис. 4,б,г - непосредственно перед окончанием периода установления Туст = 0,11с. Приведенные графики наглядно демонстрируют существенное и качественное, и количественное расхождение результатов расчета в переходном процессе.

Несмотря на хорошее совпадение результатов для заданной выше частоты в обоих случаях в установившемся движении, решением линеаризованной задачи для исследования движения индентора при любых значениях частоты возмущающего воздействия пользоваться также нельзя. К примеру, в случае линеаризованной системы явление резонанса может возникнуть только при совпадении частот собственных и вынужденных колебаний. В то время как в нелинейной системе, как это будет показано ниже, возникновение нелинейного резонанса возможно в диапазоне частот, близких к частоте, кратной частоте собственных колебаний линеаризованной системы.

Существование устойчивых периодических решений при наличии нелинейных резонансных явлений подтверждается результатами исследований поведения системы методом фазовой плоскости. В качестве примера на рис. 5,а показан фазовый портрет устойчивого резонансного состояния колебательного равновесия системы для тех же значений параметров (7) при частоте возмущающего воздействия 20 222,9 Гц, а на рис. 5,б соответствующий ему устойчивый предельный цикл в окрестностях особой точки

w = Wo = 3,87-10_7 м, W = 0.

3. Анализ полученных результатов

Ниже приведены некоторые результаты численных исследований поведения рассматриваемой нелинейной механической системы при наличии внешнего периодического воздействия в диапазоне частот, близких к значению, кратному собственной частоте линеаризованной системы, полученные методом Рунге - Кутта четвертого порядка. На рис. 6-8 представлены зависимости наибольших значений амплитуды вынужденных колебаний инден-тора от частоты переменной составляющей внешней силы в установившемся режиме при различных значениях массы индентора, интенсивности рассеяния энергии в контактирующем с ним материале и амплитуды переменной составляющей внешнего воздействия соответственно.

Полученные результаты говорят о том, что линеаризованное представление рассматриваемой системы в данном случае неприменимо. Здесь имеет место качественно новое явление, принципиально невозможное в линеаризованной системе, а именно наличие многопикового нелинейного резонанса. Примечательно, что при плавном изменении частоты возмущающего воздействия в нелинейной системе происходит скачкообразный переход от нерезонансного состояния к резонансному, в то время как изменение других указанных выше параметров в достаточно широких пределах значительного влияния на поведение системы не оказывает. При этом резонансные кривые зависимостей амплитуды вынужденных колебаний от частоты переменной составляющей возмущающей силы каждого пика имеют ярко выраженную асимметричную форму относительно каждой из резонансных частот. При приближении частоты возмущающего воздействия к диапазону резонансных

частот линеаризованном системы значения перемещения центра масс инден-тора выходят за границы области существования устойчивых периодических решений 0 < ^ < 2м>о . В отличие от линеаризованной системы, фазовые портреты устойчивого поведения нелинейной системы при резонансе и соответствующие им предельные циклы незначительно асимметричны.

ж м/с

а)

Н’ *»»' м

б)

Рис. 5. Фазовый портрет нелинейной системы при резонансе (а) и устойчивый предельный цикл в окрестностях особой точки

т = т = 3,87-10-7 м, ті = 0 при г > 0,25с (б)

Анализ графиков, приведенных на рис. 6, показывает, что при незначительном увеличении массы индентора (от 16 до 20 г) происходит смещение диапазона резонансных частот в сторону их уменьшения. При этом количество резонансных пиков и наибольшие значения амплитуды резонансных колебаний остаются практически неизменными. При дальнейшем увеличении массы количество резонансных пиков уменьшается, амплитудные характеристики становятся негладкими.

Рис. 6. Зависимость амплитудной характеристики от частоты переменной составляющей силы при различных значениях массы индентора

Изменение интенсивности рассеяния энергии в контактирующем с ин-дентором материале (рис. 7) в основном влияет на количество пиков в диапазоне резонансных частот. С увеличением приведенного коэффициента диссипации энергии происходит уменьшение их количества и при значениях этого коэффициента, превышающих 5,76 Нс/м, явление многопикового резонанса в диапазоне частот внешнего периодического воздействия, равных или почти равных кратному собственной частоте колебаний линеаризованной системы, не наблюдается.

Амплитуда переменной составляющей возмущающей силы Еу практически не оказывает влияния на наибольшее значение резонансной амплитуды первого пика при ее изменениях в пределах (0,06 - 0,085) Ед. При превышении верхней границы этого интервала наибольшие значения перемещения индентора выходят за пределы области существования устойчивых периодических решений. Уменьшение составляющей Еу до значений, меньших нижнего предела указанного выше интервала (рис. 8), приводит к сужению границ диапазона резонансных частот отдельных пиков и резкому уменьшению их количества, а при Еу < 0,04 Е0 и тех же самых значениях других параметров системы многопикового резонанса в исследуемом частотном диапазоне не наблюдается. Это говорит о том, что для каждого конкретного набора параметров системы существует некоторое пороговое значение интенсивности периодической составляющей возмущающего воздействия, превышение которого необходимо для возбуждения нелинейных резонансных явлений.

Заключение

Полученные в данной работе результаты необходимы для определения интенсивности эквивалентной распределенной нагрузки д (г, t) и размера области ее приложения (зоны контакта) а () [7]:

д(r,t)= АЕ 2\лНОа/1 -т^; а, (9)

ЯII -V ) V к

являющихся основой для дальнейшего исследования напряженно-деформированного состояния контактирующей с индентором упругопластической среды.

хю1 м

2.5

1.5

0.5

0

126 126.5 127 127.5 128 128.5 129 129.5 130 130.5 131

йхЮ3, рад/с

а)

те хю7. ы

2.5

1.5

0.5

О

126 126.5 127 127.5 128 128.5 129 129.5 130 130.5 131

о) х103, рад/с

2.5

1.5

0.5

О

126 126.5 127 127.5 128 128.5 12Э 129.5 130 130.5 131

сохІО3, рад/с

в)

Рис. 7. Зависимость амплитудной характеристики от частоты переменной составляющей силы при различных значениях приведенного коэффициента рассеяния энергии

б)

хЮ?. м

6 = 5,4

W хЮ7, М

а)

W хЮ7. м

б)

w хЮ7. м

З,----------1---------1----------1---------1----------г-

n 17 П C\A77 -

: У — 1/jUni Q

1

с) хЮ3. paVc

в)

Рис. S. Зависимость амплитудной характеристики от частоты переменной составляющей силы при различных значениях амплитуды переменной составляющей силы

Список литературы

1. Овчинникова, Н. В. Модельная задача для исследования процессов поверхностного упрочнения пластическим деформированием c применением ультразвуковых воздействий I Н. В. Овчинникова, Д. Г. Павлов, Ю. В. Чеботаревский II Вестник СГТУ. - 2007. - № 4 (2S). - Вып. 1. - С. 14-1S.

2. Абрамов, В. О. Мощный ультразвук в металлургии и машиностроении I В. О. Абрамов, О. В. Абрамов, В. В. Артемьев [и др.]. - М. : Янус-К, 2006. - 6SS с.

3. Belytschko, T. Nonlinear finite elements for continua and structures I T. Be-lytschko, W. K. Liu, B. Moran. - Chichester : John Wiley & Sons Ltd, 2000.

4. ABAQUS Analysis User’s Manual Version 6.4. - Hibbitt: Karlsson & Sorensen, Inc. USA. - 2002.

5. Басов, К. А. ANSYS : справочник пользователя / К. А. Басов. - М. : ДМК Пресс, 2005. - 640 с.

6. Динник, А. Н. Избранные труды / А. Н. Динник. - Киев : Изд-во Академии наук Украинской ССР, 1952. - Т. I. - 152 с.

7. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н. И. Безухов. - М. : Высшая школа, 1968. - 512 с.

8. Овчинникова, Н. В. О некоторых особенностях применения метода конечных элементов к решению контактной задачи на базе программного комплекса ABAQUS / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Известия Саратовского университета. - 2009. - Т. 9. - Вып. 2. - С. 82-88. - (Новая серия. Математика. Механика. Информатика).

9. Хаяси, Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. - М. : Мир, 1968. - 432 с.

10. Пановко, Я. Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем / Я. Г. Па-новко. - М. : Государственное изд-во физ-мат. лит-ры, 1960. - 196 с.

11. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Наука, 1971. - 1108 с.

12. Красовский, А. А. Основы автоматики и технической кибернетики / А. А. Красовский, Г. С. Поспелов. - М. ; Л. : Государственное энергетическое изд-во, 1962. - 600 с.

Овчинникова Наталья Владимировна

ассистент, кафедра теоретической механики, Саратовский государственный технический университет

E-mail: alanita @inbox.ru

Чеботаревский Юрий Викторович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, Саратовский государственный технический университет

E-mail: uvich @sstu.ru

Ovchinnikova Natalya Vladimirovna Assistant, sub-department of theoretical mechanics, Saratov State Technical University

Chebotarevsky Yuriy Viktorovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of theoretical mechanics, Saratov State Technical University

УДК 539.3 Овчинникова, Н. В.

О движении абсолютно жесткого индентора, взаимодействующего с упругопластической средой / Н. В. Овчинникова, Ю. В. Чеботаревский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. - № 3 (15). - С. 151-164.