CC BY
15
УДК 533.9
О ДРЕЙФЕ ИОНОВ В ХОЛОДНОМ ГАЗЕ
С. А. Майоров1'2
Рассмотрена задача о дрейфе ионов в таком сильном электрическом поле, что дрейфовая скорость ионов значительно превышает тепловую скорость атомов. Для случая, когда масса ионов совпадает с массой частиц газа, рассеяние изотропно в системе центра инерции и сечение рассеяния ионов не зависит от скорости столкновения (модель жестких сфер). Методом Монте-Карло рассчитана функция распределения ионов по скоростям, определены ее характеристики и коэффициенты диффузии. Проведено сравнение с известными численными и аналитическими решениями. Получено, что средние характеристики (скорость дрейфа, продольная и поперечная температуры) очень хорошо совпадают со значениями, полученными из интегральных соотношений для двухтемпературного распределения Максвелла, но само распределение ионов по скоростям значительно отличается от сдвинутого двухтемпературного максвеллов-ского распределения.
Ключевые слова: газовый разряд, подвижность ионов, Монте-Карло, ион-атомные столкновения, скорость дрейфа, газоразрядная плазма, резонансная передача заряда, функция распределения ионов.
Характеристики ионного потока могут быть определены путем решения кинетического уравнения Больцмана для функции распределения ионов f (у):
(1)
где е - заряд, т - масса ионов, ) - интеграл столкновений.
Рассмотрим задачу о дрейфе ионов в сильном электрическом поле, так что дрейфовая скорость ионов значительно превышает тепловую скорость атомов: Ш ^
1 ИОФ РАН, 119991 Россия, Москва, ул. Вавилова, 38; e-mail: [email protected].
2
2 Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Россия, Москва, ул. Ижорская, 13.
(Т^от/т)1/2. Ограничимся случаем, когда масса ионов совпадает с массой частиц газа, рассеяние изотропно в системе центра инерции, и сечение рассеяния ионов не зависит от скорости столкновения (модель жестких сфер).
В известном решении этой задачи [1] функция распределения ионов по скоростям задавалась в виде сдвинутого двухтемпературного распределения Максвелла:
. / ш \3/2 ( т(и — Ш)2 ш(ь2 + -2)\ . .
Л^ити ехЧ—^^— • (2)
где Т = (ТуТ^)1/3, а Ту и Т± - температуры в направлении поля и поперек него, соответственно. Параметры, входящие в выражение для функции распределения ионов (2), найдены из интегральных соотношений для средних характеристик иона [1] и равны:
Ш = 1.07(еЕА/ш)1/2, Ту = 0.555еЕА, Т± = 0.294еЕА, (3)
где А = 1/ап - длина свободного пробега, здесь а - сечение ион-атомных столкновений, п - числовая плотность атомов.
Таблица 1 Безразмерные значения скорости дрейфа, средней энергии, температур и коэффициентов диффузии в направлениях вдоль и поперек поля
Ш/их (е)/ех Т| /ех Т±/ех О||/Ох О±/Вх
[1], прибл. реш. 1.07 0.555 0.294
[1], точное реш. 1.14 1.170 0.454 0.293
МоП;е Саг1о 1.1467 1.1723 0.4431 0.2933 0.324 0.477
В табл. 1 приведены результаты расчетов методом Монте-Карло значений скорости дрейфа, продольной и поперечной температур, средней энергии ионов и коэффициентов диффузии в продольном и поперечном направлениях. Выберем величины и\ = (еЕА/т)1/2 и ех = еЕА в качестве характерного значения скорости и характерной энергии, соответственно. В качестве характерного значения коэффициента диффузии выберем величину Ох = А(еЕА/ш)1/2, тогда коэффициент диффузии для жестких сфер в первом приближении Чепмена-Энскога в безразмерном виде равен Ос-е/Ох = Эу^/Б ~ 0.66466. Численные коэффициенты в (3) являются значениями безразмерной скорости дрейфа, продольной и поперечной температур и они приведены в первой строке табл. 1. Точное решение задачи согласно [1] дает следующие значения:
Ш/их = 1.14, Ту/ех = 0.454, Т±/ех = 0.293, (4)
и они приведены во второй строке табл. 1. Различие в значениях характеристик дрейфа (3), найденных из интегральных соотношений для средних характеристик дрейфа иона, и точным решением согласно [1] характеризует точность использованного метода.
Моделирование методом Монте-Карло является прямым методом решения задачи, в котором не используется предположение о функциональном виде функции распределения. Соответственно, оно позволяет получить решение рассматриваемой задачи с любой точностью. Средние характеристики дрейфа иона, полученные в результате такого моделирования, приведены в третьей строке табл. 1.
Анализ полученных методом Монте-Карло результатов моделирования данных показывает (см. строки 2 и 3 табл. 1), что средние характеристики дрейфа ионов в холодном газе очень хорошо совпадают с результатами точного решения задачи в рамках модели двухтемпературного сдвинутого распределения Максвелла.
Рис. 1: Функция распределения ионов по продольной скорости в линейной и в логарифмической шкале. Сплошные кривые - распределения Максвелла (2) при значениях параметров распределения (4), кружочки - расчет Монте-Карло.
Однако представляет интерес сравнение рассчитанных распределений ионов по скоростям с распределением Максвелла. На рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов функций распределения ионов по продольной и поперечной скоростям. Сплошные кривые - распределения Максвелла (2) при значениях параметров распределения (4). Для демонстрации различий в теле функции распределения (область тепловых энергий) и в хвостах приведены значения функций распределения как в линейной, так и в логарифмической шкале.
Рис. 2: Функция распределения ионов по поперечной скорости в линейной и в логарифмической шкале. Сплошные кривые - распределения Максвелла (2) при значениях параметров распределения (4), кружочки - расчет Монте-Карло.
Оказывается, что, несмотря на очень хорошее совпадение средних характеристик, функции распределения в области тепловых энергий различаются очень сильно, а в хвостах имеют разные асимптотики. Обсуждение причин этого явления не входит в задачу настоящего краткого сообщения, сошлемся лишь на работы [3-15], где затрагиваются различные аспекты задачи о распределении ионов по скоростям в газовых разрядах. Неожиданный и удивительный результат.
Таблица 2 Результаты расчетов характеристик потока ионов 4 а.е.м. при дрейфе в газе атомов той же массы, с температурой 293 К, плотностью па = 1016 см-3 и значении приведенной напряженности электрического поля Е/Ы =1 Тй. Приведены значения средней энергии ионов, скорости дрейфа, коэффициенты диффузии вдоль и поперек поля, продольной и поперечной температур
(е), meV W, m/s Dl, cm2/s Dt, cm2/s Ti, к T±, к
[2] 42.71 336.8 8.84 8.94 322.0 307.4
Monte Carlo 42.68 336.6 8.63 8.77 321.5 307.5
В работе [2] получено решение кинетического уравнения Больцмана для ионов и атомов с массой 4 а.е.м. при плотности атомов па = 1016 см-3, температуре 293 К и значении приведенной напряженности электрического поля Е/Ы =1 Тё. В табл. 2 приведены средние характеристики дрейфа ионов [2], а для сравнения также и результаты
расчета, полученные в настоящей работе методом моделирования Монте-Карло. Коэффициент диффузии для жестких сфер в первом приближении Чепмена-Энскога для этого случая равен Ос-е ~ 8.645 см2/с.
Как и в предыдущей задаче, имеется очень хорошее совпадение средних характеристик (см. строки 2 и 3 табл. 2), несколько большие погрешности в определении коэффициентов диффузии обусловлены некоторыми особенностями, рассмотрение которых не является целью настоящего краткого сообщения, а будет рассмотрено в отдельной работе.
Итак, рассмотрим средние энергетические характеристики дрейфа ионов. Наверное, наиболее важной характеристикой ионного потока является средняя кинетическая энергия ионов, которая связана с эффективной температурой ионов соотношением
1 3
Ф = 2 т^2> = 2 ТеП. (5)
Именно эффективная температура ионов должна учитываться при определении макроскопических характеристик плазмы, например, радиуса Дебая.
Если средняя энергия хаотического движения ионов вдоль поля и поперек него сильно отличаются, и функция ионов по скоростям задается в виде сдвинутого двухтемпе-ратурного распределения Максвелла (2), то в этом случае средняя энергия иона равна:
1 3 1 1
(е> = 1 шШ2 + - Т = 1 шШ2 + 1Ту + Т±. (6)
Соответственно, тепловой разброс скоростей ионов характеризуется температурой 1 2
Ц = -Ту +— Т± и тепловой скоростью ионов Ут = (Т^/ш)1/2. В этом случае средняя энергия иона складывается из энергии направленного движения и тепловой энергии.
В заключение настоящего сообщения сделаем следующие выводы:
1) Средние характеристики дрейфа ионов весьма хорошо (лучше 1%) могут быть определены на основе гидродинамической модели с различающимися в направлениях вдоль и поперек поля температурами;
2) Функции распределения ионов по скоростям при этом весьма сильно отличаются от распределения Гаусса (Максвелла) не только в области тепловых энергий, но и в хвостах, где асимптотики отличаются от нормального распределения;
3) Число Маха, определяемое отношением скорости дрейфа к тепловой скорости, имеет значение порядка единицы (М = Ш/Ут ~ 1.96), поэтому даже в криогенных разрядах поток ионов не может быть сильно сверхзвуковым из-за того, что, помимо
учтенного в модели взаимодействия жестких сфер, будут присутствовать также поляризационное взаимодействие и резонансная передача заряда (рассеяние назад);
4) Энергетический коэффициент Таунсенда, определяемый отношением коэффициентов диффузии и подвижности, сильно отличается как от поперечной температуры, так и от продольной и эффективной, определяемой по средней энергии ионов.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б. М. Смирнов, Физика слабоионизованного газа в задачах с решениями (М., Наука, 1988).
[2] R. D. White, R. E. Robson, and K. F. Ness, Com. Phys. Comm. 142, 349 (2001).
[3] S. N. Antipov, E. I. Asinovskii, A. V. Kirillin, et al., J. Exp. Theor. Phys. 106, 830 (2008).
[4] С. A. Майоров, Физика плазмы 35(9), 869 (2009).
[5] Р. И. Голятина, С. A. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН 42(10), 21 (2015).
[6] S. A. Khrapak, J. Plasma Physics 79, Part 6, 1123 (2013).
[7] E. A. Mason and E. W. McDaniel, Transport Properties of Ions in Gases (New York, Wiley, 1988).
[8] J. V. Jovanovi, S. B. Vrhovac, and Z. L. Petrovic, Eur. Phys. J. D 21, 335 (2002).
[9] M. Lampe, T. B. Rocker, G. Joyce, et al., Phys. Plasmas 19, 113703 (2012).
[10] D. Else, R. Kompaneets, and S. V. Vladimirov, Phys. Plasmas 16, 062106 (2009).
[11] Z. Ristivojevic and Z. Petrovic, Plasma Sources Sci. Technol. 21, 035001 (2012).
[12] H. Wang, V. S. Sukhomlinov, I. D. Kaganovich, and A. S. Mustafaev, Plasma Sources Sci. Technol. 26, 024001 (2017).
[13] Р. И. Голятина, С. A. Майоров, Краткие сообщения по физике ФИАН 39(7), 30 (2012).
[14] R. I. Golyatina and S. A. Maiorov, Plasma Phys. Rep. 43(1), 75 (2017).
[15] С. А. Майоров, Р. И. Голятина, С. К. Коданова, Т. С. Рамазанов, Успехи прикладной физики 3(5), 447 (2015).
[16] S. A. Maiorov, S. K. Kodanova, R. I. Golyatina, and T. S. Ramazanov, Physics of Plasmas 24, 063502 (2017); doi: 10.1063/1.4984784.
Поступила в редакцию 18 сентября 2019 г.
После доработки 27 сентября 2018 г.
Принята к публикации 3 декабря 2018 г.
