О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара Текст научной статьи по специальности «Математика»

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

145

-Р'{у +1)S'R (а,р,р' + 1, S; у +1,S';х,y) = 0;

18. yR {а,р,р 1111, у) -(г- а) R {а,р,р' ,S;y + 1,S; х, у) -

-aRi (а + 1,р,р,S;y + 1,S;х,у) = 0.

Литература

1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.:

Физматгиз, 1963. - 1100 с.

О ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ ВОЗМУЩЁННОЙ ЗАДАЧИ БАРРАРА

Севрюков Павел Фёдорович

кандидат физ.-мат. наук, доцент, Ставропольский государственный педагогический институт, г. Ставрополь, кафедра математики и информатики.

Ключевые слова: планета, гравитационный потенциал, спутник, задача Баррара, первый интеграл задачи.

Key words: planet, gravitational potential, satellite, problem of Barrar, the first integral of the problem.

Аннотация: Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.

Annotation: The problem of additional analytical first integrals of one known problem ofperturbed motion of the satellite in the field defined Barrar’s gravitational potential. The absence of additional (non-famous) first integrals of the problem is a fact.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

U = ^

Г

[ 1 + Z”= 1

ГМГ

(1)

где f - гравитационная постоянная, т - масса планеты, r - модуль радиус-вектора, In - постоянный параметр, Рп - полином Лежандра n - го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда 11=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, /2=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

fm fm .

u = — + —sln<P’ (2)

z

где sin^= —. Оставшиеся члены

r

гравитационного потенциала

пертурбационную функцию

V = ^=3 zkPnisinp),

составят

(3)

U=W+R. (4)

Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные «действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры.

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0 [3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l,

g, h будут иметь вид

dL dH* dG dH* dH dH*

dt dl , dt dg , dt = dh ’

dl _ dH* dg _ dH* dh _ -aH*. (5)

dt dL dt dG dt dH v ‘

причём

H* = H о + R. (6)

Ясно, что в формуле (6)

H = H0(L, G, H ) - невозмущённый

гамильтониан задачи Баррара, R - пертурбационная функция(3), которая с учётом соотношений

sin^=sini-cos6>, (7)

1

r=p------------- (8)

1 + e cos v

может быть представлена в форме

R = fm Z”=^n+r (;) Pn Oini cose), (9)

В приведённых формулах р=а(1-е2), 0=v+rn; а-большая полуось, е - эксцентриситет, i - наклон орбиты, v - истинная аномалия, т - аргумент перицентра.

Введём функции наклона и эксцентриситета для задачи Баррара [4]:

= ^/02>п (sin i cose) cos rede, (10)

146

Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 9 (18), 2015 I ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

^

1 г cos kv 2nJ$ (1+ecosv)

dv,

(11)

тогда пертурбационная функция запишется в

виде

(13)

через

R = /™£п=з (J-l(jv +

ум (12)

Функции эксцентриситета связаны с коэффициентами Ганзена с нулевым верхним индексом соотношением

Х(°) = (1 - e2)v+3M"

Функции наклона выразятся присоединённые функции Лежандра:

Ln) = (n , g)! Pn ) (0)P() (cos i> (14)

(п + g)!

Выбрав в качестве малого параметра величину ju=cF0 1 Ч10-6, где r0 - средний радиус планеты, представим пертурбационную функцию рядом

R = ^Vh*.

i>1

в работе [3], выразим элементы орбиты а, е, i через переменные действия L, G, H. Для угловых переменных с точностью до в2 v=l, m=g. Здесь _ С

e — —. Таким образом, каждая функция H* может

Р

быть выражена через переменные L, G, H, l, g и является периодической по угловым переменным l и g с периодом 2п:

H* = (l, G,H)exp (V-1 (jl + уд)).

(16)

В соответствии с [3] невозмущённый гамильтониан задачи имеет вид

H«(LGH) = i(^2(i + + ■■■) а?)

Нетрудно заметить, что угловая переменная h является циклической, поэтому уравнения Гамильтона (5) допускают первый интеграл

H —Л—const, (18)

что даёт возможность понизить порядок первоначальной системы уравнений и получить приведённую систему

dL OH* dG OH*

dt

Ol ' dt Од '

dl OH* dg

dt OL * dt

с гамильтонианом

H* = H0 (L, G) + £i> pi H* (L, G, l, g)

OH* OG ,

(19)

(20)

В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре [5] доказана теорема, которая в нашем случае может быть сформулирована следующим образом:

пусть движение спутника описывается приведённой системой (19), причём гамильтониан имеет вид (20). Тогда, если

- функция H0 не зависит от угловых переменных l и g,

- гессиан функции H0 по переменным L и G не равен тождественно нулю,

- функции Hi являются периодическими

функциями от l и g с периодом 2п,

то приведённая система уравнений не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла

энергии H —const при достаточной малости параметра ц.

Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R показывает, что всё это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система уравнений (19) не может иметь никаких аналитических однозначных интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии и циклического интеграла (18).

Библиографический список.

1. Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.

2. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.

3. Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.

4. Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: - Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.

5. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.