О дискретном подходе к моделированию парных эстафет Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

The questions of variational optical flow (OF) method based on functional minimization are considered. OF optimization for suitable hardware FPGA implementation for real time execution is proposed.

Key words: optical flow, variational method.

Belyakov Pavel Viktorovich, postgraduate, pvbelarambler.ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University,

Larkin Evgeniy Vasil'evich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, evlarkin@,mail. ru , Russia, Tula, Tula State University,

Nikiforov Michail Borisovich, candidate of technical sciences, docent, nikifo-rov. m. b@evm. rsreu. ru, Russia, Ryazan, Ryazan State Radio Engineering University

УДК 519.837

О ДИСКРЕТНОМ ПОДХОДЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПАРНЫХ ЭСТАФЕТ

Е.В. Ларкин, А.Н. Привалов

Показано, что существующий подход к моделированию эстафет малопригоден к реализации на ЭВМ, поскольку рекурсивная процедура расчета суммы штрафа включают операции вычисления корреляционных интегралов и интеграла определения вероятностей по взвешенной плотности распределения времени пребывания в соответствующих функциональных состояниях. Предлагается преобразование исходной модели в дискретную с определением параметров эстафеты с жестким расписанием по альтернативным маршрутам. Разработан метод дискретизации плотности распределения и алгоритм расчета суммы штрафа по дискретной модели. Полученные результаты подтверждаются контрольным примером.

Ключевые слова: эстафета, полумарковский процесс, плотность распределения, дискретизация, жесткое расписание, альтернативный маршрут.

1. Введение. Эстафеты, как корпоративно-конкурентные игры, объективно существуют в различных областях человеческой деятельности: экономике, обороне, спорте, политике и т.п. [1, 2, 3, 4]. Корпоративный аспект эстафет выражается в том, что в соревновании участвуют команды, каждая из которых состоит из множества участников, объединенных общей целью, пройти дистанцию с возможно меньшими штрафными санкциями. Конкурентный аспект заключается в следующем [5, 6, 7]: эстафета развивается в реальном физическом времени; дистанция каждой команды разбивается на этапы, по одному на каждого участника команды;

время прохождения этапов участниками случайно и определено индивидуально для каждого из участника каждой команды с точностью до плотности распределения;

после завершения очередного этапа следующий участник команды начинает проходить свой этап без задержек по времени;

номера этапов, которые в текущий момент времени проходят команды, формируют функциональное состояние эстафеты;

выигрыш или проигрыш на этапе понимается как достижение конца этапа на первом или не на первом месте;

команды, проигравшие этап, платят команде-победительнице штрафы, суммы которых определяется по функциональному состоянию эстафеты и времени, в течение которого текущее функциональное состояние сохраняется, в соответствии с дисциплиной штрафования;

дисциплина штрафования определяется для каждой пары команд, участвующих в эстафете, индивидуально, как изменение тарифа платежа от времени.

Ниже рассматриваются исключительно парные игры, в которых участвуют команды А и В, поскольку эстафеты подобного типа являются составляющими эстафет любого уровня арности.

Аналитическая модель парной эстафеты, построенная на базе теории полумарковских процессов, малопригодна для компьютерной калькуляции суммы штрафа, вследствие высокой вычислительной сложности рекурсивной процедуры [6] расчетов. Поэтому задача построения дискретной модели, ориентированной на программную реализацию метода, является актуальной и к настоящему времени нерешенной задачей.

2. Полумарковская модель парной эстафеты. Структура модели парной эстафеты приведена на рис. 1 [8, 9]. В эстафете участвуют две команды, обозначенные на структурной схеме как «Team А» и «Team В». Дистанции, которые проходят команды, разделены на J этапов каждая (Stage 1, ..., Stage j, ..., Stage J). Вместе структуры формируют 2-параллельный полумарковский процесс [10, 11, 12]

m = {A m,В m}, (1)

где А m - полумарковский процесс, описывающий эволюцию эстафеты ков

манды «Team A»; B m - полумарковский процесс, описывающий эволюцию эстафеты команды «Team В».

А В

Полумарковские процессы m и m обозначены на рис. 1 двойными линиями со стрелками и имеют вид:

Am = {A, Ah(t)}; Вm = B, Bh(t)}, (2)

где А и В множества структурных состояний, которые являются абстрактными аналогами пунктов передачи эстафеты, расположенных между этапами; Ah(t) и В h(t) - полумарковские матрицы размером (J + 1)x(j +1);

A = \ао{лу aj (a), aj (a)}; B = \ьо(в), bj (b ), bj (b )}; Ah(t):

A

hj( A)J (A)(t ) =

B

hj(B )J (B )(t ) =

Ahj(A),I(A)(t)J; Bh(t)= [Bhj(B)J(B)(<)

fj{A)+l(t), when 1 (A) = j(A) +1, 0 £ j(A) £ J(A)-1; 0 in all other cases;

fj(B)+l(t), when I(B) = j(B) +1, 0 £ j(B) £ J(B)-1; 0 in all other cases;

(3)

(4)

(5)

fj{A)(t),fj(B)(t) 1 £j(A),j(B)£J - непрерывные плотности распределе-

;бывания по ных состояниях aj (л), bj (в) соответственно.

л в

ния времени пребывания полумарковских процессов m, m в структур

Team A

Stage 1

Stage j

Stage J

Рис. 1. Структура 2-параллельного полумарковского процесса, описывающего парную эстафету

Декартово произведение множеств (3) дает множество функциональных состояний 2-параллельного полумарковского процесса:

АX В = |Ца),Ъо(в)\..., [а](А),Ъ^В(А),ЪJ[в)\1 (6)

где \а§(^А),Ъо(в)\ - стартовое функциональное состояние; [aJ(а),ЪJ(в)\ -поглощающее функциональное состояние (J (А) = J (В ) = J); [а^^ (а) , Ъj (в )\ -

текущее функциональное состояние (в общем случае ]'(А)ф j(B));.

Как показано в [6, 8, 9], блуждание по функциональным состояниям (6) имеет характер эволюции, в которой индексы структурных состояний, образующих текущее функциональное состояние, могут только инкремен-

30

тироваться. Инкрементирование индексов является следствием соревнования структурных состояний за переключение первыми в следующее состояние. Для определения параметров состояний при эволюции используются следующие зависимости [5, 6, 7, 13]:

формулы, которые определяют взвешенные плотности распределения времени пребывания победителей в структурных состояниях а](А), Ь](в), соответственно, если оба участника попадают в указанные состояния одновременно,

УАк) = /](А)(*)[1 -Р(в)(')], УВЬ) = fj(в)(')[1 -Р]{А)(г)] , (7)

г

где Р. ^) = | / (б)^б - функция распределения; 6 - вспомогательный ар-0

гумент;

формулы, которые определяют вероятности победы в соревновании частников,

¥ ¥

р А = 1 ]А)(* )[1 - р (В )(' №; = I fj (в )(' )[1 - р {А)Ь т; (8) 00 формулы, которые определяют плотности распределения времени пребывания победителей в структурных состояниях а](а), Ь](в) соответственно, если оба участника попадают в указанные состояния одновременно,

УА (< )=УА?); УА (0=^; (9)

РА р В

формулы, которые определяют время ожидания победителем, пока

побежденный переключится в следующее состояние,

¥

Ф) I fj{ А)(6)-^ (В )(' + 6)^6

ф А® В ^) =-0¥-;

| Рд а)(Г )ар/(в )(г) 0

) i fj (B )(e)- fj (+ ' Фв®Л (t ) = - , (10)

i Fj(B )(t )dFj (^)(t)

где h(t) - единичная функция Хевисайда;

) = | 0, when, £ 0; I 1, otherwise.

DO

0

Анализ соревнований на непрерывных плотностях распределения дает следующие результаты:

1) если плотности распределения fj (A)(t), fj (в )(t) 1 £ j(A), j(B) £ J

представляют собой непрерывные функции, то в соревновании (7) возможны лишь ситуации, когда выигрывает одна из команд, вероятность ничейного исхода представляется бесконечно малой величиной;

2) если непрерывные плотности распределения fj (A)(t), fj (в )(t)

1 £ j(A), j(B) £ J имеют область определения

0 £ arg[fj(A)(t)]< ¥; 0 £ arg[fj(B)(t)]<¥, (11)

то плотности распределения yW (t); yв (t); ja®B (t); jB®A (t) также имеют область определения

0 £ arg[yw(t)]<¥; 0 £ arg[yв(t)]<¥; 0 £ arg[jA®B(t)]<¥;

0 £ arg[jB®A (t)]<¥; (12)

3) в двойке при эволюции эстафеты после очередного переключения инкрементируется индекс только одного из элементов, другой индекс остается неизменяемым;

4) общее количество возможных вариантов эволюции эстафеты определяется зависимостью

J =(2J)! (J !)2

которая отражает Беллмановское «проклятие размерности» [14];

5) расчет суммы штрафа возможен только с применением рекурсивной процедуры, при этом на каждом этапе рекурсии должны формироваться аналитические зависимости (10) для их подстановки в (7), что представляет собой известную алгоритмическую сложность.

Поэтому соревнование на непрерывных плотностях распределения при практическом использовании метода должно быть заменено более простой моделью.

3. Дискретная модель. Представим одну из плотностей распределения времени, например, плотность fj (A)(t) как гистограмму [15, 16, 17].

Для этой цели разделим область определения 0 £t j (A) min £ ™g\fj (A)(t )]£t j (A) max £¥, где t j (A)min и t j (A)max - это нижняя и верхняя границы области определения, соответственно, на K(A j) интервалов 0 £ t <t1(A,j), ..., tk (A, j )-1 £ t < t k (A, j), ..., tк(A j)-1 £ t < ¥, как это показано на рис. 2.

32

J =77ä • (13)

В первом случае, если нижняя и верхняя границы четко определены, т.е. ху£ (а)^)]<ху(А)тах, то величины интервалов целесообразно делать одинаковыми:

Л = ху(А)тах -ху(А)т1п (14)

К (А, у) ' ^ }

где К (А, у) - количество разрядов гистограммы.

Во втором случае, если нижняя или верхняя граница для

(А)()

п 10 г dVfj (•A)(t)

v = 0,1,2,... имеет вид lim

dtv

= 0, или lim-

= 0,

t ® ¥

t ® 0 Жу

т.е. плотность распределения на границе асимптотически приближается к нулю, то интервалы, начиная с Х1(а у), и оканчивая хк (А у )-1, могут быть

определены одинаковыми:

А 2 =... = А * (а, у) =... = Л * (а,у )-1 = Л =Х1( АК | ^')-1 . (15)

где К (А, у) - количество разрядов гистограммы.

Интервалы первый и К (А, у) -й в этом случае могут отличаться от остальных и определяться как

Л1 =Х1(А, у)- 0; Л К (А, у )=¥-хК (А, у )-1. (16)

Подобное назначение интервалов необходимо для сокращения количества разрядов гистограммы, от которого зависит вычислительная сложность метода оценки штрафов при дискретных законах распределения времени прохождения этапов дистанции участниками команд А и В. При этом ширина разрядов гистограммы считается одинаковой и равной Л для всех разрядов гистограммы.

/ P T1(A,j) T2(A,j) Tk(A,j) TK(A,j)

I / \ \

( Ph (A,j)

P2( A,j) \ \

/ / \ f j(A)(t)

■

Pl(A,j) 1 t D V \ pK(A,j)

\ 4

/

Х0(А,у) х1(Ау) ■■■ х*(А,у)-1 хк(В,у) ■■■ ХК(Ау)-1 хК(А,у)

Рис. 2. Дискретизация плотности распределения времени

33

Величины разрядов гистограммы определяются следующим образом:

p ( Fj(A)(tr)-FJ(A)(tl) (17)

Pk (a, j)--D-, (17)

где Fj(A)(tr ) - функция распределения, соответствующая правой границе

интервала, представляемого k(A, j)-м разрядом гистограммы; Fj(A)(t/) -

функция распределения, соответствующая левой границе интервала, представляемого k (A, j) -м разрядом гистограммы;

rtk(A, j)-1, when 2 £ k(A, j )£ K(A, j);

tj(A)min, when k(A, j)-1, case 1;

0, when k(A, j) -1, case 2;

tk (A, j), when 1 £ k (A, j) £ K (A, j) -1;

t j (A) max, when k (A j)- K (A, j), case 1; ¥, when k (A, j)- K (A, j), case 2.

Для вероятностей (17) выполняется условие

K (a, j) Z Pk (a, j)-1.

t/ -

(18)

(19)

k (a, j)-1

(20)

Ошибка аппроксимации может быть определена следующим обра-

зом:

для первого случая

K (A,j) tk (B,j) e- Z \ fj (A)(t)- Pk (a, j)dt;

k (A,j )-1 tk (A, j )-1

(21)

для второго случая

Т0(А,]) к (А,]) Ща,] ) ¥

е= ¡]А)№ + I I fj{A)(t)-Рк(А,]) й + \fj{A)(t)dt, (22)

0 к (А,] )=1Тк ( а, ] )-1 Тк (А, ])

где Тк (В, ] )-1 и Тк (B, ]) - левая и правая границы к (B, ])-го разряда гистограммы соответственно;

7

Ч (A, j )-t0( A, j)+ k (A, j )'A;

jmir^Bjl

(23)

к (В, ]) ■

В дискретной модели каждый разряд гистограммы может быть представлен как взвешенная смещенная плотность распределения вероятностей с вырожденным законом распределения, вес которой определяется по зависимости (17), а смещение определяются выражением

А

Тк (А, ]) = Тк (А, ])-1 + у, 1 £ к (А, ])< К (А, ]). (24)

В целом дискретный закон распределения времени прохождения ]-го этапа дистанции командой А определяется следующим образом:

~ К (А,]) . ,

Т] (А)^Ь I Рк (аА,] )4 - Тк (а,] )), (25)

к (А,] )=1

где - смещенная функция Дирака.

По аналогичной методике может быть получен дискретный закон распределения времени прохождения ]-го этапа дистанции командой В:

~ К (В,]) . ,

Т (в )(*ь I Рк (В,] )4- Тк (В,])). (26)

к(В,] )=1

С заменой fj(А)(?)® (а)(^X fj(B^)® (В)(I)для обоих участников эстафеты (А и В) на всех этапах, 1 < ](А) < J (А), 1 < ](В) < J (В), задача моделирования эстафет с непрерывными плотностями распределения времени прохождения этапов сводится к задаче моделирования эстафет с жесткими расписаниями [18, 19, 20, 21, 22] по альтернативным маршрутам [23, 24].

4. Задача о жестком расписание с альтернативными маршрутами. Принимая во внимание (19) и (20), можно сформировать полумарковскую модель парной эстафеты с альтернативными маршрутами. Структура 2-параллельного полумарковского процесса приведена на рис. 2, причем в эту структуру входят дуги, обозначенные как одинарными, так и двойными стрелками. Полумарковский процесс и его составляющие имеют вид

Т = {А Т, Вт}, (27)

А~ = {А, АЪ(1)}; В~ = {В, ВТ(;)}, (28)

h(t)=[Ahj{A\l(A)(t)J; Bh(t)=[B]),i(b)(t)J, (29)

B]

{hj (A),l (A)(t):

B

hJ (B ),1 (B )(t):

fj(A)+1 (t), when l(A)= j(A) +1, 0 £ j(A)< J(A)-1; 0 in all other cases;

' Jj (B )+l(t), when l (B ) = j (B) +1, 0 < j(B)< J(B)-1; (30)

0 in all other cases,

где fj(а)&), fj(в)(?) 1 < ](А),](В)< J - дискретные законы распределения (25) и (26) соответственно.

Зависимости (7), (8), (9) при жестком расписании принимают вид

УW(t)= М - Tk(A,J)i when Tk(A,j) = minfo(a,j), Tk(B,j)}; A [nonsense,;otherwise;

d(t - Tk(B, J)} when Tk(B, J) = min{Tk(A, J> Tk(B, j

<

nonsense, otherwise;

y В (t )=

(31)

(t) = i1' when TA(B,j) = (A,/), Tk(B,j)}; A [0 otherwise;

(t) = i1'when Tk(В,/) = min{Tk(A,/), Tk(B,j)}; (32)

B [0 otherwise;

y, n (t)=m - Tk(В,/)+Tk(a,J)i when Tk(A,j) < Tk(b,j); A®B [nonsense, otherwise;

У „ , (t) = i5(t" Tk(A>j) + Tk(B,j))> when Tk(B,j) < Tk(A,j); (33) B®A [nonsense, otherwise.

Следует отметить, что при жестком расписании переключений в процессе эволюции появляется возможность фиксации ничейного результата в соревновании в случае, если Tk (a j ) = T (В j).

При этом

У W (t)=y В (t)=5(t - Tk (A, j)) = s(t - Tk (B, j)); (34)

PA (t) = pW (t) = 1; (35)

У A®B (t ) = У B® A (t ) = 5(t). (36)

В соответствии с моделью (27) выбор альтернативного маршрута на каждом этапе производится случайным образом с вероятностями, определенными гистограммами (25) и (26). Выбранные на каждом этапе альтернативные маршруты формируют реализации маршрутов эволюции полумарковских процессов (28). Представим множества альтернативных маршрутов на этапах как неупорядоченные множества индексов

I/(A)={1( A./),..., k ( A.j ),..., K ( A.j )};

I j (B) = {1(B. j),..., k (B.j),..., K (B.j)}, 1 < j( A), j(B ) £ J (A), J (B). (37)

Групповое декартово произведение множеств (37) дает множество альтернативных траекторий эволюции эстафеты:

J (A) г }

П 1 j (A) = SA = {s1(A,S ^ ..., sl (A,SЪ..., sL(A,S )}= j( A)=1

= {[1(A,1),..., 1(A, j), 1(A, J)],..., [k(A,1),..., k(A, j),..., k(A, J)], ..., IK(A,1),..., K(A, j),..., K(A,J)]};

J (B) r }

П Ij(B) = SB = {s1(B,S> ..., sl(B,S>..., sL(B,S)}=

j(B)=1 ^^

= {[1(B,1), ...,1(B, j), 1)B, J)],..., [k(B,1),.(., k(BJ),..., k(B, J)], (38)

..., [K (B,1),..., K (B, jA..., K (B, J)]},

36

где si (a s ) и sl (A S) " альтернативные маршруты, представляющие собой

векторы [k(A,1),...,k(A,j),...,k(A,J)J и [k(B,1),...,k(B,j),...,k(B,J)J; П -знак декартова произведения множеств.

Общее количество альтернативных маршрутов определяется как

L(A, S ) = П^ (A, j); L(B, S ) = П^ (B, J ). (39)

j=1 j=1 Выберем из (38) по одному из векторов, например si (a s ) и si (в s ).

Для расчета суммы штрафа при эволюции парной эстафеты по выбранным маршрутам может быть построена рекурсивная процедура. При этом ниже будет использована естественная модель штрафования, определенная как распределенный платеж о j (a) j (в )(t) команде A от команды B, величина

которого зависит от времени и разности этапов, которые команды походят в текущий момент: .

> 0, when i(A) > j(B); < = 0, when i(A)> j(B); (40)

< 0, when i(A)< j(B),

где 1 < i(A), j(B)< J +1; (J+!)-м считается этап, в котором команды собираются после прохождения дистанции.

Для оценки суммы штрафа с помощью рекурсивной процедуры вводится вспомогательные временные интервалы 0r (A), 0r (B), где r - это число предыдущих переключений в процессе эволюции.

На первом шаге рекурсии функциональное состояние 2-парал-лельного полумарковского процесса имеет вид [1(A), 1(B)], и ни одного переключения в следующее состояние еще не сделано (r = 0). Для запуска рекурсивной процедуры необходимо сделать подстановку 0q (A)^ 71(a)

and 00 (B )^Т1(в). Соревнование временных интервалов 00 (A), 00 (B) дает

следующие результаты:

a) если 00 (A)<00 (B), то в соревновании побеждает команда A, и

©0 =k(A)}= min{00(A), 00(в)}, 00 ^0*0 (A), f = 1;

b) если 00 (A) > 00 (B), то в соревновании побеждает команда B, и

©0 =k(в)}= min{00(A), 00(в)}, 00 ^00 (B), f = 1;

c) если 00 (A) = 00 (B), то соревнование оканчивается вничью, и

©0 = {00(A), 00(в)}= min{00(A), 00(в)}, 00 (A) = 0j(B), f = 2. Величина штрафа определяется по зависимости

0Г

Or (A,B,l)= jS1(A),1(B)(t)dt. (41)

0

Oi( A), j (B )(t)

где r = 0 - количество предыдущих переключений; l - номер выбранной реализации маршрута.

Для реализации следующего шага рекурсии необходимо выполнить следующие подстановки:

заменить индексы в переменных % (A), % (B ), и ог( a) j (в )(t )

r ü 0 + r ; (42)

( a)_{i( A) + lin the case a), c);

^ ' _ ЦA) in the case a);

j(B )_KB\+ 1|bntheCaSeb),C); (43)

JV ' Lj (B) in the case a); v '

0 (A) ^ i^2(A) in the cases a), c);

Г ( |ö0 (A)-0o in the case b);

0r (B )ü f2(B )inthecasesb)'c); (44)

[00 (A) - 0o in the case a).

Таким образом, на следующем шаге рекурсии между собой будут соревноваться интервалы 0r (A) и 0r (B).

Если предположить, что на (r _ v) -м шаге рекурсии функциональное состояние имеет вид [i(A), j(B)], и соревнуются временные интервалы qv (A), .qv (B), то возможны следующие исходы соревнования:

a) если 0v (A) < 0v (B), то побеждает команда A и

0* _ {0* (A)}_ min{0v(A), 0v(B)}, 0* ü 0V (A), ~ _ 1;

b) если 0V (A)>0V (B), то побеждает команда B и

0* _{0V (B )}_ min {v (A), 0v (B )}, 0* ü 0V (B ), r _ 1;

c) если 05(r _i)(^)=05(r-i)(«), то ничья,

0* _ {0V (A), 0V (B)}_ min0 (A), 0v (B)}, r _ 2. Величина штрафа рассчитывается следующим образом

0r

Gr (A,B,l)_ jSi(A),j(B)(t)dt. (45)

0

Для подготовки следующего шага рекурсии выполняются подстановки:

r ü v + ~ ; (46)

0 (A) ^ TA) in the cases a), c); r ( )Ü [0V(A)-0V in the case b);

/ ч [Tj(B) in the cases b), c); 0r (B)ü i j(B\ * (47)

[0V (A) - 0V in the case a).

Если на последнем шаге рекурсии в эстафете остается только команда А, и согласно жесткому расписанию время, оставшееся до заверше-

*

ния 3(А)-го этапа, рассчитанное на предыдущих шагах, равно 0ц, то величина штрафа определяется как

1R

(48)

ак(АВ,I)= }аз(а),з(в)+1('. о

Общая сумма штрафа на данной реализации определяется как

а(А, В, I ) = X а г (А, В, I). (49)

г

Общая цена эстафеты для команды А определяется как сумма штрафов от всех реализаций

ь

а( А, В )= X а( А, В, I). (50)

I=1

4. Пример. В качестве примера рассмотрим случай парной двух-этапной эстафеты, в которой команды завершают этапы в течении времени, определяемом плотностями распределения (рис. 3).

0,2

fw

0,3

f2(A) (b)

0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

f2(B) h (d)

0,3

0,6

0,6 0,9 1 1,1

Рис. 3. Дискретизация плотностей распределения

Команда А:

Команда В:

f1( A)(t )_S(t -1);

f2( A)(t й'333^1™0'85 £t£ 115; 2\A)\' 0 otherwise;

Jt)_{-1 +1,3, when 0,85 £ t £ 1,25; f1(B) ^ _ 0 otherwise;

f, (t) _ {0,2855t - 0,1104, when 0,65 £ t £ 1,25; f1(B) ^ _ 0 otherwise.

1

Результаты дискретизации плотностей распределения имеют вид f1(A)(t) _ 5(t -1); f2(A)(t) _ 0,333 • 5(t - 0,9)+ 0,333 • 5(t -1)+ 0,333 • 5(t -1,1);

f1(B )(t) _ 0,0955 • 5(t - 0,7) + 0,124 • 5(t - 0,8) + 0,1525 • 5(t - 0,9) + + 0,181 • 5(t -1) + 0,2095 • 5(t - 0,1,1) + 0,23 8 • 5(t -1,2);

f2(B)(t) _ 0,4 • d(t - 0,9) + 0,3 • 5(t -1)+ 0,2 • 5(t -1,1)+ 0,1 • 5(t -1,2).

Математические ожидания всех перечисленных плотностей распределения равны единице, поэтому расчет суммы штрафа, произведенный по обычной методике, дает 0 платежных единиц. В том случае, если сумма штрафа пропорциональна времени, в течение которого индексы структурных состояний, формирующих соответствующее функциональное состояние, не совпадают, суммарный штраф, который команда B платит команде A, равен 0,128 платежных единиц, несмотря на равенство математических ожиданий плотностей распределения времени прохождения этапов.

5. Заключение. Таким образом, разработан достаточно простой метод анализа эстафет, основанный на дискретизации плотностей распределения времени прохождения этапов командами. Метод позволяет управлять вычислительной сложностью алгоритма расчета штрафа, который команда-победительница получает от проигравшей команды, за счет изменения количества отсчетов, а дискретных представлениях плотностей распределения. Простой алгоритм расчета суммарного штрафа позволяет разработать стратегию проведения эстафеты одной из команд с применением теории игр [25] за счет управления временными интервалами прохождения этапов дистанции.

Исследование проводилось в рамках государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации (№ 2.3121.2017/ ПЧ).

Список литературы

1. Valk R. Concurrency in Communicating Object Petri Nets // Concurrent. object-oriented Program. Petri nets, 2001. P. 164 - 195.

2. Chatterjee K., Jurdzinski M., Henzinger T. Simple stochastic parity games // Lect. Notes Comput. Sci. 2003. Vol. 2803. P. 100 - 113.

3. Eisentraut C., Hermanns H., Zhang L. Concurrency and Composition in a Stochastic World // CONCUR 2010-Concurrency Theory. 2010. P. 21 -39.

4. Wooldridge M. An Introduction to Multi-Agent Systems. 2nd Ed. Chichester, UK: John Wiley & Sons, 2009. P. 484.

5. Ivutin A.N, Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modeling, Programming and Computer Software. 2015. Vol. 8. № 2. P. 43 - 54.

6. Simulation of Relay-races / E.V. Larkin, A.N. Ivutin, V.V. Kotov, A.N. Privalov // Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. 2016. Vol. 9. N 4. P. 117 -128.

7. Larkin E.V., Lutskov Yu.I., Ivutin A.N. Simulation of Concurrent Games in Distributed Systems // 2015 The 5th International Workshop on Computer Science and Engineering (WCSE 2015), 2015. Moscow, Russia, 2015. P. 60 - 65.

8. Relay Races Along a Pair of Selectable Routes / E.V. Larkin, A.V. Bogomolov, A.N. Privalov, N.N. Dobrovolsky // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling. Programming & Computer Software. 2018. Vol. 11. No. 1. P. 15 - 26.

9. Larkin E.V., Privalov A.N. Alternative Routs of Games with rigid schedules // Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematics. Mechanics. Physics. 2018. Vol. 10. No. 3. P. 30 - 40.

10. Jiang Q., Xi H.-S., Yin B.-Q. Event-driven semi-Markov switching state-space control processes // IET Control Theory & Applications, Vol. 6, Iss. 12, 2012. P.1861 - 1869.

11. Yang T., Zhang L., Yin X. Time-varying gain-scheduling-error mean square stabilisation of semi-Markov jump linear systems // IET Control Theory & Applications, Vol. 10. Iss. 11. 2016. P. 1215 - 1223.

12. Korolyuk V., Swishchuk A. Semi-Markov random evolutions. Springer-Science+Buseness Media, 1995. 309 p.

13. Larkin E.V., Ivutin A.N. Сoncurrency» in m-l-parallel semi-markov process. 2017 MATEC Web of Conferences Vol. 108. # UNSP 05003 05003.

14. Bellman R.E. Dynamic Programming. Dover Publications, Inc. N.Y. USA, 2003. 339 p.

15. Limnios N., Swishchuk A. Discrete-Time Semi-Markov Random Evolutions and their Applications // Adv. in Appl. Probab. 2013. V. 45. N. 1. P. 214 - 240.

16. Bauer H. Probability Theory. Walter de Gruyter: Berlin, N.Y, 1996.

523 p.

17. Shiryaev A.N. Probability. Springer Science+Business Midia, 1996.

611 p.

18. Mark S. Squillante Stochastic Analysis and optimization of multiserver systems / Danilo Ardagna, Li Zhang (ed.) Run-Time Models for Self-managing Systems and Applications. Mathematic Subject Classification. -Springer Based AG, 2010. P. 1 - 15.

19. Pinedo M.L. Scheduling. Theory: Algorithms and systems. Springer. Science+Business media. LCR 2016. 670 p.

20. Khodr Y.M. Scheduling Problems and Solutions (Computer Science, Technology and Application) - Nova Science Pub Inc., 2012. 330 p.

21. Drozdowski M. Scheduling for Parallel Processing (Computer Communications and Networks) - Springer, 2009. 386 p.

22. Gawiejnowicz S. Time-Dependent Scheduling (Monographs in Theoretical Computer Science. An EATCS Series). Springer, 2008. 380 p.

23. Discrete model of paired relay-race / E.V. Larkin, A.V. Bogomolov, A.N. Privalov, N.N. Dobrovolsky // Bulletin of ehe South Ural State University. Series -Mathematical Modelling, Programming & Computer Software Vol. 11. Iss. 3. P. 72 - 84.

24. Larkin E.V., Privalov A.N. Paired Alternative Route Relay-Races // International Journal on Information Technologies and Security. 2018. Vol. 10. Iss. 1. P. 103 - 114.

25. Hokan T., Thomson W. Cooperative Game Theory // International Encyclopedia of Social & Behavioral Sciences (second Edition). Ed. J.D. Wright. Elsevier Ltd., 2015. P. 867 - 880.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн наук, профессор, зав. кафедрой, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, профессор, privalov. 61amail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

ABOUT DISCRETE APPROACH TO PAIRED RELAY-RACES SIMULATION

E. V. Larkin, A.N. Privalov

It is shown that the existing approach to relay-races simulation is not suitable for implementation on a computer, due to recursive procedures of forfeit calculation, which includes calculation of correlation integral and time intervals weighted density of residence relay-race in the corresponding functional states. The transformation primary model into its discrete analogue with the definition ofparameters of the relay race with rigid schedule along alternative routes is proposed. Results obtained are confirmed with the control example.

Key words: relay-race, semi-Markov process, distribution density, discretization, rigid schedule, alternative route.

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Privalov Aleksandr Nicolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov. 61amail.ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University named ater L.N. Tolstoy