О диофантовых неравенствах с простыми числами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

О ДИОФАНТОВЫХ НЕРАВЕНСТВАХ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ

Нгуен Тхи Ча

Белгородский государственный университет, ул. Победы 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Доказано, что к заданному числу N можно подойти суммой двух квадратов простых чисел на расстояние, не большее, чем л/Nехр(—In0'1 N).

Ключевые слова: простые числа, диофантовы неравенства, явная формула, плотностная теорема.

1. Введение. Пусть N(а, Т) — число нетривиальных нулей £ (в) в прямоугольнике а ^ < 1, 0 < Зз ^ Т. Оценки вида

N(а,Т) < Т2Л(1-ст) 1пс Т, Л ^ 1, с ^ 1 ,

где Л и с — константы, называются плотностными теоремами. Наилучшим современным значением Л в таких оценках является Л = | (см. [1]). Константа с играет менвшую ролв; в работе [2] доказано, что с < 18.2.

Со времен Римана известны формулы, связывающие суммы по простым числам с суммами по нетривиальным нулям дзета-функции. Такие формулы называются явными. Пусть ф(х) - функция Чебышева. Одной из самых известных явных формул является следующее равенство:

,/ ч f x In2 x \

|Зр|<Г

где 2 < T ^ x, а суммирование ведется по нетривиальным нулям дзета-функции р.

В сороковых годах двадцатого века Ю.В. Линник [3],[4] разработал новую технику решения арифметических задач с простыми числами, основанную на явных формулах и плотностных теоремах. Эта техника получила название плотностной. Плотностная техника особенно эффективна для решения задач о попадании простых чисел в короткие промежутки.

В монографии С.М. Воронина и А.А. Карацубы [5] содержится следующая теорема, доказанная на основе плотностной техники.

Теорема 1. Пусть А - константа из плотностной теоремы. Для любого числа H > 0 п числа N, удовлетворяющего условию Н > N1-за exp(ln0'8 N), неравенство

| р - N | ^ H (1)

разрешимо в простых числах р.

Для числа решений 7(М, Н) неравенства (1) справедлива оценка J(N, Я) > В 2006 году в работе [6] В.В. Гирько и С.А. Гриценко при помощи плотностной техники доказана теорема.

Теорема 2. Пусть А - константа из плотностной теоремы. Для любого числа Н > 0 п числа удовлетворяющего условию Я > ехр(1п0'8 неравенство

| р2 + р\ - N | ^ Н

разрешимо в простых числах р1 и р2.

В настоящей статье уточняется утверждение Теоремы 2, а также формулируются две новые теоремы о диофантовых неравенствах с простыми числами. Сформулируем наши основные результаты.

Теорема 3. Если Я > у/Ы ехр(- 1пол М), то неравенство

| Р2 + Р\ - N | ^ Н

разрешимо в простых числах р1 и р2.

Теорема 4. Пусть А - константа из плотностной теоремы. Если

Н > Ж(1"5х)2 ехр(1па8 ЛГ),

то неравенство

\Р\ + Р2 + Р3 - N | ^ Н разрешимо в простых числах р1; р2 и р3.

Теорема 5. Пусть А - константа из плотностной теоремы. Если

Я > р(1п0-8 ЛГ),

то неравенство

|Р1 + Р2 - N | ^ Н разрешимо в простых числах р1 и р2.

В настоящей статье представлено доказательство Теоремы 3, а доказательства теорем 4 и 5 автор рассчитывает опубликовать в последующих работах.

Замечание 1. В отличие от утверждений теорем 1 и 2 утверждение теоремы 3 не зависит от константы А из плотностной теоремы.

В доказательстве теоремы 3 содержится оценка снизу для числа решений диофан-това неравенства, однако эта оценка, по-видимому, не является точной.

Замечание 2. Интересно сравнить теоремы 1 и 3. В теореме 3 параметр Я можно выбрать меньше, чем \flsi, а в теореме 1 разрешимость неравенства (1) при Я = у/Ы не следует даже из гипотезы Римана.

Для доказательства Теоремы 3 нам потребуется несколько лемм.

2. Вспомогательные результаты.

Лемма 1. [Явная формула] Пусть 2 < Т < х. Тогда

ф(х) = ^ А(/?,) = х - ^ — + О

п<х \7\<Т Р ^

где р = в + ¿7 — нули ((з) в критической полосе. Доказательство см. в [7, глава 5].

Лемма 2. Для функции N(а,Т) справедлива оценка

N(a,T) < T2A(1-<J) lnc T

при Л — 6

5 '

Доказательство см. в [1].

Лемма 3. Существует абсолютная постоянная 0\ > 0 такая, что ((з) = 0 в области

а > 1---у----- , где > 10.

ь^КЫп!*!)1^ 11-

Доказательство см. в [7, глава 6]. Лемма 4. При Т > 2 справедливы оценки

£ 1 = 0(1пТ), £ 1 = 0(1п2Т). \т-Т\<1 \7-Т\>1

Доказательство см. в [7, глава 4]. Лемма 5. Справедливо оценка

Ex'

IyI <t

< max xpN(a,T)

1/2<a<1

Доказательство см. в [5, глава 5].

3. Доказательство основной теоремы. Без ограничения общности считаем, что Я < \/Ы/2.

Рассмотрим сумму

Е Е

где N1 = N19/24 exp(ln0'8 N).

Достаточно получить неравенство

5 > . (2)

Действительно, если на промежутках

уи -Н-р\ л/и + Я -р2} нет простых чисел, то для Б справедлива следующая оценка сверху:

N1,0

5 С —¡= 1п N .

которая противоречит (2). Воспользуемся леммой 1:

5 = ^ {у/Ы + Н- р2 - \/N — Н — р2 -

N -2 Мг<р2<М -Мг

штJy/N-H-IP 1

где Т = ^^.

Параметр Т выбран с таким расчетом, чтобы остаточный член явной формулв1 бвш менвше по порядку, чем \/N + Н — р2 — N — Н — р2. Оценим сумму

&х.

и-'= Е „Е-

р-1

I /

у/К-Н-р2

Справедливо неравенство

"у/И+Н-п1

и-'< Е I_„ Е

¡-2^<н2^VN-н-п ы <т

N-

Поскольку из условия теоремы вытекает, что

N - (п + I)2 + Н < N - п2 - Н,

имеем

\¥< ^ хр~1 с1х .

Л/ЯГ/2 1 |7|<т

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕД Серия: Математика. Физика. 2012. №17(136). Вып. 28 117 Применим неравенство Коши:

-2^/ЖГ

« у/ъ / аГ1

•¿л/ЯГ/2 1 |7|<г

2

¿X .

Пусть 8 = 1п2/з ту(1п 1п лг)1/3' г,л,е С'1 — константа из Леммы 3. Разобьем прямоугольник

8 < Ш < 1 — 8, —Т < Т,

по которому суммируются нули дзета-функции, на 0(1п]У) ширины и ьысоты 2Т. Тогда

,_ Г2^ х _ 2

л/Т^Г/2

Ы<Т

ст<в<ст+1/ 1п N

где а — то число между 8 и 1 — 8, при котором правая часть последнего неравенства максимальна. Далее, имеем

IV* ^ л/МгЫ'М^ ^ / х2(7~Чх+

|7-71|^1

1

+ У У / х2а~2(1х

|7-71|>1

В силу лемм 4 и 5 имеем:

W2 < 1п4 N тах М7N (а, Т).

сте[0.5,1-й] 1

Воспользуемся леммами 2 и 3 и неравенством Т12/5 < N1 ехр(— 1п0'8 N), следующим из условия теоремы:

IV < у/Ж

ехр ( - ^ 1п0 8 А^) + ехр

< л/¥1^{-2\пол Н) . (3)

Для Б справедлива оценка

5 > ^ (у/Ы + Н -р2 ~ у/И-Н- р2) - V/ .

N—2^<р2^—N1

Из теоремы 1 следует, что

^ (у/Ы + Н-Р2 - у/Ы-Н- р2) >

V N 1п N

Поскольку по условию H > y/N ехр(— In0'1 N), теперь наше утверждение следует из неравенства (3). I

Литература

1. Huxley M.N. On the difference between consequtive primes // Invent. Math. - 1972. - 15. -P.164-170.

2. Гриценко С.А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Матем. заметки. -1994. - 55;2. - С.59-61.

3. Линник Ю.В. О возможности единого метода в некоторых вопросах «аддитивной» и «дистрибутивной» теории простых чисел // ДАН СССР. - 1945. - 49;1. - С.3-7.

4. Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел // ДАН СССР. - 1945. - 47;1. -С.7-8.

5. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция/ М.: Физматлит, 1994.

6. Гирько В.В., Гриценко С.А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами // Чебышевский сборник. - 7;4. - С.26-30.

7. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел / М.: Наука, 1983.

ON DIOFANTINE INEQUALITIES WITH PRIMES

Nguyen Thi Tra

Belgorod State University, Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. It is proved that the inequality \p\ + — N < H| is solvable in primes pi and p2 provided H > VN exp(- In0'1 N).

Keywords: primes, diofantine inequalities, explicit formula, density theorem.