CC BY
16
О ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕСТАЦИОНАРНОСТИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ТЕМПОВ РОСТА ЦЕН АКЦИЙ КОМПАНИЙ-УЧАСТНИЦ СДЕЛОК СЛИЯНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ
© 2012 г. В.Г. Денисенко
Ростовский государственный экономический университет, Rostov State Economic University,
ул. Б. Садовая, 69, г. Ростов н/Д, 344002, B. Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002,
[email protected] [email protected]
Исследуется структура нестационарности временных рядов темпов роста цен акций компаний, которые участвовали в сделках слияния или поглощения. Рассматриваются сделки слияния или поглощения с участием российских и иностранных компаний, прошедшие в 2000-2010 гг. Данные анализируются с помощью динамического и статистического подходов. В динамическом подходе временной ряд разбивается на сегменты и измеряется расстояние между ними. Для этого вычисляется евклидово расстояние между коэффициентами полиномиальных моделей. В статистическом подходе используется расстояние х2. На основе матриц расстояний осуществлялось построение диаграмм для обнаружения квазистационарных участков в динамике ряда.
Ключевые слова: временные ряды, нестационарность, слияния и поглощения, метод вложения по временной задержке, расстояние между коэффициентами динамических моделей, расстояние х2.
The nonstationarity structure of share growth rate time series of the participants of merger and acquisition deals is explored. The merger and acquisition deals of Russian and foreign companies during 2000-2010 are considered. Information is analyzed with dynamical and statistical approaches. In dynamical approach time series is split on segments and the distance between segments is measured. In order to do this Euclidean distance between the coefficients of the polynomial models. In statistical approach X-distance is used. On the basis of matrices of distances diagrams were constructed in order to detect quasistationary regions in time series dynamics.
Keywords: time series, nonstationarity, mergers and acquisitions, time-delay embedding method, distance between the coefficients of dynamical model, X-distance.
Настоящая статья посвящена исследованию структуры динамической нестационарности временного ряда темпов роста цен акций компаний, участвовавших в сделках слияния или поглощения (M&A-сделки).
Разработке и применению разнообразных методов анализа структуры нестационарности временных рядов посвящено множество работ. Для более подробного знакомства с данным кругом вопросов служат источники в библиографическом списке и ссылки, указанные в них [1 - 9]. Данная статья во многом следует [1], где изучаются временные ряды электрической активности головного мозга.
Основная идея методики анализа нестационарности заключается в следующем. По исходному ряду формируются сегменты щ фиксированной ширины п (1-й сегмент - уровни ряда с 1-го по п-й; 2-й - со 2-го по п+ 1-й и т.д.). Далее вычисляются величины, имеющие смысл расстояния между сегментами. После этого проводится анализ динамики расстояний, и определяются «квазистационарные» участки ряда -участки с близкими расстояниями между соответствующими сегментами.
Данные и методология
Мы располагаем временными рядами темпов роста цен акций 42 компаний-участниц M&A-сделок - 33 поглощающих компаний и 9 компаний-целей (небольшое количество иностранных компаний-целей является следствием труднодоступности данных об исторических котировках компаний, исключенных из листинга биржи) (таблица).
Длина временного ряда {xt, t = 1, ..., 252} темпов роста цен акций, построенного по временному ряду цен акций {St, t = 1, ..., 253}, приблизительно равна числу торговых дней в году. Данные по ценам акций по каждой компании выбирались так, чтобы середина ряда приходилась на дату объявления о намерении совершить сделку слияния или поглощения (announcement date - a.d.).
Для анализа взяты не сами котировки { St} акций, а темпы роста {xt = St /St-1}, поскольку ряд {xt} более «однороден», чем {St}. Кроме того, динамику значений {xt} удобно интерпретировать как динамику ежедневных доходностей {It} по акциям, поскольку It = xt - 1.
Данные котировок, а также информация о сделках слияния и поглощения брались из [2, 3].
Динамический подход. Предположим, что временной ряд доходностей порождён некоторой динамической системой размерностью D, и наблюдается эволюция одной из D-компонент.
Мы хотим по эволюции одной переменной составить представление о динамике всей системы. В [4] устанавливается возможность описания динамики исходной динамической системы лишь по эволюции единственной переменной. Для восстановления (реконструкции) аттрактора исходной системы применяем метод вложения по временной задержке (time-delay embedding method). На основе временного ряда {xt, t = 1, ..., 252} формируем сегменты {пi, i = 1, ..., 252-Demb+1} с единичной временной задержкой, где ni = {xi, ..., xi+Demb-1}, Demb - размерность пространства вложения (лагового пространства); при этом должно выполняться условие Demb > 2D+1.
Список рассматриваемых М&А-сделок
Поглощающая компания Компания-цель A.d.
AOL Time Warner* 10.01.2000
Glaxo Wellcome* SmithKline Beecham 18.01.2000
Hewlett-Packard* Compaq Computer Corp. 03.09.2001
Comcast Corporation* AT&T Broadband&Internet 19.12.2001
Pfizer* Pharmacia Corp. 15.07.2002
Сибнефть* Славнефть* 18.11.2002
ЮКОС* Сибнефть* 22.04.2003
JPMorgan Chase* Bank One Corp. 14.01.2004
Sanofi-Synthélabo SA* Aventis SA 26.01.2004
Royal Dutch Petroleum* Shell Transport&Trading 26.10.2004
Verizon Communications* MCI, Inc. 14.02.2005
Газпром Сибнефть* 04.07.2005
AT&T Inc.* BellSouth 06.03.2006
Норильский никель* LionOre 03.05.2007
Thomas & Betts* Lamson & Sessions 16.08.2007
Северсталь* Penfold Corporation 22.08.2007
Macrovision* Gemstar-TV Guide 07.12.2007
ЛУКОЙЛ* ЮГК ТГК-8 31.01.2008
Microsoft* Yahoo!* 01.02.2008
Staples Inc.* Corporate Express N.V. 19.02.2008
Electronic Arts* Take-Two Interactive* 24.02.2008
Bank of America* Merrill Lynch 14.09.2008
Pfizer* Wyeth* 23.01.2009
Merck & Co* Schering-Plough 09.03.2009
Suncor Energy* Petro-Canada 23.03.2009
Oracle Corporation* Sun Microsystems 20.04.2009
МТС* АО Комстар 22.05.2009
Сбербанк России* DB Development 23.08.2009
Baker Hughes* BJ Services Company 31.08.2009
Equinix* Switch&Data Facilities 21.10.2009
Novartis* Alcon* 04.01.2010
Merge Healthcare* AMICAS, Inc. 24.02.2010
Hewlett-Packard* Palm, Inc. 28.04.2010
JS Acquisition Emmis Corporation* 12.05.2010
BioTime, Inc.* ES Cell International 12.05.2010
Media Sciences Int.* Master Ink Company 12.05.2010
* - выбранные для исследования компании.
Нужно оценить размерность Demb восстановленного аттрактора. Для этого вначале размерность пространства вложения выберем заведомо большой, Demb = 45. Оценим величину D, вычисляя корреляционную размерность D2. Для определения значения D2 рассчитываем корреляционный интеграл [5]
С(е) = Ы, I 14 £ £ -^11), где ®(x)=1 при
N (N -1) ,=i 11
x>0; 0(x)=O при x<0; - евклидова норма; N=208 (=252-45 + 1).
Для оценки корреляционной размерности D2 осуществляем линейную аппроксимацию зависимости lgC(e) от lge по наиболее линейному участку с помощью метода наименьших квадратов (МНК) на ЭВМ. В силу ограниченного количества данных наиболее линейный участок зависимости lgC(e) от lge определялся визуально. При этом отбрасывались очень маленькие и очень большие значения e как вносящие искажения в оценку наклона наиболее линейного участка [6]. Величину D2 полагаем равной наклону наиболее линейного участка зависимости lgC(e) от lge, и выбираем новое значение размерности Demb лагового пространства ис-
ходя из неравенства Demb > 2D2+1. На рис. 1 представлен график зависимости lgC(e) от lge, а также аппроксимирующая прямая для компании Wyeth.
Отметим, что по результатам расчётов для всех рассматриваемых компаний размерности пространств вложения оказались меньше, чем стартовая Demb=45, что говорит в пользу гипотезы о том, что ряды доходно-стей (темпов роста цен акций) рассматриваемых компаний являются хаотическими (порождены нелинейными динамическими системами), а не стохастическими.
Далее Demb обозначает новое (рассчитанное) значение размерности пространства вложения.
Для определения изменений оператора эволюции динамической системы используем подход, предложенный в [7] (см. также [1]). Оцениваем параметры модели xi+n+1=f(xi+n), n = 0, ..., Demb - 2, для каждого сегмента П, i = 1, ..., 252-Demb + 1. Как и в [1], в качестве отображения f применяем полином
f ( xi+n ) = Za(i)kxl
k =0
k
(i)kxi+n
6-й степени (p = 6). Вы-
бор степени полинома связан с тем, что, как показано в [1] на числовом примере, уменьшение степени полинома ведёт к снижению качества описания динамики рассматриваемого объекта полиномиальной моделью.
Таким образом, каждому сегменту щ ставится в соответствие вектор коэффициентов
(а(,)о, ..., а(,)б), i — 1
252-Demb+l. Расстоя-
ние между сегментами щ и П/ полагаем равным евклидову расстоянию между соответствующими векторами коэффициентов
dE ) = Jz(a(i)k -aU)k)
и составляем
симметричную матрицу МЕ = (йЕ(ж^ П/)), имеющую на главной диагонали нули.
Рис. 1. График зависимости lgC(e) от lge, а также аппроксимирующая прямая для компании Wyeth
p
-I 2 «о
Для вычисления коэффициентов (а^о, ..., а(,)6) применяем МНК, т.е. для каждого i = 1, ..., 252-Demb+l ищем минимум функции Q(a(,)o '•••^oe)=
= Z
я=0
Оптимизация производилась на ЭВМ в программе MS Excel 2007 квазиньютоновским методом. Предельное число итераций - 100. Поиск решения останавливался, когда относительное изменение значения функции Q за последние 5 итераций становилось меньше 0,0001.
Статистический подход. Другой, «статистический», подход к определению динамической нестационарности заключается в следующем [8]. Лаговое пространство разбивается на ячейки, вычисляются эмпирические распределения по двум наборам точек в лаговом пространстве (получаемым из сравниваемых участков временного ряда), рассматриваемых как выборки, и каким-нибудь способом подсчитывается расстояние между этими распределениями.
Учитывая ограниченность имеющихся данных, сравниваем эмпирические распределения только 1-й координаты вектора состояния. Данные берем из отрезка траектории (рассматриваемого как выборка) в лаговом пространстве длиной, равной количеству значений в сегменте. Тем самым построение распределений осуществляем по значениям, содержащимся в сегментах. Таким образом, так же как и в динамическом подходе, сравниваем между собой сегменты ni и п (i, j = 1, ..., 252-Demb+1).
После определения максимального xmax и минимального xmin уровней ряда {xt, t = 1, ..., 252} множество [xmin, xmax] возможных значений разбиваем на непересекающиеся промежутки Д1, ..., Al одинаковой длины.
Следуя [1, 8], меру различия между сегментами ni и п (i, j = 1, ..., 252-Demb+1) вычисляем, используя X-критерий, по формуле
выборке У = (Уь..., Уп); пХк - число значений выборки X в Д; пУк - число значений выборки У в Дк [9, 10].
Таким образом, Сх(п„ п) есть статистика критерия согласия X для двух эмпирических распределений на (Д, с(Д)), построенных по рассматриваемым как выборки сегментам п и п).
Результаты
Корреляционная размерность около 2/3 всех рассматриваемых рядов темпов роста цен акций оказалась меньше 24, что свидетельствует об их хаотическом (детерминированном и нелинейном), а не стохастическом характере и оправдывает применение подходов нелинейной динамики.
По соображениям удобства анализа информации, содержащейся в матрицах Мх и Мв, осуществлялось построение диаграмм. Координаты на оси абсцисс и ординат соответствуют начальным значениям сегментов. Расстояние между сегментами представлено с помощью оттенков серого цвета. Близким расстояниям на диаграмме соответствуют темные тона, а светлые указывают существенное различие между соответствующими сегментами. На рис. 2 представлены в качестве иллюстрации диаграммы расстояний X и евклидовых расстояний для компании «Сбербанк».
dr(nt ,п.) = 2
L n -nJk)2
k=i ntk + njk
где nik - число зна-
чении из сегмента п, попавших в промежуток Дк. Далее составляем симметричную матрицу расстояний Мх = (Сх(щ, п))).
Формула для расстояния п)) основана на критерии согласия х2, статистика которого имеет вид
L (nP(Ak) - nk)2
где р(X) - эмпирическое
х2(Р,Кл)) = 1 .
к=1 пР(А к)
распределение, построенное по выборке X = (Хь..., Хп); пк = прПХ)(Ак) - число значений выборкиX в Дк; Р -заданное (гипотетическое) теоретическое распределение. Желая сравнить 2 эмпирических распределения на (А = А1 ^...^ А1 ,ст(А)), где Д1,..., Дь - некоторое разбиение числовой прямой Я, приходим к следующему виду статистики критерия согласия х2: %2(Р(Х)) =
_ * (пРПХ)(Ак ) - п^П)(Ак ))2 _ * (пхк - пл )2
= 2
= 2-
*=! nPf)(Аk ) + nQn)(Аk ) k=! nxk +
где
QnY) - эмпирическое распределение, построенное по
Рис. 2. Диаграммы расстояний X («Сбербанк») и евклидовых расстояний («Сбербанк*») для компании «Сбербанк»
Участки квадратной формы одного цвета на «побочной диагонали» диаграммы интерпретируем как квазистационарные в динамике объекта, в рамках которого оператор эволюции существенно не изменяется.
В большинстве диаграмм (32) евклидовых расстояний между коэффициентами полиномиальных динамических моделей (графическое представление матриц М) выделяются 2-3 квазистационарных участка. При этом можно отметить 2 случая: после «переходного участка» динамика восстанавливает свой прежний характер (как на рис. 2) - 26 компаний; происходят переходы на новые динамические режимы без восстановления первоначальной динамики - 6 компаний.
Таким образом, есть основания считать, что факт планируемого объявления о сделке слияния или поглощения, а также само публичное объявление о сделке приводит к смене характера динамики доход-ностей, который носит в большинстве случаев (в 26 из 32) кратковременный характер.
n
Отметим также, что для 6 компаний-целей (из 7) имел место именно 1-й случай. Учитывая отношения количеств каждого из двух случаев, можно предположить, что публичное объявление о М&А-сделке имеет сходное влияние на структуру динамической нестационарности рядов доходностей как «поглотителей», так и компаний-целей.
В 25 из 32 случаев смена квазистационарного режима происходит в промежутке от нескольких месяцев до одного дня перед публичным объявлением о сделке. Это свидетельствует в пользу предположения о возможной утечке инсайдерской информации о предполагаемой сделке.
Сравнение диаграмм расстояний для российских и американских компаний не выявляет существенных расхождений в структуре нестационарности динамики их доходностей.
В 19 из 42 диаграмм расстояний /2 (графическое представление матриц Мх) не прослеживается наличие квазистационарных участков в случае «скорректированной» размерности лагового пространства. Однако при Беть=45 практически во всех случаях можно выделить 2-3 участка динамической стационарности. Поэтому представляется необходимым использование
более обширных исходных данных при использова-
2
нии критерия х в рамках описанной методологии.
В некоторых ситуациях нестационарность (как статистическая, так и динамическая) изучаемого процесса, обычно рассматриваемая как препятствие для анализа, может иметь отдельный интерес. Характер изменения оператора эволюции даёт дополнительную
Поступила в редакцию
информацию о свойствах изучаемой системы. Данная работа представляет первоначальный шаг в изучении круга проблем, связанных со структурой динамической нестационарности рядов доходностей акций компаний, участвующих в М&А-сделках.
Литература
1. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis / T. Dikanev [et al.] // Clinical Neurophysiology. 2005. Vol. 116. P. 1796 - 1807.
2. URL: http://finance.yahoo.com; http://export.rbc.ru; http://www.rts.ru; http://stocks.investfunds.ru (дата обращения: 30.04.2011).
3. URL: www.MAonline.ru;www.Mergers.ru;http://uk.reu-ters.com/business/deals/mergers (дата обращения: 30.09.2010).
4. Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence // Lecture Notes in Math. 1981. Vol. 898. P. 366 - 381.
5. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов, 2005. 319 с.
6. Мекпер А.А. Применение аппарата нелинейного анализа динамических систем для обработки сигналов ЭЭГ // Актуальные проблемы современной математики : уч. зап. / под ред. проф. Е.В. Калашникова. 2004. Т. 13, вып. 2. C. 112 - 140.
7. Gribkov D., Gribkova V. Learning dynamics from non-stationary time series: analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. Р. 6538 - 6545.
8. Hively L.M., Gailey P.C., Protopopescu V.A. Detecting dynamical change in nonlinear time series // Phys. Lett. A. 1999. Vol. 258. Р. 103 - 114.
9. Боровков А.А. Математическая статистика. М., 1984. 472 с.
10. MoodA.M., GraybillF.A., BoesD.C. Introduction to the theory of statistics. McGraw-Hill, 1974. 564 p.
13 июля 2011 г.
