CC BY
13
УДК 372.851
О ДИДАКТИЧЕСКИХ ЦЕЛЯХ ЗАДАЧ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ
М. Е. Исин
Павлодарский государственный университет имени С. Торайгырова, Республика Казахстан
В данной статье рассматриваются задачи с экономическим содержанием, которые разграничиваются по дидактическим целям.
Ключевые слова: задачи с экономическим содержанием, дидактические цели, математика в экономике, профессиональная направленность обучения, межпредметная связь, экономический вуз.
Исследованиям профессионально-педагогической, прикладной направленности обучения математике посвящены работы И.К. Андронова, П.Р. Атутова, С.Я. Ба-тышева, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Ю.М. Колягина, Н.А. Терешина, Г. Трельински, С.Д. Тыныбековой, В.В. Фирсова, Г.Н. Яковлева и др.
За последние годы появился ряд исследований по профессиональной направленности преподавания математики в педагогических вузах (Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Н.В. Метельский, В.Г. Ска-тецкий и др.), в технических вузах (Е.А. Василевская, C.B. Плотникова, С.И. Федорова и др.), в экономических вузах (Э.А. Локтионова, Е.А. Попова и др.).
Установление межпредметных связей является важным условием для реализации профессиональной направленности обучения математическим дисциплинам студентов в экономическом вузе. Имеется большое число исследований, посвященных реализации межпредметных связей математики с остальными учебными дисциплинами как в школе, так и в вузе. Однако, как показывает анализ научно-методических работ о межпредметных связях в учебном процессе высшей школы, вопросы реализации межпредметных связей таких математических дисциплин, как «Математика в экономике», «Экономико-математическое моделирование», с учебными дисциплинами в экономическом вузе изучены недостаточно. В учебном процессе экономического вуза связь между мате-
матическими и общепрофессиональными, специальными дисциплинами осуществляется следующими путями:
проникновением математических понятий, методов и моделей в общепрофессиональные и специальные дисциплины;
использованием задач с экономии-ческим содержанием, примеров из экономики на лекциях, практических и лабораторных занятиях, а также в самостоятельной работе студентов по математическим дисциплинам.
Реализация межпредметных связей математики с экономическими дисциплинами будет эффективнее, если использовать задачи с экономическим содержанием как средство обучения непосредственно на лекциях, практических занятиях и в самостоятельной работе студентов по всему курсу математики, где это возможно (в единстве с традиционными математическими задачами) [1-4].
Задачи играют существенную роль при обучении математике, поэтому проблеме «обучение через задачи» уделяется немало внимания в психолого - педагогических и методических исследованиях. Обучение математике будущих экономистов через задачи осуществляется при достижении дидактических целей, которые ставятся преподавателем перед той или иной конкретной задачей [5].
Задачи с экономическим содержанием, являясь средством обучения математи-
ческим дисциплинам будущих экономистов, имеют разные дидактические цели.
Одной из таких целей для задач с экономическим содержанием является закрепление приобретенных теоретических знаний. Задачи с экономическим содержанием с такой целью следуют за изучением теоретических сведений и направлены для усвоения математических понятий и их определений, для формирования умений, для закрепления аксиом и теорем.
Например, задачи с экономическим содержанием можно использовать для закрепления операций сложения и вычитания матриц, умножения числа на матрицу, а также умножения матриц. А для усвоения частных производных функции нескольких переменных и их определений целесообразно решать задачи, подобные задаче 1.
Задача 1. Для производственной
3 1
функции Кобба-Дугласа У = К 4 • Ь4 (К
- объем используемого основного капитала, Ь - затраты живого труда) найти А1 -среднюю производительность 1-го ресурса, А2 - среднюю производительность 2-го
ресурса, М1 - предельную производительность 1-го ресурса, М2 - предельную производительность 2-го ресурса, Е1 - эластичность выпуска по 1-му ресурсу, Е2 -эластичность выпуска по 2-му ресурсу, Ех
- эластичность производства и выписать выражения для Я|2 - предельной нормы
замены 1-го ресурса 2-ым ресурсом, К21 -предельной нормы замены 2-го ресурса 1-ым ресурсом.
Другой дидактической целью задач с экономическим содержанием является иллюстрация приложений математических понятий и методов. Задачи на приложения могут предшествовать изучению теории с целью создания проблемной ситуации. Например, к изучению линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно подойти при решении следующей задачи.
Задача 2 [6]. Дана простейшая балансовая модель Кейнса в виде системы уравнений
[Y(t) = S(t) + J(t) + E(t), S(t) = aY(t) + b, J(t) = k • Y'(t), где Y(t), E(t), S(t), J(t) - соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление, инвестиции и рассматриваются как функции времени t; а - коэффициент склонности к потреблению (0<а<1);
b - автономное (конечное) потребление; к - норма акселерации (Y(t)>0, S(t)>0, J(t)>0, E(t)>0, b>0, k>0).
Пусть E(t)=const, а, b, k заданы. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t.
Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для J(t) из третьего уравнения в первое уравнение. Получим дифференциальное уравнение вида у/_1-ау = _Ь + Е
к к '
которое является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Таким образом, создана проблемная ситуация для изучения метода вариации постоянной и метода подстановки. В отличие от простых моделей рынка, где спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар, в моделях рынка с прогнозируемыми ценами функции спроса D(t) и предложения S(t) (t - время) имеют зависимости от цены Р, от тенденции формирования цены Р , от темпов изменения цены Р . С помощью модели рынка с прогнозируемыми ценами можно изложить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим следующую задачу.
Задача 3. Пусть функции спроса D и предложения S имеют зависимости от цены Р и ее производных: D(t) = 5Р" + Р' - 4P + 20 S(t) = 6Р" + ЗР' + Р + 5 •
5
Установить зависимость цены Р от времени t для данной модели рынка с про-
гнозируемыми ценами в равновесном состоянии.
Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством Б=8, приравняем правые части данных уравнений. Получим уравнение
Р" + 2Р'+5Р = 15,
которое служит мотивацией для подробного изучения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка относительно функции Р(Х). Задачи на приложения могут быть предложены также и после изучения теории, при формировании умений и навыков.
Отдельно рассмотрим дидактическую цель задач с экономическим содержанием - формирование умений и навыков. «Цель формирования умений обычно ставится при решении первых задач, выполнении первых упражнений по овладению новым приемом, алгоритмом, мето-
дом решения некоторого класса задач, а также задач, показывающих практическую ценность изучаемых способа, приема, метода. Это должны быть задачи, при решении которых учащиеся приучаются оперировать вновь изученным, применять общий способ, алгоритм, метод в конкретной ситуации» [5]. Приведем задачу с экономическим содержанием, решая которую, студенты приобретают умения приметать методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Задача 4. Трем потребителям завода отправили готовую продукцию трех видов. Груз доставляется каждому потребителю на автомашине упакованным в ящики, маркированные в зависимости от вида продукции. Количество маркированных ящиков каждого вида, общий вес груза в каждой автомашине приведены в таблице 1. Найти вес ящика с каждым видом груза.
Таблица 1
Количество маркированных ящиков каждого вида
Номер автома- Груз (количество груза)
шины 1-й вид 2-й вид 3-й вид Общий вес, ц
1 1 9 8 43
2 3 7 9 44
3 2 8 9 45
Обозначим через х; вес ящика с ¡-м видом груза, где 1=1,2,3. Согласно условию задачи 4 получим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными XI, Х2, хз, которые надо найти.
x] + 9х2 + 8х3 = 43, < Зх, + 7х2 + 9х3 = 44, 2х1 +8х2+9х3 = 45.
Полученную систему линейных уравнений можно предложить студентам решать методом Крамера, методом обратной матрицы и методом Гаусса.
Задача 5. Найти максимум прибыли
РЯ(К,Ь) = Ро^К,Ь)-Р2К-Р1Ь в
случае, когда производственная функция • Ь (К - объем используемого основного капитала, Ь — затраты живого труда), цена ро=2, р2 - заданные факторные цены.
Эта задача предназначена для формирования умений и навыков исследования функции двух переменных на локальный экстремум. Следующая задача направлена на формирование умений и навыков нахождения наибольшего значения функции двух переменных в области (глобальный экстремум).
Задача 6. Найти величину спроса Х1 и Х2 на товары с ценами р1 и р2 при условии, что бюджет потребителя равен 1, а
потребитель стремится максимизировать
1 2
функцию полезности и(х1,х2) = Зх,3 • х2.
Задачи с экономическим содержанием, имеющие целью - формирование умений и навыков, могут быть применены и в работе со всей группой, и в качестве творческих заданий для индивидуальной работы с отдельными студентами, проявляю-
щими интерес к математике и ее приложениям. Таким студентам можно предложить для решения экономическую задачу, подобную нижеследующей.
Задача 7. Пусть I- сумма денег, которую коммерсант хочет потратить на покупку предпочитаемых им товаров. Предположим, что он выбрал первый товар по цене р1, второй товар по цене р2 и собирается перепродать первый товар с надбавкой к цене, которая характеризуется линейной зависимостью а • Х1, где Х1 - количество первого товара (а • Х1 = к р1;а>0- постоянная, измеряемая в тех же единицах стоимости, что и р1; к - коэффициент надбавки к цене первого товара, 0 < к < 1), а второй товар с надбавкой, характеризующейся линейной зависимостью Ь-Х2, где Х2 - количество
второго товара (Ь • Х2 = т • р2; Ь>0 -постоянная, измеряемая в тех же единицах стоимости, что и р2; ш - коэффициент
надбавки ко второму товару, 0 < Ш < 1). Доход от перепродажи двух товаров выражается функцией:
Г(х1;х2) = (р1 + а • х1) • х1 +(р2+Ь-х2)-х2.
Какое оптимальное количество первого и второго товаров надо купить коммерсанту, чтобы максимизировать доход, т.е. функцию
?¡Л; ) = (Р! + а • х1) • Х1 + (р2 + Ь • х2) • х2.
При сделанных выше предположениях, математическая модель экономической задачи будет выглядеть следующим образом: р1 • х1 + р2 ■ х2 < I хх > 0,х2 > О
f(x1;x2) = (p1 +ах1)х1 +(р2 +bx2)x2 —>тах, где а • Xj = к • Pj (а - const, 0 < к < 1); b • х2 = т • р2 (b - const, 0 < т < 1).
Данная задача относится к экстремальным задачам экономики, поэтому требуется найти точку (xj°;x2), в которой достигается наибольшее значение функции f(xi;x2) = (Pi +ах1)х1 +(р2 +Ь • х2) • х2 и которая принадлежит области, представляющей собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой
Pi ' Х1 +Р2 Х2 =I
Дидактическими целями задач с экономическим содержанием являются также повторение ранее изученного материала и контроль за усвоением математических знаний. Таким образом, задачи с экономическим содержанием разграничены по дидактическим целям. Такое разграничение задач с экономическим содержанием позволяет целенаправленно использовать их на лекциях, практических и лабораторных занятиях, а также в самостоятельной работе студентов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Исин М.Е. // Задачи с экономическим содержанием по высшей математике. - Павлодар: Издательство ПТУ. 2006. 102 с.
2. Исин М.Е. // 1здешс - Поиск, серия гуманитарных наук. 2005. № 4. С. 289.
3. Исин М.Е. // Вестник ПТУ, серия физ.-мат. наук. 2005. №2. С. 106.
4. Исин М.Е. // 1здешс - Поиск, серия гуманитарных наук. 2005. № 3(2). С. 222.
5. Столяр A.A., Черкасов P.C. // Методика преподавания математики. -М.: Просвещение. 1985. 336 с.
6. Чупрынов Б.П., Красс М.С. // Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. -М.: Дело. 2003. 688 с.
Рукопись поступила в редакцию 11.11.13.
ABOUT THE DIDACTIC AIMS OF PROBLEMS WITH ECONOMIC SUBSTANCE
M. Issin
In the article the problems with economic substance which are differentiated by didactic aims are carried out.
Key words: problems with economic substance, didactic aims, mathematics in economy, professional directivity of education, in between subject relationship, economical institute of higher education.
