CC BY
41
УДК 519.24; 511.3
О ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВАХ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ В СВЯЗИ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТИПА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО КОСИНУСА
М.С.Токмачев
ABOUT NUMBER SETS AND SEQUENCES IN CONNECTION WITH A DISTRIBUTION
OF THE HYPERBOLIC COSINE TYPE
M. S. Tokmachev
Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]
Рассматривается числовое множество, полученное при изучении моментов вероятностного распределения типа гиперболического косинуса. Множество упорядочено в виде числовой призмы. Определены сечения в виде числовых треугольников и классифицированы различные целочисленные последовательности. Найдены и обоснованы зависимости и соотношения для ряда сечений числовой призмы. В частном случае получены формулы связи между некоторыми последовательностями.
Ключевые слова: распределение типа гиперболического косинуса, числовая призма, сечения, числовые последовательности, кумулянты, моменты
We consider a number set obtained when investigating moments of probability distribution of the hyperbolic cosine type. The set is ordered in the form of a "numeric prism". We found sections in the form of number triangles and classified various integer sequences. We also derived some relations for a number of sections of the "numeric prism". In a particular case, the formulae which reflect the relations between some sequences are derived.
Keywords: distribution of the hyperbolic cosine type, "numeric prism", sections, numeric sequences, cumulants, moments
Введение
При рассмотрении трехпараметрического распределения типа гиперболического косинуса [1-4] с характеристической функцией
/(t)=(ch — t-iUsh — tl , где u,B,m eR; m>0, P*0,(1) ^ m B m )
в [5] в общем виде представлены соотношения для вычисления кумулянтов и моментов распределения. Распределение типа гиперболического косинуса является обобщением известного двухпараметрическо-го распределения Майкснера. Для вычисления конкретных значений кумулянтов введено рекуррентное множество полиномов {Pn (b)}, где
Pn+i(b) = Pn'(b)(1 + b2), P(b) = b, n = 1,2,.... (2) Указанные полиномы Pn(b), известные в литературе как Derivative polynomials, можно представить не только в виде дифференциального рекуррентного соотношения, но и автономно, используя систему новых, введенных в [5] коэффициентов:
Pn(b)=У/(n;j)bj, n = 1,2,...,
-¿и
j=0
(3)
где
V (1;1) = 1, V (1; ]) = 0 при всех j * 1,
У(п+1;]) = (]-1)К(п;j-1)+(] +1)К(п;j+1) при пеК(4)
Тогда, согласно теореме 1 [5], для распределения типа гиперболического косинуса с характеристической функцией вида (1) последовательность кумулянтов Хи, п = 1,2,..., представима в виде:
(5)
Хп=< £И*)=к 5)" '=
= т1-" ^Гк (и; ])ц ]рп- ].
]=0
Для вычисления моментов М(Хп) распределения задействованы полиномы двух аргументов Рп(т, Ь), где
Pn+1(m, b) = mbPn(m, b) + (1 + b2)
dPn(m,b) db '
Р0 (т,Ь) = 1, Р\(т,Ь) = тЬ, п = 0,1,2,.... (6) Аналогично соотношению (3) указанные полиномы Рп(т,Ь), п = 0,1,2,..., можно представить иначе:
Рп(т,Ь) = ££и(п;^7>Ь', (7)
k=0 ]=0
где {и(n;k, ])} — система целочисленных коэффициентов, связанных соотношениями:
и(0;0,0) = 1, и(0;k, ]) = 0 для любых k, ] * 0, и (п + 1; k, ]) =
= и (n;k-1, ]-1) + (] -1)и (п;К ]-1) + (] + 1)и (n;k, ] +1)(8)
при п = 0,1,2,....
Согласно теореме 2 [5], последовательность моментов М (Хп) представима в виде:
««-•> -nmNOi ojisi-
m) v ' ft) \m
„ki u i
k=0 j=0
A
" " Rn- ju j
=ZZu(n;k, , n=0,1,2,.... (9)
k=0 j=0
n n n
В данной работе рассмотрен ряд упорядоченных подмножеств множества {П(п;k,])}. Представлены целочисленные последовательности, которые получаются при конкретных параметрах распределения типа гиперболического косинуса с характеристической функцией вида (1) как кумулянты (5) и моменты (9). Также рассмотрены целочисленные последовательности соответствующих полиномов Рп(Ь) и Рп(т,Ь) (см. соотношения (3) и (7)) при различных конкретных аргументах. Новизна полученных последовательностей проверяется по широко известной электронной энциклопедии целочисленных последовательностей ОЕШ [6]. Найдены соотношения между элементами некоторых последовательностей.
Структурирование числового множества
Введенное соотношением (8) числовое множество {П(п;k,])} можно структурировать по трем его аргументам. Аналогично построению известных числовых треугольников (треугольник Паскаля, треугольник Бернулли—Эйлера и т.д.) целые числа и(п; k, ]), определяемые рекуррентным соотношением (8), можно представить в виде числовой призмы {и(п;k,])}; k,] = 0,1,...,п. Геометрически числовая призма — это счетное множество числовых треугольников* {П(п;к0,])} при фиксированном к, k = к0, размещаемых один над другим («пачка» числовых треугольников). При этом соот-
при разложении по степеням tg г производных функции tg г, а именно:
й(гД) = г,
02(гД) = (1д г)'=1 + 1в2г = Р2(1д г); 6э(г;1) = (1Е г)" = (1 + 1Е2г)' = 21§ г + 21Е3г = Рз(1Е г), &(г;1) = (1дг)(3) = 2 + 81в2 г + б1в4г = Р^г) и т.д. В общем виде:
(г;1) = (1дг)(п-1) = £п(п;1,])Х%}г, где п =1,2,3,....
]=0
Для последующих сечений {П (п; к, ])}; к = 2,3,..., полиномы строятся, соответственно, исходя из начальной функции Qк(г;к) = tgkг и рекуррентного дифференциального соотношения Qn(г; к) = Qn-l(г;k) + tg г • Qи-l(г;k-1) при п > к. В частности, при к = 2 получаем Q2(г;2) = tg2г,
Qn (г; 2) = Qn-l (г; 2) + tg г • Qn-l (г; 1) = £ П (п;2, ]) tg ] г,
]=0
где п =3,4,....
Соответствующий числовой треугольник коэффициентов {П (п;2, ])}, вычисляемых согласно (8) при п > 2 как
П(п+1;2, ])=П(п;1, ] -1)+(] -1)П(п;2, ] -1)+(]+1)П(п;2, ]+1), представлен в табл.1. Нулевые значения коэффициентов в таблице опущены.
Таблица 1
Значения П (п;2, ])
Х\] п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2 1
3 3 3
4 3 14 11
5 30 80 50
б 30 286 530 274
7 588 2828 4004 1764
8 588 9344 29 736 34 048 13068
9 18 960 141 600 335 328 322 272 109 584
10 18 960 451 696 2 157 760 4 061 568 3 363 120 1 026 576
ношения (4) являются частным случаем (8) при к = 1, т.е. П(п;1,]) = V(n;]) (проверяется непосредственно).
Сечения призмы по к — разложения степеней тангенса. В частности, первое сечение {П(п;1, ])}; ] = 0,1,...,п, получается как известный ([б], ОЕШ: А155100) треугольник коэффициентов в полиномах
* Отметим, что термин «треугольник» для соответствующих множеств используем, исходя из сложившейся терминологии.
Указанные числовые треугольники, сечения числовой призмы {П(п; к, ])} при фиксированном
к > 2 в литературе отсутствуют. Также в достаточно полной энциклопедии ОЕШ [б], как правило, отсутствуют и числовые последовательности, получаемые в сечениях призмы при фиксировании еще одного аргумента, например, последовательности {П(п;2,0)}, {П(п;2,1)}, ..., а также {П(п;2,п-2)}, {П(п;2,п-4)} и т. д. являются новыми.
Таблица 2
Значения П(п; к, п). Треугольник Стерлинга, числа Стерлинга первого рода
\ к п 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1
2 1 1
3 2 3 1
4 6 11 6 1
5 24 50 35 10 1
6 120 274 225 85 15 1
7 720 1764 1624 735 175 21 1
8 5040 13 068 13 132 6769 1960 322 28 1
9 403 20 109 584 118 124 67 284 22 449 4536 546 36
10 362 880 1 026 576 1 172 700 723 680 269 325 63 273 9450 870
Любопытны и другие сечения числовой призмы. В частности, приведем два утверждения.
Теорема 1. Сечение числовой призмы вида {П(п; к, ])} при ] = п является числовым треугольником Стирлинга для чисел Стирлинга первого рода п
{П (п; к, п)} =
к
Действительно, непосредственно проверяется, что для чисел {П(п;к,п)}, удовлетворяющих (8), выполняется характеристическое свойство чисел Стир-линга первого рода
п = (п-1) "п -1" "п -1"
+
_к_ _ к _ к -1_
с помощью которого и формируется числовой треугольник Стерлинга [7]. Соответствующие начальные значения представлены в табл.2.
Теорема 2. Множество {П(2п - ]; п, ])} — коэффициенты полиномов Бесселя
п
Уп (х) = ^ П(2п - ]; п, ])хп-] при п > 0, ]=0
удовлетворяющих дифференциальному уравнению х2 у" + (2х + 2) у1 - п(п +1) у = 0.
Последовательности кумулянтов и моментов
Рассмотрим целочисленные последовательности, возникающие как кумулянты (5) и моменты (9) распределения типа гиперболического косинуса при различных соотношениях параметров распределения. Среди получаемых последовательностей имеются как хорошо известные (ОЕШ), так и новые. Приведем некоторые из них (табл.3 для кумулянтов и табл.4 для моментов), указывая в последовательностях лишь ненулевые значения.
Исходя из соотношения кумулянтов и моментов вероятностных распределений, для некоторых последовательностей можно установить взаимно обратные зависимости. В частности, секансные числа {£;}= {1,1,5,61,1385,50521,...}, ] = 0,1,2,... и тангенциальные числа {Т;}={1,2,16,272,7936,...}, ] = 1,2,... связаны взаимно обратными соотношениями, имеющими место для моментов {а2Д] = 0,1,2,... и кумулянтов {%2 Д ] =1,2,..., при условии а2 ]+1 = 0, %2]+1 = 0, где ] = 0,1,2,... ([5], теорема 3).
Теорема 3. Для последовательности чередующихся секансных и тангенциальных чисел (1, 1, 1, 2, 5,
Таблица 3
Последовательности кумулянтов
Параметры Последовательность кумулянтов № в ОЕВ
Р т
0 1 1 1, 2, 16, 272,7936, 353792, 22368256, 1903757312, 209865342976,... А000182 (тангенциальные числа)
0 0,5 0,5 1, 8, 136, 3968, 176896, 11184128, 951878656, 104932671488, ... А024283
1 1 1 1, 2, 4, 16, 80, 512, 3904, 34816, 354560, 4063232, 51733504, 724566016, ... А000831
1 2 1 1, 1, 5, 10, 70, 440, 4280, 44560, 575920, 8224640, 134583680, ... А156102
1 1 2 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, ... А000111 (чередование секансных и тангенциальных чисел)
3 1 2 3, 5, 15, 70, 435, 3380, 31515, 342820, 4261935, 59607380, 926298015, ... Отсутствует в ОЕШ
2 2 2 2, 4, 8, 32, 160, 1024, 7808, 69632, 709120, 8126464, 103467008, ... Отсутствует в ОЕШ
Таблица 4
Последовательности моментов
Параметры Последовательность моментов № в ОЕВ
u P m
0 1 1 1, 1, 5, 61, 1385, 50521, 2702765, 199360981, 19391512145, ... А000364 (секансные числа**)
1 1 1 1, 1, 3, 11, 57, 361, 2763, 24611, 250737, 2873041, 36581523, 512343611, ... А001586 (обобщенные Эйлеровы числа)
1 2 1 1, 6, 26, 216, 1816, 20496, 253616, 3709056, 59913856, 1086126336, ... Отсутствует в ОЕШ
1 1 2 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, ... А000111 (чередование секансных и тангенциальных чисел)
3 1 0,5 1,3, 29, 447, 9721, 271803, 9291029, 375363447, 17498580721, ... Отсутствует в ОЕШ
6 2 4 1,6, 46, 426, 4616, 57246, 799336, 12407466, 211916456, 3949345086, Отсутствует в ОЕШ
-1 1 1 1, -1, 3, -11, 57, -361, 2763, -24611, 250737, -2873041, 36581523, ... А001586 (обобщенные Эйлеровы числа)
1 1 0,25 1, 1, 9, 89, 1521, 32401, 869049, 27608489, 1019581281, 42824944801, ... А230114
16, 61, 272, 1385, 7936, ...) = {хк}, k = 1,2,... справедливы соотношения Х1 = 1, Хк = ак-2 = ак-2(Х1,Х2,...,Хк-2), к = 2,3,..., где а^ХъХ2,...,Хк-2) — формулы связи между начальными моментами и кумулянтами вероятностного распределения.
Данное утверждение справедливо, так как при ц = 1, р = 1, т = 2 (см. табл.3,4) обе последовательности кумулянтов и моментов являются именно чередующимися секансными и тангенциальными числами, причем со сдвигом на две единицы, что и учтено в формулировке теоремы. В частности, имеем: Х2 =аэ =1;
Х3=а1 =Х1 =!;
Х4 =а2 =Х2 +Х12 = 2;
Х5 =а3 =Х3 + 3Х1Х2 +Х3 =5;
Х6=а4=Х4+3х2+4Х1Х3+6Х2Х2+х4=16; и т. д.
Аналогичные, причем взаимно обратные, связи можно установить и во всех других случаях соотношения последовательностей кумулянтов и моментов.
Заключение
Представлены кумулянты и моменты трехпа-раметрического распределения типа гиперболического косинуса и связанное с ними числовое множество {и (п; k, ])}. Указанное множество связано с определенного класса полиномами и структурировано в виде числовой призмы. Рассмотрены ее различные сечения. Отметим, что сечения {и(п;к, ])} при фиксировании параметра к при k > 1 в литературе не представлены. Как подмножества множества {и(п; к, ])}
**В литературе эту последовательность, наряду со знакочередующейся последовательностью (1, -1, 5, -61, 1385, -50521, 2702765, -199360981, ...) также называют «Эйлеровыми числами» (Euler numbers).
найдены многочисленные числовые последовательности, связанные с указанными полиномами, моментами и кумулянтами, среди которых встречаются как широко известные, так и новые. Установлены аналитические соотношения между соседними по к сечениями призмы, а также между некоторыми числовыми последовательностями.
Введенное на основе вероятностного распределения типа гиперболического косинуса множество, упорядоченное в виде числовой призмы, также представляет и самостоятельный интерес для теории чисел, теории кодирования и т. д.
Работа выполнена при финансовой поддержке проектной части государственного задания в сфере научной активности Министерства образования и науки Российской Федерации, проект №1.949.2014/К
1. Токмачев М.С. Характеризация распределения типа гиперболического косинуса свойством постоянства регрессии. Новгород: НовГУ, 1994. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 21.06.94. № 1542-В94.
2. Токмачев М. С. Постоянство регрессии квадратичной статистики на линейную статистику // Вестник НовГУ. 1995. №1. С.139-141.
3. Токмачев М.С., Токмачев А.М. Распределение типа гиперболического косинуса // Вестник НовГУ. Сер.: Ес-теств. и техн. науки. 2001. №17. С.85-88.
4. Токмачев М.С. Прикладной аспект обобщенного распределения гиперболического косинуса // Вестник НовГУ. Сер.: Техн. науки. 2005. №34. С.96-99.
5. Токмачев М.С. Вычисление кумулянтов и моментов распределения Майкснера // Вестник НовГУ. Сер.: Физ-мат. науки. 2013. №75. Т.2. С.47-51.
6. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™ (OEIS™) [Эл. ресурс]. http://www.research.att.com/~njas/sequences/ (дата обращения: 14.02.2015).
7. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики / Пер. с англ. М.: Мир, 1998. 703 с.
References
1. Tokmachev M.S. Kharakterizatsiia raspredeleniia tipa giper-bolicheskogo kosinusa svoistvom postoianstva regressii [Characterization of a distribution of the hyperbolic cosine type by the constancy of regression toward the mean]. Dep. in VINITI 21.06.94. № 1542 - B94. 11 p.
2. Tokmachev M.S. Postoianstvo regressii kvadratichnoi sta-tistiki na lineinuiu statistiku [The constancy of regression of quadratic statistics on linear statistics]. Vestnik NovGU -Vestnik NovSU, 1995, no. 1, pp. 139-141.
3. Tokmachev M.S., Tokmachev A.M. Raspredelenie tipa giperbolicheskogo kosinusa [Distribution of the hyperbolic cosine type]. Vestnik NovGU. Ser.: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Natural and Engineering Sciences, 2001, no. 17, pp. 85-88.
4. Tokmachev M.S. Prikladnoi aspekt obobshchennogo raspredeleniia giperbolicheskogo kosinusa [Applications
of the generalized hyperbolic cosine distribution]. Vestnik NovGU. Ser. Tekhnicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Engineering Sciences, 2005, no. 34, pp. 96-99.
5. Tokmachev M.S. Vychislenie kumuliantov i momentov raspredeleniia Maiksnera [Calculating the cumulants and moments of the Meixner distribution]. Vestnik NovGU. Ser. Fiziko-matematicheskie nauki - Vestnik NovSU. Issue: Physico-Mathematical Sciences, 2013, no. 75, vol. 2, pp. 47-51.
6. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™ (OEIS™). Available at: http://www.research.att.com/~njas/sequences/ (accssed 14.02.2015).
7. Graham R., Knuth, D., Patashnik O. Concrete mathematics: a foundation for computer science. New York, Addison-Wesley Publishing. 578 p. (Russ. ed.: Grekhem R., Knut D., Patashnik O. Konkretnaia matematika. Osnovanie infor-matiki. Moscow, "Mir" Publ., 1998. 703 p.).
