О численной аппроксимации дифференциальных полиномов Текст научной статьи по специальности «Математика»

-pu'p(x) + J ud[Q] = F(x) — F(0) — pu^(0), 0

u(x o) = u0,

, < (t1 ) = v0,

x

—pu'ц(x) + J ud[Q] = F(x) — F(0) — pu^(0),

0

u(x0) = u0,

, < (t2 ) = v0,

X

—pu^(x) + f ud[Q] = F(x) — F(0) — pu^(0),

0

u(x0 + 0) = u0,

, <(tI) = v0,

(7)

(8)

(9)

В силу равенств (2) задачи (6), (7), (8), (9) сводятся к задаче вида (3). Поэтому в силу предыдущей теоремы задачи (6), (7), (8), (9) также однозначно разрешимы.

Авторы выражают признательность и благодарность Юлию Витальевичу Покорному за постановку задачи и чуткое руководство, а также Маргарите Борисовне Зверевой за замечания, которые способствовали улучшению текста статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00397).

Библиографический список

1. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.

2 Покорный Ю.В. О дифференциалах Стилтьеса в обобщенной задаче Штурма-Лиувилля // Докл. АН. 2002. Т. 383, № 5. С. 1-4.

3. Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Шабров С.А. О за-УДК 517.53

О ЧИСЛЕННОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ

AE. Фрянцев

Владимирский государственный университет, студент 4 курса

E-mail: [email protected]

Получена формула аппроксимации дифференциальных операторов специального вида. Указана оценка абсолютной погрешности аппроксимации. Показано, что рассматриваемая аппроксимация является точной на многочленах.

даче Штурма-Лиувилля с разрывными решениями // Труды математического факультета. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 2005. Вып. 10. С. 119-130.

4. Зверева М.Б. О некоторых вопросах качественной теории дифференциальных уравнений с производными Стилтьеса: Дис. . .. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2005. 120 с.

On Numerical Approximation of Differential Polynomials A.V. Fryantsev

A numerical approximation formula was devised for differential operators of a special form. An absolute approximation error value was indicated. It was shown that the mentioned approximation is accurate for polynomials.

1. ТЕОРЕМА ОБ АППРОКСИМАЦИИ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

В работах [1, 2] предложен метод аппроксимаций аналитических функций посредством сумм вида Хк/(Хкг) (здесь / — некоторая фиксированная аналитическая в окрестности точки г = 0 функция, а аппроксимация проводится за счет подбора комплексных чисел Хк) и указаны приложения метода к численному дифференцированию и интегрированию аналитических функций. В теореме 1 настоящей работы метод модифицируется применительно к аппроксимации дифференциальных многочленов, обобщающих оператор дифференцирования.

ГО

Пусть функция /(г) = ^2 /(г — г0)7 аналитична в некотором замкнутом круге и(г, г0) :=

7=о

ч

:= {г : |г — г01 < г}, г0 Є С и Р(Х) = ^ р3Хв — некоторый фиксированный многочлен степени

в=1

д, рч = 0, Р(0) = 0.

© А.В. Фрянцев, 2007

Теорема 1. При любом натуральном п > д+5 существуют комплексные числа А&, к = 1,..., Мд, N = [п/д] (целая часть числа п/д), |А& | < 1, такие, что имеет место приближенное равенство

q—1 f(s)(z ) Nq

D(/; z0,z) := pq-s-r°-(z — z0)s ~ P(A*) ■ f (z0 + A*(z — z0)),

(1.1)

s=0

*=l

причем при х е и(г, ¿о) его абсолютная погрешность 5П (г) удовлетворяет неравенству

——q — і /5 |5n(z)| < n ■ M(r) ■ max |ps| ■ —----------——n+l

l<s<q

(1 — —)2

n — q

(n+l)/q

(1.2)

где M(r) = max |f(z)|, t = r 1 |z — z01 < 1.

|z — Zo |=r

Теорема 1 без доказательства приведена в работе [3].

Примечания. Отметим, что числа Л& находятся как корни некоторого алгебраического уравнения (см. (1.5)), зависящего лишь от параметров n и q, и не зависят от выбора функций f (z), P(Л). В этом смысле набор чисел Л& является универсальным, т.е. пригодным для любой аналитической функции f (z )•

Полученная погрешность аппроксимации (1.2) имеет порядок (C/n)n/q при достаточно больших n, то есть убывает весьма быстро с ростом n.

Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае z0 = 0. Пусть Лк - какое-либо фиксированное число. Тогда при z е U(r, 0) имеем

P (A*) ■ / (A* z) = VV ps / A

s+j =

2^2^ps fj A*' ^ = ^2 I]psfm-sA*

s=lj=0

m=l s=l

где т = тт{д,т}. Следовательно, для произвольного набора чисел А&, к = 1,..., п, имеем

ос m

]Tp(А*)/(A*z) = ]Т Sm£ps /

* = l

m / ,ps fm-s z m=l s=l

(1.3)

где через Sm обозначены степенные суммы

Sm = ¿1 Am, m =1, 2,.

(1.4)

*=i

Определим теперь числа Хк так, что = 1, и 5т = 0 при всех т = д, т = 1,... ,п (напомним, что д — степень многочлена Р и п > д + 5). Покажем, что при таких условиях на степенные суммы отличные от нуля значения Хк = Х^ находятся как решения уравнения

N

(—1)

*=0

Т* 1

— = 0, т = —, N = k! qAq

(имеющего Nq различных корней A* = 0), при этом (см. [1])

| A* |<

5

n—q

i/q

В самом деле, вычислим элементарные симметрические многочлены

— ^ш(А1,..., Ап) — ^ ^ А^1 а^2 ... А^'то, т — 1,...,п,

1<Л<.72^<.7то<П

по рекуррентным формулам Ньютона

mam = ( —

m — l

(—1)m+l ( Sm + ^ (—1)j ■ Sm—j a ), m = 1,...,Nq. j=l

(1.5)

(1.6)

с m

n

*

Методом математической индукции несложно проверить, что отличны от нуля симметрические многочлены лишь с номерами, кратными числу д, и при этом

(_1)(д+1)к

^ = ——; = 0, 1 =дк

Следовательно, для определения чисел Ак получаем уравнение порядка п (теорема Виета):

Е (_ч‘^ = а” Е (_ч‘¡1 (^)‘ = 0'

0<дк<п 0<дк<п

Отсюда для нахождения отличных от нуля величин А* и получается уравнение (1.5) (каждому корню тв этого уравнения соответствует д различных комплексных значений А = 1/(дтв)1/д).

В работе [4] показано, что корни тв уравнения (1.5) удовлетворяют неравенству |тв| > N/5. Отсюда и из того, что N > _1 + п/д, находим, что корни А* удовлетворяют неравенству (1.6). Из (1.6), в частности, находим оценку степенных сумм при т > п > д:

5 \ т/д

\£ш\< п--------- =: Ап,т. (1.7)

п _ д

Отметим, что оценки (1.7) ранее использовались в работах [1, 2]. При указанном выборе величин А* равенство (1.3) принимает вид

N9 те д

(А*)/(А* г) = £(/;0,г)+ ^ р /т- , г е и (г, 0).

к = 1 т=п+1 в=1

Получим оценку (1.2) остатка. Имеем

Nq

|<S„(z)l = D(f; 0, z) — £ P(Л*)/(Л*z)= £ Sm £ p/

k=1 m=n+1 s=1

<

< E |Sm lE>s||/m-s|Wm"S • (1-8)

m=n+1 s=1

Воспользуемся стандартной оценкой коэффициентов Тейлора:

|f | = |/(m-s)(0)| < M(r) f |dr| = M(r)

1 m s| (m — s)! < 2n 7|r|=r |t|m-s+1 rm-s -

Отсюда с учетом (1.7) и (1.8) и условия теоремы n > q + 5 (из которого следует, что |Sm| < An,n+1 при m > n +1) получаем

ос q го q

|5n(z)| < M(r) ■ max |ps| ■ V] |Sm|Y''tm-s < n ■ M(r) ■ max |ps| ■ An,n+1 ■ V V4m-s,

1<s<q — —1^s<q — —

m=n+1 s=1 m=n+1 s = 1

где t = r-1 |z| < 1, что и доказывает теорему 1 при z0 = 0. □

2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ 1

1. Положив все коэффициенты многочлена P(Л) равными единице, получим приближенно (с указанной точностью) частичную сумму ряда Тейлора функции /(z). То есть в данном случае формула

(1.1) принимает вид

V1 /(s)(zoh Л* — 1

(z — zo)s ~ У'' Л*т--7 ■ f (zo + Л*(z — zo)), (2-1)

s=0 fc = 1^ Л- — 1

где А* — корни уравнения (1.5). В данном случае абсолютная погрешность вычисляется по формуле (см. (1.2)):

+ -9 _ 1 / 5 \(”+1)/д \7 _ |

!<5„(г)\< п ■ М(г) ■ Г+1( — ) , + = . (2.2)

(1 — t)2 \n — q,

ч

с

q

с

2. Пусть один из коэффициентов pq-s многочлена P равен единице, а остальные — нулю. Тогда из (1.1) получается формула для приближенного вычисления производной f (s)(z0) порядка s. Точнее, пусть фиксированы натуральные n и q, n > q + 5, и пусть при некотором s имеем pq-s = 1, pq-k = 0, k = 0,q — 1, k = s. Тогда из (1.1) получается формула

П n

-f/'s>(0)zs Ars/(At2), -/'*>(0) ЛГ“/(Лк), s = 0,...,q - 1, (2.3)

k = 1 k=1

где Ak — корни уравнения (1.5), причем абсолютная погрешность формулы (2.3) вычисляется по формуле (2.2) при z0 = 0.

3. Подбирая коэффициенты полинома P(A) соответствующим образом, из частичной суммы задан-

ГО

ной аналитической функции /(z) = Y Ck(z — z0)k с ненулевыми коэффициентами Тейлора Ck можно

k=0

q —1

получить частичную сумму Y Pq—scs(z — z0)s любой аналитической в окрестности точки z0 функции.

s=0

Тем самым можно аппроксимировать любую аналитическую в окрестности точки z0 функцию g(z), зная значения некоторой фиксированной функции /(z) (этот вопрос рассматривался также в работах

[1,2]).

Рассмотрим, к примеру, случай z0 = 0, /(z) = ez, g(z) = cos z. Пусть m — некоторое натуральное

2m+1

число, q = 2m + 1, коэффициенты многочлена P(A) = Y PsAs с нечетными номерами вычисляются

s=1

так: p2m+3—2k = (—1)k—1, k = 1,..., m +1, коэффициенты с четными номерами равны нулю. Тогда

m+1 \2m+2 і (___i\m

P(A) = ^ (—1)k—1A2m+3—2k = a A + ( X)

1 +A2

и из (1.1) получается формула

" Akm+2 + (-1)

\2Ш+2 + (____1)m

k + ( 1) k z

k=i 1 + Ak

В (2.4) числа А& являются корнями уравнения (1.5), абсолютная погрешность вычисляется по формуле

(2.2) при zo = 0, М(г) = ег.

3. ЗАМЕЧАНИЕ О ТОЧНОСТИ ОДНОЙ ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В работах [4, 5] получен следующий результат о численном дифференцировании аналитических функций.

Теорема A [4, 5]. Для любой аналитической в и(г, z0) функции / имеем:

П

/ /(^о) = -п ■/ (zo) + 5^ / (zo + т-1) +5(/; *о >п) (3.1)

к=1

с погрешностью |5(/; z0, п)| < 5п(5/(пг))пМ(г), п > 6/г, где тк — корни уравнения (1.5) при q = 1. Этот результат можно дополнить.

Теорема 2. Для любого многочлена ) степени в < п формула (3.1) точна, то есть

П

Ps (z) = _n ■ (z) + Ps(z + Ak). (3.2)

к=1

Доказательство. При 5 = 0 равенство (3.2) выполняется очевидным образом для любого набора чисел А*. Пусть имеется набор комплексных чисел А*, для которых выполняется равенство (3.2) при

5 = 1,п. Через $т обозначим степенные суммы (1.4). При 5 = 1, 2 из равенства (3.2) получаем

П П

1 = _п ■ г + ^ ^(г + А*) = 51, 2 ■ г = _п ■ г2 + ^ ^(г + А*)2 = 2г51 + 52. к=1 *=1

Отсюда находим 51 = 1, 52 = 0. Докажем далее по индукции, что 5т = 0 при т = 3,-^п. Действительно, предположим, что 5т = 0 при всех т = 3,..., д, д < п. Покажем, что и 5^+1 = 0. Воспользуемся равенством (3.2) при Р^+1(г) = г^+1:

^ + 1

(д + 1^ = -^^ + + Ак)^+1 = -п ■ z^+1 + ^ +^+1-5

к=1

5=0

Отсюда по предположению индукции получаем

(д + 1^ = nz ^+1 + z^+1So + (д + 1)z ^ 5 + 5^+1,

т.е. 5^+1 = 0.

Таким образом, 51 = 1 и 5т = 0 при т = 2,...,п. Отсюда однозначно определяются числа А1 = т—1,..., Ап = т-1, как это уже делалось выше (см. (1.5) при q =1). □

Следствие. Для любых і = 2,..., в

рМ(2) = (-пИ ■ Р.(г) + £Ск(-п)

У-к

к = 1

Р (z+А

ік =1

+------------+ Аік ).

(3.3)

і 1 = 1

Аналогичное приближенное равенство (3.3) для произвольных аналитических функций с соответствующей оценкой погрешности приведено в работе [6].

Библиографический список

1. Данченко В.И. Об аппроксимативных свойствах сумм вида ^к ХкЬ,(Хкг) // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2006. С. 86-88.

2. Данченко В.И. Об аппроксимации суммами вида '¡Г,к Хк НХкг) // Третья Петрозаводская Международная конференция по теории функций комплексного переменного, посвященная 100-летию Г.М. Голузина. Петрозаводск, 2006. С. 18-20.

3. Фрянцев А.В. О численной аппроксимации дифференциальных полиномов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тр. воронеж. зим-

ней мат. шк. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2007. С. 233-234.

4. Данченко В.И. Оценки производных наипростейших дробей и другие вопросы // Мат. сб. 2006. Т. 197, № 4. С. 33-52.

5. Данченко В.И., Данченко Д.Я. О приближении наипростейшими дробями // Мат. заметки. 2001. Т. 70, № 4. С. 553-559.

6. Кувшинов А.А. О численном дифференцировании аналитических функций // Дифференциальные уравнения и динамические системы: Тез. докл. Суздаль, 2006. С. 133-134.

п

п

п