CC BY
32
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №7_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Л.Г.Файзмамадова
О ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПЕРВОГО РОДА
Горно-металлургический институт Таджикистана, г.Чкаловск
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.05.2012 г.)
В работе для классов дифференцируемых функций, заданных на кривой, найдены оптимальные квадратурные формулы вычисления криволинейных интегралов первого рода.
Ключевые слова: квадратурная формула - вектор коэффициентов и узлов - погрешность - точная нижняя грань.
1. В работе [1] рассмотрена задача о приближённом вычислении криволинейного интеграла первого рода
а (/ ,Г) = { / (М = { / (х, у)ф,
г г
где Г - плоская спрямляемая кривая с непрерывной кривизной, а /(М) = /(х, у) - заданная непрерывная вдоль кривой Г функция.
Обозначим через Ыд (Ь) класс плоских спрямляемых кривых Г, у которых длина равна Ь и
кривизна кусочно-непрерывна. Будем полагать, что все кривые Г е (Ь) расположены в области Q = {(х, у) : х2 + у2 < Ь2}. Известно [2], что параметрические уравнения кривой Ге (Ь), отнесённой к длине дуги 5 как параметру, в прямоугольной системе координат Оху имеют вид
х = х(5), у = у(5), 0 < 5 < Ь.
Через ^ е [0, Ь] (0 < ^ < < - • < < % < Ь) обозначим значения длины дуги 5 кривой Г, которые соответствуют точкам Мк еГ , и для вычисления интеграла
J(/,Г) = | /(М№ = | /(х(5), у(5)^
Г Г
вводим в рассмотрении квадратурную формулу
N
а (/, Г) = 2 р/(х(5к ), у(5к )) + Кы (/; Г), (1)
к=1
Адрес для корреспонденции: Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна. 735730, Республика Таджикистан, Согдийская область, г. Чкаловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана. [email protected]
задаваемую векторами коэффициентов P = {рк и узлов S = {sk
(0 < s < s2 < " • < < % < L), Rn (f; Г) := RN (f; Г; P, S) - погрешность формулы на функции f. Если M - некоторый класс заданных на [0, L] функций {f (x(s), y(s)}, то положим
Rn (М;Г; P, S) = sup{| RN (f ;Г; P, S) |: f e M},
Rn (M; Nq (L); P, S) = sup {(RN (M; Г; P, S)) : Г e Nq (L)}. Требуется найти величину
SN (M; Nq (L)) = inf R (M; Nq (L); P, S) : (P, S)} (2)
и указать вектор (P*, S*) (P* = {p*}, S* = {s^}), на котором достигается точная нижняя грань в равенстве (2):
SN (M; Ne (L)) = Rn (M; Nq (L); P% S *).
Квадратурная формула (2) с коэффициентами р* и узлами s^ дает наименьшую на классах функций M и кривых Nq (L) погрешность среди формул (1), задаваемых векторами (P, S), и в этом смысле является наилучшей для классов M и Ng(L). Пусть задан класс W^1)(K;Q) := W(1)L (K;Q) (1 < р < да) функций f (M) = f (x, y), у которых почти всюду в области Q существуют частные производные Bf / Bx,Bf / By и
( L ^1/Р \\g™df\\^oi=\ ji gradf (x(s),y(s)) |p ds < K, (1 <p <да).
P[0,L ] V о J
Через W0(1j(K; Q) обозначим множество функций f e Wp(1) (K; Q) , удовлетворяющих дополнительному условию f (x(0), y(0)) = 0.
В работе [1], в частности, доказано, что наилучшей квадратурной формулой для класса функций W(2 (K; Q) и кривых Nq (L) является формула
L
j f (x(s) y(s)) ds
2L N J ( 2kL Л ( 2kL ^
2 N +1U f [ x \ 2 N +1 )' У \ 2N +1))
+Rn (f ;Г), (3)
при этом
КТЪ/2
¿N (W01)(K; Q); Nq (L))
(2N + 1)л/э" 534
0
Положим
р1 =—, 51 = , к = 1Ы
* (2Ы +1) * 2Ы +1
и решим следующую задачу: требуется для классов функций ^кгЧ К; Q) и кривых (Ь) построить наилучшую квадратурную формулу следующего вида
N
|/ (х(5), у(5))^ = 2 р1/ (х(5°°), у(5°°)) +
0 к=1
+2 Ак/ (х(Гк ), у(Гк ) ) + я; (/;Г), (4)
к=1
где г (к = 1, г) - заданные числа, А (к = 1, г) - произвольные числа, которые надо определить так, чтобы погрешность К« (/;Г) была наименьший. Другими словами, требуется при заданном векторе узлов Т = {гк }Г=1 вычислить величину
¿Ы«,; Q); ^ (Ь);Т) = 1пГ Я«,,; ^ (Ь);Т, Ак) (5)
Ак
и указать коэффициенты А, реализующие точную нижнюю грань в (5).
В работе [1] доказано, что любая функция / е ^ 2 (КQ) может быть представлена в виде
/(хм, *))=} /м. шх+мхм. щл (^ _0+л, (6)
ох ш ду ш)
где
(5 - , ={ еСЛИ ^ > ' ;1.
[0, если 5 < г ]
Подставляя функцию (6) в формулу (4), находим интегральное представление погрешности
К/Т) = }ГСШх + |-ШуЬ(<)Ш<, (7)
о^дх ш ду ш ^
где
Ф(г) = Ь - г - 2 Р (хк0 - г)0 - 2 Ак (Гк - г)0. (8)
к=1 к=1
Применяя неравенство Коши-Буняковского с учётом определения класса (К; Q), из (7) получаем
Ь
я; (/;Г;Т) <|
д/ йх д/ йу дх йя ду йя
V72 гь
Ф(г) I йг <
,1/2
<
|| Егаё/(х(1),у(г)) ^йг -I ||Ф(Г) I2 йг
У V 0
ч 1/2
<
<
к\ ||Ф(г) I2 йг)
(9)
У
Легко проверить, что для кривой Г* ^ (Ь), заданной параметрическими уравнениями х(я) = я / >/2, у(я) = я / -¡2; 0 < я < Ь и определённой на кривой Г* функции
х( я ) у I»
/* (х(я), у(я)) = | (р(г^ + | (р(г)йг,
0 0
принадлежащей классу Щ}2( К; О), где
(10)
<р(г) =
(ь у1/2
К 1| I Ф(я) I2 йя I -|Ф(г)| - ^Ф(г),
N Г
Ф(г) = Ь-*Дгх0 -л/2г )»-£ л, (г, Ф
к=1
£=1
Тг П*1
в неравенстве (9) достигается знак равенства. Для функции (10) непосредственным вычислением имеем:
V/* (х(я), у(я)) := - ^ + / - ^ = Их(я)) - Х(я) + <р(у(я) - у'(я)) = дх ая ду ая
= ^ {^2 ] = К (Ь I Ф(я) I2 йя ] - |Ф(г) - ^Ф(г),
а потому из равенства (7) получаем
ь (ь V7 2
я;(/*;Г*;Т) = {V/*(х(г),у(г))-Ф(г)йг = к| {I Ф(г) I2 йг
О V о
Последнее равенство означает, что
(ь V72
я; (((К; О), N (¿), т, лк) = к{ Ь Ф(г) I2 йг
а отсюда сразу следует соотношение
0
(Ж® (К; Q), N (Ь), Т) = К 1пГ I } | Ф(г) |2 Ш
-1/2
(11)
В равенстве (8) фиксируем следующие параметры
г = п, Г = 0,5(5°°-!+ 5к0) = (2К-1)Ь / (2Ы+1), к = 1,;, ^ = 0 и сводим задачу (11) к минимизации по коэффициентом А интеграла
(12)
Ь Ь
I = ||Ф(012 Ш = |
Ь - г-2 Р0( х0 - г )+-2 Ак (Гк - г)+
к=1
к=1
Из равенства (8) вытекает, что Ф(г) = ЬФ* (), поэтому
имеем:
I = ||Ф(г) |2 Ш = Ь1
П ь
Ь
1
:= Ь1 |Ф*(г) |2 Ж.
Равенство (11) с учётом последнего равенства запишем
« (К; Q), N (Ь), Т) = КЬ 1п/1 11Ф* (г) |2 Ш
,1/2
(13)
Минимизируя правую часть равенства (13), после несложных вычислений с учётом значения (12) получаем (см.[2, с.111])
2 (2к -1) а;+(21 -1) 2 А;=-
1
, I = 0, N; А* = Ак / Ь, к = 1, N;
к=1 к=1+1 к 2(2 N +1)'
имеющее единственное решение А1 = 1 / 2(2N +1), А = А = — = А = 0. Таким образом, для классов функций Ж^1 (К; Q) и кривых (Ь) наилучшая формула (4) с фиксированными значениями (12), получаемая удлинением наилучшей формулы (3), имеет вид
//(х(5),*))*2/[х^\у12кЬ
Л
2 N + 1 К I 2N +1
+ -
Ь
2(2 N +1)
/
Ь
^ у I
Ь
2 N +1 Г I 2N + 1
+ Я* (/ ;Г;Т).
(14)
При этом для оценки погрешности квадратурной формулы (14) на классах функций Жг (К; Q) и кривых Жд (Ь) справедливо равенство
£1 (Ж, (К; ^^^ N ^ (Ь); Т) = ^ (Ж, (К; ^^^ N ^ (Ь) ). 1
4(2N +1)
0
0
0
KL
■3/2
1 -
(2N + 1)л/3 \ 4(2N +1)'
2. Для класса Ж>(1)(К;О) при заданных векторов коэффициентов Р0 = {р"}^ , £0 = {я0}^ и Т0 = {г° };=1 будем искать наилучшую квадратурную формулу более общего вида
L N
j f (x(s), y(s))ds = U pf (x(s0), y(s0) + A(f (x(0), y(0))
0 k=1
+
N
+U Akf(x(rD, y(rD) + RN (f; Г; A). (15)
k=1
Прежде всего заметим, что в силу включения W^1 (K; Q) e W>(1) (K; Q) справедливо неравенство
s; (W0g(K; Q); Nq (L)) < ¿N* (W2(1)(K; Q); NQ (L)). (16)
Пусть формула (15) точна для f (x, y) = const. Тогда из (15) находим равенство
N
A = L — U (A + p^ ), используя которое запишем погрешность формулы (15) в виде
k=1
R; (f ;Г) = R; (f—f (x(0), у(0));Г), а последнее равенство означает, что
с (W>(1) (K; Q); NQ (L)) < С (Wg(K; Q); NQ (L)). (17)
Сопоставляя неравенства (16) и (17), будем иметь
с W02(K; Q); NQ (L)) = s; (W2(1)(K;Q); Nq (L)).
Из полученного равенства и из результатов пункта 1 следует, что наилучшей для класса WP( K;Q) формулой является следующая
jf(x(s),y(s))ds^¿ffxf^l,y\ 2kL "
+-
L
2(2 N +1)
2 N +
f (x(0), y(0)) + f
f ( L
2N + 1) I 2N +1
x
> У
L
У 2N +1 J у 2N +1J
+R"" (f ;Г),
погрешность которой равна
¿N*(W2(1)( K; Q), Nq (L) ):
KL
•. 1 — -
(2N + 1)V3 V 4(2N +1)
а в качестве (3) взята наилучшая для классов W>(1) (K; Q) формула
3
0
3
L
{ f (x(s), y(s)) ds « 0
2L ^ J f 2kL Л f 2kL ^ L
--> f I xI-I,yl-I +-f (x(0),y(0)).
2N +1tT ^ ^2N +1J42N+1)) 2N +1 "
ЛИТЕРАТУРА
1. Шабозов М.Ш.,Файзмамадова Л.Г. - Изв. АН РТ, Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. н., 2012, №2, с.7-15.
2. Левин М.И. - Изв.АН Эст.ССР, серия физ.-мат., 1963, №4.
Поступило 23.05.2012 г.
Л.Г.Файзмамадова
ОИДИ ИНТЕГРОНИИ АДАДИИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КА^ХАТТАИ НАВЪИ
ЯКУМ
Донишкадаику^й-металлургии Тоцикистон, ш.Чкаловск
Дар макола барои баъзе синфи функсиях,ои дифференсиронидашавандаи дар хати качи суфта додашуда, формулами оптималии квадратурй барои интегронии ададии интегралх,ои качхаттаи чинси якум, ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: формулаи квадратуры - вектори коэффитсиентуо ва гиреууо - хатоги -саруади анщи поёны.
L.G.Fayzmamadova
ON THE BEST QUADRATIC FORMULA FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRAL OF FIRST KIND
The Institute of Mining and Smelting of Tajikistan, Chkalovsk In this paper for some differential classes of functions given on curve were found the optimal quadrature formulas for calculating curvilinear integrals of first kind.
Key words: quadratic formula - coefficient's vector's and nodus - error - lower boundary.
