О числе спектральных типов обратимых динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 37J05

О ЧИСЛЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ТИПОВ ОБРАТИМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Ю.П. Вирченко, A.B. Субботин

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Вводится понятие епектральжнх) типа для обратимых динамических систем четной размерности, изучение которых начато в предыдущих работах авторов. Задача о перс-числении этих спектральных типов сводится к перечислению спектральных типов матриц четной размерности, которые обладают «симметричным» спектральным разложением. Ставится комбинаторная задача о вычислении числа N2n спектральных типов таких матриц размерности 2n и дается ее решение в терминах производящей функции.

Ключевые слова: обратимые динамические системы, касательная динамическая система, спектральный тип матрицы, производящая функция.

1. Введение. Пусть Мп линейное многообразие Мп квадратных матриц фиксированного порядка п € N. Каждая матрица А € Мп характеризуется набором п = (п1, п2, п3,...), в котором п € N+5 € N и п1 + 2п2 + 3п3 + ... = п = |п|_ Этот набор определяет структуру ее спектрального (канонического треугольного жорданова) представления (см., например, |1| )

А = 003, + N), (1)

3= 1 к= 1

где 1з - единичные матрицы порядка А3;к - собственные числа (возможно, среди них есть совпадающие) матрицы А и N3 - стандартные нильпотентные матрицы порядка ] с тем же порядком нильпотентности, N3 = 0 и = 0, ] = 1 — з, оде в - число клеток Жордапа в каноническом разложении матрицы (число ненулевых компонент в наборе п). Таким образом, каждая нильпонентная матрица порядка т € N в жордановом представлении любой матрицы А € Шп имеет вид

= ёк+1,1, к,1 = 1 - т.

п

рицы А. Квадратные матрицы А и В одинакового порядка п € N эквивалентны друг другу, если имеется связывающая их неособенная матрица Ч, Ч = 0 такая, что

UAU-1 = Ъ, Очевидно, что необходимым условием для того, чтобы матрицы A и Ъ из Mn были эквивалентны друг другу, является совпадение их типа спектрального разложения. Поэтому линейное многообразие Mn представляется в виде дизъюнктивного объединения классов Kn матриц фиксированного спектрального типа п. Это является следствием классической теоремы Жордапа (см., например, |1|) о приведении матриц к жорданову представлению. Будем, далее, обозначать посредством Nn число классов Kn, составляющих это объединение. Представляет интерес оценка (вычисление) этого числа для каждого значения n £ N.

Nn

пую роль будет играть другая комбинаторная задача. Обобщим теперь понятие экви-

A

и BB одинакового порядка n £ N спектрально эквивалентны друг другу, если имеются две неособенные матрицы U1 и U2, det Uk = 0, k = 1, 2 такие, что U1AU-1 = Ъ. Введем теперь, в дополнение к тину спектрального разложения, характеристику, которая представляется набором k = (k1; k2,...), где каждое число kj, j = 1 ^ s равно числу тех клеток Жордана в j-й компоненте разложении (1), для которых Aj,k = 0. Тогда kj < nj j = 1 ^ s, Набор k будем называть спектральной характеристикой нулевого инвариантного пространства матрицы A, Нетрудно доказать, что матрицы A и Ъ

n£N

том случае, когда у них совпадают: спектральный тин и спектральный тин нулевого пространства. Аналогично указанному выше распределению матриц линейного многообразия Mn по классам Kn, каждый из этих классов разлагается дизъюнктивно на классы Kn,k спектрально эквивалентных матриц. В связи с этим, возникает комбинаторная задача об оценке числа Nn,k всех классов Kn,k, матриц с фиксированными значениями |п| и |k| = k1 + k2 +... + ks. Ясно, что, вследствие принципа умножения, эта задача имеет простое решение в терминах введенной выше функции Nm, а именно, Nn,k = NkNn-k (см. но этому поводу доказательство теоремы 3).

Значение числа Nn,k тесно связано с числом Nn,k спектральных типов линейных обратимых динамических систем. Линейную динамическую систему четной размерности 2n

X (t), £ R вида

Х = SX

с постоянной матрицей G £ M2n будем называть обратимой (см., [2-6]), если в спектральном разложении (1) для каждого значения j £ N с ненулевой компонентой nj в наборе п выполняется: 1) число m,j всех составляющих спектрального разложения (1) с Aj,k = 0 четно; 2) множество всех таких составляющих представимо в виде дизъюнктивного объединения двух множеств с числом mj/2 элементов в каждом таким образом, что их элементы (Aj,k>Ij + Nj) и (Aj, k»Ij + Nj) находятся в таком биективном соответствии, что Aj, у = — Aj,k/^. ^^^^^теристика NVn,k линейных обратимых систем, введенная выше, равна числу спектральных типов матриц G порядка 2n, v которых суммарный порядок клеток Жордана (Aj,k1j + Nj) с Aj,k = 0, равна 2k.

Nn

числа Мп введем в рассмотрение производящую функцию

те

Р(*) = £; гпнп, N = 1 (2)

п=0

для г € С так, что

N.. = I

п! V ^ / ¿=0

Теорема 1. Производящая функция является аналитической внутри единичного круга, в котором она представляется формулой

те

Р(г) = П(1 - г3)-1 (3)

3 = 1

□ Спектральный тип п = (п1; п2,...) матрицы А порядка п определяется ее каноническим жордаповым представлением, к которому она приводится некоторым преобразованием ЧАЧ-1 с некоторой неособенной матрицей и так, что п3- - числа клеток Жордана порядка ] в этом представлении. Тогда для каждого фиксированного п € N число Мп является числом решений у равнения п1 + 2п2 + 3п3 + ... = п так, что оно представляется следующей суммой

N = ^ 1.

п1,п2,...:

■г^ + 2П2 + ЗП3 +. .. = п

Подставим это выражение и представление

гп = 3

П

3=1

в определение (2) производящей функции Р(г)

те

Р(г) = Е £ П

п=0 п1 ,п2 ,...: 3 = 1

"1+2п2+3пз + ...=п

Переставим суммирования в этом разложении но правилу:

N

^2 ^2 д(п1,п2,п3,...) = ^ д(п1,п2,пз,...),

п=0 п1,п2,пз...:=п п1>п2>.":

П1+2п2 + 3пз + ...<^

выполняющемуся для любой функции д(п1; п2,...), с последующим переходом к пределу N ^ Перестановка суммирований возможна в области сходимости степенного ряда (1). В результате, получаем

тете

Р(г)= Е П3'.

п1,п2,...=0 3=1

те

Выражение в правой части факторизуется в бесконечное произведение рядов, что, опять же, допустимо в области сходимости степенного ряда

Е = П(1 - )

■Л-1

П1,П2,...=0 .7=1

'=1

Число N при малых значениях п легко вычисляется. В частности, N = 1, N = 2, N3 = 3 и N4 = 5, где в последнем случае возможные спектральные типы даются следующими наборами (4, 0, 0, 0), (2,1, 0, 0), (1, 0,1, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 0,1). Однако, комбинаторная функция N очень быстро возрастает и возникает задача о ее асимптотическом вычислении при п ^ то, в простейшем случае, о получении для нее хорошей верхней оценки. Ниже мы даем подход к решению такой задачи, использующий формулу (3), и получении, в рамках этого метода, простой верхней оценки числа Обозначим

~ дп

Сп —

2=0

Тогда справедливы следующие алгебраические преобразования

С.

п+1

дп (д.

дгп \ дг

-Р (г)

2 = 0

дп

д

дгп \ дг

1(1 - ^)

л-1

дП с / д \ С

1=1 4 7 '=1

л-1

'=1

дп А /г'

2 = 0

Е-

1-1

дп с /„1—1

дгп ^ (1 - г1)

1=1 ^ у

с

= Е 'Е

= Е'

2=0 1=1

с п

1=1 т=0

2=0 ¿п .1-1

сЬп (1 — х1) дт г1-1

дгп ^ (1 - г1)2 -1 1=1 1 7 .?

П(1 - г')-1

7 = 1

2=0

Р (г)

2=0

дгт (1 - г1)_

с

= Е 'Е

Вычисляя производную в правой части

2=0 сп

1=1 т=0

дп

дгп

Р (г)

п

т

С

^п—т

2=0

(1т Л'"1

(Ьт (1 - лг)

2=0

_сЬт (1 - лг)_

2=0

(1т сЬт

Е*

к=1

1к—1

Е ,„(//''... ':'!,„ • " " 1) • ^т,1к—\

2=0 к=1

(/к - т - 1)!

где 0(т) = {1,т € N+0;0,m < 0} при т € В результате, получаем рекуррентное соотношение для величин Сп, п € N

Сп+1 ^]'

сп

п

1=1 т=0

п-

т

Сп_т ^ • 0(1 к - т - 1) • 6т,1к-1

^ ('к - т - 1)!

с

с

Так как Сп/п! = Мп, то го этой рекуррентной связи следует связь между числами Мп

1 те п 1 те 1 те

N„+1 = ——Г У" / У^ —У^ -9(1к-т- 1)-8т,1к-1 = —~~г У^ Шп_1к+1в(п-1к+1) = п + 1 т! п +1

1=1 т=0 к=1 к,1=1

л 1 п+1 1 п+1

Е Шп-1к+1 - —ГТ Е ^п-р+1 Е I - ——Т Е ^п-р+хЬр

II /у п—. -1 / п-рт^ / у II

п + 1 п + 1 п + 1

к,1: р=1 I :Р/г, р=1

1<гь<п+1 Р>г>1

Комбинаторная функция Ьр, р € N в правой части пред ставима в виде

^ = Е 1 = П (1 + • (4)

I : р/1 д —простые:

1<1<Р Р=П д

Таким образом, нами доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Числа Мп, п € N удовлетворяют системе рекуррентных соотношений

1 п+1

N■>2+1 = 1 Е ^п-р+гРр, (5)

п + 1

р=1

где комбинаторная функция Ьр, р € N определяется равенством (4).

На основе полученного рекуррентного соотношения имеется возможность вычисления комбинаторной функции Мп, не прибегая к перебору возможных спектральных

п

получается верхняя оценка числа Мп для больших значений п. Следствие. Имеет место следующая верхняя оценка

2п!

Я„<^-(1+1п(1 + /г))га+1. (5)

п+2

□ Заметим, что для значений р = 1, 2,..., п + 1 выполнявтся Нп—р+1; ввиду монотонного возрастания Ып. Тогда го (5) следует, что ^п+1 < Ып шах(Ьр; р =1 — п +1}.

Получим эффективную верхнюю оценку для комбинаторной функции Ьр. Пусть (1,п1; •••,п8 = р) - упорядоченный по возрастанию набор частных от деления числа р, на его делители. При этом в < р и п, > 7,7 = 1 — в, Тогда

1 ^ 1

ьр = р У, ~ - Р ~ ■

п, 7

3=1 3 3=1 и

Следовательно, ^п+1 < ^п$п+1, где

п

г - Е / •

1=11

Итерация последнего неравенства приводит к оценке

п

N < ыЦ $

1=1

так, что дня получения нужного неравенства нужно оценить сверху произведение сумм $1. Ввиду монотонного убывания функции ж-1, имеем

п

^ж

_ . , . — = 1 + 1п п . I I ж

1=1 1

Тогда справедлива оценка сверху произведения

пп

1^1 < ехр ^1п(1 + 1п /) , 1=1 1=1

где сумма в показателе экспоненты, ввиду монотонного возрастания функции 1п(1+1п ж) оценивается сверху интегралом

п п+1 п+1

1п(1 + 1п I) < I 1п( 1 + 1пх)(1х = (п + 1) 1п(1 + 1п(п +1)) ^ ^

1=1 1 1

1 + 1п ж '

и, так как 1п ж < ж при ж > 1, то последний интеграл оценивается снизу величиной 1п(п + 1)/2. Следовательно,

п 2

П51<-^(1 + 1п(1 + п))"+1.И 1=1 п + 2

Теорема 3. Пусть Мп,к - число спектральных типов матриц 3 порядка 2п с суммарного порядка 2к клеток Жордана в каноническом представлении, имеющих пулевые собственные числа, с симметричным спектральным разложением. Тогда имеет место равенство

^п,к = ^2к^п-к •

□ Так как матрица 3 имеет симметричное спектральное разложение, то клетки Жордана с ненулевыми собственными числами в ее каноническом представлении, число которых равно 2(п — к), разбиваются на пары так, что матрицы в каждой паре имеют одинаковый порядок. Поэтому спектральный тип матрицы, составленной из клеток, которые являются первыми в каждой паре, полностью определяет спектральный тип всей матрицы, составленный из клеток с ненулевыми собственными числами. Число спектральных типов таких матриц равна ^п-к.

Далее, при при фиксации спектрального тина матрицы, составленной из таких клеток Жордапа с ненулевыми собственными числами, спектральный тин всей матрицы G определяется выбором спектрального типа матрицы, составленной из клеток Жордапа с нулевыми собственными числами. Число возможностей выбрать спектральный тип этой части матрицы G равно N2k, Тогда, в силу принципа умножения, имеем

Nn,k = Nn-kN2k- И

Литература

1. Гантмахср Ф.Р. Теория матриц / М.: Наука, 1966. 576 с.

2. Вирчснко Ю.П., Субботин А.В. Свойство локальной обратимости гамильтоновых динамических систем /7 Материалы Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» Белгород, 17-21 октября 2011 / С.37-38.

3. Вирчснко Ю.П., Субботин А.В. Симметричность спектра линейных гамильтоновых систем /7 Belgorod State University Scientific Bulletin. 2011. 17(112);24. C.179-180.

4. Вирчснко Ю.П., Субботин А.В. Полностью вырожденные линейные гамильтоновы системы /7 Belgorod State University Scientific Bulletin. 2012. 23(142);29. C.215-218.

5. Вирчснко Ю.П., Субботин А.В. Характеризация линейных гамильтоновых систем /7 Материалы международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» 26-31 мая 2013, Белгород / Белгород: Политерра, 2013. С.180-181.

6. Вирчснко Ю.П., Субботин А.В. О спектральном разложении генераторов гамильтоновых систем /7 Belgorod State University Scientific Bulletin. 2013. 5(148);30. C.135-141.

ABOUT CLASS OF HAMILTONIAN MATRICES Yu.P. Virchenko, A.V. Subbotin

Belgorod State University, Studericheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-maiI:[email protected]

Abstract. The concept of spectral type of reversible dynamic systems having even dimension is introduced. The studv of such a type systems has began by authors in previous papers. The problem of the number NV2n enumeration of dynamic systems spectral types is reduced to the enumeration of spectral types of matrices with even degrees which have the "symmetric"spectral decomposition. The combinatorial problem of evaluation the number NV2n is set. The solution of this problem is proposed in terms of the generation function of the spectral types number which may be realized when matrices have 2n degrees.

Key words: hamiltonian systems, reversible dynamic systems, tangential dynamic system, spectral type of matrix, generation function.