О числе решений бигармонического уравнения в областях с угловыми точками в пространствах Соболева Текст научной статьи по специальности «Математика»

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА

Г. А. Кузнецов Челябинский государственный университет

Найдены размерности ядра и коядра бигармонического оператора Д2,

о

действующего и ч пространства (Ü) в И^Г2(0), для плоских областей О с единственной угловой точкой.

Хорошо известно, что при р ~ 2 этот оператор биективен в произвольной области. Для областей с кусочно-гладкими границами в работе [1] указан точный интервал изменения параметра р, в котором биективность сохраняется. Размерное ги ядра и коядра оператора

д щ (п) -

для областей О с кусочно-гладкими границами без внешних точек заострения вычислены в [2].

Дадим краткое описание результатов данной статьи. Символом К будем обозначать угол на плоскости R2'

К — {(г, в) г > 0,0 € (0, а)}, где (г, в) — полярные координата с центром в точке О, о — раствор угла Пусть О — область в R2 такая, что в круге Вд — {г < d} она совпадает с углом К и вне любой окрестности точки О контур DU гладкий. В области Г2 рассмотрим краевую задачу

д2« = /, u eWp2 (Q), / е w;2(ü), Ге(i,+oo) (i)

Предложение 1 (пункт 1) доставляет значения параметра р, для которых однородная задача (1) имеет только нулевое решение, там же найден интервал для р, в котором задача (1) разрешима для всех правых частей / из W~2((2) Основной результат о числе решений однородной задачи (1) доказывается в пункте 3.1. Коядро оператора Д2 вычисляется в теореме 2 (пункт 3.2.).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю A.A. Соловьёву за ценные советы и полезные обсуждения результатов данной работы.

70

Г. А. КУЗНЕЦОВ

1. Обозначим через 70 наименьший положительный корень уравнения

sin2 az = г1 sin2 а , г € С , (2)

а через 71 — следующий за ним положительный корень, положим Ро = 2/(70 + 1), Pi = 2/(71 + 1). Пусть с*о — корень уравнения

а = tga, а G (0,2тт). (3)

Если показатель р 6 (1, +оо) такой, что

р-2

Р

то справедливо следующее разложение

< То >

LP(Q) = Lp (П) Ф Д Wр2 (Q) (см.[1]), (4)

где Lp — подпространство гармонических функций,

Д Жр2 (П) -{«£ Lp(fi) u = Av,v €Wp (О)} . Предложв;ние 1.

a) Однородная задача (1) имеет только нулевое решение в пространстве

о

Wp (П), если выполняется неравенство ,

P ~ 2 < Р7о •

о

b) Для любой функции / g ЬР(Ы) существует функция u £Wp (П) такая, что А2и — /(в обобщенном смысле), если выполняется неравенство

-Plo < Р - 2 .

Доказательство

а) Выберем число г так, чтобы выполнялись неравенства 1 < г < р и

(5)

о

Пусть u €VV2 (S2) — является решением однородной задачи (1), тогда

о

u &W? (П), где 1 < г < р. Так как Д(Ди) = 0, то Аи £ L^(Q). Для выбранного г справедливо разложение (4), поэтому Аи = 0 в £2. Из теоремы вложения Соболева (см., например, [4, с. 49]) следует, что и непрерывна вплоть до границы, к тому же она обращается в ноль на границе, тогда согласно принципу максимума для гармонической функции и = 0 в О.

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ

И

Ь) Рассмотрим функцию

п

Эта функция по теореме об интегральном операторе со слабой особенностью (см , например, [4, с 26]) принадлежит пространству Lq(U), для некоторого q > р. Выберем число г так, чтобы выполнялись неравенства р < г < q и (5), тогда v — Рпv + Аи, где p¡\ • Lr(fi) —+ L,(Q) — оператор проектирования.

о

Таким образом, существует функция и 6 Wjj (Q) такая, что А2и =- /, так как áv — /. Предложение доказано.

2.1. Рассмотрим вопрос о корнях уравнения (2) в полосе 0 < Re < 1.

Лемма 1. Уравнение (2) в лолосе 0 < Rez < 1

a) не имеет корней, если а 6 (0, тг);

b) имеет один корень, если а 6 (тг, «о),

c) имеет два корня, если а € («о, 2ir).

Доказательство. Пусть Imz = 0, тогда (2) примет вид

sin2 (ах) = х2 sin2 а, 0 < х < 1 . (6)

Это уравнение имеет два корня на отрезке [0, ж/а], так как sin ах — выпуклая вверл функция на этом отрезке. Ясно, что х — 0 и х — 1 являются корнями уравнения (6). Поэтому при а € (0, тг) уравнение (6) в интервале (0, 1) решений не имеет.

Так как ж/а < 1 при cv € (ir, 2тг), то уравнение (6) имеет решение 70 £ (0,1). Рассмотрим функцию f(x) = a; sin а — sinaz. Эта функция на отрезке [0,1] имеет один минимум при а £ (ir, «о) и имеет минимум и максимум при а € (ао,2тг). Так как /(0) = /(I) = 0, то уравнение (6) в интервале (0,1) имеет только один корень 70, при а 6 (тг,а0) и имеет два корня y0l 71, при а е (а0,2тг).

Рассмотрим случай с) (остальные рассматриваются аналогично). 1) Докажем, что в полосах 0 < Re г < хо и х\ < Re г < 1 уравнение (2) решений не имеет. Для этого в уравнении

sin («я) = zsin а , (7)

выделим мнимую и вещественную часги. Имеем

sin (ах) ch (пу) = х sin а со& (ах) sh (ау) = у sin а

72

Г. А. КУЗНЕЦОВ

Возведем уравнения этой системы в квадрат и сложим, тогда sh¿ (ау) — у2 sin2 а — х2 sin2 а — sin2 (аж) .

Так как в этих полосах

то

[sin («г*)| > ¡ж sin а sh2(ау) - а2у2

sin2 а

2 -

< О

Так как (l/a)|sina| < 1, то

shJ (ау) - а2г/ < 0 .

А это возможно только тогда, когда у — 0.

Случай 1) полностью доказывает отсутствие корней уравнения (2), отличных от вещественных, в полосе 0 < Re г < 1, при а 6 (0, ж).

2) Докажем, что в полосе Хд < Re г < ir/a уравнение (2) решений не имеет Для этого в системе (8) разделим первое уравнение на второе (если у / 0), получим

tg(ax) th(at/) X у

При а £ (ir.'lv) имеем, что то € (к/2а, ж ¡а). Следовательно tg (ах) < 0. при х 6 {Уй,ж/а). Заметим, что если у является решением системы (8), то и —у так же является решением. Положим у > 0, тогда получим противоречие вида

о > Mlí^l = th М > о

X у

3) Докажем, что в полосе ж/а < Rez < х\ уравнение (2) решений не имеет. Воспользуемся принципом аргумента. Выберем прямоугольную область

П = {(ж, у) : ж/а < х < х\ , 0 < у < Y}, где У - достаточно большое число. Образ f(z) = sin(az) — z sin», при г £ сШ лежит в верхней полуплоскости, следовательно f(z) не имеет корней в области II. Лемма доказана. 2.2. Рассмотрим краевую задачу

Д'и = / , « ew; (А'), / е W-¿(K)

(9)

При замене (г, в) к-» (¿, 9), где I = 1п г, угол К перейдет в полосу П = (о, а) х II, а задача (9) примет вид

' лд д2 д2

4 _ 4--1---1--

di dt2 дв2

о^ dt2 + дв2

и(1,в) = f(t,6) в II

(10)

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ

73

с граничными условиями

"ко = Ч=а =0 и 0«/И=о - =0 •

Применим к уравнению (10) преобразование Фурье по переменной /

F[u](A) = Je-mf(t,Ü)at, леи. Л

В результате получим семейство краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения

(2 - гА)2 +

дв2

-а2 +

дП до2

ü(9) = f(9) , 0£(0,а)

с краевыми условиями

«(0) = û(a) = 0 и (дй/двЩ = (дй/дв)(а) = 0,

(П)

(12)

зависящее от комплексного параметра А Это семейство задает операторный пучок А 1-> Ы(А) Оператор ¿/-1(А) является голоморфным всюду, за исключением полюсов — собственных чисел оператора И(А).

Лемма 2 Собственные числа оператора U(X) являются решениями уравнения sin2 ((1 - А/)«) = (1 - Ai')2 sin2 a (13)

Доказательство. Заметим, что в полюсах оператора U~l(А) функция Грина задачи (Н)-(12) не существует Функцию Грина (см, например, [5, с. 188]) можно построить следующим образом. На первом шаге находим решения ci, С2, сз, с4 системы линейных уравнений

/ ех*

\ехв

е-хв e(2i + a)0 е-(2»+а)0 \

—\е~хв (2¿ + А)е(2!+Л)" -(2г + А)е-(2,+л)*

А2еЛ9 А2е-Л" (2¿ + А)2е(2'+Л)" (2¿ + А)2е-(2,+л)й V А3еАв —А3е~Л9 (2i + А)3е(2'+Л>' -(2г + А)3е~(2'+Л)е )

( с, \ /o^

С2 0

сз 0

1 С4 } \1)

,(Н)

где (елв, е_лв, е~(2,+л^) = (у\, уг, Уз, 2/4) — фундаментальная система

решений уравнения (11) На втором шаге решим систему

tf4 Г. А. КУЗНЕЦОВ

/ 1

еХа е~Ао

1

е(2.+А)а

(2 i + Л)

1

e-(2i + A)cr

—(2г+ Л)

() ( А

Ъ2 В

6з 0

\ь4 ) \0 /

. (15)

V ХеХа —Хе~Ха (2г +А)е(2!+Л)а -(2г + А)е-<а,+А)в / где А — ci + С2 + сз + с4, В — Ас] — Лс2 + (2г + А)сз — (2г -(- А)с4 Наконец,

положив а„ = bv — Ci/, получим

1С> а< х <( <*>

V-1

4

)Г] Ьиу„ , а < (; < х < b 1/=1

Функция Грина существует только при тех значениях А, при которых определители систем (14) и (15) отличны от нуля. Определитель системы (14) равен нулю при А = 0,— г,-2г. Нулями определителя системы (15) являются корни уравнения (13). Поэтому собственные числа оператора находятся среди корней уравнения (13). Лемма доказана.

2.3. Следующая лемма даёт конкретные решения однородной задачи (1).

Лемма 3.

о

a) Однородная задача (I) имеет ненулевое решение в пространстве IV2 (П), Р 6 (1,Ро), если п Е (я, «о)-

b) Однородная задача (1) имеет два линейно независимых решения в про-

0

странстве (О), р € (1,Ро), если а Е (ж, а0)

Доказательство. Решение однородной задачи (9) в угле К будем искать в виде и — г7у>(0), 7 6. К. Тогда <р удовлетворяет уравнению

d2<p <3V _ „ дв2 двЛ

(16) (17)

(7-2)2)V+ [(7-2)2 + 72 и граничным условиям

у?(0) ;= <р(а) = 0~ и (д<р/Я0)(0) = {0<?1дв)(п) = 0 Характеристическое уравнение

*4+[(7-2)2+72]*2 + (7-2)V = 0 имеет четыре корня

а-1,2 = ±¿7 > жз,4 = ±г(7 ~ 2) При 7 ф 1 — среди корней нет кратных, поэтому общее решение уравнения

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ

7й

(16) запишется в виде

= схе^ + с2е-^ + сзе^'+т)" + сАе~(21+^в

Для того, чтобы выполнялись граничные условия (17) и <р не была тождественным нулем, необходимо выполнение следующего равенства

вш2 ((1 — 7)«) = (1 — у)2 эт2 а . (18)

Функция и = г7у>(0) принадлежит пространству УУр(К П Яд), если (7 - 2)р + 1 > -1 или 7-1 > (р - 2)/р. В пространстве И^22(Л" П Взадача (9) имеет только нулевое решение. Ввиду этого нас будут интересовать только те функции, которые не принадлежат УУ2(КС\Вд), в частности должно выполнятся неравенство 7 — 1 < 0.

Таким образом решением однородной задачи (1) будет функция вида ь = й + хат1 <р(@), где Хл — срезающая функция из Со°[0,^), равная единице при г < <1/2, й — единственное решение задачи Д2и> — /, / = - А2хгу<р{0) £ И/2~2(0) (см. предложение 1). Согласно лемме 1 однородная задача (1) в случае а) имеет решение ^о = й+х<1гХ~'*0'ро(9), а в случае Ь) имеет два решения «о — й> + х<И'}~'Уо<ра{9), т>1 - и; + х^1-71 <Р\(9)- Лемма доказана.

3.1. Введем пространство И^ДП) как пополнение множества Со°(П) по норме

где р€ (1,+оо), Р £ К, / = 0,1,... Теорема 1

a) Однородная задача (1) имеет только нулевое решение при р £ (1, +оо) в

Жр2(«), если а £ (0, я-),

b) Однородная задача (1) имеет одномерное пространство решений при

о

Р £ (1,Ро) и имеет только тривиальное решение при р £ (р0,+оо) в V/2 (П), если а £ (7Г, «о)-

c) Однородная задача (1) имеет двумерное пространство решений при

Р £ 0>Р1)> имеет одномерное пространство решений при р 6 (рьро) и имеет

о

только тривиальное решение при р 6 (ро, оо) в Ж2 (О), если а £ (ао, 2тг).

о

Доказательство. Пусть и ЕМУ2 (О) — решение однородной задачи (1). Рассмотрим задачу

Д2н> = Г , и; £Ж2 (К), ($9)

где F = [А2,хл/2]и = (Д2Хй/2 - Хй/г^2)«- Сделаем замену £ = 1пг Тогда

чг

76

Г А КУЗНЕЦОВ

функция w(t,0) принадлежит пространству W2_7¡p, (П) (l/p+1/p' = 1) С помощью разбиения единицы <рк, подчиненного покрытию {/<(!</+ 1,/ € Z} и локальной оценки

у; / <pk(t)\Daw(t,e)\p dt d9 < w<4Vsuppv„

< Cl [ фк{1)\Р(г1в)\р dtde+ Í фк{1)\г»(1,в)\р dt de), \J suppôt, J supp^* J

где i>k(i) = 1 на supp <pk(t), получаем, что w G W*_2(,p,(7r) Функция

о

Xd/2U (-Ю является решением задачи (19) Из теоремы об ассимптотике решения (см [3, с 100]) следует, что для (xd/2u)(t,0) справедливо разложение

(Xd/2u){t, в) = A0u0(t, 9) V + Anun(t,9) + v(t, 0),

где Л0, , Ап £ С, \d¡2« € v ^ %4;-1+£(П), n — число собствен-

ных значений пучка A i-+ ¿/(А),заключенных между прямыми R.+ г(—2/р') и R + i(—1 -f-e) Из лемм 2 и 1 следует что между этими прямыми собственных значений не более двух, если а £ («о.2тг), не более одного, если а £ (тг с*о) и вообще нет, если а £ (0,тг)

Рассмотрим случай, когда а £ (ао,'2тг) (остальные рассматриваются ai ¡а логично), тогда \dj2й — + A\U\ + v По теореме вложения Соболева (см , например, [4 с 50]) получаем, чго

IK Wf(n,)|| < C||w, И^(П,)1|,

где П) — (0, а) х (1,1 + Í), 2¡q' = 1 — е Toi да с помощью разбиения единицы, подчиненного покрытию < t < l + 1, / € Z} получим что v £ Wj _2/?'(Ш Сделаем обратную замену г = е*, тогда v(r,&) £ l^(À') Можно считать, что suppv(r, в) С (П П Bd), следовательно v(r, в) £ Из предложения 1

о

следует, что существует единственная функция щ £W2 (Í2) такая, что Д2и0 = —A2Xduo Аналогично найдем функцию щ Положим щ = хио + ^о, щ — YM] + «[, тогда, используя равенство

и - Хаи + (1 ~Xd)u,

получим, что разность

и - Л о «о = v + (1 - \л)и - A0ü0 - Aiui

о

принадлежит пространству W2 (£2) Так как функция слева является решением однородной задачи (1), то и 4- (1 ~ Xd)u ~ AqU(, — А1Щ = 0 (см предложение 1) Таким образом, и = Aquo + AiU\, те пространство решений не более чем двумерно Применение леммы 3 завершает доказательство теоремы 3.2. В заключение докажем теорему о размерности коядра оператора Д2

о

действующего из пространства W2 (П) в пространство W~2(il)

О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ

77

Теорема 2. Коядро оператора А2

a) нулевое при р 6 (1, +оо), если а е (0, ж);

b) одномерное при р/(р - 1) € (1,ро) и нулевое при р/(р - 1) € (ро, +оо), если а € (тг, а0);

c) двумерное при р/(р - 1) € (l,Pi), одномерное при р/(р - 1) € (рьро) и нулевое при р/(р~ 1) € (р0,+оо), если а G (а0,2тг).

Доказательство. Обозначим через Д2 оператор Д2 в пространстве

о о

W? (Й), г 6 (1,+оо). Учитывая, что пространство Wр2 (О)* изоморфно

о

W~,2(Q), а пространство W2 (Q) рефлексивно, получаем, что сопряженный оператор (Др)* отождествим с оператором Др/ (р' ~ р/(р — 1)). Из теоремы 1 следует утверждение данной теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Соловьёв A.A.. Оценки в Lp интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гармонических функций // Сиб. мат. журн. 1985. Т. XXVI. № 3. С. 168-191.

[2] Соловьев A.A.. Об индексе оператора задачи Дирихле в области с кусочно-гладкой или радоновской границей Изв. вузов. Математика. 1991. № 11. С. 60-66.

[3] Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

[4] Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. шк., 1977.

[5] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1976.