О четырехзначных регулярных логиках Текст научной статьи по специальности «Математика»

О четырехзначных регулярных логиках

Н.Е. Томов а

abstract. A set of four-valued regular logics is introduced in the article. It is shown that the set of four-valued regular logics does not coincide with the set of four-valued monotonic logics (if the set {1, 0, |, ^ } is ordered by that way: 3 ^ 0 1 ^ 11 ^ §> 0 ^ 3, and 1 and 0 noncomparable).

Ключевые слова: трехзначные логики Клини, четырехзначные регулярные логики.

1 Введение

Под регулярной логикой будем понимать множество связок {V, ->}, где V есть регулярная дизъюнкция, а — есть отрицание (—1 = 0, —0 = 1, — § = 3, — 3 = 3). Нас будут интересовать только С-расширяющие логики, т. е. логики, в которых таблицы истинности для пропозициональных связок полностью совпада-

{0, 1}

лением значений в классической логике. Говоря неформально,

{0, 1}

ческую двузначную логику.

В работе [1] было представлено семейство трехзначных регулярных логик, описаны их свойства и взаимоотношения. Результаты, полученные в [1], можно обобщить и описать класс всех четырехзначных регулярных логик. Для этого необходимо: 1) вычислить количество всех четырехзначных регулярных логик, а затем 2) найти структуру, которую они могут образовывать. В данной статье остановимся на решении задачи 1). Для этого достаточно вычислить число всех четырехзначных регулярных дизъюнкций.

2 Трехзначные регулярные дизъюнкции

Идея создания многозначных регулярных логик принадлежит С. Клитти [2]. При решении проблемы определения трехзначных логических связок С. Клитти предложил регулярттые таблицы и указал, что эти таблицы ттужтто выбирать регулярттыми в следующем смысле: данный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для 2 только при условии, что этот столбец (эта строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0.

В работе [1] было ттайдетто число всех трехзначных регулярных логик, отто равтто 4. Приведем таблицы для трехзначных регулярттых дизъюнкций:

(I)

V1 1 2 0

1 1 1 1

1 2 1 2 1 2

0 1 2 0

(И)

(ш)

V11 1 2 0

1 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 2 2 1 2 0

V111 1 2 0

1 1 1 1

1 2 2 2 1 2

0 1 2 0

(iv)

1 2 0

1 1 2 1

1 1

2 2 2 2

0 1 2 0

Заметим, что первая таблица соответствует дизъюнкции в сильной логике Клитти, последняя — дизъюнкции в слабой логике Клитти, таблицы (II) и (III) соответствуют дизъюнкциям логики Ызр и дуальной ей логики Т'тЫвр соответственно.

В упомянутой работе [1] было также установлено, что логики Ызр и Т'тЫзр являются промежуточными между сильной и слабой логиками Клитти, а также что мттожество всех трехзначных регулярных логик образует рептетку по отношению Б-включения, причем Кз — является супремумом, а К^ — инфи-ттумом.

3 Семейство четырехзначных регулярных логик

Обобщая свойство регулярности, предложенное С. Клитти, имеем: в случае четырехзначных регулярных логик пропозициональные связки будут определяться регулярными таблицами в следующем смысле: данный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для з и | только при условии, что этот столбец (эта строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0.

Будем рассматривать только четырехзначные регулярные дизъюнкции. Согласно сформулированному выше свойству регулярности, эти дизъюнкции будут определяться следующими четырьмя типами регулярных матриц:

(I)

V1 1 2 3 1 3 0

1 1 1 1 1

2 3 1 ? ? ?

1 3 1 1 1 1

0 1 ! ! 0

ш) (ш)

(iv)

ViV 1 2 3 1 3 0

1 1 ? ? 1

2 3 ? ? ? ?

1 3 ? ? ? ?

0 1 0

на месте ? — любое промежуточное значение (3 или §)■

Нетрудно заметать, что таблицы (I) типа представляют собой обобщение па четырехзначный случай сильной трехзначной регулярной таблицы для дизъюнкции; таблицы (IV) типа — обобщение слабой трехзначной регулярной таблицы для дизъюнкции; таблицы (II) PI (III) типов представляют собой обобщения па четырехзначный случай промежуточных трехзначных регулярных таблиц для дизъюнкции логик Lisp и TwinLisp соответственно. Используя указанные регулярные таблицы, можем вы-

числить число всех четырехзначных регулярных дизъюнкций. Итак, дизъюнкций

(I) типа -28

(II) типа -210

(III) типа -210

(IV) типа -212

Таким образом, всего четырехзначных регулярных дизъюнкций 6400, и соответстветттто столько же четырехзначных регулярных логик.

4 Регулярность и монотонность

Напомним, что в случае трехзначных логик иногда регулярность (например, см. [3]) определяют также как монотонность на порядке 2 ^ 1, 1 ^ 0, причем 1 и 0 несравнимы. При так заданном порядке класс монотонных трехзначных логик совпадает с классом трехзначных регулярных логик.

Когда имеем дело с четырехзначными логиками, ситуация меняется.

Определение монотонности опирается тта отношение порядка тта мттожестве истинностных значений, а определение регул яр-поста дается без учета того или иного порядка тта этом мттожестве. Так, если установить порядок на множестве {1, 0, |, |} таким образом, что ^ ^ 0 1 ^ 11 ^ §; 0 ^ |, причем 1 и 0 несравнимы, то число регулярных четырехзначных дизъюнкций и число монотонных четырехзначных дизъюнкций совпадать тте будет. Заметим, что установленный порядок представляет собой обобщение порядка Клитти тта четырехзначный случай.

Итак, можтто сосчитать число всех монотонных дизъюнкций при указанном порядке па множестве {1, 0, |, 3}, оно равно 81, однако лить 6 из них являются регулярными в смысле Клитти («данный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для значений |, | только при условии, что этот столбец (строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0»). Эти дизъюнкции определяются следующими таблицами:

Ш)

(ш)

(iv)

V11 1 3 0 2 3

1 1 1 1 1

1 1 1

3 3 3 3 3

0 1 3 0 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

VIII 1 1 0 2 3

1 1 1 1 2 3

1 - 1 2

3 3 3

0 1 1 0 2 3

2 3 1 3 2 3 2 3

1 3 0 2 3

1 1 3 1 2 3

1 3 3 3 1 3 2 3

0 1 3 0 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

(IV)

(iv)

(iv)

V 2 1 3 0 2 3

1 1 3 1 2 3

1 3 3 3 1 3 1 3

0 1 3 0 2 3

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

V3 1 1 0 2 3

1 1 3 1 3 1 1 1 3 2 3 2 3

0 1 1 0 2 3

2 3 2 3 3 2 3 2 3

VI" 1 1 0 2 3

1 1 3 1 3 1 1 1 3 2 3 1 3

0 1 1 0 2 3

2 3 2 3 3 2 3 2 3

Очевидно, дизъюнкции, определяемые регулярными таблицами У11 и у111, представляют собой обобщение на четырехзначный случай дизъюнкций логики Ызр и Т'тЫвр. Дизъюнкции у{У, Уу уяу, у4у являются обобщениями слабой дизъюнкции Клини.

Рассмотрим взаимоотношения между четырехзначными регулярными логиками { у11}, { у111}, { у{У}, { у2у}, { узУ},

{- уГ }■

Итак, логика {-, у11} дуальна {-, у111} и наоборот, поскольку справедливы следующие равенства: х у11 у = у у111 х и х у111 у = у у11 х.

Логика {—, у^ } дуальна {—, } и наоборот, поскольку справедливо: х у = у у1у мх у = у х.

Учрттывая выптесказаппое, а также следующие соотношения Ж уг у = -(-(х у11 у) у11 -(у у11 х)) X у2у у = -(-(х у111 у) у111 -(у у111 х)), получаем, что { у2у} с { у11}, { у2У} с { у111} и { уЗУ} с {-, у11} {-, у3у} с { у111}.

***

Итак, в работе представлено семейство четырехзначных регулярных логик. В ходе исследования удалось установить тот факт, что в случае четырех значений класс регулярных логик тте совпадает с классом монотонных. Однако, как показано в [1], это справедливо для трехзначных систем. Вопрос о структуре семейства четырехзначных регулярных логик пока остается открытым.

Литература

[1] Комендантская Е. Ю. Функциональная взаимовыразимость регулярных логик Клини // Логические исследования. Вып. 15. М., 2008.

[2] Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: ИЛ, 1957.

[3] Fitting М. Kleene's Three Valued Logics and Their Children // Fundamenta Tnformaticae. 1992. Vol. 20. P. 113-131.