CC BY
9
УДК 517.925 ББК 22.161.6 Р 65
Ройтенберг В.Ш.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]
О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв»
(Рецензирована)
Аннотация. Описываются бифуркации кусочно-гладкого векторного поля на плоскости, в окрестности особой точки типа «сшитый клюв» на линии разрыва. В одной своей полуокрестности такая точка является седлом, а в другой - точкой квадратичного касания. В частности, показано, что из особой точки рождается не более одной периодической траектории.
Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, особая точка, бифуркации, замкнутая траектория.
Roytenberg V.Sh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]
On bifurcations of a singular point of the "sewn beak" type
Abstract. The paper describes bifurcations of a piecewise smooth vector field on the plane, in the neighborhood of a singular point of the "sewn beak" type on a line of discontinuity. In one of its semi-neighborhoods such a point is a saddle, and in the other, a point of quadratic tangency. In particular, it is shown that no more than one periodic trajectory is generated from the singular point.
Keywords: piecewise smooth planar vector fields, singular point, bifurcations, periodic trajectory.
Введение. Бифуркации особых точек кусочно-гладкого векторного поля, лежащих внутри линий разрыва поля, а также на стыке линий разрыва, представляющих собой различные варианты «сшитых фокусов», изучались в работах [1-7]. Эти бифуркации - аналоги бифуркаций Андронова-Хопфа и Такенса-Хопфа гладких векторных полей. Для случаев коразмерностей один и два были описаны бифуркационные диаграммы, в частности были получены условия рождения из особой точки периодических траекторий. В настоящей работе рассмотрим бифуркацию рождения периодической траектории из особой точки на линии разрыва, в окрестности которой структура фазового портрета аналогична структуре фазового портрета в окрестности особой точки гладкого векторного поля типа «клюв» с нильпотент-ной матрицей линейной части поля в этой точке.
1. Формулировка результатов. Пусть U - окрестность нуля на плоскости R2,
U+ := {(^, z2) eU : z2 > 0}, U- := {(z1, z2) eU : z2 < 0}, L0 := U+n U- . Пусть
Xt (z) = Pi± (Zi, Z2, s)d / &1 + p;- (Zi, Z2, s)d / dz2 -
семейство векторных полей, зависящих от параметра s, определенного в некоторой окрестности Е двумерного нормированного пространства, такое, что функции p± (z1, z2,s) и
P2±(z1,z2,s) принадлежат классу Cr на UхЕ (r > 5). Рассмотрим на разбиении (U+ ,U-) окрестности U семейство кусочно-гладких векторных полей Xs = (X+s, X~s ) , seE [2]. Предположим, что X0 удовлетворяет следующим условиям (У1)-(У4). (У1) Точка 0(0,0) e R2 является седлом векторного поля X^, то есть
P+ (0) = P2+ (0) = 0, а матрица
> 0 и < 0.
(У2) г:=-4°/4 .
^др+ (0)/ dz1 др+ (0)/ dz2 ^ дР2+ (0)/ dz дР2>+ (0)/ dz2,
имеет собственные значения
(Уз) DP+ (0)/ dz, > 0.
(У4) P2 (0) = 0, dP~ (0)/ dz1 > 0, p; (0) > 0.
Фазовый портрет векторного поля X0 в окрестности V ^ U его особой точки O изображен на рисунке 1. Его вид дает основание назвать эту точку сшитым клювом. Выберем окрестность V так, как изображено на рисунке 1. Ее граница dV состоит из гладких дуг [NiNi+1], i е{1,2,...6}; в точках дуг [N{Ni+1], i Ф 4 (соответственно, [N4N5]), траектории X0 (соответственно, X~) трансверсальны этим дугам; в точках L между O и N4 (O и N5) векторные поля X0 и X0 трансверсальны L и направлены внутрь U~ (U+); в точках [N1N6] траектории поля X0 выходят из V, а в остальных точках dV входят в V . Можем выбрать число 5„> 0 так, что сформулированные выше свойства сохраняются и для векторных полей Xs, Ы < S„.
Рис. 1. Окрестность V сшитого клюва Из условия (У1) по теореме о неявной функции следует, что 5„ можно выбрать так, что для любого а с Ц < 5„ система уравнений Р¡+ (z1,z2, а) = Р2 (г1,z2, а) = 0 имеет единственное решение ^ = 21 (а), г2 = 22 (а) такое, что 2^ (0) = 0, 2^ (•) е Сг, I = 1,2 .
Уменьшив при необходимости 5„, можем считать, что точка £ (а) с координатами (21 (а), 22 (а)) является седлом поля XI с собственными значениями линейной части поля 4 (а) > 0, ?(а) < 0, где ? ()е Сг -1, ? (0) = А?, I = 1,2.
Ввиду условия (Уз) устойчивое локальное инвариантное многообразие Ж" (£ (а)) седла £ (а) задается уравнением z1 = и" (z2,а), где и" е Сг -1, и" (22 (а), а) = 21 (а). Сделаем замену координат 61е :(z1, z2) ^ (у = z1 - и" (z2,а), у2 = z2), выпрямляющую Ж6' (£(а)). В новых координатах Ж" (£ (а)) имеет уравнение у = 0,
ха(z) = (у, у 2, а)д / дУ1 + °(у, у 2, а)д / дУ2,
где е Сг-2, 01 (0,у2,а) = 0. Точку пересечения Ж"(£(а)) с Ь обозначим а(а) . Ее координаты у1 = у2 = 0 . Так как О- (у1,0,0) = Р2- (у1,0,0), то из условия (У4) по теореме о неявной функции следует, что при некотором 5ые (0,] для любого а с
8ёп О- (у1,0,а) = у - У1- (а)), где У~ (0) = 0, У,- ()е Сг 2. Потребуем, чтобы выполнялось условие:
(У5) Векторы 322(0)/ да и дУ^ (0)/ да линейно независимы.
Тогда можно считать, что Сг-2 -координаты в некоторой окрестности Е' нуля в Е выбраны так, что для точки а еЕ' с координатами а1, а2 22 (а) = а1, У1- (а) = а2. Далее бу-
дем отождествлять точку геЕ' с ее координатной строкой s = s,s2) и считать, что Е' = (-ö\ö')2.
Теорема. Существуют такие положительные числа а1 и а2, что при se (-CTj,o"j)х (-ст2,ст2) векторное поле Xs имеет в V периодическую траекторию, если и только если s принадлежит множеству E1 = {s : K (s2)sj <s2 <K+ (s1)s1, s1 e (0,o"j)}, где K± :[0,o"j) ^ (-ct2/ctj, 0) - непрерывные функции, K (sj) < K+ (sj). Эта траектория единственная, она является устойчивым (неустойчивым) предельным циклом при у> 1 (у < 1). При у> 1 фазовые портреты векторных полей Xs, seE1, и Xs, seB± = {s : s2 = K± (s1)s1}, в V имеет вид, изображенный на рисунке 2. При у< 1 на траекториях следует поменять ориентацию.
Доказательство теоремы приведено в параграфах 2-5.
Рис. 2. Бифуркации сшитого клюва при у > 1 Точка £ (г) - гиперболическое седло. При £еВ"иЕ1 отрезок линии разрыва I0 между точками г - = г- (г) и г += г+ (г) - неустойчивая линейная особенность, содержащая неустойчивую особую точку г0 = г0(г). При геВ+ точка г0 = г0(г) -неустойчивый сшитый фокус с первой ляпуновской величиной
2. Функции соответствия. Для определенности будем считать, что 0 < у < 1. Случай у > 1 сводится к рассматриваемому случаю переходом к семейству {-Хг } .
Неустойчивое локальное инвариантное многообразие Ж" (£ (г)) седла £ (г) задается уравнением у2 =г1 +1 (у1,г), где I е Сг-1, I (0,г) = 0. Ввиду условия (У3) 10 :=д1 (0,0)/ ду1 >0. Поэтому 51 е (0,5') можно выбрать так, что при г е (0,5) х (-5,51) Ж" (£(г)) пересекается с I0 в единственной точке Ь(г) с координатой у1 = Ь1 (г) < 0 . Пусть 3е - дуга I между точками а(г) и Ь(г). Сделаем Сг-1 -замену в2е :(у1, у2) ^ (у1 = у1, у2 = у2 - (г1 +1(у1 , г))), выпрямляющую инвариантное многообразие Ж" (£ (г)) :
Хг+ (г) = VI (Л (г) + Г1 , V , г))д / + V <А (г) + г2 , V , г))д / ^2 ,
где гг еCr-3, гг(0,0, е) = 0, i = 1,2.
Возьмем S2 е (0,5,). При ее (0,50) х (-50,50) сделаем замену координат вЪе :(v1, v2) ^ (x, = -l0v1 /е,, x2 = -v2 / е,). Если 52 достаточно мало, то в новых координатах
(Z) = Х1 (Л + Г1 (Х1, Х2 , е))д / дХ! + Х2 (Л + Г2 (Х1, Х2 , е))д / дХ2 , где r*(х,,Х0,е), (x,,Х0,е) е (-2,2)0 х[0,50)х (S0,ö0) - Cr-3-функции, r*(x,,х2,0) = 0.
Будем также рассматривать семейство векторных полей
Ле (Х!, Х0) = Х (Л" + К (Х, Х0, е))д / дХ! + Х0 (Л + Г0* (Х, Х0 , е))д / дХ0 , ее[0,50) Х (-50 ,Öo), заданных в области (-0,2)0 е R0.
Дуга Js, ее (0,50) х (-50,50), при отображении в3 е °Q2e°Qle переходит в дугу
1е = {(x,,x0) е R2 : x, + x0 + q(x,,х0,е) = , x, > 0, x0 > 0}, где q - Cr- -функция на (-2,2)0 х (0,50) х (-50,50), q(x,, х0,е) е=0 = 0. Дуга 1е определена и при е, = 0. Считая 52 достаточно малым, можем также задать 1е уравнениями x0 = !-х, + щ(x1,е), 0 < х, < , + щ0(0,е), или уравнениями x, = ,-x0 + щ0(х0,е), 0 < x0 <, + щ(0, е), где щ - Cr- -функции на (-2,2) х (-ö2, ö2)2, щ(г,0) = 0, i = ,,2. Обозначим uS (е):=, + щ0(0,е).
Пусть u0:=y/(y +,). Положительная (отрицательная) полутраектория поля Л0(x,, x0) = Л,0х,д/ дх, + Л0x2d/ dv2, начинающаяся в точке (u,, - u), 0 < u < u0 ( u0 < u <,), отрезка I0, пересекает его еще раз в единственной точке (f0(u), !- f0(u)), где sgn(f0 (u) - u0) = - sgn(u - u0), f0 (f0 (u)) = u , а u и v = f0 (u) удовлетворяют уравнению F(u, v) := vy^ - uy - (vr - ur) = 0.
Лемма 1. f0 е Cш, f"(u0) > 0 и
Vu е (0,, sgn(f;(u) +, = sgn(u -u0). ^ )
Доказательство. Представим F(u, v) в виде F(u, v) = (v - u)G(u, v), где
G(u, v) := J[(y + ,)(u +1(v - u))y - y(u +1(v - u))y ]dt.
0
Обозначим B(u, v, t) := (y + ^(u +1(v - u))y + ^ - у)(u +1(v - u))y-0,
A (u, v) := JB(u, v, t-1)dt, A0 (u, v) := JB(u, v, t) tdt.
0 0
Поскольку 0 <y<У то при 0 <u <v <, k = ^2, Ak(u,v) > 0, а B(u,v,t) - убывающая положительная функция от t е [0Д].
Так как G(u, f0 (u)) = 0, A0 (u, v) ^ 0, то по теореме о неявной функции f0 е Cш и
f <( ) = dG(u, v)/ du
J0(u)= -
4(u, v)
v = f0(u) Ai(u, v)
. (0)
v = f0(u)
dG(u, v) / dv Так как
, ,/2 A, (u, v) - A, (u, v) = JB(u, v, t)(! - 21)dt = J [B(u, v, t) - B(u, v,, -1)](, - 21)dt,
0 0
то при 0 < u < v <! A,(u, v) > A^u, v) > 0, и потому f0'(u) <-! при 0 < u < u0. Поскольку
sgn(/o(w) - Wo) = sgn(Wo - u), f(f(u)) = u , то -1 < f(u) < 0 при Uo < u < 1 и f'(Uo) = -1. Из (2) получаем:
(A'u (u, v) + A'v (u, v) fo'(u)) A (u, v) - (A2u (u, v) + A' v (u, v) f'(u)) Д (u, v)
fo" (u) = -
v = fo(u)'
Л2(и, V)
Так как /0(и0) = и0 , У0'(и0 ) = -1, Л1(u0, и0) = Л2(u0, и0) = "0-2/2, то
г „(и ) = Л2и (и0 , и0) - Л1и (и0 , и0) - (Л2: (и0 , и0) - Л (и0 , и0 )) =
/0 (и0^ Л ( ) -
Л2 (и0 , и0 )
1 1 = 2"02-у| ( б: (и0, Щ, г) - б" (и0, Щ, г ))(1 - 2 г )йг = 2и2;у\2(1 -у)и0у-3(1 - 2 г )2 ёг > 0.
00
Лемма доказана.
Условие касания поля Аг к дуге 1£ в точке (х1, 1 -х1 +фх(х1,г)) имеет вид
х^0-А) + А + у(^,г) = 0, (3)
где у е Сг-3, у( х1,0) = 0. По теореме о неявной функции для числа 0 <р< и0/3 найдется такое число 53 е (0,52], что для любого ге (0,53)х(-53,53) уравнение (3) имеет в интервале (и0 - р, и0 + р) единственное решение х1 = и(г), при этом и(-) е Сг-3, и(0) = и0,
8§п[х1 (А? -А^) + Я!° + у(Х1,г)] = 8§п(х1 -й(г)). (4)
Условие (4) означает, что в точках дуги 1г с координатой х1 < и (г) ( х1 > и (г)) поле Аг трансверсально 1Е и направлено внутрь (вовне) области
{(х1, х2) е Я2 : х1 + х2 + д(х1,х2,г) < 1, х1 > 0, х2 > 0}.
Поэтому положительная (отрицательная) полутраектория векторного поля Аг ,ге [0,53)х(-53,53), начинающаяся во внутренней точке дуги 1Е с координатой
х1 = и <и(г) (х1 = и > "(г)), снова пересекает дугу 1г в единственной точке
(/+(и, г), Л(и, г)), где (Х г) - "(г)) = - 8§п(" - "(г)); /+ (+0, г) = и£(г), /+ (+и£(г), г) = 0.
Согласно [1, с. 175], /+ - функция класса Сг-3. Ясно, что /+ (и,0) = /0(и). Для поля Хг, ге (0,53) х (-53,53), отображение и ^ /+ (и, г), и е (0, и (г)], - функция последования на дуге 3г, записанная в координате х1 на 3е ; точка 2 += г + (г) е 3е с координатой х1 = "(г) - особая точка поля Хг.
Из выбора координат (г1,г2), условия (У4) и [1, с. 175] следует, что найдутся такие числа 0 < о < и , что положительная (отрицательная) полутраектория поля Х~Е , г е (-ст, о)2, начинающаяся в точке I0 с координатой у1 = и е (-и ,г2] (у1 = и е[г2, и)), пересекает еще раз I0 в единственной точке с координатой у1 = g (и, г), где g е Сг-1, g (г2,г) = г2, ¿и(г2,г) = -1. Представим g в виде g(и,г) = g(0,г)+и£и(0,г)+Щи,г), где Я е Сг-1, Я(0,г) = Яи (0,г) = 0. Так как
g(0, г) = g(г2 , г) - г2g'и (г2 , г) + г22®(г) = г2(2 + г2®(г)) ,
g'и (0, г) = g'и (г2 , г) - г2® 1(г) = -(1 + г2® 1(г)) ,
С г-3
, то
g(u,г) = г2(2 + г2®(г))-(1 + г2®1(г))и + Я(и,г). (5)
Выберем положительные числа а, и а2 так, чтобы а, < тт{53,а, l0u /2}, а2 = (2/10 )а < min{53, а} . При (u, к, е,) е (-2,2) х (-2 /10,0) х (0, а,) определена функция
f_ (u, к, е,) = -(l0 / е )g(-еlu /10, (е,, ке )).
Функция f_ (,к,е,) задает то же отображение на L по траекториям поля X~E, е = (е,, ке,), что и g(•, е), только записанное в координате x,. Из (5) следует, что
f_ (u, к, е) = -2I0к - u + r (u, к, е),
где r (u, к ,е,) - Cr3-функция, определенная и при е, = 0, причем r (u, к, 0) = 0. Доопределим f_ до Cr_3-функции на (-2,2)х(-2/10,0)х[0,а,), положив f_(u,к,0) := -2l0к-u .
3. Бифуркационные кривые В- и В+. Так как е2 - неподвижная точка для g (•, е), то -l0к - неподвижная точка для f_ (•, к, е,). Точка z_ = z_ (е) е L с координатой x, = -l0к -особая точка поля Хе , е = (е,,ке,) е (0,а,) х (-а2,а2). Точки z+ (е) и z_(е) совпадают, если A+ (к,е,):= ¿(е,, ке,) +10к = 0. Так как A+ (0,е,) = г/ (е,, 0) > 0, A+ (-,/l0,е1) = й(е,, -е, /10) -, < 0, а dA+ (к,е,)/дк = е1дй(е1,kе1)/де2 +10 >l0/2> 0 для (к,е,)е(-2/10,0)х(0,а,), если а, выбрано достаточно малым, то для любого е, е (0, а,) уравнение A+ (к, е,) = 0 имеет единственное решение к = K+ (е,) е (-U l0,0). При этом K+ (•) е Cr4,
sgn A+ (к, е,) = sgn^ - K+ (е,)). (6)
Поскольку K+ (+0) = - lim й(е,, K+ (е, )е,) /10 = -u0 /10, то можно считать, что K+ (•)
продолжена до непрерывной функции на [0,а,) и Vе1 е (0,а,) K+ (е,) е (-^ / 2l0, 0), где де (0,!).
Выходящая сепаратриса седла S(е) поля Хе, е = (е,,ке,) е (0,а,)х(-а2,а2), пересекает L0 в точке с координатой x, = uS (е,, ке,) =, + щ2(0, (е,, ке,). Рассмотрим функцию AS(к,е,) := uS(е,,ке,) +10к . При достаточно малом а, AS(K+ (е,), е,) > 0, AS(-3/ 2l0, е,) < 0, dAS(к,е,)/дк > 0. Поэтому для (к,е,) е (-2/10,0)х (0,а,)
sgn AS (к, е, ) = sgn(е2 - KS (е )) , где -3/ 2l0 < KS (е, ) < K+ (е,) . (7)
Выходящая сепаратриса седла S(е) совпадает с входящей сепаратрисой, если A_(к, е,) := uS(е,, ке,) - f_(0, к, е,) = 0 . Так как A_(к, е,) = uS(е,, ке,) + 2l0к - r(0, к, е,) = = as(к, е) +10к - r(0, к, е,) =, + 2l0к + Щ2(0, (е,, ке,) - r(0, к, е,), а K+ (е,) е (_д/2l0,0), д е (0, ц, щ2 (г, 0) = 0, r (u, к ,0) = 0, то при достаточно малом а,
V^ е (0,а,) A_(Ks(еДе,) <0, A_(K+ (еДе,)>0. (8)
Ясно, что при достаточно малом а, имеем дЛ_ (к, е,) / дк > 0. Отсюда и из (8) следует, что для любого е, е (0,а,) уравнение А (к,е,) = 0 имеет единственное решение к = K (е,) е (KS (е,), K+ (е,)). При этом K (•) е Cr 3,
Vеl е (0, а,) sgn A_ (к, е,) = sgn^ - K (е,)). (9)
Так как K (+0) = —, / 2l0, то можно считать, что K (•) продолжена до непрерывной функции на [0, а,) .
Определим множества Е,, В_ и В+ так, как описано в формулировке теоремы.
4. Функция расхождения. Пусть s = (s1,ks1) eE1 ^B . На промежутке (0, uS (k, s1)) определена функция расхождения траекторий
u ^ d(u, k,s2) := f+ (u,s1, ks1) - f_ (u, k,s1) = 2l0k + f+ (u,s1, ks1) + u - r(u, k,s1) .
Траектория поля Xs, проходящая через точку L0 с координатой х1 = u е (0, u(s1, ks1)) или х е (-kl0, uS (k, s1)) , является периодической, если и только если d(u, k, s1) = 0 .
Лемма 2. При достаточно малом о1 для любого s = (s1,ks1) eE1 ^B ^B+ существует такое число um (k, s1) e (0, uS (s1, ks1)), что um (•) e Cr-, um (k, 0) = u0 и
sgn d[ (u, k, s) = sgn(u - um (k, s )) Vu е (0, us (s, ks1)). (10)
Доказательство. Из свойств функции соответствия в окрестности седла (см. [8]) следует, что числа а1 и p > 0 можно выбрать столь малыми, что для рассматриваемых s
df+ (u,s)/du <-3 при u е (0, p) и df+ (u,s)/du >-1/2 при u е (1 -p, uS(s1,ks1)) . Фиксируем p. Уменьшив при необходимости a1, можем также считать, что при этом | dr(u,s)/du | < 1/3. Тогда
d[(u,k,s1) <-1 при u е (0,p) и du(u,k,s1) > 1/6 при u е (1 -p, uS(s1,ks1)), (11)
если s = (s1,ks1) gEj ^B ^B+, а ox выбрано не превосходящим некоторого числа а> 0. Фиксируем p и а. Так как f" (u0) > 0,
[ f+ (u, s1, ks1) - fo (u) - r (u, k, s1)] | s=o = 0, (12)
то найдутся такие числа p„ > 0 и а„е (0, а), что при а1 <а„ и рассматриваемых s = s,ks1) p< u0-p„< u0 + p„< 1 -p и
d"m (u, k,s) > fo"(uo)/2 > 0 для uo-p„< u < uo + p„. (13)
Из (1) и (12) следует, что при достаточно малом а1 и рассматриваемых s = (s1, ks1) du(u,k,s) < 0 для u е [p,u0 -p„] и du(u,k,s2) > 0 для u е[1 + p„,1 -p]. (14)
Утверждение леммы 2 теперь вытекает из (11), (13) и (14).
5. Фазовые портреты. Пусть s = (s1, ks1) eEj. Вследствие формулы (9) d(+0, k,s) = uS s, ks1) - f_ (0, k,sj) > 0, а вследствие (6) d(u(s1, ks1), k,sj) < 0. Поэтому d(,ks) имеет нуль u e (0, ü(s1,ks1)), а тогда и нуль u+е (-kl0, uS(s1,ks1)) . Оба они соответствуют одной периодической траектории. Из (10) следует, что других нулей нет, и sgn d (u, k,s) = -sgn(u-u ) при u-e (0, ü(s1, ks1)), sgn d (u, k,s) = sgn(u - u+ ) при u e (-kl0,uS(s1,ks1)) . Поэтому все траектории поля XE, проходящие через внутренние точки дуги а -предельны к неустойчивому циклу. Траектории, проходящие через точки области, ограниченной циклом, за конечное положительное время попадают на устойчивую линейную особенность - отрезок Js между точками z- (s) и z + (s), и, как нетрудно проверить, а -предельны к особой точке z0 = z0 (s) внутри этого отрезка. Поведение осталь-н^1х траекторий в V0 очевидно и изображено на рисунке 2.
Пусть s = (s1, ks1) е B-. Тогда седло S(s) имеет петлю сепаратрисы, неустойчивую при достаточно малом а1, вследствие неравенства у < 1. Из леммы 2 следует, что, если в области Ds, ограниченной петлей, есть периодическая траектория, то она единственная и неустойчивая. В кольце между неустойчивой петлей и неустойчивой периодической траек-
торией тогда должна существовать хотя бы еще одна периодическая траектория, в противоречие с единственностью таковой. Поэтому в Де нет периодических траекторий, и поведение траекторий в окрестности У0 такое, как указано на рисунке 2.
Пусть е = (е1,ке) еВ+ . Тогда ё(й(е1,ке1),к,е1) = ё'и(й(е1,ке1),к,е1) = 0. Вследствие (13) можно считать, что при выбранном а2 ёйи (й(е1, ке1), к, е1) > 0. Поэтому точка г 0(е):= 2" (е) = 2+ (е) - неустойчивый сшитый фокус с первой ляпуновской величиной [1, с. 175; 2]. Отсутствие периодических траекторий в окрестности У0 получаем аналогично случаю е еВ~.
При е = (е1, ке1), К+ (е1) < к < 0 и К5 (е1) < к < К (е1), отсутствие периодических траекторий в У0 также доказывается аналогично случаю ееВ" .
Для всех остальных значений е е (~с1, сг1) х (-ст2, а2) отсутствие периодических траекторий в V очевидно.
Примечания:
L Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, ,985. 224 с.
2. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого фокуса // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: сб. трудов XXVIII междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во СГТУ, 20,5. Т. L С. 27-3L
3. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки стыка линий разрыва векторного поля // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: сб. трудов XXIX междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во СГТУ, 20,6. Т. 3. С. Ы-П.
4. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 20,6. Вып. 2 (Ш). С. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля // Научно-технический вестник Поволжья. 20,6. № 5. С. 30-33.
6. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 20,6. Вып. 4 (Ш). С. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 20,7. № 2 (42). С. ,8-3L
8. Шильников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических траекторий из особых траекторий // Математический сборник. ,963. Т. 6, № 4. С. 443466.
References:
1. Filippov A.F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. M.: Nauka, 1985. 224 pp.
2. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a sewn focus // Mathematical methods in engineering and technologies: proceedings of the XXVIII intern. scient. conf. Saratov: SSTU Publishing House, 2015. Vol. 1. P. 2731.
3. Roytenberg V.Sh. On generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field // Mathematical methods in engineering and technologies - MMTT: proceedings of the XXIX intern. scient. conf. Saratov: SSTU Publishing House, 2016. Vol. 3. P. 14-17.
4. Roytenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 2 (181). P. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in a neighborhood of a joining point of lines of discontinuity of a vector field // Scientific and Technical Bulletin of Volga Region. 2016. No. 5. P. 30-33.
6. Roytenberg V.Sh. On the generation of a strange at-tractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 4 (191). P. 53-59. URL: http://vestnik.adygnet.ru
7. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type // University Proceedings. Volga Region. Physical and Mathematical Sciences. 2017. No. 2 (42). P. 18-31.
8. Shilnikov L.P. On some cases of the generation of periodic motion from singular trajectories // Mathematical Collection. 1963. Vol. 61, No. 4. P. 443-466.
