О бесконечной проективной плоскости к*р Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.552.32

О БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ K*p

© 2009 г. И.А. Хубежты

Северо-Осетинский государственный университет, North Osetian State University,

ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362015, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362015,

[email protected] [email protected]

Доказывается, что бесконечная проективная плоскость K* характеристики p, в которой проективно выполняется конфигурационная теорема Кр(р>5), немуфангова.

Ключевые слова: проективная плоскость, конфигурационная теорема, проективная эквивалентность конфигурационных теорем, муфангова плоскость.

It is proved unlimited project plane J^* with characteristic p, where configure theorem ^ (p>5) " done projectively is not mufangova.

Keywords: projective plane, configuration theorem, projective equivalence of configurative theorem, moufang plane.

В работах [1, 2] были решены проблемы Аргуно- Теорема 2. Бесконечная проективная плоскость

ва-Глисона, Рашевского и Муфанг. характеристики 3, в которой проективно выполняется

Теорема 1. Бесконечная проективная плоскость конфигурационная теорема Рашевского 83, муфангова.

Фано муфангова и следовательно, дезаргова. в настоящей работе доказывается

*

Теорема 3. Бесконечная проективная плоскость К* характеристики р > 5, в которой проективно выполняется конфигурационная теорема Кр, не муфангова.

Доказательства напомним.

Определение 1. [3] Плоскость над альтернативным телом называется муфанговой плоскостью.

Конфигурационная теорема ¿10 4 [3] (рис. 1). Конфигурационная теорема Дезарга 0(АВС:А'В'С"). в которой (АВГ\А'В', АС пА'О, ВСпВ'С, Б = Л4'пВВ'пСС). называется теоремой ¿ю.

Теорема 5 [3]. Проективная плоскость, в которой проективно выполняется конфигурационная теорема ¿10, муфангова.

Конфигурационная теорема Кр 6 [2, 4] (рис. 2).

f = [J - 1,./ + 2] п у - 2J + 1|. ./=3..,.,р-2, Я~ = [/,/+1]п [Л (/ + 1)'], i = 3,...,/> — 1,

Вр =[l,^]nb-l,2], S = [1,1'] n[2,2'] п...п[/>,/>'],

тогда будут выполняться и замыкающие инциденции

(S,B1,...,Bi_1,Bi,Bi+1,...,Bp).

Конфигурационная теорема (¿9)L8 7 (рис. 3, 4) [3]. Конфигурационная теорема L10, в которой (одна) две стороны трехвершинника A' BC инцидентны (одной) двум вершинам другого трехвершинника ABC, называется теоремой L9 (L8).

Рис. 4.

Теорема 8 [5, 2]. Конфигурационная теорема Ь9 проективно эквивалентна ¿ю, но не . (Доказательство следует из [5] и [2]). Теорема 9 [2, 4]. Некоторым квазитождеством конфигурационной теоремы К р является равенство

1+^+1 = 0 (р> 5).

р

Лемма 1 [2, 4]. В конфигурации Кр точки пересечения соответствующих диагоналей лежат на оси перспективы ее р-вершинников 12...р и 1'2'...р'.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 3. Лемма 2. В бесконечной проективной плоскости характеристики р > 5 из проективно следует Кр .

Доказательство (рис. 4, 2). Пусть в плоскости характеристики p выполняются все инциденции конфигурационной теоремы Кр, кроме одной

[Т,3]г>[Т',3'] = [Ви,В1,В2] I 5", причем [ВЪВ2]=1 -

ось перспективы ее p-вершинников.

В конфигурации Кр (рис. 2) конфигурацию

(рис. 4) зададим образующими точками (1): 1',2', В2,5, таблицей инциденций (2): | Г.2' |г,|= ■ [Г,5] п[Т,В2] = I, [Я,2'] п [Вг ,Т] = 2 , [В2,2] П[Вг , 2'] = 3 , [5",3]п[1,2'] = 3', [1,3]п[1',3'] =513 и замыкающей инциденцией (3): (В1, В2, ¿>13,5).

Ввиду справедливости леммы 1 и выполнения

в плоскости Кр лемма 2 доказана.

Лемма 3. Каждая конфигурационная теорема Кр

представляет обобщенный аналог конфигурационной теоремы . В теореме Кр можно выделить р выполняющихся конфигурационных теорем вида ¿8:

4(123;1'2'3'),

¿8(234;2'3'4'),...,

Li ^

мой [2',3'] возьмем какую-то точку 4^2',3' и построим точки 4'=[4,5']п[2,3'] и В3 = [3,4]^/^ ; на [3 ',4'] возьмем точку 5 и построим точки 5'= [5,5] п[3,4'] и [4,5] п/ю = В4 ; на прямой [Г,2'] возьмем точку р и построим точки р'= \/'-.VI2.1' | и Вр = [р, 1] п/ю; на прямой [!',/>'] возьмем точку

х.(р-\р\-,(р-Х)'р'У), Ь^{р\2',р}У2}) с общими осью 1х=[Вь...,Вр] и центром 5" = [1,1']гл...Г\[р,р'], причем I .

(Доказательство следует из теорем 5-9, лемм 1, 2).

*

Лемма 4. В бесконечной проективной плоскости К*,

характеристики р> 5 из Кр проективно следует .

Доказательство (рис. 4, 2). Поскольку в нет всех образующих точек Кр, то для доказательства

леммы 4 воспользуемся леммами 2 и 3 и нижеследующим частным и нестандартным подходом к расширению ¿8 до какой-то выполняющейся в плоско* 1 сти Кр конфигурации Кр, имеющей те же центр и

ось перспективы, что и ¿8 (в общем случае этот подход не действует).

1. Рассмотрим в плоскости Кр одну из систем образующих точек конфигурации ¿8 - (1): 1',2',¿2,5 (см. леммы 2 и 3), по ней построим все другие элементы Ь\ (5";/да), следуя (2), и укажем на ее замыкающую ин-циденцию(3): [ВЪВ2,В13] I £<=>/„1 £.

2. Для доказательства выполнения (3) расширим ¿8 {123;1'2'3'} до Кр следующим образом: на пря

р-1 и построим ТОЧКИ [р — 1,5] п[1, р\ = {р -1)' и [р -1, ]?] п /да = 1> р | и т. д. до построения всех точек конфигурации Кр. В результате получим все точки и прямые выполняющейся в плоскости конфигурации К р1 с замыкающими инциденциями: (В1,....,Вр,5,В13). Таким образом, в силу проективного выполнения Кр) в плоскости К*р и того, что все указанные в (1), (2) и

(3) точки, прямые ¿8 принадлежат и построенной

1 * Кр, в плоскости Кр выполняется и замыкающая

инциденция [В1, ¿2, В13] I 5 теоремы ¿8. Лемма 4 доказана.

В силу теорем 4-9 лемм 1-4 теорема 3 доказана. Примечание. В силу теорем 9, 3 и теоремы Аргунова ([6], а также в [4, теорема 2.10]) о том, что квазитождествами конфигурационной теоремы ¿8 являются: -а + {а + Ь) = Ь = ф + а) - а , -а =~ а , ст ° ст = ст + ст , с-то (ст) = 0, (с + сУ = & + & , а(1 + 1) = а + а, заключаем, что тернарное кольцо

плоскости Кр не есть альтернативное тело и поэтому К*р не муфангова.

Литература

1. Хубежты И.А. Решение проблемы Аргунова-Глисона

// Владикавк. мат. журн. 2007. Т. 9, вып. 2. С. 26-33.

2. Хубежты И.А. Решение некоторых проблем теории

плоскостей. Владикавказ, 2008. 85 с.

3. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // УМН. 1951.

Т. VI, вып. 6. С. 112-154.

4. Хубежты И. А. О некоторых классах алгебр и плоско-

стей. Владикавказ, 2005. 301 с.

5. Moufang R. Die Schnitpunktsatze des projektiven spezialen

Funfeckchetzen in ihrer Anhangugkeit voneinander // Math. Ann. 1935. Vol. 106. S. 755-795.

6. Аргунов Б.И. Конфигурационные постулаты и их алгеб-

раические эквиваленты // Мат. сб. 1950. Т. 26. С. 425456.

Поступила в редакцию

14 октября 2008 г._