CC BY
18
7, =
ai - at, если i е X \ ix ai + Gr., если i eY ai, если HXvjY
Так как а^ > 0 и <Х неотрицательно для любого / е У. то указанное решение нетривиально. Получаем противоречие, которое и завершает доказательство необходимости теоремы.
Достаточность теоремы справедлива согласно замечанию, указанному перед теоремой.
Из сказанного в пунктах 2° — 4° получаем следующий алгоритм установления нетривиальной разрешимости системы (I) относительно положительной части М+ подкольца (А/; +,-,>>:
1) с помощью преобразований 1.-6. (п. 20) приводим систему (I) к виду (III), указанному в п. 3 ;
2) если среди вектор-столбцов es s> г системы (III) есть такой столбец, все элементы которого принадлежат —М+ KJ 0 . то система разрешима относительно М+;
3) если указанного в п. 2° вектор-столбца не существует, и все вектор-столбцы вs s > г системы (III) состоят из элементов множества М+ 0 (или они вообще отсутствуют), то
система не разрешима относительно М+;
4) если же указанного в п. 20 вектор-столбца не существует, и не все вектор-столбцы es s > г системы (III) состоят из элементов множества М 1 LJ 0 . то найдётся такой
вектор-столбец es S > г , в который одновременно входят элементы А4+ и —М+ , тогда вопрос о разрешимости системы относительно М+ сводится к вопросу о разрешимости конечного числа новых систем, содержащих на одну неизвестную меньше.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кривенко В.М. Соотношения предшествования, определяющие стабильные порядки на полугруппах // Междунар. конф. по алгебре, посвященная памяти А.И. Мальцева (1909-1967): сб. научн. тр. Новосибирск, 1989. С. 65.
2. Кривенко В.М. Алгоритм распознавания конечных совокупностей соотношений предшествования, определяющих стабильные порядки на свободных полугруппах // Междунар. конф. Математика в индустрии: сб. научн. тр. Таганрог, 1998. С. 209-212.
3. Нечаев В.И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.
4. Черников С.Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968.
В.Т. Фоменко
О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЭКВИАРЕАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
ДВУМЕРНЫХ МЕТРИК
Известно [1], что всякая метрика Лиувилля = gjJdu'duJ, заданная в односвязной области О изменения параметров ^',и2 , ^ е С2, допускает нетривиальную геодезическую деформацию, определяемую некоторым параметром /, при которой геодезические линии остаются геодезическими линиями деформируемой метрики ¿¿У2 ^gj, ^^и'сЯи1. Если коэффициенты
gy представимы в виде gtj = gy +t ■ Sgy + о где Sgy еС2, о члены более высокого порядка малости относительно t при t —> 0, то можно говорить о бесконечно малых геодезических деформациях метрики ds2 в классе C2, считая при этом деформацию тривиальной, если Sgy = c0gy, с0= const.
Бесконечно малую деформацию метрики ds2 будем называть эквиареальной, если вариа-
ция () K¡(7 элемента площади d(T = ^Q^g^^Jduldli2 удовлетворяет условию
8 4J(7 j^ cxd<7, где c1 = const.
В настоящей работе доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Всякая двумерная риманова метрика ds2 класса C2, отличная от плоской метрики, допускает в классе С2 только тривиальную бесконечно малую геодезическую эквиареаль-ную деформацию; при этом, если 8 K¡(J = С1 ■ d(7, то 8 (js2 = С1 • ds2.
Теорема 2. Для того чтобы двумерная риманова метрика ds2 класса C2, заданная в одно-связной области D , допускала нетривиальные бесконечно малые эквиареальные геодезические деформации класса C2, необходимо и достаточно, чтобы гауссова кривизна метрики тождественно равнялась нулю, то есть, чтобы метрика ds2 была плоской; при этом, если
ds2 = Е{{,v~c¡ii2 + G4{,vl$v2, 84}<J^=C1 -d<j.
8ф2У cYds2 + Я8<¡s2 У JLI 8ils2 \ где 8jQs2 = Ecosadu2 + 2л/EG sin adudv - Gcosadv2;
то
8 ms2 = Ii sin ad и 2-2 4eg cos adudv - G sin adv2 ■
jLl - произвольные вещественные постоянные, + JLl ^ 0 : a - функция класса С2, определяемая формулой
интегрирование ведется вдоль любой кривой , соединяющей некоторую фиксированную точку
, 1'п области I) сточкой V области I) . в которой вычисляется значение (функции а.
§1. Уравнения, описывающие бесконечно малые геодезические эквиареальные деформации метрики.
Система уравнений, описывающая бесконечно малые геодезические деформации метрики = g. dll относительно искомых вариаций 8$*г . имеет вид |2|:
= 2SvS¥,k +gjkSV/,1 +g1kSV/,j',
где V¿ означает ковариантную производную по переменной Ыв метрике g{
L
Выведем уравнения эквиареальных деформаций метрики . Имеем 8 = С} • с1(Т. Это означает, что д = сг , где g = ёе^^. ||. Отсюда следует, что дg — 2сх ■. Так как
= &11^22 + &22^11 - &12^12 - &21^21 = ё ' „ >
то имеем:
Это и есть уравнение эквиареальных бесконечно малых деформаций. Объединяя уравнения ^ , ^ , получим систему уравнений, описывающую бесконечно малые эквиареальные геодезические деформации метрики = с1'№' относительно искомых вариаций ¿¡§у •
Преобразуем систему ^ , ^ . Дифференцируя формулу ^ ковариантно по переменной
и и учитывая, что С] — С()П,\1 , получаем
¿Г -V =0-
В силу формулы ^ система уравнений ^ принимает вид:
V^y= 0.
Таким образом, система уравнений ^ , ^ эквивалентна системе
=0; 2с,.
Выпишем систему ^ в предположении, что
йя1 = Е41,У~]$и2
2 1 2 V ау , и = и , V = и .
Имеем:
А/ _ р р
Е Сг
Л/ _ /7 Ст
У2^п = > = 0;
Е Сг
А/ ^ о о
У2<%и = ^22 > -т- -^22 = 0;
Е Сг
Л/ _ /7 Ст
v1<%22 = 3„ ^22 - = 0;
Е Сг
£
Е О
V =а. - ^ + -)*. + - = о;
Е
л/ ^ с
^22 +°3§П = 2С1
ЕО
V |__
2 Е 2О
2 Е
Преобразуем систему ^ к виду:
Г^ \ Е
+ '
V Е /ц
Е
Vе/
4Г,
л/ЕО л/ЕО
^/EО ^/EО
о 1 4ЕО 4ЕО
Г3ё22 ^
О
4Г,:
V ^ Л Г
4ЕО 4ЕО
= 0;
= 0;
= 0;
= 0;
+ -
Е
л/Е^ 1 2ТЕО О
<%22 4Г
11
л/ЕО А 2ТЕО
V О Е
^22 4Г,
О Е
0;
0;
ЗёЛ + [Зё2
Е
Е
V О у
= 2сг
Исследуем систему ^ на ее разрешимость относительно искомых функций ¿>£,4. §2. Доказательство теорем 1, 2.
Обратимся к уравнениям ^ 5 , ^ 6 системы ^ . Для разрешимости системы ^ необходимо выполнение условия:
4ш)т I у[ЁО
Непосредственный подсчет показывает, что
4ЕО)т 1л/ЕО
Е
2у[ЕО
О Е
Е
24ЕО
О
Е
V
12
12
VII
12
V
vu
V
в..
24т
( л Г
V 2Ч
Е
о 22 _ ^011
в Е
в,,
в..
\ л
4m)v 2У4т)и) 24т
24т
Е
Е
в Е
в
О 22 _ ^011
в Е
в
ЕО ЕО
в
24т
+
Е
ЕО ЕО
Воспользуемся формулой для вычисления гауссовой кривизны К метрики
йя2 = Ейи2 + ОсЬ2 :
К =
1
24т 4т
Е
ди
в„
4т
Тогда находим
12
4ш)т 14т
>12
= 4ев-к-
>22
511
вЕ
8
Так как правая часть формулы ^ должна тождественно равняться нулю, то в силу ЕО > 0 возможны два случая.
Случай 1. Пусть КФ 0. Тогда
'22
и потому можно считать, что
О Е
С^! | = а • Е, 8^22 = О ' О, где О - некоторая функция. Обратимся к последнему уравнению системы ^ . Имеем С1 + С1 = 2с]. то есть С1 = С] = 6'0/7,Ч/ . Но тогда из уравнений 41, — ^, находим:
42 V
Е =0 = 0.
V ' о12 и
Если ¿£и = 0 , то
имеем
= О • и потому бесконечно малая деформация тривиальна, причем С1 = С1. Если ^ 0, то Еу = Ои = 0 и потому К = 0, что невозможно. Этим доказана теорема 1 для случая 1.
Случай 2. Пусть к = о . Складывая левые части уравнений ^ и ^ 3 а затем ^ 2 и
^ 4 , получим:
V Е ,
22
в
/ с-, л
0,
V ^ л
к Е Л
С \
к в л
Это означает, что
'22
Е О
= 2 Ъ.
22
11
и
и
1
ш
11
11
22
и
где Ь = СОП.Ч/ . Из уравнения ^ 7 находим, что Ь — С]. Вычитая из уравнения ^1 уравнение ^ 3 , находим
1'
2
-та 11 _ о 22
Е О
+
К
7ЕО л/ЕО
о.
<
Из уравнений ^ 2 и ^ . аналогично находим
^ ^11 ^22 ^ Е О
12
4ЕО 4ЕО
= о.
<0~
Умножим уравнение ^, на
полученные результаты. Имеем:
К^ЕО;
а уравнение ^ на
422
Е О
и сложим
г
>11 "-та 22
Е О
Аналогично находим:
2
>11 "-та 22
Е О
>11 _ "-та 22
Е О
-таи _ 22
Е О
Г ^ \
<%11 422 1 , 2<%12 { 4
+
л1ЕО \^ЕО уг
>12
= 0.
/ ^ \
+
2^1, %
у/ЕО \л/ЕО у
>12
= 0.
Полученные равенства означают, что
Е О
Г \
\-\lEG у
=я2
где Л* = COnst. Отсюда следует, что
= а,
= /^т а
Я С '
где - функция, удовлетворяющая в силу ^ ^ , условиям:
сое а , + —• вт « = 0; л/Ж?
О,
л[ЕО
а = 0.
Отсюда следует при и 8Ш ОС Ф 0, что
О,,
ПС = .
у л/^а
<1
и
V
и
1
V
V
2
2
12
2
Отметим, что при II = О или 8Ш ОС = О бесконечно малая деформация является тривиальной.
Из условия следует, что функция ОС в области Б существует, если СС —ОС , то есть, если
dv
E
4Ёо) ди IVEG
в..
= о.
Последнее условие означает, что метрика йя2 является плоской, то есть ее гауссова кривизна к тождественно равна нулю. В этом случае имеем для односвязной области б :
а
•41,V
*v> J
E
rdu +
G
4eg 4eg
dv
+ cn
где интегрирование ведется по любому контуру с концами в точках
с2 = const.
Используя уравнение ^ 7 , из формул , находим:
Гц = с^Е + Rcos(?0 +с2У;
Sg12 = R sin + с2 УЁв; = ClG ~ RCOS^O + С2
(о>v0* иvJ
13
где а0 = а .
Формулы О удобно представить в виде:
¿%и = схЕ + Есо&а0 • Л + Еъта0 • //;
бш а0 • л - ^¡ьи со8«0 • //; д§22 = ■ Л - Сзт а0 • //,
где л = , ¡Л = и С08 С 2 - произвольные постоянные, Я2 + // Ф 0. Этим заверша-
ется доказательство теоремы 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. В.Ф. Каган. Основы теории поверхностей. ОГИЗ. М., 1948. Ч. II.
2. Н.С. Синюков. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.
v
0> у0
В.Т. Фоменко, В.В. Сидорякина, О.Н. Бабенко
4
ПОГРУЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ЕВКЛИДА В Е В ВИДЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ СВЯЗНОСТЬЮ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ВЕКТОРОМ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ
