О 6-мерных AH-подмногообразиях класса W1+W2 +W4 алгебры Кэли Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 514.76

Г. А. Банару1

1 Смоленский государственный университет, Россия [email protected] doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-1

О 6-мерных АН-подмногообразиях класса Щ © Щ © Щ алгебры Кэли

Установлено, что 6-мерное Щ © Щ © Щ -подмногообразие алгебры октав, через каждую точку которого проходит гиперповерхность с квазисасакиевой структурой, является почти келеровым многообразием.

Ключевые слова: почти эрмитово многообразие, классы Грея — Хервеллы, почти контактная метрическая структура, квазисасакиева структура, алгебра Кэли.

1. Многие специалисты считают, что опубликованная 40 лет назад статья [1] А. Грея и Л. М. Хервеллы — самая значительная работа в области геометрии почти эрмитовых многообразий. Основной результат этой работы — выделение 16 классов (хотя правильнее было бы сказать — типов) почти эрмитовых структур.

Классы Грея — Хервеллы изучены крайне неравномерно. Наименее изученными являются так называемые большие классы: Щ © Щ2 © Щ3, Щ © Щ2 © Щ4, Щ © Щ © Щ и Щ2 © Щ ©Щ4. Многообразия класса Щ © Щ © Щ с 80-х годов прошлого века обычно исследовались под названием полукелеровых ^етьКаИ-1епап, 8К-) многообразий, за многообразиями классов

Поступила в редакцию 12.03.2020 г. © Банару Г. А., 2020

W1 © W3 © W4 и W2 © W3 © W4 закрепились названия G1 - и G2 -многообразий соответственно. У многообразий класса W1 © W2 © W4 нет особого названия из-за того, что они практически никогда не изучались отдельно, то есть класс почти эрмитовых многообразий W1 © W2 © W4 — наименее исследованный среди всех 16 классов Грея — Хервеллы. При этом он включает в себя келеровы, приближенно келеровы, почти ке-леровы, локально конформные келеровы и квазикелеровы многообразия, а также многообразия Вайсмана — Грея.

В настоящей заметке мы рассматриваем почти эрмитову структуру класса W1 © W2 © W4, индуцированную на 6-мерных подмногообразиях алгебры октав.

2. Под почти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на многообразии четной размерности M2п понимают пару \j, g = ^-,-)}, состоящую из почти комплексной структуры J и

римановой метрики g = , которые согласованы условием

JX, Л) = (X, Y), X, Y eK(M2n),

где K(M2n ) — модуль всех гладких векторных полей на многообразии M2п [1]. Для каждой AH-структуры J, g = (•,•)} на

многообразии M2п определяется фундаментальная (или келе-рова [1]) форма:

F(X, Y) = (X, JY), X, Y eK(M2п).

Почти эрмитова структура принадлежит классу W1 © W2 © W4 [1], если

V x ( F )(Y, Z ) + V JX (F )(JY, Z ) =

=--{(X,Y)SF(Z)-(X,Z)SF(Y)-(X, JY)SF(JZ)},X,Y eK(M2n).

Напомним [2], что почти контактной метрической структурой на многообразии N называется система |Ф, g |,

состоящая из четырех тензорных полей на этом многообразии, в том случае, когда для нее выполняются условия

)(£) = 1; Ф(£) = 0; т}оф = 0; фг = -\а +

(ФХ,Ф7) = (X,7)-)(Х))(7), X,7 е N).

Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), £ — векторное поле, ) — ковекторное поле, g = {■,■) — риманова метрика, N) —

модуль гладких векторных полей на многообразии N.

Самыми важными и известными примерами почти контактной метрической структуры являются косимплектическая и слабо косимплектическая структуры, структуры Кенмоцу и Сасаки, а также их многочисленные обобщения. В нашей заметке речь пойдет о квазисасакиевой структуре, которая определяется как почти контактная метрическая структура с замкнутой формой х ,7) = {х ,Ф7) и дополнительным равенством

Nф+ 2 0,

где Nф — тензор Нейенхейса оператора Ф .

3. В 60-х годах прошлого века А. Грей приступил к исследованию почти эрмитовых структур, индуцированных так называемыми 3-векторными произведениями в алгебре Кэли на ее 6-мерных подмногообразиях (см., например, [3]). В 1980 году В. Ф. Кириченко опубликовал работу [4], где представлены структурные уравнения Картана произвольной почти эрмитовой структуры на 6-мерном подмногообразии алгебры октав:

1 а а Ь 1 аЩЪ т^е] 1 аЪк т^ с

аа = аь лй +—=е Ок аь лас +—:=е лаь ;

V 2 л/2

7 b 1 тлЬ b 1 T^hc b

dCa = -Ca ЛС Sah[bDc]a ЛCc + SbhD Cc ЛС ;

j a a с

dab = ct)c Аюь -

î i

—SahD Dg i + Y T9 T9 n °bgDh[kD j 1 + ^1a[k1j]b

v2 9 j

kj со л c .

r> 123 abc abc Tr

Здесь sabc = sabc, s = s123 — компоненты тензора Кроне-

кера порядка три;

sbg =àbàg -SgSb ;

Б = ±Г8 + гТ7, Б- = ±Т8 - /Т7,

С/ С/ С/ ^ ^с/ —^с/ С/

где {Т-} — компоненты конфигурационного тензора; <р = 7, 8;

а, Ь, с, ё, к = 1, 2, 3; г,] = 1, 2, 3, 4, 5, 6; а = а + 3.

Используя условия принадлежности произвольной почти эрмитовой структуры классу © Ж2 © Ж4 [5; 6], мы получаем такое

Предложение 1. Почти эрмитова структура на 6-мерном подмногообразии алгебры Кэли принадлежит классу © Ж2 © Ж4 тогда и только тогда, когда

БЬ = БЬ = 0. (1)

Условия (1) позволяют получить структурные уравнения почти эрмитовой структуры класса © Ж2 © W4, индуцированной на 6-мерном подмногообразии алгебры Кэли.

Предложение 2. Структурные уравнения Картана почти эрмитовой структуры, индуцированной на 6-мерном © Ж2 © Ж4 -подмногообразии алгебры октав, имеют следующий вид:

та а Ь 1 ак[Ь т^ с]

аю = аь ла +—-¡=е Бк юь люс; \2

dca = -сс Л С + ^Sah[bDhc1c Лс ; (2)

1 a a с -т»/^ с а

асъ =ас лсЬ + 1Ть[аОс]ас лс + 1 7

+ (-^+ Т1Т1 + -2Т/Т/)сс лаа - % С лса■

Обратим внимание на то, что уравнения (2) в точности соответствуют структурным уравнениям квазикелеровой структуры [7]. Отметим, что в работе [8] Л. В. Степановой представлено большое количество результатов о геометрии почти контактных метрических гиперповерхностей квазикелеровых многообразий. Эти результаты можно теперь применить и к 6-мерным АН-подмногообразиям класса © Ж2 © Ж4 алгебры Кэли.

Предложение 3. Всякое 6-мерное © Ж2 © Ж4 -подмногообразие алгебры октав, через каждую точку которого проходит гиперповерхность с квазисасакиевой структурой, является почти келеровым многообразием (многообразием класса Ж2).

Предложение 4. Всякое 6-мерное © Ж2 © Ж4 -подмногообразие алгебры октав, через каждую точку которого проходит ) -квазиомбилическая гиперповерхность с квазисасакиевой структурой, является келеровым многообразием.

Список литературы

1. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Mat. Pura Appl. 1980. Vol. 123, № 4. P. 35—58.

2. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.

3. Gray A. Six-dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. J. 1969. Vol. 1. P. 614—620.

4. Кириченко В. Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Математика. 1980. № 8. C. 32—38.

5. Банару М. Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1993.

6. Banaru M.B., Banaru G. A. A note on six-dimensional planar Hermitian submanifolds of Cayley algebra // Известия Академии наук Республики Молдова. Математика. 2014. № 1 (74). P. 23—32.

7. Banaru M.B. Geometry of 6-dimensional Hermitian manifolds of the octave algebra // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2015. Vol. 207, № 3. P. 354—388.

8. Степанова Л. В. Контактная геометрия гиперповерхностей квазикелеровых многообразий : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1995.

G. A. Banaru1

1 Smolensk State University 4 Przhevalsky St., Smolensk, 214000, Russia [email protected] doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-1

On six-dimensional AH-submanifolds of class W1 © W2 © W4 in Cayley algebra

Submitted on March 12, 2020

Six-dimensional submanifolds of Cayley algebra equipped with an almost Hermitian structure of class W1 © W2 © W4 defined by means of three-fold vector cross products are considered. As it is known, the class W © W2 © W4 contains all Kahlerian, nearly Kahlerian, almost Kahlerian, locally conformal Kahlerian, quasi-Kahlerian and Vaisman — Gray manifolds. The Cartan structural equations of the W1 © W2 © W4 -structure on such six-dimensional submanifolds of the octave algebra are obtained. A criterion in terms of the configuration tensor for an arbitrary almost Hermi-tian structure on a six-dimensional submanifold of Cayley algebra to belong to the W1 © W2 © W4 -class is established.

It is proved that if a six-dimensional W1 © W2 © W4 -submanifold of Cayley algebra satisfies the quasi-Sasakian hypersurfaces axiom (i. e. a hypersurface with a quasi-Sasakian structure passes through every point of such submanifold), then it is an almost Kahlerian manifold. It is also proved that a six-dimensional W1 © W2 © W4 -submanifold of Cayley algebra satisfies the eta-quasi-umbilical quasi-Sasakian hypersurfaces axiom, then it is a Kahlerian manifold.

Keywords: almost Hermitian manifold, Gray — Hervella classes, almost contact metric structure, quasi-Sasakian structure, Cayley algebra.

r.A. EaHapy

References

1. Gray, A., Hervella, L.M.: The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Ann. Mat. Pura Appl., 123:4, 35—58 (1980).

2. Kirichenko, V. F.: Differential-geometric structures on manifolds. Odessa (2013).

3. Gray, A.: Six-dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products. Tôhoku Math. J., 21, 614—620 (1969).

4. Kirichenko, V.F.: Classification of Kählerian structures, defined by means of three-fold vector cross products on six-dimensional submani-folds of Cayley algebra. Izvestia Vuzov. Math., 8, 32—38 (1980).

5. Banaru, M. B. : Hermitian geometry of 6-dimensional submanifolds of Cayley algebra. PhD thesis. Moscow (1993).

6. Banaru, M. B., Banaru, G.A.: A note on six-dimensional planar Hermitian submanifolds of Cayley algebra. Buletinul Academiei Çtiinte a Republicii Moldova. Matematica, 1 (74), 23—32 (2014).

7. Banaru, M.B.: Geometry of 6-dimensional Hermitian manifolds of the octave algebra. J. Math. Sci. (New York), 207:3, 354—388 (2015).

8. Stepanova, L. V.: Contact geometry of hypersurfaces of quasi-Kählerian manifolds. PhD thesis. Moscow (1995).