Новый подход к построению и обобщению классической логики Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

С.А.Павлов

НОВЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ И ОБОБЩЕНИЮ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ*

Abstract. New formulation of the classical logic with truth and falsehood predicates is proposed. The generalization of this logic on the domain of symbolic expressions is realized.

Целью этой работы является построение языка, в котором можно выражать как синтаксис, так и семантику и онтологию классической пропозициональной логики. Совместное рассмотрение синтаксиса и семантики может быть интересно и полезно для явного и формального выражения их соотношений и связей между их положениями. Также интересно выявить положения как варьируемые, так и инвариантные, в процессе обобщения классической логики.

1. Стандартная формулировка и интерпретация классической логики

Приведем одну из стандартных формулировок и интерпретаций классической пропозициональной логики.

Язык логики CL Алфавит CL:

s, si, s2, ... пропозициональные переменные; з логические константы; ( , ) технические символы.

Правила образования ппф

(i) Всякая пропозициональная переменная есть правильно построенная формула (ппф).

(ii) Если A, B есть ппф, то (~A), (A з B), есть ппф.

(iii) Ничто иное не является правильно построенной формулой.

Метапеременные: A, B, C, ... для ппф. Схемы аксиом A1.1 (Pi з (P2 з Pi))

A 1.2 (Pi з (P2 з Рз)) з ((Pi з P2) з (Pi з Рз)) A1.3 ((-Pi з -P2) з (P2 з Pi))

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 02-03-18287.

РЬ № ^ P2)

Правило вывода -

P2

Интерпретация

Пусть M есть непустое множество пропозициональных переменных. Оценкой множества M называется любое отображение M в {1, 0}.

Если A есть формула, W(A) есть множество всех пропозициональных переменных, входящих в A, M есть множество пропозициональных переменных такое, что W(A) с М и V есть оценка множества М, то значение формулы А при V (символически | А | „) определяется индуктивно следующим образом:

1) если А есть пропозициональная переменная д,

то | А | „ = v(q), где v(q) есть значение д при отображении V.

2) если А есть (~В),

Г 0 ,

I~В | V= ^

I 1

если В V 1,

если В V 0.

, то

если В V 1 и | С | V = 1,

если В V 1 и | С | V = 0,

если В V 0 и | С | V = 1,

если В V 0 и | С | V = 0.

Г 1

I

I В з С IV = ^

I

I 1

Формулу А назовем общезначимой (символически И А), если для всякого множества пропозициональных переменных М такого, что W(A) с М, и всякой оценки V множества М | А | „ = 1.

Другими словами, мы сопоставляем формулы языка пропозиционального исчисления формулам булевой алгебры.

Пусть соответствующая алгебра будет <{0, 1}, -, < >.

2. Формулировка классической логики, обогащенной семантическими терминами «истинно» и «ложно»

Сформулируем логику, обогащенную семантическими предикатами «истинно» и «ложно», которая эквивалентна классической пропозициональной логике. Мотивацией для такой новой формулировки классической пропозициональной логики является желательность одновременного формулирования и различения как семантических законов противоречия и исключенного третьего, так и родственных им законов противоречия и исключенного третьего, не включающих в себя термин «истинно».

Отметим, что на необходимость такого различения обращали внимание еще Н.А.Васильев [1], А.Тарский [5], и Я.Лукасевич [2].

Так Н.А.Васильев в своих работах рассматривал металогику и эмпирическую логику и различал две формулировки закона противоречия.

На различие принципа исключенного третьего и принципа двузначности указывал Я.Лукасевич. Принцип двузначности символически записывается как (УА V FA), а закон исключенного третьего как (А V ~А).

Чтобы рассматривать эти законы, как в семантической, так и в несемантической формулировках, введем (с необходимыми предосторожностями) в объектный язык логики символы, соответствующие семантическим предикатам «истинно» и «ложно».

Такое рассмотрение с терминами «истинно» и «ложно» в качестве логических операторов было проведено в работах [3, 4] для случая неклассической логики. В них приведены основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности.

Перейдем к формулировке классической логики с предикатами истинности и ложности, обогащенной также связкой полной эквивалентности =, которую будем обозначать как БС2(=). Предикаты истинности и ложности будем обозначать символами У, F, операторы истинности и ложности будем обозначать символами |, -соответственно, исходную импликацию

Формулировка классической логики с предикатом ложности, обогащенная связкой полной эквивалентности

Утверждения об истинности и ложности предложений А и В, будем обозначать как F(q(A)), F(q(B)), где д есть оператор цитирования, а д(А), д(В) имена предложений А и В соответственно.

Язык исчисления ЕС2(=)

Алфавит ЕС2(=):

8, 8Ь 82, ... пропозициональные переменные; = логические константы; F символ предиката ложности; д термообразующий оператор цитирования; ( , ) технические символы.

Правила образования ппф (1) Всякая пропозициональная переменная есть правильно построенная формула (ппф). (и) Если А , В есть ппф, то F(q(A)), (А ^ В), (А = В) есть ппф. (ш) Ничто иное не является правильно построенной формулой.

Метапеременные: А, В, С, ... для ппф.

Принимаем стандартные соглашения относительно опускания скобок.

Введем следующие сокращения для формул. Определим оператор ложности В1.1 -А ЭДА))

Определим формулу 0, являющуюся тождественно ложной, которая будет играть роль константы "ложь".

Б 1.2.1 0 - (-8 ^ -8) (константа "ложь")

Определим отрицание

Б1.2.2 -А (А ^ 0) (отрицание)

Для высказывания об истинности предложения А

Б1.2.3.1 Дд(А)) =,* *М~А))

( содержательно означает 'истинно '):

Б1.2.3.2 |А - -А

Высказывание об истинности предложения А рассматривается как сокращение для высказывания о ложности отрицания предложения А.

Для высказывания о строгой истинности предложения А: ' I ' содержательно означает 'есть истинно и неложно'.

Б1.2.4 Га - ( |А ^ -А)

Определим импликацию з, которая фигурирует в правиле вывода.

Б1.2.5 (А з В) ^ ( ГА ^ ГВ)

Определим конъюнкцию, дизъюнкцию и эквиваленцию о. Б1.3.1 (А & В) ~(А ^ -В). Б1.3.2 (А V В) =df (-А ^ В) . Б1.3.3 (А о В) (А ^ В) & (В ^ А)

Из всего класса ппф выделим подкласс формул, которые образованы из префиксированных операторами истинности или ложности формул (называемых далее Т.Б.-формулами (Т.Б.-ф.)).

Если А есть ппф, то (-А) есть Т.Б.-ф. (у) Если Рь Р2 есть Т.Б.-ф., то (Р1 ^ Р2), есть Т.Б.-ф.

Пусть Р, Р1, Р2, ... есть метапеременные для Т.Б.-ф. Б1.4.1 (Р1 л Р2) =df - (Р1 з -Р2) Б1.4.2 (Р1 V Р2) =df (-Р1 з Р2) Б1.4.3 (Р1 - Р2) =,«■ (Р1 з Р2) л (Р2 з Р!) Б1.4.4 (Р1 V Р2) =df - (Р1 - Р2)

Схемы аксиом

Имеем следующие группы аксиом:

1) аксиомы классической логики для Т.Б.-формул:

К схемам аксиом СЬ А 1.1 - А 1.2 (см. выше) добавляем следующую

А1.3* ((-Р! з -Р2) з (Р2 з РО) и также

А1.4 |Р = Р

2) аксиомы, выражающие условия истинности для импликации: А2.1 | (А ^ В) = (-А V |В),

А2.2 -(А ^ В) = (|А л -В).

3) аксиома, выражающая принцип двузначности:

А3 (|А V - А).

А также добавим аксиому, задающую свойства связки полной эквивалентности =:

А4 (А = В) = (|А ^ |В) л (-А ^ -В).

А, (А з В)

Правило вывода -

В

Имеем теоремы ЕС2(=), выражающие семантические законы противоречия и исключенного третьего в слабой формулировке.

Т1.1 Ь - (|А л -А),

Т1.2 Ь (|А V - А).

Обратим внимание на то, что, что в аксиомных схемах присутствуют префиксированные операторами истинности или ложности формулы.

Представляет интерес привести теорему о неподвижной точке для предиката истинности и оператора истинности, устанавливающую эквивалентность между префиксированными оператором истинности ппф и не префиксированными ппф, подобную по форме схеме Тарского.

Теорема о неподвижной точке. Т2.1 Ь У(д(А)) ^ А. Т2.2 Ь |А ^ А.

Из этой теоремы следует возможность элиминации оператора истинности | из языка ЕС2(=).

Имеем также теоремы, выражающие законы противоречия и исключенного третьего.

Т3.1 Ь ~ (А & ~А). Т3.2 Ь (А V ~А).

Имеется утверждение А.Тарского, о том, что из определения истины следуют семантические законы противоречия и исключенного третьего.

Аналогом схемы Тарского в языке ЕС2(=) является формула (|А о А). Заменим аксиому А3, выражающую принцип бивалент-ности, аксиомой А3', являющуюся аналогом схемы Тарского.

А3' (|А о А)

В новой формулировке исчисления ЕС2(=) имеем теорему, выражающую принцип бивалентности

Т4' Ь (|А V - А)

и, конечно, теоремы Т1.1, Т1.2.

Таким образом в предложенной формулировке классической логики, обогащенной семантическими предикатами «истинно» и «ложно», выражаются и имеют место семантические законы противоречия и исключенного третьего наряду с их несемантическими формулировками.

Интерпретация исходных связок и производных логических операторов следующая:

0 1

0 1 1

1 0 1

= 0 1

0 1 0

1 0 1

А |А -А

0 0 1

1 1 0

Доказуемы метатеоремы непротиворечивости и семантической полноты.

3. Расширение логики ЕС2(=) на область нестандартных формул

Обычно неправильно построенные формулы в логике не рассматриваются. Относительно них можно утверждать две вещи: 1) что они бессмысленны и 2) что они ни истинны, ни ложны. В стандартном языке пропозициональной логики невыразим тот факт, что они ни истинны и ни ложны. Однако в предложенном выше языке утверждения о неистинности и неложности формул, являющихся неправильно построенными, можно выразить следующим образом:

(~Т(Коп8еп8е & ~F(Nonsense),

где словом «Nonsense» обозначено имя некоторой неправильно построенной формулы.

В качестве исходных неправильно построенных формул возьмем символы = логических констант. Это ограничение не снизит общности рассмотрения. В этом частном случае будем называть их для определенности нестандартными формулами (нф).

В дополнение к метапеременным A, B, C для ппф введем новую метапеременную N, соответствующую нестандартным формулам, зададим дополнительные правила образования и сформулируем дополнительную аксиому для нф, которая будет аналогична вышеприведенному положению.

(iii)* Символы логических констант = есть нестандартные формулы.

(iv)* Если A, B есть нф, то (A ^ B) есть нф.

(v)* Если A, B есть нф, то (-A), (A = B) есть ппф.

(vi)* Если A, B есть нф, то (-A), (A = B) есть T.F.-ф.

A5 (-| N л - - N)

При этом ни одни из ранее принятых аксиом и правил вывода не изменятся.

На следующем шаге обобщения введем новые метапеременные E, Ei, E2, ... для любых формул, как правильно построенных, так и нестандартных, то есть для ппф и нф одновременно. При этом правила (v)* и (vi)* обобщаем до правил (v)** и (vi)** следующим образом.

(v)** Если A, B есть формула, то (-A), (A = B) есть ппф.

(vi)** Если A, B есть формула, то (-A), (A = B) есть T.F.-ф.

В этом случае, обобщая схемы аксиом A2.1, A2.2, A3.2 на весь универсум формул (как правильно построенных, так и нестандартных), необходимо будет ослабить только аксиому A3, отбросив только формулу (|E v -E), соответствующую принципу двузначности в слабой форме. A3** - (|E л - E).

Назовем полученное исчисление FC3N(=). Обобщенные таблицы истинности ниже.

0 / 1

0 1 1 1

/ / / 1

1 0 / 1

= 0 / 1

0 1 0 0

/ 0 1 0

1 0 0 1

A |A -A

0 0 1

/ 0 0

1 1 0

Исчисление FC3N(=) эквивалентно сильной логике Клини, обогащенной клиниевской же связкой полной эквивалентности, а также трехзначной логике Лукасевича. Последнее может быть понято при учете того, что при построении этого исчисления ослаблялся именно принцип двузначности, что являлось для Лукасевича отправной точкой в построении им трехзначной логики.

В полученной логике необходимые и достаточные условия для утверждения о неподвижной точке (|A о A) усматриваются из следующих теорем. T5 Ь (|A v - A) з (|A о A) T5 Ь (|A о A) з (|A v - A)

Имеем также следующие теоремы, имеющие несколько непривычный вид.

T6.1 l (^ ^

T7.1 Ь (^ =

T7.2 Ь (= = =).

Последние теоремы становятся понятнее, если учесть, что из схемы аксиом A4 подстановкой = получается

(^ ^ ^ (|^о |=) л (-= о -=) и из A5 имеем (-|= л — =) и (-r(q(=)) л - ^(q(=)).

Обратим внимание, что при построении логики FC3N(=) мы не выходили за рамки языка классической логики FC2(=).

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев Н.А. Воображаемая логика (конспект лекции) // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М., 1989.

2. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 190-205.

3. Павлов С.А. Формулировка классической логики, обогащенной семантическими терминами «истинно» и «ложно» // Труды научно-исслед. семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XV. М., 2001. С. 74-78.

4. Павлов С.А. Секвенциальная формулировка логики с операторами истинности и ложности // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XVI. М., 2002. С. 79-85.

5. Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики. // Аналитическая философия: становление и развитие. М., 1998.