НОВЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ЭТАПЕ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Техника и технологии»

УДК 517.938

Б.Г. Иванов, А.А. Тельнов, Е.М. Шилов, И.О. Чакляров, Н.А. Шока

Военно-морская академия, Санкт-Петербург, г. Пушкин, 196604 e-mail: [email protected]

НОВЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

НА ЭТАПЕ ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В статье рассматривается подход к оценке устойчивости динамических систем. На основании критерия устойчивости А.В. Михайлова и теорем А.А. Маркова предлагается подход к определению устойчивости динамической системы.

Ключевые слова: динамическая система, устойчивость, критерии устойчивости, оценка устойчивости.

B.G. Ivanov, A.A. Telnov, E.M. Shilov, I.O. Chaklyarov, N.A. Shoka

Naval A cademy, St. Petersburg, Pushkin, 196604 e-mail: [email protected]

A NEW APPROACH IN DYNAMIC SYSTEMS STABILITY ASSESSMENT

AT THEIR DESIGN STAGE

The approach indynamic systems stability assessing is discussed in the article. Based on the stability criterion of A.V. Mikhailov and the theorems of A.A. Markov, an approach to determine the dynamical system stability is proposed.

Key words: dynamic system, stability, sustainability criteria, sustainability assessment.

Известно, что динамическая система, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами

^ X й X ^ X йх __ / \ /1 \

ап--ъ а-- + а-- + ... + а ,--ъ а х = У (г), (1)

0 йг" 1 йг"-1 1 йг"2 "-1 йг '

где х - возмущаемая величина, ДО - возмущающая сила, асимптотически устойчива, если вещественная часть любого корня г = 1 + /ю характеристического уравнения

а^" +а^"~2 +...+а^+а = о. (2)

Меньше нуля:

Явг < 0. (3)

Это значит, что линейная динамическая система, будучи выведена из установившегося состояния возмущающими силами, после их исчезновения через некоторый промежуток времени возвращается к прежнему состоянию [1].

Наиболее широко применяемые в практике критерии устойчивости Гурвица, Найквиста и А.В. Михайлова в случае дифференциального уравнения высокого порядка требуют затраты длительного времени и громоздит вычислений или графических построений для получения ответа на вопрос об устойчивости системы. Из указанных критериев большие преимущества

в отношении простоты имеет критерий А.В. Михайлова, который в формулировке автора звучит так: если дифференциальное уравнение свободных колебаний исследуемой системы имеет вид

«0УИ) + «ьУ" 0 + «2 + - + «„ = 0, (1')

то для определения устойчивости необходимо найти функции ф(ю) и у(ю), получающиеся от подстановки в уравнение (Г) навязанного системе решения y = elmt:

[ф (ш) + ;у(ш) ]j = F. (2')

Если все естественные гармонические скорости системы Ю01, Ю02 и т. д., определяемые как корни уравнения

ф(ю) = 0, (3')

при изменении ю от 0 до +да окажутся действительными, и если функция затухания у(ю) имеет значения, отличные от нуля для всех естественных скоростей Ю01, Ю02 и т. д., и притом положительные для тех из них, для которых производная (у(ю))' отрицательна, и отрицательные для остальных, то система будет устойчива [2].

То есть система будет устойчива, если функции ф(ю) и у(ю) будут иметь вещественные разделяющиеся корни и если an и an- 1 будут одного и того же знака.

При практическом использовании данного критерия устойчивости необходимо найти вещественные корни уравнений:

ф (ш) = 0, у ( ш) = 0

или прибегнуть к построению радиуса-вектора r (ш) = ф(ш) + jy (ш) при изменении ю от -да до

+да, что при достаточно высоком порядке исходного дифференциального уравнения (1) требует затраты довольно длительного времени, хотя и меньшего, чем в случае, например, критерия Гурвица.

Зададимся вопросом, как же определить, разделяются или нет корни функций ф(ю) и у(ю), не решая уравнений ф(ю) и у(ю)?

Исходя из теорем русского математика А.А. Маркова следует:

1. Если корни полиномов ф(ю) и у(ю) все вещественные, простые и разделяются, т. е. между любыми двумя корнями ф(ю) есть корень у(ю) и между любыми двумя корнями у(ю) есть корень ф(ю), то уравнение

Лф(ш) + ^у (ш) = 0 (4)

имеет все вещественные корни при любых вещественных X и ц.

2. Если все корни полинома

F(o>) = Лф (ш) + ^у (ш) (4а)

вещественны при любых вещественных X и ц, то корни полиномов ф(ю) и у(ю) разделяются.

3. Если корни полиномов ф(ю), у(ю) все вещественные и разделяются, то корни их производных разделяются.

Очевидно, что из (4) следует необходимое условие устойчивости системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением (1): ф(ю) и у(ю) можно рассматривать как соответственно вещественную и мнимую части (при z = /ю) полинома, стоящего в левой части характеристического уравнения (2). Дополнительным условием, при котором достигается и

достаточность условии устойчивости, является совпадение знаков последнего и предпоследнего коэффициентов уравнения (2) ап и ап - 1; противоположные знаки этих коэффициентов (если корни ф(ю) и у(ю) разделяющиеся) свидетельствуют о «полной» неустойчивости системы, т. е. о том, что все корни характеристического уравнения (2) находятся не в левой, а в правой полуплоскости комплексного переменного г, имея положительные вещественные части, что соответствует экспоненциально растущим с течением времени возмущениям [3].

На основании вышесказанного необходимо доказать, что если корни полиномов ф(ю) и у(ю) все вещественные, простые и разделяются, т. е. между любыми двумя корнями ф(ю) есть корень у(ю), и между любыми двумя корнями у(ю) есть корень ф(ю), то уравнение

УН*}-фН*} = 0 (5)

у ; d® у ' йю

не имеет вещественных корней при изменении ю от -да до +да.

Рассмотрим полиномы

^1(ю) = ^1ф(ю) + Ц1у(ю); (6)

^г(ю) = ^2ф(ю) + Ц2^(ю), (6а)

где Х1, Х2, Ц1, Ц2 - любые вещественные числа, удовлетворяющие неравенству

X, X,, — Ф—.

Возьмем производные от этих полиномов

ю) . йФ (ю) , (ю)

-= х1--ь р-; (7)

йю йю йю

^ = X + ^ ^ (7а)

йФ (ю)

При этом

йю

Ф 0 и

йю

ю = 0>1

йю йю йю

й ю)

Ф 0, и если Ю1 и Ю2 - корни полиномов ф(ю) и у(ю),

соответственно ф(ю) и у(ю) содержат только простые корни.

Покажем, что корни = 0 и ^г(ю) = 0 разделяющиеся и, следовательно, и ^г(ю) не имеют кратных корней. Действительно, уравнение

Щ (ю) + (ю) = 0 (8)

при любых вещественных X и ц содержит только вещественные корни, что видно из следующего:

Х^ (ю) + ^ (ю) = ( XX + рХ2) Ф (ю) + ( Хр + ) у (ю) = 0. (8а)

Так как (ХХ1 + ЦХ2) и (Хц1 + ЦЦ2) - любые вещественные числа, а корни полиномов ф(ю) и у(ю) по условию разделяющиеся, то на основании (4) утверждаем, что корни уравнения (8а) все вещественные. На основании (4а) следует заключить, что корни полиномов и ^г(ю) не

имеют кратных корней и, следовательно, не имеют общих корней со своими производными

(ю) (ю) - и -.

й ю й ю

ю = ю

Таким образом, если - любой из корней

Fi(®t) = Алф(юк) + = 0,

и поэтому

W К ) \ '

(8б)

(9)

то при том же Юк, которое может быть любым вещественном числом в интервале -да < Юк < +да, отношение

dф(ю) dy(ю)

ю = Юк 1

(9а)

йю йю

Из (9) и (9а) следует, что уравнение (5) не имеет вещественных корней при изменении ю от

-да до +да, что и требовалось доказать.

Из характеристического уравнения (2) находим, что при z = /ю1 ф(ю) = sign(jn)(а0юТ _а2шп_2 + а4шп_4 _... + аи),

у(Ю) = sign (jn _1)(а юп 1 _ а юп_3 +а юп_5 _.••+аи_ i®),

dф(ю^ sign ( jn) [паЮп_1 _(п _ 2)аЮп_3 + (п _ 4)аюп_5 + 2аи 2ю],

d® dy(®) d®

■ sign(jn_1 )[(n_ 1)аюп_2 _(n _3)аЮп_4 + (n _5)аюп_6 _... + аи_i].

(10)

Уравнение (5) после преобразования ф(ю), у(ю), жениями из (10) приобретет следующий вид:

d<p( ю) dv( ю)

d®

d®

соответствующими выра-

ааю2п 2 + (аа _ 3а0а3)ю2п 4 + (а2а3 _ 3аа + 5а0а5)ю2п 6 + . + а„аи-1 = 0.

(11)

Переменная ю в нем содержится только в четной степени. Заменив ю2 = х, получим уравнение, которое мы назовем определяющим уравнением:

Axn_1+ Alxn_2 + A2xn _3 +. + 4-1 = 0,

(12)

где п - порядок исследуемого дифференциального уравнения (1), описывающего движение некоторой динамической системы, а коэффициенты Ао, Л\ и т. д. равны:

1.4 = аоа1. 2. а = аа - За0а3.

3. A = а2а3 _ 3аа4 + 5а0а5.

KAk _1 =ак _1ак _ 3ак_2ак + 1 +. + (_1)' + 1 ( 2 _ 1) ак _flk + i+ -^Н)" ( 2к _ 1) ак0а2к_1.

(13)

".А , = а .а .

" - 1 " - 1 "

Если дифференциальное уравнение (1) описывает выражение устойчивой системы и, следова-й (ю) й (ю)

тельно, корни ф(ю), у(ю), —-, —- - соответственно разделяющиеся, то коэффициенты (13)

d®

d®

должны быть такими, чтобы среди корней уравнения (11) не было ни одного вещественного или среди корней определяющего уравнения (12) - ни одного положительного (или равного нолю).

На основании всего вышеизложенного приходим к следующим выводам:

1. Если все коэффициенты определяющего уравнения положительны, то данная динамическая система устойчива.

2. Если ряд коэффициентов A0, A1, ... An - 1 содержит нечетное число перемен знаков, то исследуемая динамическая система неустойчива.

3. Если ряд коэффициентов (13) содержит четное число перемен знаков, то исследуемая динамическая система может быть устойчивой или неустойчивой; вопрос об устойчивости не решается рассмотрением только ряда (13).

В общем случае проверку устойчивости системы предложенным подходом нужно производить в следующем порядке:

1. Составить определяющее уравнение.

2. С помощью известных способов определить, существуют ли такие положительные значения х, при которых полином, стоящий в левой части уравнения (12), был бы отрицательным или равным нулю. Если такие значения х есть, то система неустойчива, а если нет - то система устойчива.

Недостатки этого метода определения устойчивости почти такие же, как и в методе Гурвица, хотя влияние на устойчивость отдельных параметров системы может быть определено проще. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями относительно низкого порядка (до n = 5^6), удобнее пользоваться критерием Гурвица, а для систем, описываемых дифференциальными уравнениями более высокого порядка, - предлагаемым методом, причем преимущества его в отношении быстроты вычислений перед критерием Гурвица увеличиваются с ростом порядка дифференциального уравнения.

Предлагаемый подход определения устойчивости систем, движение которых описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, заменяет трудную задачу определения знака вещественных составляющих комплексных корней характеристического уравнения более простой задачей отыскания или, точнее, установления факта наличия или отсутствия положительных корней в определяющем уравнении, что проще всего можно сделать каким-либо графическим способом и в крайнем случае - использованием способа Штурма отделения вещественных корней.

Литература

1. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 440 с.

2. Пономарева В.М., Литвинов А.П. Основы автоматического регулирования и управления. - М.: Высшая школа, 1974. - 439 с.

3. Воронов А.А., Бабаков Н.А., Воронова. А.А. Теория автоматического управления. - М: Высшая школа, 1986. - 367 с.