CC BY
11Научный вестник НГТУ. -2013. -№ 1(50)
УДК 535.411.854
*
Новый метод калибровки фазовых сдвигов
В.И. ГУЖОВ, С.П. ИЛЬИНЫХ, Д.С. ХАЙДУКОВ, Р.А. КУЗНЕЦОВ
В статье рассматривается алгоритм определения фазовых сдвигов по серии интерференционных картин, полученных методом пошагового фазового сдвига решением системы трансцендентных уравнений.
Ключевые слова: интерферограмма, фазовый сдвиг, расшифровка интерферограмм, интерферометр, пошаговая интерферометрия.
ВВЕДЕНИЕ
Наибольшее распространение при построении интерференционных систем в последние годы получили методы получения и расшифровки интерферограмм на основе пошагового фазового сдвига. Метод пошагового фазового сдвига основан на регистрации нескольких интерференционных картин при изменении фазы опорной волны 5г на некоторые известные значения (пошаговая или фазо-сдвигающая интерферометрия, phase-sampling, phase-shifting interferometry) [1—14].
Di (x, У) = D0 (x,У) {1 + W (x,y) cos [ф( x,у) + 8. ]}, (1)
где i = 0, I, ..., m — I, m - число фазовых сдвигов.
Основной задачей расшифровки является определение разности фаз интерферирующих волновых фронтов ф(х, у) по значениям зарегистрированных интенсивностей /г- (х, у). Если фазовый сдвиг известен, то уравнение (1) содержит три неизвестных: ф(х,у) - фазовая разность, /0(х,у) - средняя интенсивность, V(x,y) - видность. Для их нахождения нам необходимо не менее трех уравнений с различными значениями 6,-. Формулы для расшифровки выводятся как решение системы тригонометрических уравнений вида (1). Известно большое число выражений для расшифровки с различным числом фазовых сдвигов. Первые известные алгоритмы использовали формулы расшифровки с тремя или четырьмя сдвигами. С возрастанием вычислительной мощности современных компьютеров появилась возможность использовать алгоритмы с большим числом сдвигов. Так в работе [3] представлен алгоритм, использующий 15 фазовых сдвигов, а в работе [6] - 101 фазовый сдвиг. Нами предложен [10, 11] обобщенный алгоритм расшифровки, позволяющий устанавливать структуру известных алгоритмов и конструировать новые алгоритмы с неограниченным количеством фазовых сдвигов.
W = arctan Ie, ^/(ie, ) . (2)
—* T • • T
В этом выражении С = (cosSovjCOsSw-i) , £ = (sinSov-jSinS^) , 8г- -фазовые
сдвиги,р^мерность векторов определяется m — числом фазовых сдвигов,^ а, Ъ) — скалярное
Статья получена 20 декабря 2012 г.
186
В.И. ГУЖОВ, С.П. ИЛЬИНЫХ. Д. С. Ш1ДУК0В. P.A. КУЗНЕЦОВ
произведение, / - вектор ортогональный вектору I = (/0,...,!т_\) , где /,(х, г) - набор измеренных интенсивностей с различными фазовыми сдвигами 8,-.
Существует ряд систематических ошибок, которые влияют на правильность определения разности фаз. Это ошибки при определении интенсивности и ошибки при установлении фазового сдвига. В [13, 14] показано, что основной вклад в погрешность измерения разности фаз вносят ошибки при установке фазового сдвига.
1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Цель данной работы - явное определение действительной величины вносимых фазовых сдвигов путем анализа интерференционных сигналов в двух произвольных точках интерферо-граммы.
Уравнение (1) можно представить в виде:
Di (У) = 6х, У) + в( х,у) cos [ф( х,у) + 8{ ], (3)
где А(х,у) - средняя яркость; В(х,у) - амплитуда интерференционных полос.
Можно сделать допущение, что во всех точках (х, г) фазовые сдвиги 8,- одинаковы. Это предположение выполняется в большинстве случаев исходя из физических условий проведения эксперимента. Тогда мы можем получить добавочные уравнения, рассматривая решения не в одной, а в нескольких пространственных точках (хк, ук)
11 (хк, Ук ) 2 А( хк, У к ) + в( хк, У к ) С08 [Ф( хк, У к ) + ] • (#)
Если взять две точки на интерферограмме с координатами А(ха, уА) и В(хв, ув) при пяти фазовых сдвигах, получим систему из десяти уравнений вида (4) с десятью неизвестными.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ АНАЛИТИЧЕСКИ
Изменим обозначения интенсивности в системе уравнений (4) 1Ы.. J5A как .. .х5, интенсивности 1\в...1\в как vi... у5. а уровни средней яркости A(xÄ,yÄ) и А(хв,ув) -х0иу0 соответственно. С учетом принятых обозначений система уравнений (4) примет вид
' = х0+ 7 C0S (Ф1 + ) . Уг 2 Уо+ В2 C0S (Ф2 + ) . (5)
В уравнении (5) (х, г) можно рассматривать как координаты точек (рис. 1).
Любая точка, соответствующая системе уравнений (5) принадлежит некоторому эллипсу. Получим уравнение эллипса, проходящего через 5 точек. Уравнение эллипса в общем виде имеет вид [15]
2 2 апх + 2а12ху + ацУ + 2а13х + 2а23у + а33 2 0. (6)
где 1 = 0, 1 ...4, S0 2 0.
Рис. 1. Точки интен«тностей
Вычислим коэффициенты уравнения (6)
[ 61В2 + 62 В1 + а (63В4 + 64 В3)],
а22 ^ В1В2 + аВ3В#, ^13 2 ![61С2 + 62С1 + а (63С4 + 64С3)], (7)
«23 2 2[Вхсг + ВгСх + а(В3С4 + В4С3)], «33 2 СС + аС"С# ,
где
61 2 У1 " '2 62 2 '2 " '3 63 2 '1 " '3 64 2 '2 " '4
В1 2"( '1 -'2 ) В2 2"( '2 -'3 ) В3 2"( '1 -'3 ) В4 2"( '2 ~х4 ) (8) С1 2 '2 61 'В1 С2 2 '3 62 '2В2 С3 2 '3 63 'В3 С4 2 '4 64 '2В4
а 2 - (61'5 + В1 '5 + С1) (62'5 + В2'5 + С2 )/[(63'5 + В3'5 + С3 )(64'5 + В4'5 + С4 )] •
Можно сократить число неизвестных в системе уравнений (5), приведя центр эллипса в начало координат. Координаты центра эллипса х0 и у0 равны
а13 h12 / h11 h12 . '0 2- h11 h13 / h11 h12
h23 h22 / h21 h22 h12 h23 / h21 h22
После исключения переменных х0 и у0 , система уравнений (5) примет вид
'i 2 Blcos (Ф1 + 8i) . 2 B2C0S (Ф2 + 8i) . (10)
где/ = 0, 2,..., m-1, S0 = 0,a x¿ =xt-x0, yi =у{-у0.
Теперь фазовые сдвиги можно определить по значениям sin и cos.
— 2 i 2 1 1-
cos(8i) 2 -21-—i-, sin(Si) 2 J1 - cos(Si)2 • sign(xi_V2 - -Vi), (11a)
2-21b1
cos(8v) 2 cos(81)-i1 - bt-i, sin(8v) 2 sin(81) • i' = 2,..., 4. (11b)
Здесь
-21 2 sin (82 )/sin (81) 2 ('1 '3 - X3X1 )/('i'2 - X2'i) . (12a)
-31 2 sin (83 )/sin (81 )2( '1 -X4 - X4 'i )/( X1 '2 - X2 'i) (12b)
-41 2 sin (8 4 )/sin (81 )2( X1 -X5 - X4 X1)/('1 '5 - '5 X1) (12<0
bi 2 -21 ^ - b2 2 -31 ^ - iXi, b3 2 -41 -1 (13)
Xi Xi Xi Xi Xi Xi
Для исследования устойчивости алгоритма проводилось моделирование синусоидальных картин с заданным сдвигом (рис. 2, а). К значениям интенсивности добавлялся равномерный случайный шум. Одна точка фиксировалась, а вторая пробегала по всему полю интерферо-граммы. В каждой точке по формулам (11) рассчитывался фазовый сдвиг.
188
В.И. ГУЖОВ. С.П. ИЛЬИНЫХ. Д. С. Ш1ДУК0В. P.A. КУЗНЕЦОВ
Рис. 2. Пять интерференционных картин с различными фазовыми сдвигами (а)\ гистограмма распределения вычисленных значений фазы (б)
Для устранения выбросов вычислялась гистограмма распределения вычисленных значений сдвига и проводилось усреднение по точкам, попадающим в пять максимальных значений гистограммы (рис. 2, б). Результаты измерений для фазового сдвига 5, - 2,51 рад показаны в таблице.
Шум, % Вычисленное Относительная
значение ошибка, %
2 2,49 0,81
5 2,54 1,11
10 2,55 1,5
15 2,47 1,7
20 2,37 5,56
25 2,25 10,5
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье предложен новый метод калибровки фазовых сдвигов. Использование этого метода позволяет уменьшить требования к точности установки вносимых фазовых сдвигов. Поскольку фазовый сдвиг вычисляется непосредственно по значениям интенсивностей, можно использовать системы с априорно неизвестными вносимыми фазовыми сдвигами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Hariharan P. Digital phase-measurement system for real-time holographic interferometry / P. Hariharan, B.F. Oreb, N. Brown // Optics Communication. - Vol. 41. - № 6. - 1982. - P. 393-398.
[2] WyantJ.C. Recent advances in interferometric optical testing / J.C. Wyant, K. Creath // Laser Focus. - 1985. -P. 118-132.
[3] Wyant J.C. Interferometric optical metrology: basic system and principles / J.C. Wyant // Laser Focus. - 1982. -P. 65-67.
[4] Creath K. Phase-shifting speckle interferometry / K. Creath // Applied Optics. - 1985.- Vol. 24. - P. 3053-3058.
[5] Greivenkamp J.E.«Phase shifting interferometry» in Optical Shop Testing / J.E. Greivenkamp, J.H. Brüning. -New York: Wiley, 1992. - P. 501-598.
[6] Groot P. de. Phase-shift calibration errors in interferometers with spherical Fizeau cavities / P. de Groot // Applied Optics. - 1994. - Vol. 34. - № 16. - P. 2856-2863.
[7] Groot P. de. 101-frame algorithm for phase shifting interferometry / P. de Groot // EUROPTO, 1997. (Preprint 3098-33).
[8] Millerd J. Modem Approaches in Phase Measuring Metrology / J. Millerd, N. Brock, J. Hayes, et al. // proc. SPIE. 5856.-2004.
[9] Gao P. Phase-Shift Extraction for Generalized Phase-Shifting Interferometry / P. Gao, B. Yao, N. Lindlein, et al. // Opt. Lett., 2009. - 34 (22). - P. 3553-3555.
[10] Гужов В.И. Универсальный алгоритм расшифровки / В.И. Гужов, С.П. Ильиных, Д.С. Хайдуков, А.Р. Ва-гизов // Научный вестник НГТУ. - 2010. - № 4(41). - С. 51-58.
[11] Гужов В.И. Устранение ошибок фазового сдвига в интерферометр™ / В.И. Гужов, С.П. Ильиных, Д.С. Хайдуков, А.Р. Вагизов // Автометрия. - 2011. - Т. 47. - № 1. - С. 96-101.
[12] GuzhovV.I. Eliminating phase-shift errors in interferometry / V.I.Guzhov, S.P. Il'yinykh, D.S. Khaidukov,
A.R. Vagizov 11 Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. -2011. - Vol. 47. - № 1. - P. 76-80.
[13] Гужов В.И. Анализ точности определения полной разности фаз в целочисленных интерферометрах /
B.И. Гужов, Ю.Н. Солодкин // Автометрия. - 1992. - № 6. - С. 24-30.
[14] Schmit J. Extended averaging technique for derivation of error-compensating algorithms in phase-shifting interferometry / J. Schmit, K. Creath // Applied Optics. - 1995. - Vol. 34. - № 19. - P. 3610-3619.
[15] Корн Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М., 1973. - 832 с.
Гужов Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор, декан АВТФ. Основное направление научных исследований: цифровые измерительные системы. Имеет более 140 публикаций, в том числе 2 монографии. E-mail: [email protected].
Ичьиных Сергей Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники. Основное направление научных исследований: алгоритмы цифровых измерительных систем. Имеет более 100 публикаций, в том числе 1 монографию. E-mail: [email protected].
Хайдуков Дмитрий Сергеевич, кафедры вычислительной техники. Основное направление научных исследований: алгоритмы цифровых измерительных систем. E-mail: [email protected].
Кузнецов Роман Апександрович, кафедры вычислительной техники. Основное направление научных исследований: алгоритмы цифровых измерительных систем. E-mail: [email protected].
Gushov V.I., Ilyinykh S.P., Haidukov D.S., Kuznetsov R.A.
A new method ofealibrationphase shifts
In the article the algorithm of determination of the phase shifts on a series of interference patterns obtained by the method of step-by-step phase-shift solution of the system of transcendental equations, obtained in two spatial points.
Key words: interferogram, phase shift, interpretation of interferograms, interferometer, step-by-step interferometry.
