Новый эллипс, или математический фарфоровый сервиз Текст научной статьи по специальности «Математика»

Cloud of Science. 2018. T. 5. № 2 http:/ / cloudofscience.ru

Новый эллипс, или Математический фарфоровый сервиз

В. Ф. Очков*, М. Нори**

*Национальный исследовательский университет «МЭИ» 111250, Москва, ул. Красноказарменная, 14

**64025, Италия, Пинето, ул. Мимозы, 18

e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. В статье рассказано, какие известные и еще неизвестные плоские кривые могут украшать фарфоровую посуду. Обсуждаются возможности вычислительной техники в плане генерации новых плоских кривых. Вводится понятие гибрида фокуса и директрисы. Ключевые слова: роспись фарфора, эллипс с множеством фокусов, новый вид фокуса, дополнительная реальность, Mathcad, плоская сканирующая графика, анимация.

Я с детства не любил овал! Я с детства угол рисовал!

Павел Коган

1. Математика и фарфор

«Отцом» европейского белого фарфора считается граф Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус (Чирнхауз, Чирнгауз — Ehrenfried Walther von Tschirnhaus — 1651-1708), который на рубеже XVII и XVIII вв. заложил основы производства фарфора в городке Мейсен под Дрезденом1.

Можно написать конкретнее — заново изобрел фарфор. Но некоторые историки полагают, что настоящим изобретателем европейского белого фарфора был не аристократ Чирнхаус, а монах-алхимик Иоган Беттгер (Johann Friedrich Böttger, 1682-1719), которого Чирнхаус держал под арестом в «шарашке», созданной специально под этот «фарфоровый проект». Чирнхаус же был директором этого закрытого учреждения — комендантом крепости, где располагался этот «почтовый ящик». Такая практика ведения научно-технических разработок, кстати говоря, два с половиной века спустя широко использовалась сталинским режимом. Из-за этого мы зачастую не знаем имен истинных изобретателей, а помним и чествуем только «директоров шарашек». Другие же исследователи вполне обосновано считают, что после смерти Чирнхауса Беттгер присвоил себе лавры изобретателя европейского фарфора. А этого монаха под замком держали неспроста: он однажды попытался продать тайну изготовления фарфора в Пруссию, но эта попытка была пресечена.

Мы не случайно упомянули, что Беттгер был алхимиком. Эти средневековые «недохимики» пытались, в частности, получить философский камень — реактив, необходимый для превращения недорогих металлов в золото. Изобретение фарфора, можно сказать, в чем-то реализовало эту давнюю мечту — фарфор в те годы, да и сейчас (см. рис. 3 ниже) является очень дорогим товаром, изготовляемым из относительно дешевого сырья (каолин, кварц и др.), но приносящим хорошие (золотые!) прибыли,

Этот аристократ оставил свой след и в математике2. Он, в частности, дал название эллипсам с тремя фокусами, которые в немецкой литературе так и называются — яйцеобразные эллипсы Чирнхауса (https://en.wikipedia.org/wiki/N-ellipse). По данной ссылке можно также узнать, что такой эллипс впервые исследовал Джеймс Максвелл в 1846 г. Но есть сведения о том, что такие кривые еще Рене Декарт упоминал (см. ниже). Тут на ум приходит старый анекдот: «Кому поставлен этот памятник? — Льву Толстому. — Это тот, кто «Муму» написал? — Нет, повесть «Муму» написал Тургенев. — А почему же памятник Толстому?». «Кто впервые исследовал эту кривую? — Джеймс Максвелл. — А почему же она называется эллипсом Чирнхауса?». Подобные вопросы часто возникают при знакомстве с историей математики и других наук.

Давайте попытаемся объединить эти два объекта внимания Чирнхауса — фарфор и эллипсы. А в понятие эллипса с его фокусами и директрисой внесем новые, еще не исследованные моменты! Это даст нам возможность сгенерировать свежие идеи для художественного оформления фарфора! Есть также надежда, что эти идеи найдут также и практическое, а не только декоративное применение.

Примечание. Михаила Васильевича Ломоносова (1711-1765) можно считать русским Чирнхаусом. Наш великий соотечественник также внес определенный вклад и в науку, и в производство фарфора в России. Роднит Чирнхауса и Ломоносова и тот факт, что они в настоящее время почти неизвестны за пределами своих стран. Кстати, периодическую таблицу химических элементов упоминают без ссылки на другого великого русского ученого — Менделеева, а трехфокусный эллипс — без ссылки на Чирнхауса.

2. Эллипс

Эллипс — это геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух других точек, называемых фокусами, постоянна [1, 2].

Есть простой способ рисования эллипса: к листу бумаги прикалываются две булавки, к ним привязывается веревочка, по которой скользит карандаш, рисующий эллипс (рис. 1).

если за это дело взяться с умом и талантом. До Чирнхауса и Беттгера в Европе был только привозной китайский фарфор. Потом фарфор стали производить в Австрии, Франции, Англии, Италии, России, США и в других странах. Но саксонский фарфор — это особый фарфор, в том числе и из-за ареола европейского «первородства». Но европейский фарфор (твердый фарфор) нельзя считать репликой китайского фарфора (мягкого фарфора).

2 В Дрездене есть гимназия с математическим уклоном, носящая имя графа Чирнхауса. Сайт гимназии https://ewvt.de

Рисунок 1. Рисование эллипса Рисунок 2. Рисование трехфокусного эллипса

Если две булавки воткнуть в одну точку (взять одну булавку), то будет нарисована окружность3 — геометрическое место точек, равноудаленных от центра окружности. Если же взять три булавки и воткнуть их в три разные точки (фокусы), то можно нарисовать эллипс с тремя фокусами — тот самый яйцеобразный эллипс, который исследовал Чирнхаус (рис. 2). Впервые же, повторяем, эта замкнутая кривая упоминается в работах Декарта (1596-1650) [3].

Веревочка крепится в точке ^, перекидывается через грифель карандаша, далее через булавку, воткнутую в точке ¥2, снова через грифель карандаша и крепится в точке Еъ. Двигая карандаш и меняя тем самым длины Ц, Ц и Ц, но сохраняя сумму Ц + 2Ц + Ц постоянной, можно нарисовать замкнутые кривые, показанные на рис. 4.

Двухфокусные эллипсы имеют важное научное приложение — многие естественные и искусственные небесные объекты (планеты и их спутники) движутся по эллиптическим орбитам или по орбитам, близким к круговым. Трехфокусные же эллипсы какого-то серьезного научно-практического приложения не имеют. Давайте исправим это ненормальное положение, помня о том, что математик Чирнхаус приложил руку и к созданию европейского фарфора.

3 Все тарелки и блюдца Мейсенской мануфактуры изготавливаются сугубо круглыми. Овальными (эллипсообразными) делаются только блюда (большие общие тарелки). Другие же фарфоровые фабрики выпускают тарелки и блюдца не только круглой, но и овальной, квадратной или треугольной (с закругленными углами) и прочей формы. На овальных (удлиненных) тарелках обычно подают рыбу. Но мейсенский фарфор - это не тот фарфор, на котором что-то подают к столу. Мейсенским фарфором обычно только любуются или хвастаются им перед гостями. Читаем у Голсуорси в «Саге о Форсайтах»: «Желая как можно скорее сгладить память об этой минуте, он не мог придумать ничего лучше фарфора; и, переходя <.. > от одного шкафчика к другому, он вынимал образцы изделий Дрездена <.. > и поворачивал их в тонких жилистых руках...». Так Джолион Форсайт показывал свой коллекционный фарфор племяннице Ирэн, в которую он влюбился на старости лет.

3. Фарфор

Мануфактура, которую основал Чирнхаус, успешно работает и поныне. Она изготавливает традиционную посуду — столовые, чайные и кофейные сервизы, вазы, а также фарфоровые статуэтки. Изделия Мейсена ценятся знатоками по всему миру и стоят не просто больших, а очень больших денег: все ценники на рис. 3 шестизначные!

Рисунок 3. Витрина мейсенского фарфора в одном московском магазине

Мейсенский фарфор, как и любой другой эксклюзивный фарфор, условно можно разделить на две неравные части — произведения искусства, которые редко попадают в обычные магазины, и... китч с разной степенью откровенности, рассчитанный на богатых, но нетребовательных покупателей, лишенных эстетического вкуса4. И это понятно: Мейсенская мануфактура — это не только художественное,

4 Автор иногда проверяет свой «эстетический вкус» таким способом. Он заходит в художественный салон, издалека рассматривает картины, развешенные по стенам, и отмечает те, какие бы он купил и повесил у себя дома. Потом автор подходит к картинам ближе, чтобы были видны ценники. Почти всегда оказывается так, что цена отмеченных автором картин на порядок выше остальных цен. Но фарфоровые изделия, показанные на рис. 3, автор не купил бы не только по финансовым, но и по эстетическим соображениям. Кстати, автор несколько раз посещал Мейсенскую мануфактуру и покупал

но и сугубо коммерческое предприятие, озабоченное не в последнюю очередь прибылью, без которой затруднительно и само творчество.

Но Мейсенская мануфактура может изготавливать фарфоровую посуду третьего, так сказать, инновационного типа — посуду, форма и рисунок которой будет нести не только эстетический, но и математический смысл, связанный, в частности, с Чирнхаусом — с основателем мануфактуры. Это будет посуда не в стиле романтизма или модернизма, а в стиле, так сказать, математизма!

4. Классическая фарфоровая тарелка Чирнхауса

На рис. 4 представлен эскиз фарфоровой тарелки с двумя синими трехфокусными эллипсами Чирнхауса [4]. Да и сама тарелка выполнена в виде такого эллипса (см. черный контур тарелки).

<ч1 \Valtliei уоп Т^сЫгпЬли5 рогсеЫн р1а1е

Ц - кп)2* (у - у(1)2 = 24 59о|1

12 ^-^-(у-уе)2" э-35ст

13 ' 16.КОП

Ц ++ 1-3 = 50 ст Ц + 1-2 + Ь^и сопл

Рисунок 4. Эскиз фарфоровой тарелки с двумя трехфокусными эллипсами Чирнхауса

На тарелке прорисованы три фокуса /х, /2, /3, а также след натянутой веревочки, длина которой остается постоянной при рисовании наружного большого эллипса Чирнхауса, на котором отмечена одна точка. Для рисования же внутреннего эллипса веревочку нужно будет несколько укоротить. Расстояния от фокусов до одной из точек наружного эллипса обозначены как Ц, Ц, Ц. Сумма этих расстояний, повторяем, остается постоянной. Для наружного эллипса она равна 50 см, для внутреннего — 33 см, а для края тарелки — 52.5 см. В центре тарелки изображена

там относительно недорогие, но понравившиеся ему изделия (молочник, вазочка, подсвечник и др.), которые затем дарил своим близким.

эмблема (бренд) Мейсенской мануфактуры, которую обычно помещают на нижней (оборотной) стороне изделия. Кстати, внизу на витрине на рис. 3 помещена тарелка без ценника с эмблемами Мейсенской мануфактуры, которые использовались в разное время. На обратной стороне тарелки на рис. 4 можно рядом с эмблемой разместить информацию о самом Чирнхаусе, о его трехфокусном эллипсе и о математических формулах, показанных справа на рис. 4 (см. также рис. 9 и 10 ниже). Эту информацию также можно давать и через инструмент дополнительной реальности, о которой будет сказано ниже.

Кстати, об эмблеме, марке саксонского и не только саксонского фарфора.

Статуэтками пастушек с пастушками, дам с кавалерами, различных «пупсиков-ангелочков» и прочим китчем сейчас завалены многие хозяйственные магазины и сувенирные лавки. Эти статуэтки изготавливаются не только из фарфора, но и из фаянса и прочей керамики. В ход пошел также и твердый пластик не только ручной, но и машинной раскраски. Понять, что к чему — китч ли это или «произведение искусства», можно зачастую только перевернув статуэтку и рассмотрев эмблему на ней — информацию об изготовителе. Но и тут очень часто можно нарваться на подделку. Да и оригинальные брендовые изделия, как уже отмечено выше, далеко не всегда блещут вкусом и чувством меры.

5. Новый тип эллипсов

На рис. 4 три фокуса отмечены не точками, а небольшими кружочками. И это понятно — точка в математическом ее представлении просто-напросто не будет видна на тарелке. В связи с этим возникла идея, расширяющая понятие эллипса. Что если при построении этих замкнутых кривых опираться не на точки-фокусы, а на. окружности и вычерчивать эллипс с таким новым свойством. На плоскости рисуются две (традиционный эллипс), три (эллипс Чирнхауса), четыре и более окружности, а затем проводится кривая, сумма расстояний от точек которой до окружностей-фокусов постоянна. (В литературе такие окружности называют не фокусами, а направляющими окружностями. Можно еще сказать, что это директриса, свернутая в окружность). Расстояние от точки до окружности (по умолчанию имеется в виду, что это минимальное расстояние) определить несложно — это длина отрезка прямой между самой точкой и точкой на окружности, лежащей на прямой, соединяющей точку с центром окружности. Центр окружности, точка на ней и точка на нашем новом эллипсе должны лежать на одной прямой. Вместо окружностей-фокусов можно использовать и другие замкнутые кривые: эллипсы, треугольники, квадраты, ромбы, прямоугольники (многоугольники), отрезки прямых и т. д. Расстояние от точки до этих кривых определить также несложно. Например, точка на контуре треугольника или квадрата, ближайшая к точке, лежащей не на этом кон-

туре, может находиться либо на вершине треугольника или квадрата (см. треугольник на рис. 5), либо на отрезке, перпендикулярном стороне треугольника или квадрата (см. квадрат на рис. 5). Несложно создать соответствующие процедуры или функции и использовать их при построении наших новых эллипсов (см. п. 11 ниже). По адресу http://twt.mpei.ru/tthb/Tschirnhaus.xmcdz хранится Mathcad-документ с функциями, возвращающими координаты точки на отрезках прямых, окружности, квадрате и равностороннем треугольнике, ближайшей к заданной точке. Их листинги показаны в п. 11.

На рис. 5 показан новый ранее невиданный трехфокусный эллипс, где в качестве «фокусов» (направляющих замкнутых кривых, директрис) выступают равносторонний треугольник, квадрат и окружность. (Квадрат на рис. 5 кажется несколько искаженным (оптический обман) из-за пересечения с треугольником и окружностью. Кстати, подобные оптические обманы широко используются при оформлении посуды. Есть даже такой термин «обманка»: на столе лежит спелый помидор, а это не овощ, а. масленка!)

Рисунок 5. Новый трехфокусный эллипс

Меняя дискретно сумму расстояний от точек эллипса до фиксированных «фокусов», можно получать семейства эллипсов. На рис. 6 показаны такие синие модифицированные эллипсы Чирнхауса. У синих замкнутых кривых разные суммы расстояний. Тремя «фокусами» этих эллипсов являются три красные окружности.

Рисунок 6. Эскиз фарфоровой тарелки с модифицированными эллипсами Чирнхауса

На рис. 6 внешний самый большой эллипс — это традиционный (обычный) яйцеобразный эллипс Чирнхауса с тремя фокусами-точками, лежащими в центрах трех окружностей. Остальные же шесть эллипсов имеют отклонения от традиционного эллипса внутри окружностей-фокусов, что вызывает некий визуальный эффект. А это одна из целей изобразительного искусства в целом и декорирования фарфора в частности! Эпиграф статьи, взятый из стихотворения Павла Когана, тут может приобрести иной смысл — смысл примирения овала (гладкости, округлости) и угла (остроты), в которых поэт видел неустранимое противоречие.

На рис. 7 показаны два эскиза математической тарелки Чирнхауса с окружностью и двумя квадратами в роли фокусов. На правом рисунке можно узреть некую лошадь или зебру с продольными, а не с поперечными полосками. Фокусы на рис. 6 и 7 можно уподобить неким линзам, искажающим рассматриваемый предмет.

Задача определения расстояния от заданной точки до эллипса сама по себе довольно сложная даже для простого двухфокусного эллипса. Но методы построения

Рисунок 7. Эскиз рисунка двух фарфоровых тарелок с окружностью и двумя квадратами в качестве «фокусов»

кривых с заданными свойствами, изложенные в пункте 11 статьи, позволяют решать эту задачу простым способом, сводящимся к поиску минимального элемента вектора.

Комбинируя фигуры (замкнутые кривые), которые используются в качестве «фокусов», и их взаимное расположение, можно изготавливать и раскрашивать тарелки с неповторяющимся математическим узором, который чем-то будет напоминать советский авангардный фарфор5 с геометрическим орнаментом — см. рис. 8.

Кстати, во время работы над статьей автор зашел в центре Москвы в магазин фарфора и увидел не тарелку, а блюдце, выполненное по данному эскизу Малевича. На блюдце была надпись «К. Малевич, 1923 г.», местоположение которой указало на неточность фотографии на рис. 8: тарелку нужно повернуть на 90 градусов против часовой стрелки. Это «ахиллесова пята» всех подобных абстрактных картин и эскизов — часто даже автор не может понять, где у них верх, а где низ. Но в этом также можно узреть некий эстетический смысл. Хотя в рисунках тарелок верха и низа быть не должно, если она кладется на стол, а не вешается на стену. Кстати, верх-низ тарелки на рис. 5 определяет треугольник, который нельзя эстетически, а не математически повернуть на бок или перевернуть.

В этом же магазине, заваленном откровенным китчем, глаз автора зацепился (см. сноску 3) за тарелку, выполненную в стиле абстрактного геометризма — см. рис. 9. Автор разглядел ее подробнее и сделал фото обратной стороны — см.

5 Этот фарфор появился как протест против традиционного фарфора с цветочками и пастушками-завитушками, который всем изрядно надоел и стал уже упомянутым нами китчем.

Рисунок 8. Образец советского авангардного фарфора с геометрическим рисунком (Казимир Малевич, 1923 г.)

рис. 10 с информацией о рисунке и самом авторе. Такую примерно информацию можно давать и на обороте тарелок Чирнхауса.

Рисунок 9. Тарелка, расписанная Франциско Рисунок 10. Информация на обратной Инфантэ стороне тарелки, расписанной Франциско

Инфантэ

6. Анимация и дополнительная реальность

На рис. 11 показана тарелка Чирнхауса с трехфокусными эллипсами, сформированными красной окружностью, синим квадратом и зеленым равносторонним треугольником (см. также рис. 5). Но на тарелке можно поместить только один модифицированный трехфокусный эллипс и показывать его в ... анимации. Как это сделать?

Рисунок 11. Еще один эскиз тарелки Чирнхауса

В настоящее время бурно развивается новое направление IT под названием дополнительная реальность (Augmented reality). Пример на рис. 12: посетитель музея смотрит на экспонат сквозь свой планшет или смартфон и получает не только дополнительную аудио- и видеоинформацию, но и видит объект в новом ракурсе или в новом виде. В древности скульптуры раскрашивали, поэтому ее изображение на экране планшета тоже оказывается раскрашенным.

Рисунок 12. Дополнительная информация о скульптуре в музее на экране планшета

Можно сделать так, что человек, видящий на стене, на столе или в музейной витрине математическую тарелку Чирнхауса, направит на нее свой планшет или смартфон и увидит на его экране не только информацию об этом математико-фарфоровом артобъекте, но и. анимацию, пять кадров которой показаны на рис. 13.

■ '1 Воспроизвести ани... - □ X Ц.+ Ls + Цш S S = L.K№m ■ 1 Воспроизвел Lc+La + L(= ани- - □ X § S=lJS0ra ■ Воспроизвести аии_ - □ X Ц-г-Ц+ Ц= S & = 0.910-и HI Воспроизвести ани... - □ X ! МО lc + Ls-L,= S S = 0.620 m ■J Воспроизвести ани_ — □ X ^ f9' ■ Ц.-М, + Ц= S S = 9330-е

► В | > g * " B 1 -в | ► = 1

Рисунок 13. Кадры анимации рисунка на тарелке Чирнхауса

На рис. 13 показан только один синий усложненный эллипс Чирнхауса, который в анимации меняет свою длину и формирует затейливые замкнутые кривые, рвущиеся в какой-то момент на части. Эту анимацию можно увидеть на сайте https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/New-art-form-with-Mathcad/td-p/537923/page/3. В сжимающемся же эллипсе можно узреть и некий тайный смысл, связанный с практической, а не декоративной функцией тарелки. Исчезающий эллипс — это съедаемая с тарелки еда.

В такую дополнительную реальность можно внести и интерактивность. Владелец планшета может менять параметры расширенного эллипса Чирнхауса (число и форму «фокусов», их взаимное расположение, длину «веревочки» и др.) и создавать новые эскизы для тарелки. Если такое «творчество» проходит в музее при фарфоровой мануфактуре, то этот эскиз можно будет сразу перенести на тарелку (на фарфоровый «белек») и получить свое авторское фарфоровое художественное изделие.

7. Кинематические модели на фарфоре

На фарфоровой посуде часто изображают птиц. В их рисовании также можно использовать математику. На рис. 14 показан эскиз рисунка для фарфоровой тарелки, где птица нарисована неким виртуальным механическим устройством: точка 1 движется крестообразно, точка 3 по кругу, а три шарнира выписывают сложные траектории движения, что приводит к тому, что точка 7 рисует. птичку. Эту кинематическую схему можно поместить на круглую или некруглую тарелку, что само по себе будет красиво и занимательно.

0

Рисунок 14. Тарелка с механико-математической птичкой

Если же на тарелку с рис. 14 навести смартфон (см. п. 5), то будет видно, как точка 1 делает крестообразные движения вверх-вниз-вправо-влево, точка 3 делает круговые движения, а точка 7 вырисовывает. птичку. Эту анимацию можно увидеть на сайте https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/New-art-form-with-Mathcad/td-p/537923/page/2. Кстати, точки 4 и 5 тоже вырисовывают некие птицеподобные замкнутые кривые.

8. Дифференциальные уравнения на фарфоре

При создании эскиза, показанного рис. 14, решались системы алгебраических уравнений. Но для оформления фарфоровой посуды можно поработать и с дифференциальными уравнениями — см. рис. 15.

Рисунок 15. Тюльпан как графическая иллюстрация решения дифференциальных уравнений

Цветы, как и птицы — это очень популярный элемент декора фарфоровой посуды. На рис. 15 цветок тюльпана вырисовывается в процессе решения системы дифференциальных уравнений по такой физико-математической модели. Берется уже нам знакомая веревочка (см. рис. 1 и 2), которая перекидывается через два блока, отстоящие друг от друга на расстоянии 1 м. К концам веревочки крепятся два груза массой 1.2 и 1.1 кг. Третий груз массой 1 кг крепится к середине веревочки и переносится (оттягивается) в точку Start point. Затем этот груз отпускается и летит по траектории, показанной на рис. 15 [5]. Силы трения в модели не учитываются, но это ограничение можно снять.

9. Часы Чирнхауса

Фарфоровые тарелки часто вешают на стены для украшения интерьера комнат. Иногда такие тарелки выполняют в виде настенных часов: проделывают в центре

тарелки отверстие, через которое пропускают оси для стрелок. Такие часы-тарелки тоже можно оформить в стиле эллипса Чирнхауса — см. рис. 16.

VI

12:30

Рисунок 16. Часы с эллиптическим трехфокусным циферблатом

Рисунок 16 возвращает нас к рис. 2, где по замкнутой яйцеобразной кривой движется карандаш, вырисовывающий эллипс Чирнхауса. На рис. 16 зафиксированы движущиеся тройки отрезков прямых: часовая стрелка (синие линии: двенадцать с половиной часов) и минутная стрелка (черные линии: тридцать минут).

10. Парабола и гипербола

Эллипс — это одна из трех кривых второго порядка. Две другие кривые — это гипербола и парабола, которые тоже можно при желании, «офарфорить».

В правом нижнем углу рис. 3 можно видеть вазу не для цветов, а для фруктов или сладостей. Подобную вазу можно сделать в виде параболы (параболоида), у которой подставка — это директриса, а верхняя ручка — фокус (см. рис. 17).

Рисунок 17. Профиль вазы для сладостей в виде параболы (красная кривая), директрисы (нижняя черная прямая), фокуса (верхний шарик) и соединяющего все вертикального

стержня

Парабола — это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса параболы и прямой линии, называемой директрисой параболы (см. рис. 18).

\ /

Рисунок 18. Парабола с фокусом и директрисой (Dir)

Но в качестве фокуса параболы опять же можно брать не точку, но и. окружность — см. рис. 19, где показаны четыре кадра анимации движения директрисы (синяя прямая) параболы сквозь ее фокус-окружность (черная кривая). Новая «парабола» (красная кривая) при этом разбивается на две ветви, а потом опять сливается в одну линию.

Рисунок 19. Кадры анимации параболы с фокусом-окружностью

Фокус на немецком (на родном языке Чирнхауса) — это der Brennpunkt — «горящая точка». Парабола имеет такое свойство — если параллельный пучок света падает на параболическое зеркало, то он, отразившись, сходится в фокусе. Есть такой вид изобразительного искусства — выжигание на солнце на дереве с помощью

лупы или параболического зеркала. Без огня, кстати, говоря, нельзя сделать фарфор — заготовки фарфоровых изделий обжигают в специальных печах.

Если в равенство, формирующее параболу, ввести некий множитель и делать его отличным от единицы, то парабола будет либо сворачиваться в эллипс (см. выше), либо рваться на две ветви гиперболы (см. рис. 20). Этот множитель называется эксцентриситетом [6]. Если говорить о фарфоре, то можно, например, изготовить вазу для цветов, силуэт которой образован двумя гиперболами — см. рис. 20.

Рисунок 20. Профиль вазы для цветов, выполненной в виде однополостного гиперболоида

Гипербола — это геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов остается постоянным. У эллипса, как мы помним, остается постоянной сумма этих двух величин. Но на рис. 21 показан не фокальный, а ди-ректоральный метод построения гиперболы, когда на плоскости фиксируется не два фокуса, а один фокус, дополненный директрисой. На рис. 21 и 22 показаны гиперболы, у которых точки-фокусы заменены на окружность или квадрат. Эти новые гиперболы также могут формировать профили фарфоровых ваз.

Рисунок 21. Гипербола с фокусами-окружностями

Рисунок 22. Гипербола с фокусами-квадратами

Если же при построении плоских кривых с опорой на два фокуса использовать не сумму (эллипс) или разность (гипербола), а произведение, то получится кривая, которая называется овалом Кассини — см. рис. 23.

Рисунок 23. Овалы Кассини

У овала Кассини может быть «талия» (см. овал в левом нижнем углу рис. 23), формирующае блюдо с интересной математической формой. Овалы Кассини также могут иметь более двух фокусов (такие кривые называются лемнискатами), и эти фокусы могут быть не точкам, а окружностями, квадратами, треугольниками — см. рис. 24. Все это также может быть использовано для формирования фарфоровой посуды.

Рисунок 24. Три кадра анимации трехфокусного синего овала Кассини с красными окружностями в роли фокусов

Если же работать не с суммой (эллипс), разностью (гипербола) или произведением (овалы Кассини), а с дробью, то мы получим так называемые окружности Аполлония. Все эти кривые также годятся для оформления нашего математического фарфорового сервиза.

Если при фокальном (двухфокальном) построении эллипса, гиперболы, овалов Кассини или окружностей Аполлония одну точку-фокус заменить на прямую линию, то мы получим новые кривые, показанные на рис. 27.

Рисунок 25. Расширенные эллипс, гипербола, овал Кассини и окружности Аполлония

Здесь (рис. 25) точку можно заменить на окружность, квадрат или треугольник и получить новые кривые и для исследования, и для рисунков на фарфор. При этом окружность, квадрат или треугольник могут и пересекаться, и не пересекаться с прямой линией. А можно поступить по-другому: оставить прямую линию, но брать для эллипса (сумма расстояний) и овала Кассини (произведение расстояний) не один фокус-точку, а два и более. С другой стороны, прямую линию на рис. 25 можно заменить на кривую, в частности на параболу. На рис. 26 показан «новый эллипс» с двумя фокусами: точка и. парабола.

Примечание. Попытки автора найти в Интернете информацию о точке и линии на плоскости сразу приводили не к математическим формулам, а к одноименной книге Василия Кандинского с подзаголовком «К анализу живописных элементов». Правда, у Кандинского и у других русских художников-авангардистов все сводилось только к эстетическим вопросам. Мы же добавили в этот творческий процесс и математику. Но словосочетание «точка и линия на плоскости» избыточно по понятиям классической эвклидовой геометрии: точка и прямая линия всегда находятся в одной определенной плоскости. Если бы подобную книгу писал скульптор, а не художник, то он бы ее озаглавил «Точка и прямая линия в пространстве»! И еще одно замечание с точки зрения математики. На живописном полотне мы видим не прямую, а только отрезок прямой, который тоже может выступать в роли фокуса. На рис. 27 показана метаморфоза традиционного эллипса, когда один его фокус превращается в удлиняющийся отрезок прямой.

На рис. 28 показаны два эскиза тарелки Чирнхауса. Обычный трехфокусный эллипс (кромка тарелки — см. также рис. 4 в начале статьи) рассекается тремя прямыми линиями, точки пересечения которых служат фокусами эллипса. Красные линии сформированы точками, сумма или произведение расстояний от которых до прямых линий остается постоянной величиной.

Рисунок 26. Эллипс с фокусами в виде точки и параболы

Рисунок 27. Эллипс с фокусом, переходящим от точки к отрезку прямой

а) Ь)

Рисунок 28. Эскизы тарелок Чирнхауса с постоянной суммой (а) или произведением (Ь) расстояний от точки до трех прямых линий

Возвращаясь к сноске 4, автор констатирует, что эскиз росписи «математической» тарелки, показанный на рис. 28, ему нравится больше всех других, показанных в статье.

11. Кривые порядка больше 2

Эллипс, гипербола и парабола — это, повторяем, кривые второго порядка. А какой вид у кривых порядка 3, 4, 5 и т.д.? Годятся ли они для оформления фарфора?

На рис. 29 показана графическая иллюстрация такой задачи: на плоскость случайным образом бросаются точки, через которые проводятся кривые разного порядка. Через две точки можно провести прямую линию (кривую первого порядка), через пять — эллипс или две ветви гиперболы6 (второй порядок), через девять точек кривые третьего порядка и т. д. Этими замысловатыми кривыми также можно декорировать фарфор! Это будет в чем-то напоминать так называемый синий луко-

Рисунок 29. Кривые порядка 2-7, 13, 16 и 17

6 Парабола может получиться только при особом и почти невероятном расположении пяти точек. Вероятность же выпадения эллипса (примерно 28%) можно считать некой новой авторской математической константой.

На сайте https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Firecrackers-2018-or-4-d-order-curve-and-14-points/td-p/496436/page/2 можно видеть в анимации изменение узора, показанного на рис. 30.

12. 2.5Б-принтер

Тарелки Чирнхауса можно изготавливать по традиционной технологии7 из фарфора, а потом раскрашивать вручную. Но их можно, печатать на 3D-принтере, а потом раскрашивать на обычном 2D-цветном принтере. Эти два принтера можно объединить в один, который условно можно назвать 2.5В-принтером.

Кстати, о принтерах. Замкнутые кривые, показанные в статье, были созданы не через аналитическое исследование функций, а простым сканированием прямоугольной области в декартовых координатах. Современные принтеры подобным образом формируют текст или рисунок — сканируют лист бумаги и ставят черные или цветные точки (растры) в нужных местах. На рис. 30 показан Mathcad-документ (виртуальный 2D-принтер), рисующий яйцеобразный эллипс Чирнхауса.

Рисунок 30. Сканирование плоской области для рисования трехфокусного эллипса Чирнхауса

В программе на рис. 30 циклом for с параметром x, в который вложен второй цикл for с параметром у, перебираются точки в прямоугольной области от xx до x2 и от y до y2. Переменные xx, x2, y и у2, как и другие нужные для расчета величины и функции, задаются заранее. Значение целочисленной переменной n, опре-

7 Гончарный круг — это одно из первых гениальных изобретений человечества.

деляющей шаг сканирования, можно менять, добиваясь компромисса между точностью и длительностью вычислений. В двойном цикле for вычисляются расстояния от текущей точки c координатами x и y до первого фокуса (L), до второго фокуса (L2) и до третьего фокуса (L3). Вместо точек фокусов можно ставить отрезки кривых, окружности, квадраты, треугольники и др. Расстояния от точки до этих кривых несложно вычислить с помощью специальных функций, созданных авторов. Информация о них хранится на сайте https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/Distance-between-a-point-and-a-square-triangle-etc/td-p/543351. Если (if) сумма расстояний L, L2 и L3 окажется примерно равна заданной переменной а, то координаты текущей точки заносятся в векторы X и Y, длина которых при этом увеличивается на единицу (i ^ i +1, где i — это индекс векторов X и Y). Затем векторы X и Y отображаются на графике в виде искомой кривой, состоящей из точек. Если этих точек достаточно много, то они сливаются в линию — см. рис. 4 в начале статьи.

На рис. 31-34 приведены листинги функций, используемых для работы с нашими новыми фокусами — с квадратом (Square), окружностью (Circle) и треугольником (Triangle). Эти функции, повторяем, хранятся по адресу http://twt.mpei.ru/tthb/Tschirnhaus.xmcdz. Анимации же статьи можно увидеть на сайте https://community.ptc.com/t5/PTC-Mathcad-Questions/New-art-form-with-

Mathcad/td-p/537923/page/2.

Рисунок 31. Ма^саё-функция, возвращающая координаты точки на контуре квадрата с «радиусом» г (половина длины стороны квадрата) и с центром в точке (х3, у), ближайшей к заданной точке с координатами (х, у)

Рисунок 32. ЫаЛсаё-функция, возвращающая координаты точки на окружности с радиусом г и с центром в точке (хс, ус), ближайшей к заданной точке

с координатами (х, у)

Рисунок 33. ЫаЛсаё-функция, возвращающая координаты точки на контуре равностороннего треугольника с «радиусом» г (расстояние от центра треугольника до его вершины) и с центром в точке (х1, у ), ближайшей к заданной точке

с координатами (х, у)

Но можно не выводить аналитические формулы, а использовать более простые алгоритмы.

Пример. Расстояние от уже построенного эллипса до заданной точки определить несложно, помня о том, что наш эллипс формируется не аналитическими фор-мулами8, а двумя векторами с дискретными значениями координат. На рис. 34 показано тело двойного цикла с параметрами х и у, решающего такую задачу: даны координаты двух замкнутых кривых векторами X — X и Х2 — У2. Необходимо найти и поместить в векторы X и У координаты новой кривой, точки которой имеют определенное свойство по отношению к двум исходным (направляющим) кривым. В частности, сумма расстояний от точек, формирующих новую кривую, до

8 Попытки вывода подобных формул приведены в статье [2]. Они были важны в докомпьютерную эру. Без формул невозможно было построить кривые. А механические методы (см. рис. 1 и 2) далеко не всегда были применимы. Наше же «тупое» сканирование в прямоугольной области решает проблему в практическом плане — нарисованы кривые, но какие за ними скрываются формулы неизвестно.

точек опорных кривых, должна быть постоянна. Получается некий новый суперэллипс, показанный на рис. 35. При решении данной задачи формируются вспомогательные векторы и Б2, хранящие расстояния от заданной точки до точек направляющих кривых. В векторах и Б2 несложно найти минимальные значения — расстояния от точки до кривой. Аналитически данную задачу, повторяем, решить довольно сложно, а численно — без проблем!

Рисунок 34. Процедура формирования суперэллипса, показанного на рис. 35

Рисунок 35. Суперэллипс с «эллиптическими» фокусами

У маленьких трехфокусных эллипсов, показанных на рис. 35, фокусами могут быть не только точки, но новые эллипсы с фокусами-эллипсами и т. д. Тут может получиться фрактал [7]. А фракталы сами по себе это очень интересные объекты в том числе и для художественного оформления фарфора с элементами математики. Но это тема отдельного «математико-эстетического» разговора.

Примечание. «Старый» суперэллипс или эллипс Ламе — это эллипс, описываемый уравнением (х/а)" + (у/Ь)" = 1. При п = 2 мы имеем обычный эллипс. На рис. 36 и 37 показаны эскизы оформления фарфоровой посуды в стиле эллипсов Ламе при разных показателях степени п. В правых частях рисунков дана информа-

ция, которую нужно будет разместить на оборотных сторонах этих «математических» тарелок.

Рисунок 36. Круглая тарелка Ламе

Рисунок 3 7. Овальная тарелка Ламе с пропорциями золотого сечения

13. Вывод

Математика способна внести новую свежую струю в оформление фарфоровой посуды. Можно представить себе банкет на вручении какой-либо престижной научной премии, сервированный математическим фарфоровым сервизом. К такой творческой работе с фарфором должны быть привлечены в паре математик и художник. Или математик с художественным вкусом. Или художник с математическими задатками и знаниями. Такой человек создает на компьютере новый рисунок, а затем воплощает его в керамике или пластике на 2.5D-принтере или традиционным ручным способом. Кстати, о руках — человеческих руках и руках робота (принтера). В музейной лавке Мейсенской мануфактуры есть полка с посудой второго сорта. Там собраны не «бракованные изделия», а изделия, при оформлении которых «дрогнула рука художника». Такая посуда привлекательна не только более

низкой ценой, но и неким шармом и индивидуальностью. Описанная посуда в стиле математизма индивидуальностью уж точно будет обладать. А о шарме можно спорить...

Литература

[1] Очков В. Ф., Фалькони А. Д. Информатика, алгебра, геометрия: четыре арифметические кривые с покемоном // Информатика в школе. 2016, № 9. C. 57-61.

[2] Очков В. Ф., Фалькони А. Д. Семь вычислительных кривых или Велосипед Аполлония // Cloud of Science. 2016. Т. 3, № 3. С. 397-418.

[3] Декарт Р. Геометрия с приложением избранных работ. П. Ферма и переписки Декарта. Пер. с фр. 2-е изд., испр. — М. : URSS, 2010.

[4] Очков В. Ф., Очкова Н. А. Проект памятника трем математикам или Матметрия // Cloud of Science. 2017. Т. 4, № 4. С. 548-571.

[5] Очков В. Ф., Ленер Ф., Чудова Ю. В., Капитонец В. К., Тараканова Д. Ю. Физика vs информатика: веревочный многоугольник с гирьками в статике, кинематике и динамике Или Ньютон vs Лагранж // Cloud of Science. 2017. Т. 4, № 2. С. 147-180.

[6] Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М. : Издательство МЦНМО, 2017.

[7] Очков В. Ф., Калова Я., Никульчев Е. В. Оптимизированный фрактал или ФМИ // Cloud of Science. 2015. Т. 2, № 4. С. 544-561.

Авторы:

Валерий Федорович Очков — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры теоретических основ теплотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Массимилиано Нори — Phd в области химической инженерии, 2006 год, Университетский колледж Лондона

New ellipse or Math Porcelain Set

Valery Ochkov*, Massimiliano Nori**

National Research University Moscow "Power Engineering Institute" Krasnokazarmennaya st., 14, Moscow, Russia, 111250

"Via delle Mimose, 18, Pineto (TE), Italy, 64025

e-mail: [email protected]

Abstract. In the article are described known and still unknown plane curves that could decorate porcelain plates. Computer technology features for the generation of new plane curves are presented. The concept of a hybrid between focus and directrix is introduced.

Keywords: ellipse with several foci, new kind of focus, augmented reality, Mathcad, two dimensional scanning of graphs, animation.

References

[1] Ochkov V. F., Fal'koni A. D. (2016) Informatika v shkole. 9: 57-61 [In Rus].

[2] Ochkov V. F., Fal'koni A. D. (2016) Cloud of Science. 3(3):397-418. [In Rus].

[3] DekartR. (2010) Geometriya s prilozheniyem izbrannykh rabot. P. Ferma i perepiski Dekarta. Moscow, URSS. [In Rus].

[4] Ochkov V. F., Ochkova N. A. (2017) Cloud of Science. 4(4):548-571. [In Rus].

[5] Ochkov V. F., Lehner V. et al. (2017) Cloud of Science. 4(2):147-180 [In Rus].

[6] Akopyan A. V., Zaslavskiy A. A. (2017) Geometricheskiye svoystva krivykh vtorogo poryadka. Moscow, Izdatel'stvo MTSNMO [In Rus].

[7] Ochkov V., Kalova J., Nikulchev E. (2015) Cloud of Science. 2(4):544-561 [In Rus].