CC BY
13
Оригинальная статья / Original article УДК: 519.233.5
DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-119-127
НОВЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ БИНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
© А.В. Петров1
Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Целью исследования является нахождение новых и модернизация известных методов генерирования случайных процессов с заданными вероятностными свойствами. МЕТОДЫ. Как основные при исследовании использовались методы теории вероятностей, математической статистики и численные методы. РЕЗУЛЬТАТЫ. Проведенный анализ вероятностных свойств поведения компонентов перестановочной процедуры позволил выявить новые, ранее неизвестные функциональные возможности данного метода генерирования случайных процессов. Получены выражения, описывающие закон распределения вероятностей и автокорреляционные функции составляющих процедуры. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Проведение теоретических исследований позволило расширить функциональные возможности перестановочной процедуры генерирования бинарного случайного процесса за счет расширения спектра форм генерируемых автокорреляционных зависимостей. Получено обоснование возможности генерирования случайного бинарного процесса с показательной автокорреляционной функцией. Ключевые слова: теория вероятностей, случайные процессы, генерирование, закон распределения вероятностей, автокорреляционная зависимость.
Формат цитирования: Петров А.В. Новые функциональные возможности перестановочной процедуры генерирования бинарного случайного процесса // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 10. С. 119-127. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-119-127
NEW FUNCTIONALITIES OF THE PERMUTATION PROCEDURE FOR BINARY RANDOM PROCESS GENERATION A.V. Petrov
Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
ABSTRACT. The PURPOSE of the study is to find new and improve existing methods of random process generation with specified probabilistic properties. METHODS. The main methods employed in the research are the methods of probability theory, mathematical statistics and numerical methods. RESULTS. The conducted analysis of the probabilistic properties of the behavior of permutation procedure components allows to identify new, previously unknown functional capabilities of the method of random process generation. The expressions describing the probability distribution law and the autocorrelation functions of the procedure components are obtained. CONCLUSION. Conducted theoretical researches allow to extend the functionality of the permutation procedure for binary random process generation due to broadening of the range of forms of generated autocorrelation dependencies. The possibility to generate a binary random process with exponential autocorrelation function is substantiated.
Keywords: probability theory, random processes, generation, probability distribution law, autocorrelation dependence
For citation: Petrov A.V. New functionalities of the permutation procedure binary random process generation. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20, no. 10, pp. 119-127. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-35202016-10-119-127
Введение
Проведенный в [1] анализ вероятностной процедуры, основанной на перестановке значений реализаций бинарного (бернуллиевского) процесса, позволил получить вероятностное описание результата генерирования. Закон распределения вероятностей воспроизводимого случайного процесса всегда сходится к заданной вероятности появления единицы. Автокор-
Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: [email protected]
Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: [email protected].
реляционная функция в десяти из 16 возможных вариантов была дельтаобразной, в трех -плавно затухающей экспоненциально-косинусной и в трех - знакопеременной затухающей экспоненциально-косинусной. Отметим, что среди названных видов автокорреляционных функций отсутствует такой распространенный в вероятностных приложениях вид, как экспоненциальная (показательная) корреляция. Отметим также, что при проведении вероятностного анализа исследовался только один результат - генерируемый случайный процесс. Но конструкция процедуры такова, что есть еще один результат - остающийся после выбора генерируемого значения компонент щ(1) вектора ир). Анализу вероятностных свойств процесса
{и1(г)} и посвящена данная статья.
Перестановочная процедура
Особенностью перестановочной процедуры, описанной в [1, с. 18-48], является использование в качестве базы для выбора генерируемого процесса двумерного (в рассматриваемой процедуре) вектора и(0, в который помещаются по заданному правилу значения реализации исходного бинарного случайного процесса и из которого в соответствии с одним из 16-ти возможных критериев сравнения последнего прогенерированного значения с компонентами вектора и(0 извлекается очередное генерируемое число. Очевидно, и особенно наглядно, что отличие генерируемого процесса от исходного будет состоять лишь в расположении значений. Они будут переставлены, поменяют порядок следования. Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, очевидна сходимость закона распределения вероятностей генерируемого процесса к закону распределения исходного процесса. В [1] приведены выражения, которые позволяют оценить скорость этой сходимости. И, во-вторых, применение критерия отбора является своеобразным механизмом формирования автокорреляционной зависимости. И в шести случаях подтверждение этому получено. Остальные варианты требуют исследования.
Обозначим 1^(1-1) - последнее прогенерированное значение реализации случайного процесса. Вектор 11(0 в момент ^ содержит два компонента \и1(0,и2(Щ. Вероятности в момент времени t также будем обозначать:
Р (кък2) = Р {£(г) = к!,щО +1) = к2}, Р (к -,к2 ) = Р {Щ(г +1) = к2}, Р (кк1,к-) = Р {£(г) = к1}, кьк2 = 0,1.
В соответствии с конструкцией процедуры вероятностный механизм в ней определяется выражением
Р {£,(0 = к1,щ(г +1) = к2,и2(г +1) = к3} =
= Р {£(г) = к1,и1(г +1) = к2\Р {ц(г + п -1) = к3} (1)
= Р{£(г) = кмО +1) = к2}'ркз = Рг{к^}-Рк3, к1,к2,к3 = 0,1.
Тогда возможна комбинация вероятностей (1) имеет вид
Pt (0,0) = f [Pt(k^)• p^ Pt (0,1)= f2 [Pt_1 (M2)• Pk3 Pt (1,0) = f3 [Pt_1 (ki,k2)• Pk3 Pt (1,1) = f4 [Pt_1 (ki,k2)• Pk,
(2)
Функции f и f всегда постоянны:
Pt (0,0 ) = (1 _ p) • Pt _ 1 (0,0 ) + (1 _ p) • Pt _ 1 (1,0 ), Pt (1,1) = P • Pt _ 1 (0,1) + p • Pt _ 1 (1,1).
(3)
Обозначим вероятность появления единицы в исходном процессе {r\(t)} как
Р{ц(t) = 1} = Р1 = Р и нуля - q = р0 = 1 -р и ^ = 0,1,2,...
Функции / и / определяют критерий отбора очередного генерируемого числа. В силу того, что может быть только 16 вариантов комбинирования р, (1 -р) и Р(-1 (к1,к2), в [1] приведены эти комбинации (табл. 1).
Варианты функций f2 и f3 Options of functions f2 and f3
Таблица 1 Table 1
№ варианта / option number Функция f2 / Function f2 Функция f3 / Function f3
P- Pt-1(0;0) (1-рУ •Pt-1 (0;1) F Pt-1(1;0) (1-рУ Pt-1(1;1) р- Pt-1(0;0) (1-рУ Pt-1(0;1) P- Pt-1(1;0) (1-P)- Pt-1(1;1)
1 + + + +
2 + + + +
3 + + + +
4 + + + +
5 + + + +
6 + + + +
7 + + + +
8 + + + +
9 + + + +
10 + + + +
11 + + + +
12 + + + +
13 + + + +
14 + + + +
15 + + + +
16 + + + +
Определение автокорреляции процесса и()
Для нахождения автокорреляционной функции процесса {и1(г)} воспользуемся техникой составления таблиц по аналогии с техникой нахождения автокорреляции процесса £(г) из [1, с. 21].
Рассмотрим нахождение автокорреляционной функции процесса {и1(г)} на примере
варианта 9.
Соотношение (2) принимает вид
Р (0,0 ) = (1 - р) - Р _ 1 (0,0) + (1 - р) - Р _ 1 (1,0), Р (0,1) = Р - Р-1 (0,0) + (1 - Р) - Р-1 (0,1) + р - Р-1 (1,0), Рг (1,0) = (1 - р) - Рг-! (1,1) Р (1,1) = р - Р-1 (0,1) + р - Р(-^ (1,1).
Из (4) получено [1, с. 30-33]:
P+„(0,-) = q, P^(l,-) = p, P+„{-,0) = -^, P+„(-,1) = -^,
1 + q 1 + q
P+ „(0,0) = ^-, P^{0,1) = -^, p+ „(1,0) = , p+„(u) = -^.
1+q 1+q 1+q 1+q
(5)
Находим начальные моменты, математическое ожидание и дисперсию процесса
{uj(t)},используя (5):
a1(u1 ) = a2(uj ) = M( u1) =
1 + q
2 q
D(u1) = V2(u1) - al (u1) = ^^2
(1+q)
В табл. 2 представлены состояния всех составляющих перестановочной процедуры для варианта 9.
Таблица 2
Состояние составляющих перестановочной процедуры для варианта 9
Table 2
State of permutation procedure components for the option 9
№ «t) U1(t+1) U2(t+1) «t+1) U1(t+2) U2(t+2) «t+2) U1(t+3)
1 0 1 0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 0 1 1 1 1
3 0 1 1 1 1 0 1 0
4 0 1 1 1 1 1 1 1
5 1 1 0 1 0 0 0 0
6 1 1 0 1 0 1 0 1
7 1 1 1 1 1 0 1 0
8 1 1 1 1 1 1 1 1
Используя данные табл. 2, получаем следующие значения вероятностей: Р\ы1(г) = 1,ы1(г + т) = 1} в форме рядов (табл. 3).
Вероятности P{u1(t) = 1,u1(t + т) = 1} для варианта 9 Probabilities P{u1(t) = 1,u1(t + т) = 1} for the option 9
Таблица 3 Table З
Вероятности P{ul(t) = l,ul(t + т ) = 1} / Probabilities P{ul(t) = l,ul(t + т ) = 1}
[ p + q]-P (0,l) + [ p]-P (1,1)
22 p + q • p + q
P ( 0,1) +
2
p + q • p
p (11)
p3 + 2 • q • p2 + q2 • p + q3 • P (0,l)+ p3 + 2 • q • p2 + 2 • q2 • p • P (l,l)
3
p4 + 3 • q • p3 + 4 • q2 • p2 + q3 • p + q4 • P(0,l)+ p4 + 3 • q • p3 + 4 • q2 • p2 + 3 • q3 • p • P(l,l)
22
Л 4,~ 2 3 , ~ 3 2,4 ,5 n/n i\
4 • q • p + 7 • q • p + 7 • q • p + q • p + q • P (0,1)
32
+
p5 + 4• q• p4 + 7• q2 • p3 + б• q3 • p2 + 4• q4 • p • P(l,l)
32
1G
p10 + 9 • q • p9 + 37 • q2 • p8 + 91 • q3 • p7 +148 • q4 • p6 + 1бб • q5 • p5 +
+134 • qб • p4 + 57 • q7 • p3 + 37 • q8 • p2 + q9 • p + q10
P ( 0,1) +
+
p10 + 9 • q • p9 + 37 • q2 • p8 + 91 • q3 • p7 +148 • q4 • p6 + 1бб • q5 • p5 +
+129• q6 • p4 + 77• q7 • p3 +16• q8 • p2 + 9• q9 • p • P(l,l)
73
82
qT • P (o, l)+p • P(-,l)
И тогда находим автокорреляционную функцию:
т) =
p
_ P{u¡(t) = l,ul(t + т) = 1}-M2(u¡) _qx • Pt (0,1) + p • P (-,1) -M2(u¡)
D(uj)
D(uj)
i^+œ
1 + q 1 + q (1 + q)2 _ (1 + q)•(qx+l + p)-1
(6)
q
(1 + q )2
Таким образом, будем рассматривать перестановочную процедуру в применении к бинарному случайному процессу с двумерным вектором 11(0 как процедуру, генерирующую два процесса:
т
1
2
3
4
5
т
1
- процесс {£(г)} с вероятностью Р{£(г) = 1} = р и показательно (экспоненциально)-косинусной автокорреляционной функцией;
- процесс {и1(г)} с вероятностью Р{и1(г) = 1} = у~ и показательной автокорреляцией вида (6).
Процесс составления таблиц вида табл. 2 и 3 был автоматизирован: Ехсе1-программа «Расчет бернуллиевских вероятностей», на которую получено свидетельство Роспатента (Свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2007610800 от 20.02.2007 г.) была дополнена расчетом вероятностей Р{и1(г) = 1,и1(г + т) = 1} с соответствующей синтаксической обработкой.
Анализ полученных для различных вариантов рядов, отражающих вероятности Р{и1(1) = 1,и1(1 + т) = 1} в зависимости от лага т (табл. 4) выявил особенности вероятностно-
го поведения первого компонента uj(t) вектора U(t). Для вариантов (1, 6, 10, 14); (2, 12); (3, 14); (5, 15); (7, 11) и (8, 13) вероятности P{u1(t) = 1,u1(t + т) = 1} описываются идентичными выражениями, которые после обработки зависят от вероятности появления событий в процедуре P (0,1) и P (-,1).
Таблица 4
Преобразованные выражения для вероятностей P {u1(t) = 1,u1(t + т) = 1}
Table 4
Converted expressions for probabilities P{u1(t) = 1,u1(t + т) = 1}
Варианты / Options Вероятности P{u1(t) = 1,u1(t + т ) = 1} / Probabilities P{u1(t) = 1,u1(t + т ) = 1}
1, 6, 10, 14 P (-1)
4, 9 qx- Pt{0,1) + p ■ Pt{-,1)
5, 7, 11, 15 P ■ P (-,1)
2, 12 P%- P (-,1)
Варианты (3, 14) и (8, 13) не описаны краткими зависимостями (по аналогии с данными табл. 4) в силу их исключительной сложности.
Таким образом, вид автокорреляционной зависимости компонента и^) вектора и(г) определяется законом распределения вероятностей этого компонента и законом распределения пары Р{£(г) = 0,и1(г + 1) = 1}. Последние зависят от вида функций /2 и /3 (табл. 1).
Для вариантов 2 и 7 автокорреляционная функция процесса {и1(г)} имеет вид рт, для
(1 + д)-(дх+}+р)-1
варианта 4 - ц1, для варианта 9 - -^--— и варианта 11 - рт-(1 + р)- р
Я
(рис. 1).
Варианты 2, 7
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Вариант 4
....... W T I-......I>
012345678 9 1011121314151617181920 -0,33---0,66
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
012345678 9 1011121314151617181920 -0,33---0,66
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
Вариант 9
Вариант 11
1 1 2>X4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
1 >^4 5 6 7 8 9 1011121314151617181923
0,33
0,66
0,33
0,66
Рис. 1. Автокорреляционная функция процесса {u1(t)^ для вариантов 2 и 7, 4, 9,11 Fig. 1. Autocorrelation function of the process {u^t)} for options 2 and 7, 4, 9,11
Определение закона распределения процесса {u1(t)}
Приведенные в [1] результаты показывают, что законы распределения вероятностей процесса {u1(tj} могут быть разделены а три группы:
1. Закон распределения вероятностей процесса {u1(tj} определяется вероятностью P{u1(tj = 1}, совпадает с законом распределения исходного бинарного случайного процесса, то есть для вариантов 4-7 P{u1(tj = 1} = р.
2. Закон распределения вероятностей процесса {u1(tj} не совпадает с законом распределения исходного бинарного случайного процесса, то есть для варианта 8
2
P {uj(t) = 1} = P {uj(t) = 7} = P {uj(t) = 7} =
(1 - 2pq) P3
(7 - pq)
, для варианта 9 P {u7(t) = 1} =
1
(1 + P)
, для варианта 11 P{u1(t) = 1} = P
для варианта 10 для варианта 13
P
(1 - pq)
и для варианта 15 P {u1(t) = 1} =
(1 - pq)
3. Закон распределения вероятностей процесса {п1(1)} определяется константой и не является на настоящий момент объяснимыми и управляемыми, то есть для вариантов 1, 2, 16
1
P {u1(t) = 1} = 1, для варианта 3 P {u(t) = 1} = - и для вариантов 11 и 14 P{u1(t) = 1} = 0.
2
2
Законы распределения вероятностей второй группы обеспечивают возможности генерирования процесса [и^) с заданной вероятностью р* = P{u1(t) = 1}. Но для этого закон
распределения вероятностей исходного случайного процесса P{r(t) = 1} = у(р*). Например,
для рассмотренного выше варианта 9 Р{u1(t) = 1} = 1 если Р{r(t) = 1} = р. И, если
требуется получить бинарный случайный процесс {и()} с вероятностью P{u1(t) = 1} = р* и автокорреляционной функцией, определяемой выражением (6), необходимо, чтобы исходный процесс {r(t)} имел закон распределения с вероятностью единицы:
P fat) = i} = ^
Р'
(7)
Следует отметить, что использование формул типа (7) должно производиться с определенной осторожностью. Например, при р* = 1 формула (7) приводит к практически бесполезному результату. На рис. 2 представлены графики вероятностей Р{u1(t) = 1} для второй группы законов распределения вероятностей в зависимости от Р {r(t) = 1}.
1,4 1,2 1,0 0,8
¿70,б
0,4
0,2
0,0
-9
P{n(t)=1)=p ■ 10 — • -12
13
15
Рис. 2. Вероятности P{uj(t) = l}вариантов 8, 9,10,12,13,15 Fig. 2. Probabilities P {uj(t) = l} of options 8, 9,10,12,13,15
Отметим нарушение, а, следовательно, и невозможность использования пересчета вероятностей для варианта 10 и частично варианта 8 (для р > 0,5).
*
8
Выводы
Таким образом, перестановочная процедура генерирования бинарного случайного процесса с двумерным вектором u(t) обеспечивает воспроизведение бинарного процесса с ранее исследованными в [1] свойствами. В этом известном случае генерируемый процесс сохраняет закон распределения исходного случайного процесса и имеет (в зависимости от варианта процедуры) дельтаобразную автокорреляционную функцию, плавно затухающую или знакопеременную затухающую экспоненциально-косинусную автокорреляцию.
Выше представлены результаты вероятностного анализа первого компонента uj(t)
вектора U(t). Они свидетельствуют о том, что рассматриваемая перестановочная процедура может быть использована для генерирования бинарного случайного процесса с показательной автокорреляционной функцией, что существенно расширяет ее функциональный возможности.
Библиографический список
1. Петров А.В. Основы теории полиномиальных стохастических взаимосвязей. Иркутск, Изд-во ИРНИТУ, 2016. 170 с.
2. Петров А.В. Моментные функции бинарного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20, № 9. С. 65-73. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-65-73
References
1. Petrov A.V. Osnovy teorii polinomial'nykh stokhasticheskikh vzaimosvyazei [Fundamentals of the theory of polynomial stochastic relationships]. Irkutsk, IRNITU Publ., 2016. 170 p.
2. Petrov A.V. Momentnye funkcii binarnogo processa [The momentary functions of a binary process]. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University], 2016, vol. 20, no. 9, pp. 65-73. (In Russian). DOI: 10.21285/18143520-2016-9-65-73
Критерии авторства
Автор Петров А.В. несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
The author, Petrov A.V., is responsible for plagiarism.
Конфликт интересов
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The author declares that there is no conflict of interest regarding the publication of this article.
Статья поступила 22,08,2016 г. The article was received 22 August 2016
