CC BY
157
УДК 550.8.056 Ю.Н. Васильев
Новое уравнение фильтрации, учитывающее влияние погребенной воды и тупиковых пор на движение газа в продуктивном пласте
Ключевые слова:
модель
фильтрации газа,
проницаемость
среды,
градиент давления, гидрофильность коллектора, погребенная вода, тупиковые и проточные поры.
Keywords:
gas filtration model, medium permeability, pressure gradient, reservoir hydrophilic behavior, connate water, one-side open pores and flowing pores.
В настоящее время при изучении фильтрации газа в продуктивных пластах газовых месторождений используется математическая модель движения гомогенной сжимаемой жидкости в пористой среде.
Если бы в этой среде отсутствовала остаточная вода, то применение указанной модели было бы вполне оправданно.
В действительности, в случае гидрофильности коллектора погребенная в пористой среде свободная вода, занимая узкие проходы между зернами породы, разрушает гомогенность подвижной среды (газа), создавая совершенно иную по сравнению с однородной жидкостью картину фильтрации газа.
Остаточная вода занимает от 30 до 70 % объема порового пространства и изолирует друг от друга пузырьки газа, расположенные в более крупных порах. Чтобы вызвать движение газа в пласте, необходимо выдавить воду из суженных каналов (пережимов, перетоков), соединяющих большие поры, создав перепад давления между заключенными в них пузырьками.
Величина этого перепада зависит от поперечных размеров каналов, занятых водой и пузырьками газа, и межфазных натяжений на контактах «газ - вода», «вода -порода», «газ - порода». В дальнейшем для сокращения изложения поперечные размеры будут именоваться средними (или просто диаметрами).
Таким образом, газоносный продуктивный пласт можно представить как пористую среду, в больших порах которой расположены газовые пузырьки, разделенные между собой водяными клапанами, открывающимися только при определенных перепадах давления и возвращающимися под действием капиллярных сил в исходное положение при выравнивании давления газа в соседних порах, разделенных клапаном.
Прежде чем оценить значения этих перепадов, следует сделать несколько замечаний относительно физического моделирования процессов фильтрации газа через во-донасыщенный керн, осуществляемого в лабораториях физики пласта.
Во-первых, в лаборатории нельзя создать условия распределения газовых пузырьков в пористой среде с погребенной водой. За геологическое время ввиду диффузии газа концентрация его молекул во всех пузырьках должна была выровнить-ся. Равенство концентраций соответствует равенству давлений внутри пузырьков. Но равные давления в пузырьках газа, расположенных на одной глубине в жидкости, находящейся под одним давлением и при одной температуре, могут быть только в случае одинаковости их диаметров. То есть геологическое время выровнило, сделало более однородным распределение газовых пузырьков в пористой среде. Поэтому после экстрагирования и высушивания керна все последующие манипуляции с повторным насыщением его водой и газом будут иметь весьма отдаленное отношение к той реальности, которая существует в нетронутом продуктивном пласте.
Во-вторых, по той же причине геологического времени нельзя смоделировать степень гидрофильности и гидрофобности породы исследуемого керна. Все углеводороды, включая метан, могут за длительное время гидрофобизировать поверхность кристаллов кварца и кальцита.
Разработка сеноманских залежей, особенно на начальном этапе, позволяет предполагать, что порода продуктивного пласта в этих залежах гидрофильна.
В противном случае вода, находящаяся в пористой среде в виде капель, должна была бы при больших депрессиях выноситься в значительных объемах вместе с газом с самого начала разработки залежей, чего на самом деле не наблюдалось.
Большое влияние на механизм фильтрации газа при наличии свободной погребенной воды в коллекторе имеет существование в нем двух видов пор: проточных и тупиковых.
На рис. 1 схематично изображена пористая среда. Поры 1, 2, 3, 4, 5 являются проточными; 6, 7, 8, 9 - тупиковыми. Все они входят в группу открытых пор. Пора 10 - закрытая и изолированная от процесса фильтрации.
Отношение объема тупиковых пор (ОТуП) к общей пористости (О) зависит от проницаемости продуктивной породы. Полученная зависимость приведена на рис. 2; все экспериментальные точки без промежутков и отклонений плотно ложатся на линии графика.
На рис. 2 отражено, что в низкопроницаемых коллекторах при средней проницаемости 10 мД относительное содержание тупиковых пор равно 0,8, т.е. только 20 % из них являются проточными; при проницаемости ~ 1000 мД проточными являются 80 % пор; при проницаемости 100 мД объемы проточных и тупиковых пор примерно одинаковы.
Средняя проницаемость коллекторов се-номанских залежей составляет 600 мД, поэтому тупиковые поры в соответствии с графиком (см. рис. 2) будут составлять 0,3 от общего объема всех открытых пор (тупиковых + проточных).
Долю в 0,3 объема тупиковых пор от общего объема открытых для сеноманских залежей подтверждают многолетние наблюдения за значением коэффициента остаточной газонасыщенности в обводненной зоне продуктивного пласта (~ 0,3, остается по мере падения давления постоянной величиной после трех-четырех лет с момента обводнения).
Масса газа (М) с падением давления в обводненной зоне уменьшается, а объем защемленного газа, определяемый тупиковыми порами, остается постоянным. Следовательно, извлечь весь газ из пласта, даже создав вакуум на устье скважины, не удастся. В пласте при его полном обводнении останется:
М ~
где р - плотность газа при среднем капиллярном давлении, создаваемом водяными пробками, изолирующими тупиковые поры от проточных; О.3 - начальный газонасыщенный объем залежи; - относительное содержание тупиковых пор.
порода
Рис. 1. Схема размещения остаточной подвижной воды и газа в поровом пространстве
при отсутствии градиента давления
ч—,
ч ^
Ч \
— — карбонатные породы 1
10
100
1000
Кпр, мД
Рис. 2. Зависимость относительного содержания тупиковых пор (¥) от коэффициента газопроницаемости Кпр (Б.И. Тульбович [1])
0
Для низкопроницаемых коллекторов, например со средней проницаемостью 10 мД, ¥ = 0,815. В таком коллекторе при открытой пористости 0,15 тупиковая пористость будет равна 0,122, а проточная - 0,028 (т.е. составлять 1/5 от всей открытой пористости).
По мере перехода к освоению глубокозале-гающих месторождений число продуктивных коллекторов с низкой проницаемостью будет возрастать. Следовательно, в таких продуктивных пластах будут увеличиваться относительные запасы газа в тупиковых порах и осложняться условия их извлечения.
В работе [1] отмечено, что «в сложнопо-строенных коллекторах с вторичной пористостью объемы тупиковых пор могут составлять значительные величины даже при повышенной проницаемо сти».
Высокая доля тупиковых пор должна в большой степени влиять на механизм фильтрации газа. Необходимо иметь в виду, что тупиковые поры не фильтруют газ через себя. При определенном перепаде давления между тупиковой и проточной порами первая является внутренним источником дополнительной массы газа, поступающей во вторую. На рис. 3 показано, что этот источник действует в течение всего времени истощения продуктивного пласта, периодически открываясь и захлопываясь
подвижной водяной пробкой, расположенной в узком проходе между тупиковой и проточной порами.
Следует иметь в виду, что вся гидрофильная поверхность породы покрыта неподвижной водяной пленкой толщиной 0,5 мкм, по свойствам отличающейся от свободной воды (см. рис. 3). Если пластовый газ содержит конденсат, то стенки пор поверх водяной покрыты пленками углеводородов (с самых тяжелых до наиболее легких). Можно предполагать, что эти пленки не сплошные, и свободная вода частично контактирует с неподвижной водяной пленкой. Но, видимо, в большинстве случаев краевой угол смачивания для свободной воды на породе превышает ноль градусов. Если в процессе фильтрации давление Р2 в поре 2 будет меньше давления Р1 в поре 1 (см. рис. 3), то водяная пробка начнет сдвигаться в пору 2, растекаясь по ее стенкам 3* с последующим образованием пузырька 4, который затем лопнет, и часть газа из поры 1 выбросится в пору 2 до выравнивания давления в обеих порах. После этого под действием поверхностных (капиллярных) сил пробка 3 возвратится в свое первоначальное положение. Потребуется новое понижение давления в проточной поре 2, чтобы из тупиковой поры 1 в пору 2 произошел выброс новой порции газа.
пузырек газа
порода газ,
где 1 - тупиковая пора; 2 - проточная пора
канал, соединяющий поры и заполненный погребенной водой (водяная пробка)
вода, вытесненная из водяной пробки
Рис. 3. Схема размещения газа и остаточной подвижной воды в поровом пространстве
Чтобы выдавить водяную пробку из узкого перетока в пору большего диаметра (рис. 4), потребуется перепад давления:
АР = 2с 008 ф I 1 - —
1 г Я
где г - средний радиус перетока; Я - радиус большой поры; с - поверхностное натяжение на границе воды при ее контакте с газом.
Образовавшийся при выдавливании пузырек газа, который при разрушении откроет выход газу из тупиковой поры, либо лопнет при
АР1 = 4С либо оторвется от конца суженного
4с
канала и тоже лопнет при АР2 = — (см. рис. 3).
г
Используя приведенные выше формулы, можно сделать оценку АР и АР1, при которых пузырьки выдавливаются и лопаются. Подобные расчеты получены для пористых сред терригенных коллекторов нижнемеловых песчаников Восточного Предкавказья [2], карбонатных коллекторов Оренбургского газокон-денсатного месторождения (ГКМ) [3] и сено-манских отложений продуктивных пластов севера Западной Сибири. Размеры пор и каналов между ними (авторы работы [2] называют их пережимами) определялись по гранулометрическому составу кернов.
Средний радиус (Я) расширений по большому числу кернов терригенных коллекторов нижнемеловых песчаников Восточного Предкавказья оказался равным 20 мкм, радиус пережимов (г) - 8 мкм, длина пережимов составила от 100 до 200 мкм. Такие соотношения определяются окатанными кристаллами кварца при их плотной упаковке.
Размеры пор и пережимы карбонатных коллекторов Оренбургского ГКМ гораздо меньше: преобладают поры с Я = 1-3 мкм, соединенные каналами г = 0,05-0,15 мкм. На рис. 5 приведены микрофотографии пористой разности
Рис. 4. Схема, поясняющая возникновение необходимого перепада давления для выдавливания водяной пробки
известняка продуктивной толщи Оренбургского ГКМ, полученные Н.Г. Куликовой с использованием сканирующего электронного микроскопа.
Для сеноманских песчаников оценка АР и APj осуществлялась для условно принятых размеров пор с R = 10 мкм, r = 2-3 мкм.
Поверхностное натяжение воды на границе с газом можно считать не зависящим от диапазона средних поровых радиусов, приведенных выше, но оно будет существенно зависеть от температуры среды и давления контактирующего с ней газа.
Для воды при температуре 30 °С и давлении газа 100 • 105 Па поверхностное натяжение составит 52 • 10-3 Н/м [4]; угол смачивания в расчетах принят равным 45° (cos 45° = 0,7071).
Рассчитанные значения АР для выдавливания водяных пробок из узких каналов, соединяющих поры, при указанных выше средних размерах составили:
• для коллекторов Предкавказья -0,055 • 105 Па;
• сеноманских продуктивных отложений -0,17 • 105 Па;
• карбонатных пород Оренбургского ГКМ -4,6 • 105 Па.
Если отнести эти перепады к длинам суженных каналов, сложенных с размерами расширений, равными 2R, то получим градиенты давлений в несколько десятков и сотен атмосфер на метр. Понятно, что таких градиентов при разработке газовых месторождений
не бывает, если учесть, что депрессии (например, на скважинах, эксплуатирующих сеноман-ские отложения) не превышают в начале разработки полутора-двух атмосфер.
Следовательно, на всех газовых месторождениях фильтрация происходит путем последовательного ввода в процесс движения газа к скважине очередных объемов газа, заполняющих поры продуктивной породы с расстояний, все далее и далее отстоящих от оси работающей скважины.
Для лучшего восприятия происходящих при этом процессов можно обратиться к аналогии, которая ни в коем случае не описывает фильтрацию газа в пористой среде, но демонстрирует последовательность процессов, хотя и физически другого характера. Тепловоз не может стронуть стоящий грузовой состав: его двигатели не в состоянии развить силу большую, чем сила трения покоя всего состава. Поэтому приходится страгивать вагоны по очереди. Для этого машинист дает тепловозу задний ход, сжимает буфера (пружины) между передними вагонами и затем начинает движение вперед последовательно, один за другим вовлекая передние вагоны в движение.
Для вызова притока газа в скважину на ее забое снижается давление. При этом создаваемая депрессия всегда больше АР, необходимого для выдавливания жидкостных пробок между порами, заполненными газом. Поэтому из прилегающей к забою цилиндрической части продуктивного пласта в скважину начинает
а б
Рис. 5. Пористая разность известняка продуктивной толщи Оренбургского ГКМ: а - полученная с использованием сканирующего электронного микроскопа при увеличении в 4360 раз; б - фрагмент рис. 5а, увеличенный в 40000 раз
притекать газ. В идеальном случае радиус предельной области в виде цилиндрической поверхности в продуктивном пласте оказывается неподвижным до того момента, когда АР в водяных пробках узких каналов, соединяющих проточные поры, не окажется достаточным для разблокировки соседних, более далеких по радиусу пор. Средние значения АР, необходимые для выдавливания водяных пробок между проточными порами, должны быть такими же, как и для пробок между тупиковыми и проточными.
Ввиду разнообразия размеров каналов между проточными порами перепады давлений для вытеснения остаточной подвижной воды, заполняющей эти каналы, лежат в различных для разных продуктивных пластов интервалах давлений. В математических моделях придется использовать их средние значения.
Для дальнейших рассуждений потребуется оценка градиентов давления по моделям, применяемым в настоящее время при решении задач фильтрации газа в пористой среде.
Если для вывода уравнения фильтрации использовать уравнение состояния
Если для той же цели используется уравне-
Р = АР,
ёР = А 1
ёг 2Р г'
где - константа.
ние
р = СехР,
(3)
где С и X - константы, то можно получить линейное уравнение фильтрации в частных производных параболического типа, решать которое несопоставимо проще, чем при помощи уравнения (1).
В работе [5] показано, что формальная аппроксимация уравнения состояния формулой (3) в конкретных диапазонах изменения пластовых давлений разрабатываемого месторождения приводит к относительно малым погрешностям по сравнению с плотностью, рассчитываемой по формуле (1). Преимуществом применения формулы (3) является также возможность оценить ошибку, тогда как при использовании формулы (1) для нелинейного уравнения приходится при получении аналитических решений линеаризовать его без возможности оценки допускаемых при этом ошибок.
При применении уравнения (3) градиент давления будет равен
(1)
ёР=А!.
ёг г
(4)
где А = —Р* 2*Т— (индекс в виде * относится к
Р*2(Р, Т)Т
параметру при стандартных условиях; г - коэффициент сжимаемости реального газа; Т - абсолютная температура газа), то градиент давления вычисляется по формуле
(2)
где Б2 - константа.
При соответствующем подборе X в экспоненциальной формуле уравнения состояния дебит скважины полностью совпадает с дебитом, полученным из уравнения фильтрации относительно квадрата давления. Необходимо проверить, как будут отличаться градиенты давления, вычисленные по формулам (2) и (4), полученные по уравнению от квадрата давления и давления в первой степени.
Результаты расчетов градиентов давления по формулам (2) и (4) на различных расстояниях от скважины
г, м Градиенты давления ^
по формуле (2), Па/м по формуле (4)
Па/м атм/м мм вод. ст./м
1 2,17 • 104 2,17 • 104 2,14 • 10-1 2140
10 2,17 • 103 2,17 • 103 2,14 • 10"2 214
21,7 1,0 • 103 1,0 • 103 0,987 • 10"2 98,7
100 2,16 • 102 2,17 • 102 2,14 • 10"3 21,4
200 1,08 • 102 1,08 • 102 1,07 • 10"3 10,7
300 7,18 • 10 7,23 • 10 7,14 • 10"4 7,14
400 5,38 • 10 5,43 • 10 5,36 • 10"4 5,36
500 4,30 • 10 4,34 • 10 4,28 • 10"4 4,28
В качестве примера в таблицу сведены результаты расчета градиентов давления по формулам (2) и (4) на различных расстояниях от оси скважины при установившемся режиме фильтрации газа (давление на контуре питания Рк = 100 • 105 Па и на стенке скважины Рс = 98 • 105 Па; радиус контура Як = 500 м и скважины гс = 0,05 м).
Согласно ГОСТ 26450.2-85 [6], измерение проницаемости нормируется следующим образом: «Выполняют измерения при давлении после образца, равном атмосферному... Выполняют 3-кратное измерение расхода газа через образец при различных перепадах давления в пределах (1 • 10-3)-(3 • 10-1) МПа».
В кернах длиной 30 мм промежуток градиентов при указанных перепадах давления будет равен (0,033-10) МПа/м. В таких пределах градиентов проводились опыты, результаты которых изложены в книге [7].
При сопоставлении градиентов стандарта [6] с градиентами таблицы можно обнаружить, что минимальное значение градиента в рекомендуемом стандартом пределе соответствует расчетному градиенту на расстоянии от оси скважины, равному нескольким десяткам метров. В приведенном примере (см. таблицу) это расстояние (г) равно 21,7 м. На остальном протяжении до конца зоны питания (Як = 500 м) расчетные градиенты на порядок меньше, чем создаваемые в лаборатории при изучении проницаемости керна.
Можно предположить, что столь малых градиентов давления в продуктивных пластах при фильтрации газа (получаемых при использовании существующих моделей) в реальности просто не существует. В лабораториях не изучают проницаемость водонасыщенного керна при градиентах давления в несколько миллиметров водяного столба на метр. Проще и обоснованнее представить процесс отбора газа из продуктивного пласта как расширение зоны отбора с подвижной внешней границей и постоянным градиентом давления на ней, равным начальному (меньшему чем градиент на стенке скважины, но приближающемуся к нему по значению).
При постоянном дебите скважины объем зоны, из которой отбирается газ, будет пропорционален произведению квадрата ее подвижного радиуса г на толщину пласта, а увеличение радиуса пропорционально корню квадратному из времени эксплуатации. Поэтому нередко используемое представление о какой-то
несуществующей «зоне отбора» каждой отдельной скважины является не таким уж оторванным от реальности.
Если в единице объема пористой среды доля проточных пор составляет (проточная пористость), а доля тупиковых - ф2 (тупиковая пористость), сумма этих долей равна открытой пористости ф. В хорошем приближении, учитывая геологическую историю заполнения ловушки газом, среднюю начальную газонасыщенность (а) можно считать одинаковой как для проточных, так и для тупиковых пор. Следовательно, начальные объемы газа в проточных и тупиковых порах в единице объема пористой среды будут равны (¡а и ф2а соответственно.
Если в результате эксплуатации газового месторождения давления в пузырьках проточных пор (проточные давления) будут снижены, то при определенных перепадах между этими проточными давлениями и давлениями в пузырьках соседних с ними тупиковых пор (тупиковыми давлениями) произойдет открытие водяных пробок, соединяющих эти поры, и часть газа из тупиковых пор перетечет в проточные.
Затем водяные пробки под действием поверхностных сил на границе «газ - вода» закроются, их очередное открытие наступит после возникновения такого же по величине перепада, как и в предшествующем случае. Такая ступенчатая подача очередных порций газа из тупиковых пор в проточные будет происходить в течение всего срока разработки месторождения.
Каждая отдельная тупиковая пора работает как импульсный источник газа. Можно показать, что при достижении некоторого (одного и того же по значению) перепада давления между давлениями в этой поре и соединенной с ней проточной в последнюю выбрасывается одна и та же масса газа независимо от абсолютного давления в тупиковой поре. Различные тупиковые поры имеют разные размеры проходных каналов в соединенные с ними проточные. Поэтому для выдавливания водяных пробок и выбрасывания порций газа из тупиковых пор в проточные требуются различные АР. Но для каждой из пар «тупиковая - проточная поры» справедливо утверждение: если пластовое давление изменяется по линейному закону, то масса газа, выбрасываемая из тупиковой поры в проточную, будет пропорциональна времени.
Сумма выбросов, создаваемая всем многообразием тупиковых пор в некотором выде-
ленном объеме пористой среды, будет образовывать распределенный источник дополнительной массы газа, поступающей в проточные поры (в фильтрующийся поток газа).
Строго говоря, перепады давлений, необходимые для выжимания водяных пробок между порами, будут зависеть от пластового давления (Ргш) и возрастать с его падением. Дело в том, что коэффициент поверхностного натяжения воды на границе с газом зависит от давления.
Например, ориентировочно для условий газа сеноманских отложений значение поверхностного натяжения воды на границе с газом при начальном Ргт = 12 МПа составляло 3/4, а при Рпл = 2 МПа - 0,95 от натяжения при стандартных условиях.
Нетрудно сделать оценку массы газа, выделяемого в элементарном объеме йО в одну секунду, например, из тупиковых пор пластов се-номанских отложений. Рассчитывается масса газа в тупиковых порах 1 м3 пористой породы при начальном давлении 120 МПа: М = 5,134 кг. За основное время разработки принимается 20 лет = 6,32 • 108 с. Значит, из 1 м3/с тупиковых пор продуктивной породы будет подаваться (5,134/6,32) • 10-8 кг/с, а из элементарного объема - 0,82 ■ 10-8- йО кг/с.
Для каждой соседней пары пор «тупиковая - проточная» АР, при котором происходит очередной выброс, будет медленно увеличиваться по мере падения давления, так как при этом возрастает поверхностное натяжение воды на границе с газом.
Как уже было отмечено, для различных пар АР должен отличаться, так как он зависит от размеров проходов между тупиковыми и проточными порами. Есть основания предполагать, что для пород одного и того же продуктивного пласта величина размеров наибольшего числа этих проходов будет группироваться вокруг некоторого среднего значения или диапазона размеров, на которые указывают специалисты, исследующие керновый материал.
Таким образом:
ДР
I + В
ср п. ср
ёг
где АРср - средний перепад давления, вызывающий очередной выброс газа; Ьср - средняя длина канала, соединяющего соседние тупиковые и проточные поры; Б - средний диаметр
поры;
йР
йг
- начальный градиент давления,
который всегда возникает в продуктивном пласте при фильтрации газа.
Это заключение, на первый взгляд, кажется ошибочным: какое отношение нефильтрующие тупиковые поры могут иметь к начальному градиенту? Дело в том, что тупиковые и проточные поры не должны отличаться по средним размерам соединяющих их каналов (пережимов), так как и те, и другие являются проходами между образующими поровую породу кристаллами, и только часть из них закупорена цементирующими включениями. По этой причине перепады, необходимые для выдавливания водяных пробок, должны быть одинаковыми как между парами пор «тупиковая - проточная», так и «проточная - проточная».
Возражения против приведенного механизма работы тупиковых пор как внутренних источников газа могут заключаться в следующем. Во-первых, при выталкивании водяной пробки из пережима, соединяющего тупиковую пору с проточной (см. рис. 3), вода растекается по стенкам проточной, уменьшая ее объем. Но при этом суммарный объем тупиковой и проточной пор остается прежним, что облегчает расчет среднего давления после выброса (если времени для его выравнивания достаточно).
Другое возражение заключается в том, что через проточную пору в момент выброса газа из тупиковой поры происходит фильтрация газа (либо скачками, как и выброс из тупиковой поры, либо при большом градиенте давления в виде струи).
Но в обоих случаях для выброса из тупиковой поры необходимо, чтобы АР между давлением в тупиковой и проточной порах обеспечивал выдавливание водяной пробки между ними.
При разработке крупных газовых месторождений падение среднего пластового давления практически приближается к линейному. Но при линейном изменении давления в проточных порах выбросы газа из тупиковых пор будут происходить через одинаковые промежутки времени. Так как при каждом очередном выбросе в проточную пору выбрасывается одна и та же масса газа, то в расчете на единицу времени внутренний источник в пористой среде в виде тупиковых пор будет работать с постоянной производительностью. Если бы все суженные протоки между тупиковыми и проточными порами были одинаковыми, то такой источник работал бы в импульсном режиме. Но каналы,
соединяющие эти поры, имеют широкий диапазон размеров и, следовательно, столь же широкий промежуток перепадов давления, при котором открываются тупиковые поры: для каждого размера - свой перепад, со своей частотой выбросов. Накладываясь друг на друга, эти выбросы выравнивают во времени подачу газа в проточные поры и при линейном изменении среднего пластового давления в совокупности работают как источник с постоянным массовым расходом в единице объема пористой среды.
Проточные поры в газонасыщенном пласте не являются сплошными свободными от остаточной воды каналами. Они разделены в узких протоках водяными пробками, которые открываются при создании определенных перепадов давления фильтрующегося газа между соседними проточными порами.
В связи с этим при определении проницаемости водонасыщенного керна по газу должен существовать промежуток перепадов от некоторого значения, при котором начинается фильтрация, до перепада, с которого выполняется закон Дарси, т.е. проницаемость становится постоянной. Этот переходный участок чаще всего не регистрируется при определении проницаемости водонасыщенного керна, так как исследуются сразу большие градиенты, существующие вблизи ствола скважины. Однако фильтрация на остальном пространстве продуктивного пласта происходит при значительно меньших градиентах. Поэтому проницаемость в этих условиях обязательно зависит от градиента давления.
Обширный экспериментальный материал по зависимости проницаемости от водонасы-
щенности отражен в работе [7]. Приведенные в ней зависимости получены также при больших значениях водонасыщенности. Но движение газа на большей площади разрабатываемого месторождения происходит именно при малых значениях градиентов, для которых отсутствуют столь необходимые экспериментальные данные.
С учетом вышеизложенного коэффициент проницаемости водонасыщенного керна (к), зависящий от градиента давления, можно аппроксимировать функцией
* = К / (1,
^ дг / дг )
где к0 - постоянный коэффициент проницаемости при фильтрации газа по закону Дарси;
/1 —| - безразмерная функция, зави-
^ йг I йг )
(йР ¡йп Л
сящая от безразмерного градиента I — — I
^ йг / йг )
,<1Р
(— - градиент давления при радиальной
йг
йП
фильтрации;--градиент, принятый за еди-
йг
ницу измерения).
Далее вводится обозначение
ёР Ш ^ _ ^ ёг / ёг )
Примерное графическое изображение закона изменения функции(от 0 до 1) в зависимости от изменения аргумента 4 (от 0 до градиента, при котором начинается нарушение закона Дарси) приведено на рис. 6. Закономерность может быть аппроксимирована различными
гладкими и негладкими функциями. В настоящей статье используется бесконечно дифференцируемая функция
I (£) =
1
1 + ае
Ось 02 совпадает с осью скважины. За время ё через цилиндрическую поверхность АВВ1А1 (рис. 7) войдет масса газа, равная
(5) р¥г ё2 Ж,
(6)
с двумя положительными произвольными безразмерными постоянными а и Ь, позволяющими на участке 0 < 4 < ^ приближать значение функции к 0 и тем самым аппроксимировать в точке 4 начальный градиент, а между 4 и 42 -темп возрастания градиента, полученного экспериментальным путем, до значения градиента, превысив которое проницаемость не будет зависеть от него.
Другими словами, при используемой формуле (5) есть возможность как угодно сдвигать по оси 4 точки 4 и 42, обеспечивая при этом любое приближение функции _Д4) к нулю в точке 4! и к единице - в точке 42.
Вывод уравнения фильтрации делается для цилиндрической системы координат (2, г, <).
где р - плотность газа; V - радиальная скорость фильтрации газа.
За то же время через цилиндрическую поверхность ВСС1В1 выйдет масса, равная
р + —ёг |( У + — I (г + ёгф ёгЖ = дг А дг
= грУё ф ёгЖ + г — (рУ) ёгё ф ёгЖ + дг
+ рУ ёгё фёгЖ.
(7)
При выводе формулы (7) исключаются слагаемые, в которые входят бесконечно малые более высокого порядка, чем ёг.
Изменение массы газа в призме АВСВА1В1С1Б1 за счет радиального входа и
выхода газа будет равно разности между вошедшей и вышедшей массами:
—— (рК)гсГСф — рУСгСу сЬ&. (8)
дг
К вычисленному для криволинейного параллелепипеда изменению массы газа (8) необходимо добавить массу газа, выделяемую из тупиковых пор в проточные. Отделенные от проточных водяными пробками эти поры выполняют функцию равномерно распределенного внутреннего источника газа. При условиях, отмеченных выше, эта масса газа будет пропорциональна произведению постоянного коэффициента О, имеющего размерность плотности, деленной на время, элементарного объема криволинейного параллелепипеда (^ = гйф й2 йг) и времени А.
С другой стороны, при постоянстве самого О вычисленное изменение массы газа за счет фильтрации газа через этот объем и его внутренних источников из тупиковых пор вызовет изменение его плотности. Если вначале плотность газа была равна р, то по истечении времени А она будет равна р + ^р-Л. Начальная
масса газа равнялась рйО = рф1аг йф й2 йг, через промежуток времени А ее значение составило ^р + ^р-ЛФф агй§й2йт. Следовательно, изменение массы в объеме О за время А будет равно фlа^р■rd<^dzdr.
В последней формуле ф1 - коэффициент проточной пористости. Коэффициент тупиковой пористости (ф2) входит множителем в коэффициент О. Сравнивая между собой полученные массы и сокращая обе части равенства на г йф сЬ йг А, выводим уравнение неразрывности
-± (ру) - - рУ + О _ф1а|р-, дг г от
-1 ^[г(РГ)] + ° _Ф1а|р.
г дг д/
Связь между V и градиентом давления устанавливается законом Дарси:
V _-к дк. Ц дг
(11)
Проницаемость водонасыщенного керна зависит от градиента давления при малых его значениях.
Далее используется приведенная зависимость (5), учитывающая экспериментальные результаты:
к _ —
К
, , дР /дп
1 + а ехр I —Ь— -
дг I дг
(12)
Связь между плотностью газа и давлением устанавливается уравнением состояния (1) и формулой (3).
Уравнение (1) применяется для замены плотности давлением, а (3) - для линеаризации уравнения. Из (1) получается соотношение
дР _ 1 дР дг X дг
(13)
Используя формулы (11)—(13), окончательно получаем уравнение фильтрации газа в во-донасыщенном коллекторе:
дР _ к0 1 _д_ д( цХаф1 г дг
ЭР дг
1 + а ехр I —Ь
.др/ дП_ дг / дг
в аф1
(14)
(9)
которое может быть переписано в следующем виде:
При малых градиентах давления и низкой проницаемости полученное уравнение должно ближе отображать реальный процесс фильтрации газа, чем используемые в настоящее время уравнения, пригодные для описания процесса только вблизи добывающей скважины.
Низкая проницаемость влечет за собой наличие большого объема тупиковых пор, приближающегося к объему проточных, что делает относительно большим второе слагаемое в правой части уравнения (14), а малые градиенты давления, как было отмечено, характерны для большей площади разрабатываемого месторождения. В этих зонах коэффициент проницаемости существенно зависит от градиента давления.
Список литературы
1. Михайлов Н.Н. Физика нефтяного и газового пласта (физика нефтегазовых пластовых систем): учеб. пособие. - Т. 1 / Н.Н. Михайлов. - МАКС Пресс, 2008. - 448 с.
2. Зиновьев В.В. Оценка элементов порового пространства терригенных коллекторов: обз. инф. / В.В. Зиновьев, О.Е. Аксютин, С.А. Варягов и др. - М.: ИРЦ Газпром. -(Серия «Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений»).
3. Васильев Ю.Н. Влияние пластового давления на газоотдачу трещиновато-пористых коллекторов / Ю.Н. Васильев, Н.Г. Куликова // Газовая промышленность. - 1982. - № 4.
4. Рид Р. Свойства газов и жидкостей:
пер. с англ. / Р. Рид, Т. Шервуд. - Л.: Химия, 1971. - 704 с.
5. Васильев Ю.Н. Математические основы обработки результатов газодинамических исследований скважин / Ю.Н. Васильев,
Н.И. Дубина. - М.: Недра-Бизнесцентр, 2008. -116 с.
6. ГОСТ 26450.2 - 85. Породы горные.
Метод определения коэффициента абсолютной газопроницаемости при стационарной и нестационарной фильтрации.
7. Ершов С.Е. Влияние микроструктуры и водонасыщенности пористых сред на их фильтрационные характеристики /
С.Е. Ершов, Д.И. Иванов, М.П. Хайдина. - М.: ИРЦ Газпром, 2007. - 300 с.
References
1. Mikhailov N.N. Physics of the oil and gas reservoir (physics of oil and gas reservoir systems): training aids / N.N. Mikhailov. -Vol. 1. - Moscow: MAX Press, 2008. - 448 p.
2. Zinovyev V.V. Evaluation of pore space elements of clastic reservoirs: review of the information service. development and operation of gas and gas-condensate fields / V.V. Zinovyev, O.E. Aksyutin, S.A. Varyagov et al. - Moscow: IRTs Gazprom, 2006.
3. Vasiliev Yu.N. Reservoir pressure impact on gas recovery of fractured-porous reservoirs / Yu.N. Vasiliev, N.G. Kulikova // Gas industry. -1982. - № 4.
4. Reed R. Gas and fluid properties / R. Reed,
T. Sherwood; translated from English - Leningrad: Khimiya, 1971. - 704 p.
5. Vasiliev Yu. N. Mathematic bases for processing of results of gas-dynamic well studies /
Yu.N. Vasiliev, N.I. Dubina. - Moscow: Nedra, 2008. - 116 p.
6. GOST 26450.2-85. Rock. Method of determination of the absolute gas permeability coefficient for stationary and non-stationary filtration.
7. Yershov S.E. Impact of microstructure and water saturation of porous media on their filtration properties / S.E. Yershov, D.I. Ivanov, M.P. Khaidina. - Moscow: IRTs Gazprom, 2007. -300 p.
