CC BY
50
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 2003. - 615 с.
2. Василян А.К. К вычислению коэффициентов-функций собственных многочленов матриц монодромии на основе дифференциальных преобразований // Вестник Инженерной Академии Армении. - 2011. - Т. 8. - № 2. - С. 175-179.
3. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. - М.: Физматлит, 2005. - 384 с.
4. Богачев К.Ю. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений. - М.: Изд-во МГУ, 1998. - 137 с.
5. Симонян С.О., Аветисян А.Г. Прикладная теория дифференциальных преобразований. - Ереван: Чартарагет, 2010. - 360 с.
6. Пухов ГЕ. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. - Киев: Наукова думка, 1984. - 420 с.
7. Симонян С.О., Аветисян А.Г., Бадалян Г.А. рЯДП - алгоритм для разложения неавтономных матриц. // Вестник Инженерной Академии Армении. - 2004. - Т. 1. - С. 122-129.
Поступила 09.06.2011 г.
УДК 519.6
НОВОЕ СЕМЕЙСТВО КВАЗИСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В.А. Орлов, В.И. Рейзлин
Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Рассматривается семейство равномерно распределенных последовательностей, обобщающих аналогичные конструкции Рота, Фора, Соболя. Доказывается, что все ихпоследовательные участки определенной длины имеют хорошее распределение. Построенные последовательности могут использоваться в алгоритмах глобального поиска и прочих в качестве альтернативных к популярным ЛП-последовательностям.
Ключевые слова:
Квазислучайные последовательности, двоичные, p-ичные иЛП-последовательности.
Key words:
Quasi-random sequences, binary, p-ary and an AS-sequence.
Равномерно распределенные последовательности с наилучшей (по порядку) асимптотикой часто называют квазислучайными. Именно такие последовательности (с некоторыми дополнительными свойствами равномерности) используют на практике для реализации алгоритмов Монте-Карло (так называемый метод квази-Монте-Карло), для вычисления многомерных интегралов, в случайном поиске, в задачах многокритериальной оптимизации, в планировании экспериментов и др. Свойства таких последовательностей и их исследование рассмотрены в [1-3]. В некоторых задачах, например таких, как построение равномерно распределенных векторов в конусе [4], важно не столько свойство независимости векторов, как свойство именно равномерности.
В настоящей статье рассматривается построение таких последовательностей для небольших и, где и - число членов последовательности.
Квазислучайными, в отличие от псевдослучайных, называют равномерно распределенные последовательности, элементы которых не обладают свойством независимости.
Последовательность Хи точек из ¿-мерного куба /=[0,1)х...х[0,1) называется равномерно распределенной в I1, если для любого блока В=[а1,Ь1)х[а2,Ь2)х...х х[а1,Ь1), где 0<а;, Ь<1 выполняется соотношение
,■ I пВ |
11т -----= Ц (Ъ, - а),
- 7Г
где Ц (Ь - аi) означает копроизведение. Другими
1=1
словами, последовательность равномерно распределена, если при больших и количество ее точек, попавших в какой-либо блок, пропорционально его объему. Если разбить куб на несколько равновеликих частей, то в каждой из них (при достаточно больших и) окажется примерно одинаковое число точек последовательности.
Однако для практических задач важно, чтобы равномерно распределенные последовательности обладали указанными свойствами не только для больших, но и для малых значений и.
Семейство последовательностей, рассматриваемых в настоящей работе, обобщает двоичные последовательности Ван дер Корпута и Рота и ^-ич-ные последовательности Фора [5]. Эти последовательности в отечественной литературе называют, следуя И.М. Соболю [6-8], ЛП0-последовательно-стями. Не отступая от традиции, распространим это название и на наши конструкции, т. к. обозначение «ЛП» в нашем контексте может означать, что любой последовательный участок Хп хорошо распределен.
Пусть д=р", гдер - простое число. Назовем #-ич-
ными отрезками ранга s интервалы — +
q
0,-
q
0</<д"-1. Эти отрезки получаются при разбиении интервала 1=[0,1) на д равных отрезков. Обобщая это определение на многомерный случай, назовем д-ичным блоком ранга д параллелепипед Б1х...хБі в і-мерном кубе /=[0,1)х...х[0,1), где Бі - д-ичные отрезки рангов д1, д2,..., соответственно, причем
51+...+Д,=Д.
Таким образом, д-ичные отрезки - это просто одномерные д-ичные блоки.
Последовательные участки множества целых неотрицательных чисел кд!!+{0,д!!-1}, к=0,1,2,... назовем д-ичными участками ранга д. Точно так же будем называть и соответствующие участки произвольных последовательностей.
Определение 1. Последовательность Хп точек из Iі назовем ЛП-последовательностью, если каждый ее д-ичный участок ранга д имеет ровно по одной общей точке с каждым д-ичным блоком того же ранга.
Теорема 1.
1. Проекции ЛП-последовательности на к-мер-ные грани куба Iі также являются ЛП-последо-вательностями.
2. ЛП-последовательности равномерно распределены в Iі.
Эти утверждения легко проверяются, поэтому мы не будем приводить доказательства.
Приведем примеры ЛП-последовательностей. Любое число х из интервала 1=[0,1) можно записать в д-ичной системе счисления в виде
Доказательство. Пусть t — произвольное неотрицательное целое. Нетрудно видеть, что {(t+a) mod qs: ає{0, —1}}={0, — 1}. Отсюда следует, что
когда а пробегает множество {0, qs— 1}, первые s g-ичных цифр числа t+a принимают все возможные значения. Дальнейшее очевидно.
Построим теперь целое семейство ЛП-последо-вательностей.
Каждому целому неотрицательному числу n=n0+n1q+...+nsqs, представленному его g-ичной записью, сопоставим бесконечномерный вектор —=<n0,n1,...,ns,0,0,...>.
Теорема 3.
Пусть A=(a) і, ує{0,1,...,ю}, 0<a;J<q—1, бесконечная матрица над конечным полем Fq, такая, что все ее подматрицы As=(aij), /,/e{0,1,...,s} не вырождены, и пусть A(n) — число, соответствующее произведению
_ r (п)
А ■ п =<X аткпк... >,
к=0
(вычисления здесь проводятся в арифметике поля Fq).
1. Последовательность h(A(n)) — ЛП-последова-
тельность.
2. Для h(A(n)) справедливо утверждение теоремы 2.
Доказательство.
Для того, чтобы h(A(n)) была ЛП-последова-тельностью, необходимо и достаточно выполнение следующего требования: для любого вектора <t0,tj,...,ts,0,0,...> и любого s система уравнений
~ х-
х = X —-++1, 0<Xn<q—1. Заметим, что q-ично рацио- X аткпк = tm, rn=0,1,..., sдолжна иметь единствен-
=о q
нальные числа, т. е. числа вида —-, 0<t<qs—1, име-
q-
ют две различных q-ичных записи:
=0 q
= -+ 1 q
--1 ,1
» x = X ^
0
X "і- •
=0 Ч Ч 1= 1 Ч
Каждое неотрицательное целое число и можно записать в д-ичной системе счисления
и=п0+п1д+п2д2+...+и5д!, 0<и<д-1 и и^0. Обозначим номер старшей д-ичной цифры как г(и). Число w=ns+ns_1д+...+n0дs назовем инверсным к и. Сопоставим каждому и д-ично рациональное число
й(«) = (-)+1 = X Таким образом, множество
ч ¿=о д‘+
целых неотрицательных чисел вкладывается отображением к в интервал 1=[0,1). Очевидно, что последовательность Н(и) является одномерной ЛП-последовательностью.
На самом деле справедливо даже более сильное утверждение:
Теорема 2.
Любые д* последовательных точек из (к(и))|”=0 лежат в разных д-ичных отрезках ранга *.
ное решение.
Это требование очевидным образом выполняется.
Матрица А для каждого * определяет невырожденное преобразование пространства В* в себя. Поэтому, когда и пробегает множество {(+а):ае {0,д-1}}, первые * д-ичных цифр чисел А(+и) принимают все возможные значения. Дальнейшее очевидно.
Построим теперь многомерные ЛП-последова-тельности.
Теорема 4.
Пусть А=(Скт8кт), к,те{0,1,...,<»}, где Скт - биномиальные коэффициенты, Скт=0 при к<т, и пусть 1<д.
Тогда последовательность (к(й),к(А(и)),к(А2(й)),..., к(А1-\и))) является ¿-мерной ЛП-последовательностью.
Доказательство. Общий элемент матрицы А! имеет вид Скт1к-т, причем для /=0 полагаем, ¡к-т=8кт. Последовательность (Щ^кАи)),^2^)),...,^1-1^))) будет ¿-мерной ЛП-последовательностью, если для любого * и для любых у1,у2,...,у1, таких, что 0<у1<* и у1+у2+...+у1=* будет невырожденной матрица А*, составленная по следующему правилу:
Первые V строк берутся из матрицы А0, следующие у2 строк - из матрицы А1, и т. д., последние уй строк - из матрицы А1.
Предположим обратное, т. е., что эта матрица вырождена. Тогда найдется отличный от 0 вектор й'=<й0,и1,...иа,_1,0,0,...> такой, что АД=0.
Равномерная сетка Псевдослучайная Кватслучаиная
последовательность последовательность
Рисунок. Распределения последовательностей из семи точек
Рассмотрим полином n(x)=n0+n1x+...+ns_1X-1над полем ¥г Вырожденность матрицы А„ эквивалентна тому, что каждый элемент /е{0, 1-1} будет корнем всех гиперпроизводных [9] порядков 0,1,...,У;+1, т. е. является корнем полинома и(х) кратности не менее у;+1. А это означает, что полином степени *-1 имеет не менее * корней. Полученное противоречие доказывает теорему.
Замечание. Так же как и одномерные, построенная последовательность обладает свойством, сформулированном в теореме 2.
Приведем на рисунке примеры распределения различных последовательностей из семи точек в единичном квадрате.
Видно, что квазислучайная последовательность (построена с помощью одного из вышеописанных семейств) обладает лучшей равномерностью по сравнению с равномерной сеткой и псевдослучайной последовательностью. В более сложных многомерных случаях можно оценивать равномерность распределения с помощью метода, описанного в [1].
Итак, в настоящей работе вводится новое семейство равномерно распределенных последовательностей (ЛП-последовательности), обобщающих конструкции Рота, Фора, Соболя [5-8]. Доказывается, что все последовательные участки ЛП-последовательности определенной длины имеют хорошее распределение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соболь И.М. Рэйндж - количественная мера неравномерности распределения // Математическое моделирование. -2009.- Т. 14. - №6. - С. 119-127.
2. Асоцкий Д.И., Соболь И.М. О последовательностях точек для оценки несобственных интегралов методами квази-Монте-Карло // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45. - № 3. - С. 411-415.
3. De Doncker E., Guan Y. Error bounds for the integration of singular functions using equidistributed sequences // Journal of Complexity. - 2003. - V. 19. - № 3. - P. 259-271.
4. Рейзлин В.И. Эффективный метод построения псевдослучайных векторов, равномерно распределенных в гиперконусе // Известия Томского политехнического университета. - 2010. -Т 316. - № 5. - С. 41-43.
5. Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. - М.: Наука, 1985. - 408 с.
6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. - М.: Наука, 1969. - 288 с.
7. Соболь И.М. Вычисление несобственных интегралов при помощи равномерно распределенных последовательностей // Доклады АН СССР. - 1973. - Т. 210. - № 2. - С. 278-281.
8. Соболь И.М. Точки, равномерно заполняющие многомерный куб. - М.: Знание, 1985. - 32 с.
9. Лидл Р., Нидеррайтер Г Конечные поля. - В 2-х т. - М.: Мир, 1988. - 820 с.
Поступила 05.10.2011 г.
