Новая процедура получения многосолитонных решений уравнения КдВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 530.1

А. А. Зайцев, Д. А. Каргаполов

НОВАЯ ПРОЦЕДУРА ПОЛУЧЕНИЯ МНОГОСОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КдВ

Предложен новый способ получения многосолитонных решений уравнения КдВ. С этой целью вводится характеристический многочлен и изучаются его свойства. Для многосолитонных решений получено представление через вторую логарифмическую производную от определителя положительно определенной матрицы.

The article offers a new method of obtaining multisoliton solutions of KdV equations by means of introducing the characteristic polynomial. The authors form a representation for multisoliton solutions through the second logarithmic derivative of a determinant of a positive-definite matrix.

Ключевые слова: многосолитонные решения уравнения КдВ, пара Лакса, нормализованный многочлен.

Keywords: multisoliton solutions, KdV equations, Lax pair, normalised polynomial.

Первоначально многосолитонные решения уравнения КдВ были получены методом обратной задачи рассеяния [1 — 7]. Позже процедура получения этих решений была существенно упрощена благодаря применению техники преобразования Дарбу [8 — 10]. Здесь предлагается новая процедура, основы которой изложены в статье [11].

Как известно [1 —10], пара Лакса для уравнения КдВ

ut - 6uux + uxxx = 0, u = u)x,t) (1)

имеет вид

-/xx + u/ = ^/ , /t = -4/xxx + 6u/x + 3ux/, W = W(x, t,^) . (2)

Рассмотрим решение системы (2) вида

/ = p)ik, x, t)exp(ikx + 4ik3t), A = k2, (3)

где p(ik,x,t) — многочлен от ik с коэффициентами, зависящими от x и t; далее его будем записывать коротко p(ik), подразумевая зависимость от x, t. После подстановки представления (3) в уравнения (2) получаем следующую систему для p(ik):

- Pxx)ik) - 2ikPx)ik) + uP)ik) = 0, (4)

pt (ik) - )u + 4k2 )x )ik) - (luik - ux )p(ik) = 0. (5)

Многочлен p(ik) в представлении (3) не единственен. Однако справедливо

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 4. С. 21 — 25.

Утверждение 1. Пусть и — фиксированное многосолитонное решение уравнение КдВ. Тогда во множестве всех многочленов р(ік), для которых функция (3) будет решением системы (2), существует единственный многочлен рп(ік) наименьшей степени, старший коэффициент которого равен 1. Любой другой многочлен выражается через него следующим образом:

р{ік )= р о (ік) рп (ік),

где ро(ік) — многочлен с постоянными коэффициентами.

Многочлен рп(ік) называется нормализованным. Далее индекс п опускается.

Основную роль в нашей процедуре выполняет следующая функция:

р(ік) р(- ік)

Рх(ік) + ікр(ік) рх(- ік) - ікр(- ік)

W (к ) = (- 2ік )-1

= (рх (к )р(- гк) - р(к) рх (- гк ))(2/ к + р(к )р(- гк)). (6)

Утверждение 2. Функция Н(к) является четным многочленом от к с действительными коэффициентами, не зависящими от х и t. Его корни простые, чисто мнимые и, следовательно, распадаются на пары (±гЬ/).

Для доказательства достаточно вычислить обе частные производные Н с помощью уравнений (4) и (5) и второй пары, полученных из первой заменой 1к на —к. Тогда получим Wx=Wt=0.

Многочлен Н(к) назовем характеристическим. В случае и-солитонного решения его степень равна 2и и он факторизуется следующим образом:

W (к) = W+(kкv_(k), где W+(k) = П\ (к - 1Ьт), г(к) = П (к + гЬт), Ът > 0 .

т=1 т=1

Степени многочленов р(/к) и Н_(к) равны и, поэтому справедливо следующее разложение на простые дроби:

(-.)„ _р= 1 -У—р------------, (7)

W_(k) р1 - гк + Ъз

р.і =(- 1)П-1^ТГ^Л. (8)

где

р(ъз )

^'(- Ъ)

Можно показать, что ру является вещественной функцией от х и t.

Утверждение 3. Существует действительная константа щ такая, что выполнено соотношение

р(- Ъ )= - 8Ъ^^ . (9)

Доказательство. Вещественность р(-Ьу) следует из того, что коэффициенты многочлена р(гк) являются вещественными функциями. Полагая в формуле (6) к=Ъ] и учитывая равенства (8) и Н(гЬ;)=0, получим

W()=(-г) W7рЪ“)рх(-Ъ})-Ъ;р(-Ъ}) рЬх+ Ъ1р1

= о.

Отсюда следует, что первый столбец определителя пропорционален второму, то есть существует функция В.]= Я/(хД) такая, что

М- Ь] ) = Я] р] , Рх (- Ь] )- Ь] р(- ^ ) = Я {р^ + ^ р^ ).

Если первое из этих равенств подставить во второе, то получим уравнение

Я],х - 2Ь]Я] = 0 . (Ю)

Полагая в уравнении (5) к=1Ъу, приходим к выводу, что функция р(-Ъу) удовлетворяет уравнению

Р1 (- Ь] )- (2м - 4Ь2 К (- Ь] )+ (2Ь; и + их )р(- Ь] ) = 0 .

После подстановки сюда равенства р(-Ъ/)=Яр и необходимых упрощений получаем второе уравнение для функции

Я„ + 8Ь3Я] = 0 . (11)

Общее решение уравнений (10) и (11) дается формулой Я;=аехр(-2Ъ/г+8Ъ;30, откуда следует равенство (9).

Переходим к процедуре вывода системы уравнений для функций рт(х), т = 1, п . Для этого в тождестве (7) полагаем к=1Ът, учитываем равенство (9) и обозначаем ехр(-2Ьтхт)=(-¿)п------------т—г . Тогда получим

следующую систему линейных уравнений:

( .. Л

р] =1.

]=1

Ее решение получается с помощью формул Крамера и имеет вид

р = —,

г т ’

где

( , л

(13)

а тт — определитель, который получается из определителя т заменой его т-го столбца на столбец из единиц.

Подставляя разложение (7) в уравнение (5), получаем, что функции рт удовлетворяют уравнениям рт хх + 2Ьтрт х - ирт = 0, а многосолитон-ное решение выражается через эти функции по формуле

и = 2^рт,х . (14)

т=1

Покажем, наконец, что и выражается через вторую логарифмическую производную детерминанта т.

Утверждение 4. Справедливо тождество

™х = 2Ь™-[^т , Ь = [Ьт . (15)

т=1 т=1

Для доказательства справедливости утверждения вводится вспомогательная функция v=exp(-2bx)w. Тогда Vx=exp(-2bx)(w'-2bw). С другой стороны, записывая ее в виде определителя и пользуясь правилом дифференцирования функционального определителя, получаем

n n

vx = Z vjx = - exp(- 2bx)Z wj . Сравнение обоих выражений для Vx дает j=i ’ j=i тождество (15).

Из формул (12) и (15) следует

n 1 n 1

Z Pm = — Z Wm = — (- Wx + 2bw)=-(ln w)x + 2b .

wm= w

Подстановка этого равенства в формулу (14) дает нужное представление для многосолитонных решений уравнения КдВ u = -2(ln w)^, где w есть определитель (13).

Отметим одну особенность полученного представления для многосолитонных решений уравнения КдВ: функция w является определителем положительно определенной матрицы (при bm>0 и действительных Хт), поэтому w>0.

Рассмотрим примеры.

При n=1 имеем w=exp(2b(x-4b2i-X1))+1/2b, откуда

u =-Ch’( (2, - x0)),x" = X1 - ln(2b)'

Это известный солитон КдВ.

При n=2 имеем w = E1E2 + E1 /2b2 + E2 /2b1 +(b1 -b2)2 /4b1b2( + b2)2, где Ek = exp(bk (x - 4bk t - xk)), k = 1,2 . Это выражение преобразуется к более простому

w = ch(b1 + b2 )(x - 4c1t - a1)) + (b1 + b2 )ch((b1 - b2 )(x - 4c2t - a2))/(b1 - b2),

где C1=b12-btb2+b22, C2=bi2+b\b2+b22 и константы й1, й2 выражаются через x1, x2. Аналогичные упрощения достигаются и при n>3.

Заключение

В работе предложен новый способ получения многосолитонных решений уравнения КдВ. Для этого вводится характеристический многочлен и изучаются его свойства. Получена система линейных уравнений для собственных функций оператора Шредингера, которая решена с помощью формул Крамера. В результате для многосолитонных решений получено представление через вторую логарифмическую производную от определителя положительно определенной матрицы. Новый способ проще известных (метод обратной задачи, преобразования Дарбу и Хироты), столь же универсальный и его можно использовать для решения других уравнений теории солитонов.

Список литературы

1. Захаров В. Е., Манаков С. В. и др. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М., 1980.

2. Тахтаджян Л. А., Фадеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М., 1986.

3. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М., 1983.

4. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М., 1987.

5. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. М., 1985.

6. Додд Р., Эйлбек Дж. и др. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., 1988.

7. Зайцев А. А., Лебле С. Б. Теория нелинейных волн: Учеб. пособие / Кали-нингр. ун-т. Калининград, 1984.

8. Darboux G. Sur une proposition relative aux equation linéaires / / Compt. Rend. 1882. Vol. 94. P. 1456-1459.

9. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux Transformation and Solitons. Berlin; Heidelberg, 1991.

10. Юров А. В. Преобразование Дарбу в квантовой механике: Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1998.

11. Зайцев А. А., Каргаполов Д. А. Конструирование баргмановских гамильтонианов матричного уравнения Шредингера // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Калининград, 2008. Вып. 4. C. 20 — 25.

Об авторах

А. А. Зайцев — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., РГУ им. И. Канта.

Д. А. Каргаполов — асп., РГУ им. И. Канта, [email protected].

Authors

A. Zaytsev — Dr, IKSUR.

D. Kargapolov — PhD student, IKSUR.