CC BY
14
4. Столяров А. В., Глухова Т. Н. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий. Чебоксары, 2007.
A. Stolyarov About one addition to result of M. A. Akivis
An addition to result of M. A. Akivis concerning the set of Darboux cyclides which have the contact of the second order with a hypersurface of conformal space is given.
УДК 514.764.3
А. В. Христофорова
(Чувашский государственный педагогический университет, г. Чебоксары)
Нормальные связности на оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности
Работа посвящена геометрии нормальных связно-стей, индуцируемых на оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности в пространстве аффинной связности.
Ключевые слова: гиперповерхность, пространство аффинной связности, нормальная связность, оснащение в смысле Нордена — Картана.
В работе индексы принимают следующие значения: I,/,Ь, К,Т, 5 = 1й; 1,/ = 0й; 1, ЛI, к, г, 5 = 1, п -1.
Рассмотрим пространство аффинной связности , заданное системой п(п +1) форм Пфаффа ^ ,#К }, подчиненных структурным уравнениям [1]
Бв1 = вк лв'к + 2т1тв5 лвт,Бв] =0? лв'к + 1г/^в5 лвт, г^т) = 0, г/(5Т) = 0, в1 л в2 л... лвп Ф 0;
грд и г?рд — тензоры кручения и кривизны пространства Ап п.
В соответствии с работой [3] пространство проективной связности Рп,п, определяемое системой форм Пфаффа Щ
„I а! „о 1 пК о п , / п1 1 <г1/зк Щ = 0 , Щ =--7вк , Щ = 0, Щ = вь--~5ЪвК
п +1 п + 1
представляет собой расширенное пространство аффинной связности Рпп = А*п] .
Рассмотрим гиперповерхность Уп_1 е Апп, заданную в репере первого порядка уравнением [1] Щ = 0 , последовательно продолжая которое, получаем поля фундаментальных геометрических объектов второго {л]] ], третьего {л]], Л]] ] порядков и т. д. Далее будем считать гиперповерхность Уп_2 с Ап,п
регулярной (Л = Л] | Ф 0).
Согласно А. В. Столярову [2], оснащение в смысле Норде-на — Картана гиперповерхности Уп_1 с Ап,п равносильно зада-
~ 1 0 нию на ней полей квазитензора уп, тензора у, и относительного инварианта у° :
У _у'щ"п +ущ] + Щ = у'пкЩ, dyy + у,°щ _у>/
dу: + ущ0 _ ущ; + ущ0 (= 0) = у0щ0к. (1)
В работе [4] доказано, что на оснащенной в смысле Нор-дена гиперповерхности Уп_1 с Ап, п в расслоениях нормалей I
и II родов индуцируются соответственно двойственные нор-
мальные связности У1 и У1, определяемые системами
слоевых форм \в(0,вПП}, \бп,@ПП}. Приведем строение форм связности У1
¿0=ю0(= о)- у0(Уп] - У:УП юп),
а = ю + V ю — ю0 + V. ю0
: : : 1 0 1 0.
,1а 1а ,
Рассмотрим системы форм Пфаффа р®,0Щ},а = 1,4 :
11 1 Ъ
а: = ¿0+v0(-+-—V.0 + л : VI )ю®,
п + 1
11 1 Ъ
(2)
(3)
^ = а:+(—V®+л \ V: )ю®;
п + 1
12 1
=а:+v0( вг—Vо—л: ^ к,
12 1
а:=а:+(вг — Vо—л: vi к;
131 3Ъ
а0 = а0 + V 0( в. +—— 4v0 + 2 л" V-1 )ю®,
п п п V I 1 1 . п ' 0'
п + 1
131 3Ъ
в" = в" + (в. + —1— 4v0 + 2 л : vJ )ю0;
п п V 1 ч 1 11 п ' 0'
п +1
14 1 14 1
а: = а0+V0л птю, а: = а:+л птт ю0; (6)
где функции Ъ{, В1, ТП представляют собой охваты, строение которых приведено в работе [4].
В соотношениях (3) — (6) каждый из наборов функций
(4)
(5)
1 Ъ 2 А: =—— V0 + л"V', Ат = в> — у0 — А"^:,
т л I Э1 п ' П1 I I II П '
п +1 (7)
3 3Ъ 4
А»=в- + т+т—4v0+2л "у:, с = л тт
образует тензор dÄn + А^аЦ - А!®/ = .
Каждая из систем форм (3) — (6) удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [1]:
1a 1a 1a 1a 1a 1a
De,П =en лв°п+- R°nst ^ a®0 , Dem = - RL ,
1a _
где компоненты тензора кривизны-кручения {r^ }, где n = 0, п,
1a
нормальной связности V^ имеют следующие строения:
1a 1 a a
Т)П _rnn 1 /¡n 7п ni
nst nst 2Л n[st] + ni Ost ,
1a 1 0 1a 1 a
Rnst = * nst + V (Rist - * Ist) + 2 Äm (V0[ss;} -
0 0 oi 0 l oi кП oi 0 j , \n oi 0 l i\
VnV[sSt]-Vl Vn[sSt] -Л j[sSt]VnvJn + Л j[sSt]Vl VnvJn ), 1 1
—
*и t *0 nst ? nst
тензор кривизны-кручения связности V^
Теорема 1. На оснащенной в смысле Нордена — Картана регулярной гиперповерхности Уп _1 с Ап п с полем симметричного тензора Л] в расслоении нормалей первого рода кроме V1 (со слоевыми формами (2)) индуцируются еще че-
1a
тыре нормальные связности V , а = 1,4, определяемые сис-
{1а 1а .. в00,в] (.
Можно показать [4], что в случае вырождения пространства аффинной связности в аффинное Ап п = Ап для связности
12 12
V1 справедливо К]8( = 0. Последнее означает, что нормаль-
12
ная связность У1, индуцируемая на оснащенной в смысле Нордена — Картана регулярной гиперповерхности Уп—1 с Ап с
полем симметричного тензора А; , является полуплоской [5].
Согласно [2] условием взаимности нормализации гиперповерхности Уп—1 с полем симметричного тензора А; относительно поля соприкасающихся гиперквадрик [1]
Апих1х; + 2-Ъъ—х'хп + 5п (хп )2 = 2х0хп 1 п +1
является выполнение равенств
V1 = А. + А!V". (9)
п +1
В силу соотношений (4) — (6) находим
11 11 1 11 1 ъ
У1 -У1^{а0 - а:,а: - а:} —V,0 +v;л; = 0,
' п +1
12 13 ,12 13 12 13 ,
(10)
в. — у0 —ап уп = в + -А — 4у0 + 2ап уп
^ п + 1 -1
~ -ъ+- — у,0 +а:-у: = 0. п + 1
Из соотношений (9), (10) следует
11 12
Теорема 2. Нормальные связности У1 и У1 , У1 и
13
У1 , индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности Уп—1 с Ап п с полем симметричного тензора А; , совпадают
тогда и только тогда, когда нормализация гиперповерхности Уп—1 с Ап п является взаимной.
Из соотношений (3)— (5) непосредственно следует
11 12 У1 _У1 _У1^{<
Ъ
12 11
. а0 а:
—v0 + ^ л; = 0,
п + 1
в.. — V,0 — л; V: = 0
11
У1 - У
13 ,11 1 13 11 1 13 1 - У1 ^ {в0 - в0 - в0 вп -вп _ вп
_ у ^ \в: _ вп _вп ,вп _вп _вп
(11)
— V0 + V; л; = 0,
п +1 1 п Л
в.,
О 7
--'- — 4v0 + 2Л" V' = 0,
п +1 1 ,}п
(12)
11 13
12
11 13 12 11 13
12
у1 _У1 _У1^{впо _в0 _в0,в: _в: _в:
7 Л1
—■--V0 + vJ' лп. = в +—■— 4v0 + 2Лп. vJ,
п +1 1 п ; 1 п +1 1 ■ п
о 7
в. — V0 — Лп ^ = в
1 1 ■ п 1 п +1
— 4v0 + 2Лп. V1.
■ ■■ п
Функции
-,0 1
р0 = -(в + - +,
2 п +1
), Р=Т л: (вк —^)
А
п + Т
(13)
(14)
определяют нормализацию Фубини регулярной гиперповерхности Уп—т [2]. Из соотношений (10) следует
^). V0 = 2( в, + ^,
п +1 2 п +1
V: = Т лп (вк —^), V,0 (в,
откуда с учетом (14) находим у] = Е] ,у° = Ег °. Если
1
уп = Е] ,У0 = то тензор Ап (см. функции (7!)) в силу выражений (9), (15) имеет вид 1 ,
А] = —+т _ у0 +у]Л] = Б, _у0 _Лу] = 0
п +1 ^ ^ .
Сравнивая последние соотношения с (72) и учитывая равенст-
12 3 11 12 13
во (10), получим А] = А] = А] , то есть V1=V1=V1 . Аналогично доказывается, что каждое из условий (12), (13) равносильно тому, что поля нормалей I и II родов совпадают с полями нормалей Фубини. Справедлива следующая
Теорема 3. На оснащенной в смысле Нордена — Картана гиперповерхности Уп _1 с Ап п с полем симметричного тензора Л] совпадение любой тройки нормальных связностей из 11 12 13 ,
совокупности {V1, V1, V1, V | равносильно одному из следующих предложений:
1) нормализация гиперповерхности Уп_1 с Ап п есть нормализация Фубини;
2) рассматриваемая четверка нормальных связностей вырождается в одну.
Справедливость второго условия теоремы 4 следует из самих равенств (10) — (13).
Список литературы
1. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Моск. матем. общества. 1953. Т. 2. С. 275—382.
2. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1994.
3. Столяров А. В. Двойственная геометрия нормализованного пространства аффинной связности // Вестник ЧГПУ. Чебоксары, 2005. № 4. С. 21—27.
4. Христофорова А. В. Двойственная геометрия регулярной гиперповерхности в пространстве аффинной связности. Чебоксары, 2011.
5. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1990.
A. Khristoforova
Normal connections on the hypersurface equipment in sense Norden — Cartan in the space of affine connection
This work is devoted to the geometry of normal connections induced by the equipment in sense Norden — Cartan of hypersurface in the space of affine connection.
УДК 514.75
М. А. Чешкова
(Алтайский государственный университет, г. Барнаул)
К геометрии каналовой поверхности
В евклидовом пространстве рассматривается кана-ловая поверхность. В процессе исследования используется система компьютерной математики Maple.
Ключевые слова: каналовая поверхность, сфера, циклида Дюпена.
Каналовая гиперповерхность исследуется как гиперповерхность, которая является огибающей однопараметрическо-го семейства гиперсфер [1, с. 379; 2].
Обозначим через p(s) — радиус-вектор кривой у — геометрического места центров семейства, R( s) — радиус соответствующей гиперсферы (s — длина дуги кривой у). Уравнение семейства гиперсфер запишется в виде
