CC BY
7где а\,й2,Ъ\,Ь2 — натуральные числа. Тогда собственные значения в нашей задаче будут иметь вид
^тп = 71-2 ( ^ + ^г ) , тп,п = 1,2,... . Время управления выберем равным Тд. = а^а^к, где к = 1,2,... .
V С1 с2 /
Проводя доказательство аналогично изложенному выше, получим требуемое.
Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору А. С. Шамаеву за многочисленные ценные советы, высказанные в процессе работы над данной статьей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. 30, N 1. 1-68.
2. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.
3. Zuazua E. Exact controllability of a vibrating plate model for an arbitrarily small time // C. r. Acad. sci. A. 1987. 304, N 7. 173-176.
4. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Физматлит, 1965.
5. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Оптимизация граничных управлений колебаниями струны // Успехи матем. наук. 2005. 60, № 6(366). 89-114.
6. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.
Поступила в редакцию 19.05.2010
УДК 517.538
НОРМАЛЬНОСТЬ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДЕЛЫ МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Ж!. Павичевич1
Настоящая статья состоит из двух частей. В первой части изучается поведение ме-роморфных функций вдоль произвольных жордановых кривых, оканчивающихся в единственной граничной точке. Вторая часть содержит приложения результатов первой части к изучению распределения значений мероморфных функций в терминах Р-последователь-ностей.
Ключевые слова: мероморфные функции, Р-последовательность, граничные значения.
This paper consists of two parts. In the first part, the behaviour of meromorphic functions along arbitrary Jordan curves ending at a single boundary point is studied. The second part describes applications of the results of the first part to the study of the value distribution of meromorphic functions in terms of Р-sequences.
Key words: meromorphic functions, Р-sequence, boundary values.
1. Как обычно, символы U, K, Q обозначают соответственно круг \z\ < 1 на комплексной z-плоскости, окружность \z\ = 1 и сферу Римана. Пусть h((,<p) — хорда круга U в точке (, образующая угол <р, < ip < j, с радиусом в (, и А((, <рtp2) — угловая область между хордами h((, <рi) и (£>2), —§ < 'Pi < <Р2 < Рассматривая круг U как модель плоскости в геометрии Лобачевского, введем в U псевдогиперболическое расстояние a(z,w) = \z — w\\1 — wz\-1,z,w E U, и пусть D(w,r) = {z E U : a(z,w) < r} для любых w E U и 0 < r < 1. Для любой жордановой кривой y, лежащей в U и оканчивающейся в точке ( E K,
1 Павичевич Жарко — проф. природно-математического факультета Национального университета Черногории, e-mail: [email protected].
и любого 0 < r < 1 обозначим Ду(Y,r) = |J D(w,r), где черта — замыкание множества, и множество
wÇ.y
Ду(Y,r) назовем Y-криволинейным углом с вершиной в точке Z и раствором r.
Для произольной функции f : U — Q и любой жордановой кривой y С U будем рассматривать семейство функций F(f,Y) = {f ◦ Vw : Vw(z) = (z — w)(1 — Wz)-1 ,w G y}, а для мероморфной функции f — ее сферическую производную p(f(z)) = \f'(z)\(1 + \f(z)\2)-1 ,z G U. Как обычно, символ C(f,Z,S) обозначает предельное множество функции f в точке Z по множеству S С U, имеющему предельную точку Z G K.
С использованием критерия Марита нормальности семейства мероморфных функций (см. [1]) стандартным способом доказывается
Теорема 1. Пусть f — произвольная мероморфная функция, определенная в U, и y — произвольная жорданова кривая в U. Тогда каждая последовательность (fn) функций fn G F(f,Y) обладает подпоследовательностью (fnk), 'равномерно сходящейся на D(0,r), 0 < r < 1 фиксировано, тогда и только тогда, когда
sup_(1 - N2) p(f(z)) < С(г) < +оо. (1)
zÇ. IJ D(w,r)
Если y оканчивается в некоторой точке Z G K, то (1) принимает вид
sup (1 — \z\2) p(f (z)) < C (r) < +œ. (1' )
zEAy (Z,r)
Если к тому же (1' ) выполнено для всех r, 0 < r < 1, то все семейство F (f, y) нормально в смысле Монтеля в круге U.
Также на основе теоремы 1 из статьи [2] доказывается
Теорема 2. Если мероморфная в круге U функция f обладает свойством (1' ) и имеет lim f (z) = a,a G Q, когда \z\ — 1 и z G Y, то C (f, Z, Ду (Z, r)) = {a}.
Значение a G Q из теоремы 2 назовем Y-криволинейным угловым значением мероморфной функции f в точке Z G K, если C(f,Z, Ду(Z,r)) = {a} для всех r, 0 < r < 1. Поэтому на основании теоремы 2 заключаем, что если F (f, y) образует нормальное семейство в круге U, где y G U и оканчивается в точке Z G K, и lim f (z) = a при \ z \ —^ 1 и z G Y, то a будет Y-криволинейным угловым граничным значением функции f в точке Z. Отметим также, что в случае, когда дополнительно кривая y лежит в некотором угле Д(^, Vi ,V2), значение a становится классическим угловым граничным значением функции f в точке Z.
Отметим, что, согласно результатам, изложенным в обзорной статье [3], свойство нормальности семейства F (f, y) в U составляет необходимое, но не достаточное условие для существования Y-криволинейного углового граничного значения функции f в точке Z. Обобщением теоремы служит
Теорема 3. Пусть функция f и кривая y удовлетворяют условию (1) в теореме 1 и y оканчивается в некоторой точке Z G K. Если существует последовательность (zn) точек zn G Ду(Z,r), где 0 < r < 1 фиксировано, у которой lim zn = Z, lim u(zn+i,zn) = 0 и lim f (zn)= a, a G Q, то C(f,Z, Ду(Z,r)) = {a}.
Доказательство теоремы 3 использует теорему 2 и проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 3 статьи [4].
2. Последовательность (zn) точек zn G U, lim \zn\ = 1, называют Р-последовательностью для меро-
n—
морфной в U функции f, если для любого числа r, 0 <r < 1, и любой ее бесконечной подпоследователь-
Ж
ности (znk) в объединении U D(znk,r) функция f принимает бесконечно часто каждое значение и G Q,
k=i
кроме, быть может, двух значений (см., например, [5]).
Теорема 4. Для произвольной мероморфной в U функции f следующие условия эквивалентны:
(i) f обладает Р-последовательностью в Ду (Z,r), 0 <r < 1 фиксировано;
(ii) lim sup (1 — \z\2) p(f (z)) = +œ;
\z — 1 z€A7 (Z,r)
(iii) F(f,Y) не образует нормального семейства в D(0,r).
Этот результат доказывается по той же схеме, что и теорема 3 из статьи [5], с помощью теорем 1 и 2. Теорема 5. Пусть f — мероморфная функция в U и y — жорданова кривая в U, оканчивающаяся в точке Z G K. Если существует lim f (z) = a, a G Q, когда \ z \ — 1 и z G Y, и существует такое число r, 0 < r < 1, что C(f,Z, Ду(Z,r)) содержит более одного значения, то в Ду(Z,r) функция f обладает Р-последовательностью.
Действительно, из условия теоремы 5 и теоремы 2 следует, что F(f, 7) не образует нормального семейства в D(0,r). Тогда по теореме 4 функция f обладает Р-последовательностью в Д7(Z,r).
Частным случаем теоремы 5 служит утверждение: если для мероморфной в U функции f множество C(f, Z, Д7(Z, ri)) = {а}, а Е Ü, и существует такое r2, 0 < ri <r2 < 1, что C(f, Z, Д7((, r2)) содержит более одного значения, то в Д7((,г2)Д7(Z,ri) содержится Р-последовательность функции f. Обобщением теоремы 5 является
Теорема 6. Пусть f — мероморфная функция в U и 7 — жорданова кривая в U, оканчивающаяся в точке Z Е K. Если по некоторой последовательности (zn) точек zn Е Д7(Z, r), где 0 < r < 1 фиксировано, lim u(zn,zn+i) = 0, lim zn = (, существует lim f (zn) = а, а Е Q, и C(f,Z, Д7(Z,r)) содержит более
n—n—ж n—ж
одного значения, то в Д7(Z,r) содержится Р-последовательность функции f.
Обоснование этого утверждения проводится по той же схеме, что и в доказательстве теоремы 5, с заменой в последнем ссылки на теорему 2 ссылкой на теорему 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хейман Р. Мероморфные функции. М.: Мир, 1966.
2. Lehto O., Virtanen K.I. Boundary behavior and normal meromorphic functions // Acta math. 1957. 97. 47-65.
3. Ловатор А. Граничное поведение аналитических функций // Итоги науки и техники. Матем. анализ. Т. 10. М.: ВИНИТИ, 1973. 99-259.
4. Bagemihl F., Siedel W. Sequential and continious limits of meromorphic functions // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. 1960. 280. 1-12.
5. Гаврилов В. И. О распределении значений мероморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными // Матем. сб. 1965. 67, № 3. 408-427.
Поступила в редакцию 18.06.2010
УДК 510.66
ОБ ИСЧИСЛЕНИИ ЛАМБЕКА С ЕДИНИЦЕЙ И ОДНИМ ДЕЛЕНИЕМ
С. Л. Кузнецов1
В статье предъявляется подстановка, сводящая выводимость в исчислении Ламбека с единицей и одним делением к выводимости в исчислении Ламбека с одним делением, допускающем пустые антецеденты. При помощи этой подстановки устанавливается существование алгоритма, за полиномиальное время проверяющего выводимость в исчислении Ламбека с единицей и одним делением.
Ключевые слова: исчисление Ламбека, алгоритмическая сложность.
In this paper we present a substitution that reduces the derivability in the Lambek calculus with the unit and one division to the derivability in the Lambek calculus with one division permitting empty antecedents. Using this substitution, we establish the existence of an algorithm that checks the derivability in the Lambek calculus with the unit and one division in polynomial time.
Key words: Lambek calculus, algorithmic complexity.
Определим L*(\) — исчисление Ламбека с одним делением, допускающее пустые антецеденты. Счетное множество Pr ^ {'Pi,'P2,'P3,•••} называется множеством примитивных типов (здесь и далее " означает "равно по определению"). Типы исчисления L*(\) образуются из примитивных с помощью двухместной связки \ (левое деление); их множество обозначается Tp(\). Типы обозначаются заглавными латинскими буквами, их конечные (возможно, пустые) последовательности — заглавными греческими;
1 Кузнецов Степан Львович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
