CC BY
8
Ю. И. Попов
УДК 514.75
Ю. И. Попов
(Российский государственный университет им. И. Канта) НОРМАЛИЗАЦИЯ ТРЕНСОНА ГИПЕРПОЛОСЫ Hm (Л)
Рассматриваются касательно r-оснащенные гиперполосы Нт(Л) аффинного пространства An . Внутренним инвариантным образом к гиперполосе Нт (Л)
и ее Л-, L-подрасслоениям присоединяются нормализации Тренсона [2]. Выяснены аналитические признаки эквиаффинности связности у, индуцируемой полем нормалей Тренсона Tn-m (A), а также условие совпадения нормализации Тренсона и Бляшке [4].
Во всей работе придерживаемся следующей схемы индексов: J,K = 1,n; i,j,k,h,l = 1,m; p,q,r,s,t = 1,r; a,b,c,d = r + 1,m ; a,p = m + 1,n -1; a = (a,n); S = m - r.
1. В n-мерном аффинном пространстве An рассмотрим регулярную гиперполосу Hm, оснащенную полем r-мерных касательных плоскостей Л (r<m<n-1). Такие гиперполосы обозначим Hm(A) [4]. Поле Л -плоскостей порождает сопряженное ему поле касательных S-мерных плоскостей L относительно асимптотического пучка тензоров bO^j базисной поверхности Vm гиперполосы Hm(A). Известно [1], что необходимым и достаточным условием сопряженности плоскостей A(A), L(A) является обращение в нуль тензора {э j^a}, т. е.
117
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Ьра = 0. (1)
Присоединим подвижной репер Я = {М, ет} аффинного пространства Ап к гиперполосе в текущей точке А е Ут следующим образом:
М = А, {ёер }сЛ(А), {е а К ЦА), {ёа}е Хп-^А),
где Х п-т-1 (А) — характеристика гиперполосы Нт (Л) . Канонизированный таким образом репер Я назовем репером 1-го порядка Я1, относительно которого гиперполоса Нт(Л) задается уравнениями (учитываем уравнения (1)).
шп = 0, ша = 0, ша = 0,
ш п = Ьрч ш\ ш п = ЬПь шь, шр = ь; ш\ ша = ьаь шь,
шр = Х;ш1, шр ^ш1, ша = Ха ш\ шр = Х^ ш1 уьрч = ьпЧ1 ш1, уьпь = ьпы ш \ уь рч + ьпч шп = Ь V ш1,
уьаь + ьпь шп = ьаы ш\ ух; + ьп шп = х>\ (2) УХ^ + ьп1 шр = Х>\ УХ^ = ^^аОа!] Ш ^ , УХр = Х>\
где
ь[РЯ] = 0 , ^Л] = 0 , = 0, ьря^[аь] = ^[аК]^ ,
ьп = ля ьп ьа Л4 = ^с ьа ьа^ь ьа
иаьЛ[ря] " Ла[рия> р^ [аь] р[а ь]с ' 'Ль'Чря]- Ла[рия]я •
Имеет место
Теорема 1. Касательно г-оснащенная гиперполоса Нт (Л) ^ Ап существует и определяется с произволом
2гя+(п-т)+т(п-т-1) функций от т аргументов. 2. Введем в рассмотрение квазитензоры
118
Ю. И. Попов
1
Тр =--— ЬХ Ьф, УТр +шр = Ткршк,
П л р р > р р к '
г + 2 1
Тра =---ЬрЬЬПьсшПа, УТра +шр = Ткашк, (3)
б + 2
1
х«р = (ьрчГи + ЬрЬА,"л), У^ +шЩ = ®к, т
^ ( 1
Тр ={ТрР,Тра} УТр +шр = Ткшк.
Согласно теореме Тренсона [2] для регулярных гиперполос аффинные нормали всех плоских сечений гиперповерхности
Ур_1 (г+1)-мерными плоскостями, проходящими через плоскость Л(А), лежат в (р-г)-плоскости Тр _г (А) = = [А, еа,еа, ер + Тр>ер], которая является нормалью Тренсона
Л-подрасслоения.
Аналогично нормалью Тренсона плоскости Ь(А) оснащенной гиперполосы Нт(Л) является (р-Б)-плоскость
Тр _(А) = [А,е а,е р,е р + Трае а].
Определение. Нормалью Тренсона гиперполосы Нт(Л) назовем (р-т)-плоскость Тр-т(А) = Тр-г(А) п Тр-8(А) —плоскость пересечения нормалей Тренсона Л-, Ь-подрасслоений. Прямую Т1 (А) = [А, Тр ], где
Т = Тре + Тае + Ге + е , (4)
р р р р а р а р' V /
назовем прямой Тренсона гиперполосы Нт (Л) в точке А.
Из определения и формулы (4) вытекает строение нормали Тренсона гиперполосы Нт(Л) : Тр-т = [А, еа, Тр].
Известно [4], что между нормалями 1-го и 2-го рода гиперполосы Нт (Л) существует соответствие Бомпьяни — Пантази:
V, = Ьр, V р +УУ , = У ,к шк, (5)
119
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
где
1
1 = —— ЬпЬЬЬа, V = Ьп ю4 +1.ю1,
р аЬр п ' р рч п р1 '
т - г
1 а ="^тЬПьаЬПС, VI а = Ь^ юП + 1а. Ю1,
Б + 2
= р , 1 а } VI. = ЬЩ шП + шк. Согласно (5), вводим
Определение. Нормаль 2-го рода гиперполосы Нт(Л), определяемая квазитензором
Т. = ЬПкТпк +1., VI. = Т.к шк, (6)
назовем нормалью Тренсона 2-го гиперполосы Нт (Л).
Отметим, что тензор (6) распадается на два подтензора {Тр }, {Та }, которые определяют соответственно нормали Тренсона 2-го рода Л-, Ь-подрасслоений. В результате справедлива
Теорема 2. В дифференциальной окрестности 2-го порядка к гиперполосе Нт (Л) ^ Ап внутренним образом присоединяется
нормализация Тренсона {щ, Т.} и нормализации Тренсона {Тр, Тр } {Тп ; Та } соответственно Л-, Ь-подрасслоений.
Выясним условия совпадения аффинных нормалей Тренсона и Бляшке гиперполосы Нт (Л) .
Теорема 3. Нормаль Тренсона Тп-т(А) гиперполосы Нт(Л) совпадает с нормалью Бляшке Вп-т(А)[4] тогда и только тогда, когда
Доказател ьство:
120
_1_ЬЬп = -ЬыЬп
г + 2 Б
"ЬрчЬр = —Ц-ЬпЬЬпЬс.
г Б + 2
Ю. И. Попов
Тп=т(А) - Бп_т(Л)«Тп = Бп «(Тр = Ьр,Тпа = ЬП)« 1 1
ьр _--ЬЬ'Ь" ЬЧр =—— Ь.'ЫЬ® = Тр
п Ьёч п
г + 2
п 81ч п
1 1 ^
Ьа _-- Ьрчы„Ь!а =—— ЬпЬЬпЬсЬпа = Т
п рчс п
8 + 2
1 ЬЬёЬп _ 1
_Ьп ЬЬёч _
г+ 2 ч ч
1
-ЬрчЬп _
п рчс
.г 8 + 2
ЬаЬЬп
Р _ ^
^ Р _ ь.
3. Рассмотрим аффинные связности, которые индуцируются на гиперполосе Нт (Л) полем нормалей Тренсона Тп-т (А) .
Внешний дифференциал форм сС1 - ТЦС имеет вид:
(7)
ёсо^ _свкЛС +К^ы юкЛю1
где
_ ТпТп Ьп[кЬи + Ьп[кТ1] _][к^|<х|1].
(8)
Из (7) следует, что формы С задают внутреннюю аффинную связность у, индуцируемую полем нормалей Тренсона (4), т. е. полем нормалей 1-го рода Тп-т(А), заданным полем квазитензора Т (3). Тензор — тензор кривизны связности у, компоненты у'к которой имеют строение:
У1к _ ЬЦкТп, у^к] _ Ь^к]Тп _ 0.
Найдем признак эквиаффинности [3] внутренней связности у . Для этого предварительно находим из формулы (8)
К1к1 _ ТпТпЬп[1Ьп]11 + Т[кЬп]1 +^Ь[к_-§[к1] +^Ь[к
_ К^Ы _ ТкТ, - Т1 ТпЬп1 - Т/К, + (10)
121
8
г
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Операция альтернации для тензора Риччи (10) приводит к результату:
[jk] = T[jbk]i - ^i[j^|a|k] = g[jk] - ^h[j^(a)k]-
Как известно [3], связность у эквиаффинна, если
Rlki = 0 v R[U] = 0. (11)
Условие (11) равносильно следующему:
g[ki] =^h[k ^i^ii]. (12)
Теорема 4. Для того чтобы внутренняя аффинная связность у гиперполосы Нт(Л) с An, индуцируемая полем нормалей Тренсона, была эквиаффинной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (12).
Список литературы
1. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 7—31.
2. Лисицына И. Е. Нормализация Тренсона гиперполосы Нт аффинного пространства. // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1998. Вып 29. С. 38—40.
3. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.
4. Попов Ю. И. Общая теория регулярных гиперполос аффинного пространства: Учебное пособие. Калининград, 2001.
Yu. Popov
NORMALIZATION OF TRENSON FOR HYPERSTRIP Hm (Л)
Tangent r-equipped hyperstrips Hm (Л) of affine space An are studied. Inner normalization in Trenson sense for hyperstrip Hm (Л) and for its Л-, L-subbundle are found. The analytic equiaf-fine conditions of connection у induced by field of Trenson normals are obtained. The coincidence conditions of normalization in Trenson sense and normalization in Blyashke sense are found.
122
