CC BY
80
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОЬА
1965
Том 152
НИЗКОЧАСТОТНЫЙ ИНДУКТИВНЫЙ ПАРАМЕТРОН БЕЗ ПОДМАГНИЧИВАНИЯ ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ*
Р. А. ВАИНШТЕИН, А. В. ШМОИЛОВ
Рекомендовано научным семинаром кафедры эл. станций
Высокочастотный параметрон с подмагничиванием цепи возбуждения постоянным током, как запоминающий элемент цифровых вычислительных машин, используется уже 15 лет [1]. Здесь описывается низкочастотный параметрон без подмагничивания, который предполагается использовать в защитах от замыканий на землю в сетях с компенсированной нейтралью и сетях с изолированной нейтралью^ На рис. 1 изображена принципиальная схема такого параметрона.
Н
Рис. 1.
* Работа выполнена под руководством профессора И. Д. Кутявина.
81
Параметрон состоит из двух сердечников Т1 и Т2, изготовленных из электротехнической стали, на которых имеется по две обмотки: ]¥в (обмотки возбуждения) и ]№к (контурные обмотки).
Обмотки соединены между собой согласно, а обмотки
\¥к — встречно-последовательно. Обмотки 1УК вместе с конденсатором С образуют колебательный контур, резонансная частота которого близка к 50 гц. К зажимам обмоток \№к подключается сопротивление нагрузки Zн . Вследствие указанного соединения обмоток при: пропускании по обмоткам переменного тока д. с. взаимоин-
дукции на зажимах обмоток \¥к равна 0.
При прохождении тока по обмоткам IV в в течение одного периода происходит изменение мгновенной магнитной проницаемости сердечников Т1 и Т2 в соответствии с кривой динамической магнитной проницаемости.
На рис. 2 приведена кривая динамической индуктивности Ь^у контурных обмоток в функции тока и кривая изменения тока в течение одного периода. Так как Ь^ — функция четная, а — 2я периодическая времени, то функция А (^(см. рис. 2) есть гс — периодическая функция времени, т. е. частота изменения индуктивности равна удвоенной частоте тока возбуждения.
Как известно, при определенной величине тока возбуждения, а следовательно, при определенной степени модуляции индуктивности контурных обмоток в колебательном контуре возникают параметрические колебания на частоте, равной половине частоты изменения индуктивности.
с
и
9
Рис. 3.
Для составления дифференциального уравнения колебательного контура с периодически изменяющейся индуктивностью примем схему замещения, изображенную на рис. 3,
На этой схеме
(О
периодически изменяющаяся индуктив
ность контурных обмоток.
С — емкость конденсатора, </ — активная проводимость контура. Она замещает проводимость нагрузки ри в контуре.
По первому закону Кирхгоффа
Н
По второму закону Кирхгоффа
и1 —ис —ие
и учитывает поте-
11 ^ Ш •
где <1> — потокосцепление.
Выражая в уравнении (2) токи //
и через потокосцеп-
ление и дифференцируя его по времени, получим:
й (И2
+
ё
ЛЬ
+
¿(1) • С
0.
(2)
х >
Уравнение (3) с помощью замены Ф=ые 2С сводится к уравнению:
а1и
¿(1) С
4С~
0.
(3)
Индуктивность ¿(^ в уравнении (3) можно задать в виде ряда Фурье, причем круговая частота первой гармоники равна 2 ю, где <*> — круговая частота тока возбуждения.
Для получения некоторых качественных соотношений из решения уравнения (3) примем:
1) линейную зависимость амплитуд слагаемых ряда Фурье от тока в контуре;
2) пренебрежем всеми членами ряда за исключением первой гармонической составляющей и постоянного члена, причем фазу при первом члене примем равной 0, т. е.
L(t) = ¿0+ Лsin 2 (о t = Lq ( sin'2ufj = I0'l-f/Tzsin2a>¿),
где
L и — постоянный член ряда (см. рис. 2), A L — амплитуда при первом члене ряда,
т — относительная степень модуляции индуктивности или кот эффициент модуляции;
3) для удобства приведения уравнения (3) к каноническому ви^ ду примем закон изменения индуктивности,
LÍT)== l+msin2m¿ ' (4)
что не приведет к принципиальному изменению решения уравнения: .(3). Подставляя (4} в (3) и обозначив
п i
0. —.........—• ---О)"
ХС ' 10С
СИ ,, т х
—- = —— = vt=x¡
Ш" 0)~
получим:
d2u
(5)
dx-
где
f (Р+Т sin 2х) • u=Q, (6)
— затухание контура, 0)о — резонансная частота контура в отсутствие модуляции, ("св — собственная частота контура в отсутствие модуляции. Остальные коэффициенты не имеют наименования.
Так как <»св = ">, то 3 — 1. Тогда уравнение (6) будет
+(1+т ып2х)=0. (7)
Выражение (7) есть уравнение Матье. Решение этого уравнения согласно [2]
и=Ае1^ - ^(х)+Бе ^ (8)
где (х) и (.г) — п или 2л. — периодические функции, — показатель, зависящий от коэффициента у. Из теории уравнений Матье [2] известно, что функции Я] (х) и (х) содержат ряды периодических функций, аргументы которых равны кх, где к = 1, 2, 3 . . .
Согласно методу медленно-меняющихся амплитуд, периодические функции (х) и (х) являются рядами синусоидальных либо косинусоидальных функций кх.
При небольшом т в контуре существуют условия, близкие к ре-' зонансу на частоте со . Поэтому можно принять, что высшие гармоники в основном подавлены.
В связи с вышесказанным решение уравнения Матье в данном случае можно искать в виде:
«
и-=Ае^х- эт (х + ъ^ + Ве ;лх ■ $\п(х+ о2). (9)
Функции ©1 и в выражении (9) являются медленно меняющимися во времени [2]. В первом приближении их можно считать постоянными.
Поочередно подставляя решения (9) в уравнение (7) и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости и слагаемыми с аргументами Зх, получим 4 уравнения для определения <рх и ср2.
-2ц) зтср^О, -2^08?, -0. (-!■ + 2р)
¡--cos <р2 = °-
Система (16) имеет следующие решения:
(Ю)
71 п
— , ср2=0 или
** = "2
= — y 5 ?2 ^ 71
(Н)
А
ср, = 0,. ср., = — ИЛИ
_ Т 2
2 ^
= ср, = —— .
(12)
Решениям (17) и (18) соответствуют следующие решения исходного дифференционального уравнения (3)
( t --(-L<o■! о) 1
ф = А е^ 2 1 -cosí»t + В-е v 2 ■ ; -sitimt,
{ -í-ш-о) t I J-(ü + o) t
—2 7 cosut—Be V2 ; s/W, (ll1)
— [JLül-fo) í / Л_0, -o) t
Ф - Л<? 1 2 ; • Sinvt +Веу 2 } ■ cosut.
— (Лео-fo) t (_L(.) -о\ t
ф = - • 2 ' -sim»t-Be v 2 ; -coW. (121)
В решениях (II1) и (121) величины постоянных А и В зависят от случайных начальных условий. В момент включения параметрона в колебательном контуре протекают беспорядочные флуктуационыые токи, которые создают случайное начальное потокосцепление. Поскольку начальное потокосцепление не определено, остаются неопределенными и постоянные А и В.
Характер зависимостей (II1) и (121) говорит о том, что при неопределенных постоянных они, по сути дела, сводятся к одному из них.
Анализируя решения (II1) и (12'), следует отметить:
1. Косинусные составляющие начального потокосцепления нарастают, а синусные —. затухают.
2. Нарастание может происходить в двух противоположных фазах в зависимости от знака косинусной составляющей случайного начального потокосцепления.
3. Нарастание возможно при условии
т
V,- о) > о или m^>gL0í».
Так как фаза колебаний определяется знаком косинусной составляю щей флуктуационного потокосцепления, то для того, чтобы предопределить фазу колебаний параметрона, необходимо подать в контур начальный сигнал, потокосцепление которого по величине превышает величину максимально возможной косинусной составляющей случайного начального потокосцепления, а по фазе совпадает с одним из противоположных значений фаз косинусной составляющей.
Это свойство рассматриваемого параметрона можно использовать для фиксации одного из направлений тока нулевой последовательности при однофазном замыкании на землю в сетях с компенсированной нейтралью и сетях с изолированной нейтралью. Распределение полного тока нулевой последовательности в сетях с изолированной нейтралью и активной составляющей тока нулевой последовательности в сетях с компенсированной нейтралью при замыкании на землю позволяет однозначно определить поврежденную линию. Эти токи можно использовать для создания начального сигнала в колебательном контуре параметрона.
Нарастание косинусных составляющих в выражениях (II1) и (121) происходит до бесконечности. Этот вывод справедлив для линейного дифференционального уравнения (2), решение которого нами рассмотрено. На самом деле индуктивность, входящая в уравнение (2), является нелинейной функцией тока возбуждения и тока в колебательном контуре и, следовательно, уравнение (2) является нелинейным.
Опыты, проводимые с системой, изображенной на рис. 1, свидетельствуют об установлении амплитуды колебаний. Установление определенной амплитуды колебаний можно объяснять, в частности, следующим. При нарастании колебаний происходит уменьшение глубины модуляции, которое обусловливается нелинейностью. Нарастаю-щие колебания увеличивают потери в контуре со сталью.
ЛИТЕРАТУРА
1. Параметроны. Сборник статей. Перевод с японского и английского И. Л. М. 1962;-
2. А. А н г о. Математика для электро- и радиоинженеров. «Паука», М. 19(54.
