CC BY
16
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3
DOI 10.18522/1026-2237-2020-3-123-126
НЕУТОМИМОСТЬ И АКТИВНОСТЬ (к 80-летию со дня рождения В.С. Рабиновича)
2 сентября 2020 г. исполнилось 80 лет видному российскому математику, доктору физико-математических наук, профессору Национального политехнического института Мексики, нашему товарищу и коллеге, члену редколлегии журнала Владимиру Самуиловичу Рабиновичу.
Владимир Самуилович прошел в Ростовском университете (ныне Южный федеральный университет) путь от студента до ведущего профессора кафедры алгебры и дискретной математики. Еще аспирантом на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений (руководитель доцент В.А. Какичев) он вошел в коллектив известной научной школы профессора Игоря Борисовича Симоненко, стал одним из ключевых участников его семинара. С 1972 г. он - преподаватель созданной И.Б. Симоненко кафедры алгебры и дискретной математики, где прошел весь путь становления как ученого, так и преподавателя. Здесь он стал доцентом, а после защиты в 1993 г. докторской диссертации - профессором.
В течение многих лет В.С. Рабинович читал курс математического анализа для математиков -прикладников в связке со своим учителем И.Б. Симоненко, а затем курс алгебры и геометрии для математиков-прикладников и механиков. К сожалению, Владимир Самуилович не написал по этому курсу учебник или учебное пособие. У одного из авторов статьи сохранились конспекты его лекций. Даже по ним видно, насколько его курс был близок к необходимому и достаточному.
На кафедре алгебры и дискретной математики РГУ Владимир Самуилович создал свою научную школу по теории псевдодифференциальных операторов, воспитал и подготовил целую плеяду учеников, среди которых А. Бабаян, Л. Докторский, В. Кряквин, Б. Ланге, С. Левендорский, М. Лоренц, Я. Луцкий, О. Обрезанова, Л. Ураждина. Активную работу по подготовке научных кадров Владимир Самуилович продолжает в Национальном политехническом институте Мексики, где он работает профессором уже свыше 20 лет. В Мексике он подготовил 6 докторов (PhD) и 22 магистров.
Приведём далеко не полный обзор основных научных результатов юбиляра, подготовленный его учеником и младшим коллегой В.Д. Кряквиным.
Первая работа опубликована в 1967 г. В ней рассматривался вопрос о решении в замкнутом виде многомерных уравнений Винера - Хопфа для конусов. В 1968 г. последовала публикация об обобщении на весовой случай пространств Лебега оценок для операторов, инвариантных относительно сдвига. Статьи 1967-1969 гг., посвященные вопросам разрешимости (фредгольмовости) многомерных уравнений Винера - Хопфа в неограниченных и-мерных областях, имеющих коническую структуру на бесконечности, естественным образом привели к защите в 1969 г. кандидатской диссертации. Следует сказать, что Владимир Самуилович заинтересовался и не только принял на вооружение, но и получил замечательные результаты в бурно развивающемся в то время направлении, изучающем новый объект -псевдодифференциальные операторы.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3
Им были впервые рассмотрены задачи о разрешимости (фредгольмовости) краевых задач для некоторых классов эллиптических псевдодифференциальных операторов в областях с неограниченной границей, имеющей коническую структуру на бесконечности, а также получены априорные оценки для их решений. После защиты кандидатской диссертации последовали работы, в которых получены интересные результаты для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов и о разрешимости задач Коши и Гурса для параболических псевдодифференциальных уравнений (1971-1979 гг. и далее), о разрешимости дифференциально-разностных уравнений (1978-1985 гг. и далее), о фредгольмовости эллиптических псевдодифференциальных операторов и краевых задач для них на некомпактных многообразиях (работы 1971-1979 гг.).
Продолжая исследования И.Б. Симоненко по многомерным операторам типа свертки, в 1974 г. для этих операторов в конусе были получены необходимые и достаточные условия нетеровости в Zp-пространстве с экспоненциальным весом.
Эти условия заключаются в том, что символ оператора не должен вырождаться на остове некоторой трубчатой области, связанной с весом и конусом. Ключевые идеи, содержавшиеся в этой работе, дали ростки для последующих исследований других классов операторов в разных функциональных пространствах с экспоненциальным весом. В одномерном случае соответствующий результат принадлежит И.Ц. Гохбергу и М.Г. Крейну.
В работах 1982 и 1983 гг. были рассмотрены алгебры, порожденные псевдодифференциальными операторами, операторами умножения на почти периодические функции и операторами сдвига, потом совместно с аспирантом Р. Бабаджанян в работах 1985-1987 гг. были изучены системы интегрально-разностных уравнений в полупространстве на основе локального принципа И.Б. Симоненко (в модификации В.С. Пилиди) и получены условия их нетеровости.
Следующие важные научные результаты В.С. Рабиновича связаны с развитым им методом предельных операторов. Идея предельных операторов, по-видимому, впервые появилась в статье Дж. Фава-ра (1927 г.) о существовании решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Далее идею использования предельных операторов применил Э.М. Мухамадиев для описания разрешимости эллиптических уравнений в частных производных (1981 г.), но В.С. Рабинович впервые обобщил этот подход, создав в большой степени общую и даже абстрактную схему метода предельных операторов для ис-
следования разрешимости (фредгольмовости) операторов из различных классов.
Начало в развитии и использовании метода предельных операторов было положено В.С. Рабиновичем в работах 1985 и 1986 гг., выполненных совместно с аспирантом Б. Ланге. Дальнейшие продвижения привели к исследованию разрешимости (фредгольмовости) псевдодифференциальных операторов из нескольких общих классов в разных шкалах функциональных пространств, дискретных и непрерывных операторов типа свертки, общих граничных задач на многообразиях с краем, имеющим коническую структуру на бесконечности, и т.д. (работы 1988, 1992-1994, 1998, 1999, 2001-2003 гг. и более поздние, например работы 2015 г.). В 1993 г. им была защищена докторская диссертация по специальности 01.01.03 «Математическая физика» (физико-математические науки) на тему «Метод предельных операторов в вопросах разрешимости псевдодифференциальных уравнений и уравнений типа свертки». Как видно из перечня публикаций, прошедшая защита была лишь шагом к последующим научным исследованиям, открытиям и достижениям.
Во время непродолжительной работы в Португалии В.С. Рабиновичем был написан и издан небольшой, но очень емкий учебник: Rabinovich V.S. An In-troductionary Course on Pseudodifferential Operators. Instituto Superior Tecnico. Textos de Matematica. Lisbon: Centro de Matematica Aplicada, 1998.
В этот же период была продолжена работа в сотрудничестве с С. Рохом и Б. Зильберманном (Германия), начатая статьей 1998 г. Итогом их совместной работы стала изданная в 2004 г. монография Limit Operators and Their Applications in Operator Theory (Rabinovich V., Roch S., Silbermann B. Birkhäuser Verlag, Basel, Operator Theory: Advances and Applications, vol. 150), в которой изложена общая теория метода предельных операторов и даны ее эффективные применения к исследованию различных задач для дискретных и непрерывных операторов, включая операторы типа свертки, псевдодифференциальные, сингулярные интегральные операторы на кривых Карлесона. В этой монографии предложен также вариант проекционного метода решения соответствующих уравнений.
Следует отметить, что идеи и методы, предложенные в указанной монографии, интенсивно используются и развиваются в настоящее время в работах многих американских, немецких и французских математиков.
Исследования, связанные с предельными операторами, были продолжены соавторами в 2004-2010 гг., в том числе в направлении приложений к задачам математической физики и построений эффективных численных алгоритмов для решения этих задач.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3
Всего в соавторстве с С. Рохом и/или Б. Зильбер-манном В.С. Рабинович опубликовал около 30 работ.
Даже названия опубликованных работ свидетельствуют о разносторонности математических интересов В.С. Рабиновича, так что упомянуть все полученные им результаты затруднительно. Но тем не менее продолжим, обратив внимание на работы, посвященные алгебрам сингулярных интегральных операторов, определенных на классе составленных кривых Карлесона. В работах 1991-1996 гг. было показано, что псевдодифференциальные операторы Меллина с символами из подходящих классов являются эффективным инструментом для исследования сингулярных интегральных операторов на контурах с особенностями типа логарифмического завихрения, проведено их полноценное исследование, изучены свойства псевдодифференциальных операторов Меллина и сингулярных интегральных операторов. Эти исследования были продолжены в соавторстве с А. Бетчером (Германия) и Ю.И. Карловичем (Мексика) в работах 1996, 1998, 2000, 2001 гг. В них рассматривались спектры сингулярных интегральных операторов на составных кривых Карлесона с особенностями, псевдодифференциальные операторы Меллина и сингулярные интегральные операторы для весов, удовлетворяющих условию Макен-хаупта, и другие родственные задачи.
Еще одно направление исследований, в которое юбиляром был внесен существенный вклад, напрямую связано с современной теорией пространств функций с переменными порядками и показателями. В совместных работах с С.Г. Самко 1997, 2007, 2008, 2011 и 2012 гг. были изучены сингулярные интегральные операторы на составных кривых Карлесона в пространствах Лебега с переменными показателями и в пространствах Гёльдера с весом, а также псевдодифференциальные операторы в пространствах Лебега с переменными показателями. В работах 2017 и 2018 гг. в коллаборации с В. Кряк-виным были рассмотрены псевдодифференциальные операторы переменного порядка в шкалах пространств Гёльдера - Зигмунда и Бесова с переменным показателем гладкости, получены достаточные условия компактности и фредгольмовости, в том числе и в весовых пространствах со сверхстепенным поведением на бесконечности.
Замечательный коллектив (В. Рабинович, Б-В. Шуль-це, Н. Тарханов (Германия)) собрался для того, чтобы в шести работах 2000-2002 и 2004 гг. изучить разрешимость и свойства решений краевых задач в областях с нелипшицевыми сингулярностями на границе, а также сингулярные интегральные операторы в аналогичных областях.
Еще одно направление, начало которому было положено в работе 1974 г. (продолжено совместно с
аспирантом Я.А. Луцким), посвящено исследованию псевдодифференциальных операторов в пространствах обобщенных функций экспоненциального поведения на бесконечности (1976-1978 гг.), а через некоторое время в совместных работах с Я. Луцким (2008 и 2009 гг.), где они исследовали обратимость параболических псевдодифференциальных операторов с быстрорастущими символами и получили оценки экспоненциального поведения решений псевдодифференциальных операторов с растущими и разрывными символами.
Нужно сказать, что в работах 1974 и 1978 гг. был введен класс псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами в трубчатой области Rn + iD. в С". В ней и в серии работ 1997, 2004, 2006, 2008, 2009, 2011 гг., последние (может, уже и не последние) из которых относятся к 20172018 гг., изучены свойства этих операторов, получены сильные результаты о поведении решений дифференциальных и эллиптических псевдодифференциальных уравнений в окрестности сингулярности коэффициентов и на бесконечности, доказаны теоремы об ограниченности во многих важных шкалах пространств, исследована фред-гольмовость в соответствующих пространствах с экспоненциальными весами, доказано экспоненциальное убывание решений эллиптических псевдодифференциальных уравнений на бесконечности. В статьях 2004, 2008-2010 гг. были также приведены приложения полученных результатов к исследованию экспоненциального убывания собственных функций уравнений Шрёдингера, Дирака и др.
Научные интересы В.С. Рабиновича распространяются и на широкие прикладные области, включающие распространение акустических и электромагнитных волн в различных средах и от различных источников, задачи дифракции, вопросы квантовой физики и т.д. В работах 1989, 1990, 1993, 1996 и 1998 гг. совместно с С.М. Грудским и другими сотрудниками лаборатории акустики Ростовского государственного университета, а также аспиранткой О.А. Обрезановой исследовалось распространение звука на больших расстояниях в океане от движущегося источника при различных условиях. Были построены асимптотические приближения для акустических полей в стратифицированных волноводах. Эти и родственные исследования были продолжены в работах 2003, 2005, 2007, 2009, 2010 гг. в Мексике с мексиканскими коллегами и учениками.
Публикации последнего десятилетия (к сожалению, не о всех нам известно) показывают, что Владимира Самуиловича увлекли математические задачи, возникающие в квантовой физике. Можно, например, отметить работу 2018 г. о матрице переноса в квантовых волноводах с примесями, или
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 3
работы 2017-2019 гг. об исследовании самосопряженности и существенного спектра операторов Шрёдингера с взаимодействиями на неограниченных гиперповерхностях. Работы, в том числе, выполненные в этот период совместно с В. Кравченко, Г. Бурлаком и их мексиканскими коллегами, об электромагнитных полях в различных средах, создаваемых движущимися источниками, в частности, об излучении Черенкова и др., подтверждают высказанный тезис. В этих областях исследований не просто получены теоретические результаты, они доведены до «числа»: работа 2017 г. посвящена численным оценкам акустического поля в океане с движущимся в воздухе источником, а работа 2019 г. позволяет численно исследовать дискретный спектр одномерного оператора Шрёдингера с точечными взаимодействиями.
Удивительна научная продуктивность Владимира Самуиловича как исследователя. В этом обзоре нам удалось затронуть лишь часть его научного продукта. Некоторые его статьи еще неизвестны в России, некоторые еще стоит разобрать и понять.
Обратимся к статистике и базам данных, которые ее предоставляют. За последние 10 лет, включая ещё не закончившийся 2020 г., им опубликовано, по данным Zentralblatt MATH, 60 научных работ. Всего же за весь период исследовательской деятельности - более 200 публикаций.
Владимир Самуилович - прекрасный товарищ и коллективный игрок, что бывает не так часто среди математиков. За годы работы на мехмате РГУ у него сложился широкий круг научного и человеческого общения, к нему несомненно принадлежали и принадлежат его старшие товарищи и коллеги - его учитель И.Б. Симоненко, академик И.И. Ворович, профессора Ю.А. Устинов, В.И. Юдович, его ровесники, а порой и соавторы - С. Самко, Н. Карапетянц, А. Задорожный, А. Хейфиц, его младшие товарищи
по кафедре и научному семинару - В. Пилиди, В. Семенюта, А. Сазонов, Я. Ерусалимский, С. Груд-ский, А. Козак, В. Деундяк, С. Михалкович, М. Абрамян. Научные контакты Владимира Самуиловича, как правило, перерастают в отношения, к которым лучше всего подходит слово «дружба». Это очень для него характерно.
Владимир Самуилович по-прежнему связан с родным университетом, делает ежегодные доклады на семинарах кафедры, рецензирует работы своих коллег, активно работает в редколлегии журнала «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки». Он - иностранный член диссертационного совета по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете.
Нельзя не отметить и того факта, что В.С. Рабинович достиг не только высоких вершин в математике, где это звучит в переносном смысле, но и фактически. Увлекаясь горным туризмом и альпинизмом, он побывал на многих вершинах и перевалах Кавказского хребта, Памира и Тянь-Шаня. Многие годы он был и одним из самых азартных участников утренних воскресных футбольных игр математиков и механиков РГУ на левом берегу Дона.
Владимир Самуилович - отличный семьянин -муж, отец и дедушка, всегда находящий время и силы для своих близких - жены, дочерей, зятьев, внуков и внучек.
Поздравляя Владимира Самуиловича Рабиновича с восьмидесятилетием, искренне желаем ему здоровья, благополучия и творчества! С удовлетворением отмечаем, что он встречает свой юбилей в расцвете сил, открывая все новые грани своего математического таланта. Свидетельством этого является и его недавняя статья «Существенный спектр операторов Шрёдингера на периодических графах», опубликованная в ведущем российском научном журнале «Математические заметки».
М.И. Карякин, Я.М. Ерусалимский, В.Д. Кряквин, С.М. Грудский, А.Н. Карапетяц, А.В. Козак, В.С. Пилиди, С.Г. Самко
