Нестационарные вискозиметрические круговые течения вязкопластической среды в кольцевом зазоре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2 описывает арифметические свойства рассматриваемого множества чисел. Теорема 2. Степень трансцендентности над Q множества полиадических чисел вида ^p(n)-n! равна 1.

Доказательство. Пусть Л G Q, Л = —1, -2, —3,..., £ = 0, £ — алгебраическое число. Обозначим yCA, £) = Л + ^(Л + 1)... (Л + n) £n. В работе [2] доказано, что для любого многочлена P(x) G Z[x], P(x) ф 0, существует простое число p, такое, что в поле Qp имеет место неравенство P (7(Л, £)) = 0. (В работе [3] доказана общая теорема, из которой следует, что таких простых чисел p бесконечное множество. Кроме того, указана бесконечная совокупность интервалов, в которых лежат эти числа p.)

Поскольку ^~=о n! = а = 1 + 7(1, 0), из приведенного утверждения следует трансцендентность над Q полиадического числа а, что и утверждалось.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

2. Чирский В.Г. О глобальных соотношениях // Матем. заметки. 1990. 48, № 2. 123-127.

3. Bertrand D., Chirskii V., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. XIII, N 2. 241-260.

Поступила в редакцию 22.12.2012

УДК 519.633+539.374

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИЕ КРУГОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ В КОЛЬЦЕВОМ ЗАЗОРЕ

Л. В. Муравлева1, Е. А. Муравлева2

Для кругового течения вязкопластической среды в кольцевом зазоре предложены аналитические оценки времени установления и остановки, проведена их численная верификация.

Ключевые слова: вязкопластичность, нестационарные вискозиметрические течения, вариационные неравенства, течение Куэтта.

The analytical estimates for the start-up and cessation of a circular flow of a viscoplastic medium in an annular gap are proposed and are numerically verified.

Key words: viscoplasticity, unsteady viscometric flows, variational inequalities, Couette

flow.

Вязкопластические [1] и вязкоупругопластические [2] среды сочетают в себе свойства вязкости и пластичности одновременно. В случае, когда интенсивность напряжений ниже некоторого порогового значения, среда ведет себя как жесткое тело, в противном случае — как несжимаемая вязкая жидкость. Установочные эксперименты реализуются на вискозиметрических течениях, т.е. течениях, допускающих восстановление определяющих соотношений по экспериментальным данным. В ротационных вискозиметрах вязкопластическая среда находится между двумя коаксильными цилиндрами, между которыми реализуется течение Куэтта-Тэйлора [3]. Представляют большой интерес время установления и время затухания стационарного режима.

Рассмотрим нестационарное круговое движение несжимаемой вязкопластической среды между двумя соосными цилиндрами бесконечной длины с радиусами Ri (внутренний) и R2 (внешний). В цилиндрической системе координат поле скорости имеет одну ненулевую компоненту Уф(г) = гш, где ш — угловая скорость. В задачах о движении вязкопластической среды характерной особенностью является необходимость строить решения в областях с неизвестной границей, которая разделяет жесткие зоны и зоны

1 Муравлева Лариса Викторовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Муравлева Екатерина Анатольевна — e-mail: [email protected].

деформируемого течения. Наиболее удачной является обобщенная постановка задачи в виде вариационного неравенства, не содержащая свободную границу в явном виде [4]: найти функцию и(т, Ь) € Н Я2], такую, что для каждого Ь € (0, Т) справедливо неравенство

В.2 Я2

( ди . . 3 , [ < р / ш)г аг + ¡л, / -

ди ( ди ди\

В1

дт \дт дг )

—гг- )г йг + т3

Я2

В1

ди

дг

Я2

г2 йт —

В1

ди

дт

т2 йт\ ^ 0,

(1)

где

и € ив(Ь), и(т, 0) = и0 Vu € ив(Ь), ив(Ь) = {и € Н 1[Е1, Я2], и \Г=К1 = и1(Ь), и |Г=Д2 = и2(Ь)}.

Рассмотрим течение вязкопластической среды в случае, когда внутренний цилиндр неподвижен (и1 = 0), а внешний начинает мгновенное вращение из состояния покоя (ио = 0) с постоянной угловой скоростью и2. Обозначим решение стационарной задачи для данных граничных условий через ите(т). Оно является решением следующего вариационного неравенства:

П2

Ц

ди™ ( ди диг

дт дт дт

т3 йт + та

П2

ди

дт

П2

т2 (т

дип

дт

т2 йт) ^ 0 Vu € ив (ь).

(2)

Е.1 Е.1 Е.1

Подставим и = ив (1), и = и(Ь) в (2) и сложим полученные неравенства:

П2

П2

ди

I ди . . 3 , ¡' (диии \ 3 ,

9У +/хУ ^^Г" г ^

Я1

в2 , ,2„,3 ,

Я1

Введем норму ||и|| = /д! и2т3 йт, тогда

П2

[ ди 3 р

Р / т- (^оо — Ш Г йг = —

И.] дг у ' 2

рйЦи^ — и|

йЬ

Д1

После замены и = у/т будем иметь

Д2

3 ди 2

В.1

Д2

г" | —— йг = дт

Д1

д ( у

дт т

Д2

йт = —

У

в.1

2 д2у > ду

дт2

дт

В2

В2

+ Г ^ — у )йг ^ X1 / у1 Г йг = X 1 / Сс>2Г3 йг.

В1

В1

где Л1 — минимальное собственное число задачи

2 д2у ду 2

т тгк + г-- у + = 0,

дт2 дт

у(Й1) = у(К2) = 0.

Несложно получить, что Л1 — минимальный положительный корень уравнения

где 71 (ж) и У1(ж) — функции Бесселя первого порядка первого и второго рода соот-

ветственно. После преобразований получим р ■

<1Ь

+ цЛ||и— и|| ^ 0, следовательно,

и™ - и

^ ||ите — и(0)|| ехр (—цЛЬ/р).

(3)

В работе проведено численное моделирование задачи о разгоне неподвижной среды под действием мгновенно приложенного вращения внешнего цилиндра. Через некоторое время среда практически выходит на стационарный режим. Поскольку в начальный момент среда неподвижна, формула (3) принимает вид ||ите — и(Ь)|| ^ ||ите|| ехр [—цЛЬ/^ < 5. Задавая 5, можно указать значение Ь, при котором оценка будет выполняться. Очевидно, что чем большей точности требуется достигнуть, тем больший интервал времени необходим. В табл. 1 содержатся результаты численных расчетов для широкого диапазона значений пределов текучести (т3 = 10-5; 10-3; 0,1; 1; 10) и двух значений отношения радиусов внутреннего и внешнего цилиндров Я.1 /Я.2 = 0,4; 0,8 в случае р =1, ц = 1, и2 = 1.

2

2

3

т

т

—ш

Таблица 1

Т3 г 5

1СГ2 10~3 ю-4 10~2 10~3 ю-4

ю-Б Л ь 9,419 • 1СГ3 1,6781 • Ю-1 9,423 • 10~4 2,4703 • Ю-1 9,425 • 10-Б 3,2625 • Ю-1 8,236 • 10~3 1,7040 • 10~2 8,238 • 10~4 2,6337 • 10~2 8,241 • 10-Б 3,5634 • Ю-2

1СГ3 Л ь 9,420 • 10~3 1,6781 • Ю-1 9,423 • 10~4 2,4704 • Ю-1 9,426 • 10-Б 3,2626 • Ю-1 8,237 • 10~3 1,7040 • Ю-2 8,234 • 10~4 2,6337 • Ю-2 8,242 • 10-Б 3,5634 • Ю-2

Ю-1 Л ь 9,457 • 10~3 1,6827 • Ю-1 9,459 • 10~4 2,4749 • Ю-1 9,464 • 10~Б 3,2671 • Ю-1 8,242 • 10~3 1,7044 • 10~2 8,244 • 10~4 2,6341 • Ю-2 8,247 • 10~Б 3,5638 • Ю-2

1 Л ь 1,893 • 10~3 1,7166 • Ю-1 3,337 • 10-Б 2,5089 • Ю-1 4,120 • Ю-7 3,3011 • Ю-1 8,274 • 10~3 1,709 • Ю-2 8,276 • 10~4 2,6387 • Ю-2 8,278 • 10-Б 3,5684 • Ю-2

10 Л ь 2,339 • 10~Б 1,7412 • Ю-1 2,339 • 10~Б 2,5335 • Ю-1 2,339 • 10~Б 3,3257 • Ю-1 8,637 • 10~3 1,7485 • Ю-2 8,639 • 10~4 2,6782 • 10~2 8,642 • 10~Б 3,6079 • 10~2

Для каждого значения т3 в таблице приведены значения г и вычисленной оценки Д = ||ите — и( Проведенные вычислительные эксперименты полностью соответствуют предложенной оценке. Расчеты выполнялись с шагом по пространственной переменной Н = (Я2 — ^1)/500, шаг по времени менялся в за-

висимости от величины предела текучести от 10 до 10 . Для дискретизации по времени использовалась неявная схема Эйлера, по пространственным координатам — конечно-разностная схема. Решение нелинейной задачи на каждом временном шаге осуществлялось с помощью алгоритма типа Узавы, подробное описание которого, а также особенностей численной реализации содержится в [5, 6].

Перейдем к задаче об остановке течения. Известно, что остановка течения вязкопластической среды, в отличие от вязкой жидкости, при снятии внешней нагрузки происходит за конечное время. Теоретическая оценка времени остановки для других вискозиметрических течений была предложена в [7] и численно проверена в [6, 8]. Для кругового течения Куэтта в [7] также была предложена оценка для времени остановки, однако она оказалась грубой, поэтому наша цель — получить точную оценку. Пусть начальная скорость и(0, г) = ио(г), где ио € Ь2[Я 1, Л 2]. Затем мгновенно цилиндры г = и г = Л 2 останавливаются: и(г, Я1) = и(г, Я2) = 0 Уг > 0. Для произвольной функции и € И^[Я1, Я.2] будет выполняться неравенство (1). Возьмем поочередно и = 0 и и = 2и. В результате получим

П2

ди

П2

иг3 (г + ¡л

Яг

Яг

У—

\ дг

Я2

г (г + т3

Яг

ди

дг

г2 (г = 0.

Введя константу

в =

шт

1-я2 I дш I 2 ,]г ЗЯл \дг\' Ш

ш^И1[Я1,Я2],ш=0

и

будем иметь ЯЯ2

ии

0

Р (|и|

Я2

2 (г

+ л

У—

V дг

Я1

Я2

г3 (г + т3

Я1

ди

дг

г2 (г ^ р||и|

(1\\и\ (М

+ Л1

Пусть | и

> 0 Уг ^ 0, тогда (| и

(

Р-

(г

+ \1[х\\и\\ + т3(3 ^ 0 => р — ( |М| +

Л1Л

+ Л1Ш ||и|| +

и

Л1Л

+ т3

и

< 0.

Интегрируя последнее дифференциальное неравенство, получим

|и|| +

Л1Л

<

и

+

Л1Л

Л1л ехр I--£

Ш > 0.

(4)

Так как Ит^оо ехр ^ = 0, то (4) не может выполняться при достаточно больших Следовательно,

и (г) = 0 при г ^ Тс, где

2

Р

2

2

2

В табл. 2 приведено сравнение вычисленного времени остановки с теоретической оценкой для четырех значений отношения радиусов цилиндров /Я2 = 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 при различных значениях предела текучести, меняющихся в диапазоне от 10-5 до 103.

Таблица 2

R1/R2 Г Ts

ю-6 10~3 Ю-1 1 101 103

0,2 Твыч Ттеор Тн 6,935 • КГ1 7,209 • Ю-1 64,4744 4,364 • КГ1 4,642 • Ю-1 27,4247 1,838 • КГ1 2,098 • Ю-1 2,0637 7,425 • Ю-2 9,276 • 10"2 2,353 • Ю-1 1,566 • Ю-2 1,991 • 10"2 2,389 • 10"2 2,294 • 1(П4 2,389 • 10"4 2,394 • 10"4

0,4 Твыч Ттеор Тн 4,369 • Ю-1 4,538 • Ю-1 5,9172 2,78 • Ю-1 2,954 • Ю-1 3,2944 1,212 • Ю-1 1,379 • Ю-1 8,262 • Ю-1 5,415 • 10"2 6,605 • 10"2 1,716 • Ю-1 1,288 • 10"2 1,624 • 10"2 2,038 • 10"2 1,995 • 10"4 2,087 • 10"4 2,093 • 10"4

0,6 Твыч Ттеор Тн 2,075 • Ю-1 2,157 • КГ1 9,015 • Ю-1 1,343 • Ю-1 1,424 • КГ1 5,559 • Ю-1 6,146 • 10"2 6,949 • Ю-2 2,149 • Ю-1 2,878 • 10"2 3,514 • Ю-2 7,508 • 10"2 8,449 • 10"3 1,061 • Ю-2 1,374 • 10"2 1,499 • 10"4 1,582 • 1(П4 1,588 • 10"4

0,8 Твыч Ттеор Тн 5,533 • 10~2 5,739 • 10~2 1,0725 • Ю-1 3,672 • 10"2 3,879 • 10"2 7,074 • 10"2 1,815 • 10"2 2,024 • 10"2 3,439 • 10"2 9,348 • 10"3 1,121 • 10"2 1,711 • 10"2 3,054 • 10"3 3,938 • 10"3 4,838 • 10"3 8,09 • 10-Б 8,699 • 10-Б 8,745 • 10-Б

Чем больше предел текучести, тем меньше время остановки. Легко видеть, что вычисленное время ниже теоретической верхней границы. Для каждого значения ^1/^2 строки таблицы Твыч содержат вычисленное время остановки, строки Ттеор — теоретическую оценку, предложенную авторами, и, наконец, строки Тн — оценку работы [7]. Вычисленное время остановки всегда ниже предложенной оценки (5), при этом разница между вычисленными и теоретическими временами незначительна для всех значений предела текучести. Оценка [7] оказывается близкой к вычисленной для больших значений т3 и достаточно грубой для малых значений предела текучести, особенно при малых значениях /Я2 (так, для ^■1/^-2 = 0,2 и т3 = 10-5 оценка превосходит вычисленное время почти на три порядка).

В работе также изучено влияние внутренних параметров среды на время остановки. В табл. 3 приведена зависимость времени остановки от вязкости Вычисленное время уменьшается при увеличении вязкости и линейно зависит от плотности (как и в случае течения Пуазейля [8]).

Таблица 3

R1/R2 те

10"3 10"2 Ю-1 1 101 102 103

0,2 2,294 • Ю-1 2,084 • Ю-1 1,566 • Ю-1 7,425 • 10"2 1,84 • 10"2 3,090 • 10"3 4,385 • 10"4

0,4 1,995 • Ю-1 1,789 • Ю-1 1,288 • Ю-1 5,413 • 10"2 1,21 • 10"2 1,994 • 10"3 2,786 • 10"4

0,6 1,499 • Ю-1 1,303 • Ю-1 8,45 • 10"2 2,878 • 10"2 6,148 • 10"3 9,775 • 10"4 1,342 • 10"4

0,8 8,088 • Ю-2 6,38 • Ю-2 3,055 • Ю-2 9,355 • 1(П3 1,817 • 10"3 2,742 • 1(П4 3,672 • 10"Б

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 11-01—00181а и 12—01—00546а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А. Деформация вязкопластического тела // Уч. зап. МГУ. Механика. 1940. 39. 3-81.

2. Магомедов О.Б., Победря Б.Е. Некоторые задачи вязкоупругопластического течения // Упругость и неупругость. Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975. 152-169.

3. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М.: Изд-во МГУ, 1977.

4. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

5. Muravleva L. V., Muravleva E.A. Uzawa-like algorithm on semi-staggered grids for unsteady Bingham medium flows // Rus. J. Numer. Anal. and Math. Modelling. 2009. 24, N 6. 543-563.

6. Muravleva L.V., Muravleva E.A., Georgiou G.C., Mitsoulis E. Numerical simulations of cessation flows of a Bingham plastic with the augmented Lagrangian method //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2010. 165. 544-550.

7. Huilgol R.R., Mena B., Piau J.M. Finite stopping time problems and rheometry of Bingham fluids //J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2002. 102. 97-107.

8. Муравлева Е.А., Муравлева Л.В. Нестационарные течения вязкопластической среды в каналах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 5. 164-188.

Поступила в редакцию 12.05.2010