CC BY
45
Николай Константинович Никулин — канд. техн. наук, доцент кафедры "Вакуумная и компрессорная техника" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области вакуумной техники.
N.K. Nikulin — Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Vacuum and Compressor Technology" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 100 publications in the field of vacuum technology.
Елена Владимировна Свичкарь — ассистент кафедры "Вакуумная и компрессорная техника" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор четырех научных работ в области вакуумной техники.
Ye.V. Svichkar — assistant of "Vacuum and Compressor Technology" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 4 publications in the field of vacuum technology.
УДК 621.184.64; 536.24
М. И. Осипов, А. М. Пылаев
НЕСТАЦИОНAРНЫЕ ПОЛЯ TЕМПЕРАТУР В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Представлено аналитическое решение задачи расчета нестационарных температурных полей в многослойной стенке теплооб-менного аппарата при условиях третьего рода на граничных поверхностях, первого или второго рода на торцах и при условиях склейки общего вида. Учтена зависимость режимных и теплофи-зических характеристик от времени и от координат. В решении применена модификация метода Бубнова-Галеркина. В роли базисных функций использованы комбинации полиномов по координатам и тригонометрических функций по времени, удовлетворяющие — с произвольными константами — всем краевым условиям. Приведены примеры расчета распределения температур для теплообменника с винтовой перегородкой и для лопаток высокотемпературных газовых турбин.
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, многослойная пластина, модификация метода Бубнова-Галеркина, теплообменник, газовая турбина.
При создании высокоэффективных и надежных теплообменных аппаратов и систем охлаждения газотурбинных установок и теплообменных аппаратов различного назначения ставится задача численного и аналитического исследования внутреннего и нестационарного теплообмена в многослойных стенках корпусных деталей теплообменников и сопловых лопаток. В связи с этим рассмотрим задачу о нестационарных температурных полях (T = T(t, x,y)) в J-слойной пластине
при условиях третьего рода
ag(Tg - T) = (-1)gAdt/dy;
У = ymax = Y g = 2; y = ymin = 0, g = 1 на границах с нормальными координатами, а также при задании тепловых потоков q или температур T при следующих значениях продольных координат:
Q = QCb x = x min = -X/2; Q = (2)
x = x max = X/2; Q G{q,T}.
В условиях (1) ag — коэффициенты теплоотдачи; Tg — температура среды. В процессе решения учитываем зависимости режимных и те-плофизических характеристик от времени и координат.
При использовании программы для ЭВМ, реализующей численное решение задачи конечно-разностным методом, представляет интерес разработка модификации расчетного метода, не связанного с пошаговой (как по времени, так и по координатам) процедурой и, по-возможности, близкого к аналитическому. Такое решение, в частности, полезно для тестирования численных расчетов.
Основу математической постановки задачи составляет дифференциальное уравнение с кусочно-непрерывными функциями теплопроводности A, объемных теплоемкостей с и тепловыделения W:
cdT = д (AdT ^ + д (AdT ^ + W;
dt dx V dx / dy V dy / ' (3)
t > 0, x G (-X/2; X/2), y G (0; Y).
В связи с тем, что функция A не дифференцируема на границах контакта (в точной постановке задачи), вместо уравнения (3) следует рассматривать систему из уравнений теплопроводности, записанных для каждого из слоев в отдельности, при общей односторонней параболической переменной времени [1] :
с<т _д_( дта лdT^ W-0-
г dt dx V dx J г dy V dy / г г ' (4)
t> 0, x G (-X/2; X/2), y G (yii; yi2).
Однозначное решение задачи (1), (2) и (4) выполнено при дополнительном учете начального распределения температуры:
Тг = Ti^x,y); t = 0, x G [-X/2; X/2], y G [yii;^2], (5) а также при учете для I слоев пластины условий склейки типа
AdTi2 = A дТг+1>1 + P ;
Ai^— = Ai+1-а--+ Pi;
dy dy (6)
t> 0, Ti2 = Ti+1,1 + Qi; i G {1 ...I - 1}.
Слагаемые в уравнении (6), формально соответствующие неидеальности теплового контакта (при = 0) и поверхностному, контактному тепловыделению (при р = 0), включены в целях использования соответствующей программы для ЭВМ при итерационном решении нелинейных задач.
Публикаций по решению рассматриваемой задачи в полной постановке не найдено. Известны лишь результаты анализа для задач в существенно упрощенной постановке, а также общие рекомендации, в частности, по применению обязательно точных методов математической физики для выявления зависимости решения от времени. Применение же, при необходимости, приближенных подходов допустимо лишь по эллиптическим координатам [1]. Судя по публикациям (например, [2]), весьма эффективным представляется метод Бубнова-Галеркина. Применительно к задаче класса (1), (2), (4)-(6) построение решения рекомендовано в виде линейной суперпозиции некоторых функций, называемых базисными и удовлетворяющих граничным условиям. При этом указывается, что коэффициенты разложения следует определять из условий минимизации ортогональной проекции невязки по всей области решения, и подчеркивается, что успех в применении метода определяется выбором структуры и числа базисных функций, входящих в разложение. Но для рассматриваемой задачи конкретных указаний нет.
В нестационарных задачах эти коэффициенты в общем случае представляются функциями времени; поэтому их определению соответствует система линейных дифференциальных уравнений изменения времени. Следует отметить, что в стационарных задачах эти коэффициенты принимаются постоянными и выявляются на основе решений линейных алгебраических систем уравнений, что намного проще. В связи с этим эффективен аналитико-численный подход [1], включающий в себя интегральное преобразование Лапласа, процедуру минимизации невязки для изображения и, наконец, переход к оригиналу. Для определения коэффициентов в разложениях для изображений в данном случае также логично использовать линейные алгебраические уравнения, что и является основным преимуществом названного подхода. К сожалению, в случаях с зависимостью от времени хотя бы немногих параметров (ад, А^, применимость преобразования Лапласа практически исключена.
Сведение трудностей задачи к рассмотрению линейных алгебраических уравнений и без преобразования Лапласа допустимо при использовании в роли совокупности базисных функций систем из произведений тригонометрических функций от времени £ и координат. Такой подход, ранее использованный при решении стационарных задач [3,4], формально применим и при использовании времени в роли аргумента.
Но при этом всегда получаются принципиально бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и необходимо обоснование возможности редукции конкретных систем [5], что для рассматриваемой задачи представляется проблематичным.
В настоящей работе опробована модификация метода Бубнова-Галеркина, позволившая ограничиться рассмотрением только систем линейных алгебраических уравнений, применительно к процессам с ограниченной протяженностью во времени £ € [0; £тах = т]. В основном варианте анализа зависимости W = Тн = {Тнг},
Я0 = {Я0г}, Ях = {Яхг} считаются кусочно-линейными по нормали к стенке (по у), т.е. линейными по толщине любого слоя. При необходимости учета более сложной зависимости функций от поперечной координаты для каких-либо из физически однородных слоев возможно разбиение каждого из них, например, на ] подслоев с заданием соответствующих подсовокупностей из ] линейных функций. Для характеристики зависимостей температуры Тн от продольной координаты х, тепловых потоков Я0 и Ях от времени {ад, Тд, Аг, сг, Wг, Яг, Рг}, а также искомого решения от х и предусмотрено использование полиномных по х и тригонометрических по времени £ аппроксимаций. Отметим, что применение тригонометрических рядов по времени (при достаточно большом числе слагаемых с заранее неизвестными коэффициентами) в составе каждой из базисных функций обеспечивает принципиально точное решение. Число слагаемых в разложениях для искомых решений ограничено лишь возможностями вычислительных средств, которые позволяют использовать и большое число необходимых уравнений.
Решение Тг, г = 1... I строится в виде суммы трех групп функций: м,и
Тг = Рг+ ^ ^ Нгр Е.р; г = 1. N+М ^ S, (7)
ь=!,2 п,т р
где Нр; р € {И, 0,Х} — функции, последовательно (при £ = 0, х = — Х/2; х = Х/2) удовлетворяющие заданным условиям на границах пространственно-временной области решения; Ер — функции, единичные на соответствующих границах и быстро убывающие до нуля в их окрестностях, например Ер = ехр(—Срр), Ср ^ 1; Рг — функции, удовлетворяющие условиям (1) и (6) и однородным условиям при £ = 0, х = —Х/2; х = Х/2 — функции, удовлетворяющие всем однородным условиям, сответствующим (1), (2), (5), (6). Авторами настоящей работы использована возможность построения функции Р в форме разложений по продольной координате и времени с кусочно-линейными коэффициентами, а именно
Р = Аг + Вг • у, г = 1,..., I; А = Т + А 1В1/а1, (8)
Bi = (T2 - Ai + +
i=i
I-l k 2 I
+ E (^k+i E Pi/Ak+i + Qk))/(AiR); R = E a-1 + E 4/Ak, (9)
k=1 l=i j=i k=i
4=yk2 - yk2; Ai+i = Аг + (Вг - Bi+i)yi2 - Qi,
Bi+i = (AiBi - Pi)/Ai+i, i = 1,..., / - 1.
Для базисных функций Gvnm целесообразно применение структуры следующего вида:
Gvnm = Ф(у)(этmt + DvnmcosшД1 - £Vi))^n(x); mt = 2mtn/r; Ф(у) = {Фг, у £ [yii; yi2], i = 1,...,/},
(10)
Фг = Аг + Ду - KJ(y); J(y) = U(y)dy,
I-1
U (y) = уП (y - yfe2 ^
k=1
(11)
К = (у/2) + А1 и(у^М); А = А:/«1,
г
#1 = 1 #г+1 = Аг/Аг+1, Аг+1 = Е # — #+1^2;
^=1
г = 1,...,/ - 1; п = 0,1,...,^, т =1,...,М.
Обозначение Л в (11) определено в разложении (9). Выражения (8)-(11) записаны для условий с а = 0, ] £ {1;2}, в от-
2
личие от обычного подхода ^^ а = 0. Функция Фп(х) в выра-
^=1
жении (10) содержит хп в комбинированном выражении, удовлетворяющем однородным условиям (2), и представляется в виде
х
Фп = £ хп(х2 - X2/4)^х, п =1, 2,..., N; Ф0 = 1, в случае условий
о
второго рода (^ = q при х £ {—Х/2; Х/2}).
После подстановки в уравнение (4) формул (7) вместе с выражениями (8)—(11) и дифференцирования результата левые (равные нулю) части уравнений, полученных из системы (4), рассматривались как составляющие дифференциального оператора ^(¿,х,у), кусочно-функционального по у, единого для всей области решения. Для конкретизации Схтт, в решении (7) использованы условия ортого-
y
нальности Б(Ь, х, у) каждой из Сипт по (10), а именно
т Х/2 У
I П(*, х,У)С'тгп йгйхйу = 0,
'и=1,2 0 -х/2 о
п = 0,1,..., N т = 1,...,М, к = 1,...,К,
что позволило получить необходимую систему из 2(N+1)М линейных алгебраических уравнений.
В разработанной для ПЭВМ программе предусмотрена и оценка невязки, получаемой после подстановки решений (7) в уравнения (4); это обеспечивает возможность выбора почти оптимальных значений Ер, N М.
В соответствии с этим программа использована при расчете нестационарных температурных полей для трех вариантов изолированной по торцам полосы неограниченной протяженности: двухслойной в первом (рис. 1), во втором (рис.2) вариантах и трехслойной в третьем варианте (рис. 3). Ширина полосы Ь = 2 м (для первого варианта) и Ь = 0,06 м (для второго). Материалы граничных слоев — ТЗП (теплопроводность А1 = 2 Вт/(м-К), объемная теплоемкость с1 = 390 Дж/(м3-К)) и сталь (Ам = 30Вт/(м-К), см = 3900 Дж/(м3-К)) [6, 7]. Толщины слоев 5м (мм) равны 0,2; 8 — в первом, 0,1; 2 — во втором, 0,05; 2 — в третьем вариантах расчета.
В третьем варианте расчета учитывается промежуточный слой теплозащитного покрытия (А2 = 4 Вт/(м-К)) толщиной 82 = 0,05 мм. Тепловой поток, направленный к многослойной стенке, определяется значениями коэффициентов теплоотдачи (аг,Вт/(м2-К)) температуры греющей среды (Тг, °С) и внешним теплообменом с воздухом (ав,Вт/(м2-К); Тв, °С). Начальные температуры и продолжительности процесса составляют Тн = 15 °С, £тах = 60 с — в первом варианте, Тн = 500 °С, £тах = 0,5 с — во втором и третьем вариантах. В первом варианте заданы следующие условия: аг = 140 Вт/(м2-К), ав = 15 Вт/(м2-К) при р = 6 атм; Тг = (59+62Х) °С; Тв = (27—6Х) °С.
В случаях нагрева стенки до более высоких температур газа и коэффициентах теплоотдачи ав = 2000Вт/(м2-К), Тг = 1400 °С характер изменения аг и Тв по длине стенки представлен участками парабол при «г,шах = 5000 Вт/(м2-К), «г,ш1п = 2000 Вт/(м2^К) и при Тв,тах = 700 °С, Тв,т1п = 500 °С) соответственно. На рис. 1 и 3 кривая А представляет собой значения аг,Вт/(м2^К), уменьшенные в 10 раз.
Результаты, показанные на рис. 1-3, соответствуют двум случаям распределения температуры; зависимости (1)-(4) и (5) получены при значениях ав, аг, указанных ранее и уменьшенных в 10 раз. Обозначения Г,В,1,2,3,4 на всех рисунках соответствуют распределению температур газа, воздуха, наружной поверхности ближнего к металлу слоя
Рис. 1. Тепловое взаимодействие двухслойной полосы с газом (Тг £ [59; 183]°С) со стороны ТЗП и с воздухом Тв £ ([27; 15]) в течение ^^ = 60 с:
а — для момента времени I = £тах/2 = 30 с представлены кривые зависимости от координаты х для температур газа (Г), воздуха (В), а также в сечениях полосы — при заданных ав, аг (слияние кривых 1.. .4) и ав/10, аг/10 (кривая 5); б — зависимости от времени I температур газа, воздуха, а также температур в сечениях полосы при х = Ь = 2 ми заданных ав, аг (слияние кривых 1... 4, а также при ав/10, аг/10 (кривая 5)
ТЗП, температур металла в верхнем (к газу), среднем и нижнем сечениях соответственно; обозначение 5 дано для практически слившихся (при избранном масштабе изображения) температурных кривых полосы в вариантах с уменьшенными ав, аг. На рис. 1, а; 2, а; 3, а показаны изменения температуры для момента времени £ = £тах/2 в зависимости от координаты х; на рис. 1, б; 2, б; 3, б — изменения температуры при х = Ь в зависимости от времени £. Приведенные на рис. 1 значения Тг, Тв скорректированы с целью исключить теплообмен при х = 0 и х = X = Ь. На рис. 1, а, б масштабы размеров и времени составляют 4 м и 120 с; результаты, представленные на этих же рисунках, соответствуют внутреннему охлаждению сопловой лопатки газовой
400 I-1-1-1-1-1-1-1-1-
0 1 2 3 4 5 6 7 МО-3, мин а
200 -1-^^--1—-1-
О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 jc/4, м
б
Рис. 2. Взаимодействие двухслойной полосы с газом (аг = 4500... ... 2000 и 2000 ... 5000 Вт/(м2 • K), Тг = 14000С) со стороны ТЗП и с воздухом (ав е 2000, Тв = 700 ... 500 0C в течение tmax = 0,5 с; свойства ТЗП и стали — см. рис. 1:
а — зависимости от координаты x для аг/10 (кривая A), а также (в момент времени t = tmax/2 = 0,25 с) для температур воздуха (B), наружной поверхности слоя ТЗП (7), температур металла в верхнем (к газу, 2), среднем (5) и нижнем (4) сечениях и для практически совпавших (при избранном масштабе изображения) температур при ав /10, аг/10 — кривые 5; б — зависимости от времени t температур газа, воздуха, наружной поверхности слоя ТЗП (1), металла в верхнем (к газу, 2), среднем (5) и нижнем (4) сечениях при x = L = 0,06 м и заданных ав, аг, а также для практически совпавших (при избранном масштабе T, 5 при ав/10, аг/10
турбины при вдуве через выходную кромку [8]. Остальные результаты получены применительно к воздухоохладителю, т.е. теплообменнику с винтовой разделительной перегородкой [7]. В рассмотренных случаях распределение температуры пластины очень слабо изменяется по толщине и резко возрастает со временем, пропорционально функции (1 — ехр((аг + ав)tF/C)), где С и F — теплоемкость стенки и односторонняя поверхность теплообмена. Быстро устанавливается квазистационарный режим практически с выполнением зависимости
Рис. 3. Тепловое взаимодействие трехслойной полосы с газом со стороны ТЗП и воздухом в течение £тах = 0,5 с (свойства ТЗП (с д 1) и стали — см. рис. 1):
а — зависимости от координаты х для аг/10 (кривая А), а также (в момент времени £ = £тах/2 = 0,25 с) для температур воздуха (В), наружной поверхности слоя ТЗП (1), температур металла в верхнем (к газу, 2), среднем (3) и нижнем (4) сечениях и для практически совпавших (при избранном масштабе изображения) температур при ав/10, аг/10 (кривые 5); б — зависимости от времени £ температур газа, воздуха, наружной поверхности слоя ТЗП (1), температур металла в верхнем (к газу, 2), среднем (3) и нижнем (4) сечениях — при х = Ь = 0,06 ми заданных ав, аг, а также для практически совпавших (при избранном масштабе изображения) температур при ав/10, аг/10 (кривые 5)
(Тг—Т)/(Т—Тв) « ав (1/аг+/А1). На рис. 2, а и3, а локальный минимум температур в средних по х сечениях по длине стенки объясняется повышением аг и Тг к сечениям с х = Х и х = 0 соответственно.
Проведенное сопоставление результатов эксперимента [8, 9] и численного расчета выявило их хорошее согласование, что подтвердило надежность и эффективность обеих использованных программ.
Работа проведена при финансовой поддержке РФФИ (грант 08-08-00718 а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ц о й П. В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. -М.: Изд-во МЭИ, 2005. - 568 с.
2. Б е л я е в Н. М., Р я д н о А. А. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высш. шк., 1978. - 328 с.
3. П ы л а е в А. М., Петражицкий Г. Б. Осесимметричная стационарная задача теплопроводности для системы из двух соприкасающихся по торцам цилиндров // МТТ АН СССР. - 1972. - № 6.
4. П ы л а е в А. М. Задача о критических конвективных движениях в горизонтально-цилиндрических полостях // Изв. РАН, МЖГ. - 2005. - № 3.
5. К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 696 с.
6. О с и п о в М. И., П ы л а е в А. М., ЛимачевД. Г. Теоретическое исследование течения и теплообмена в оребренных каналах и нестационарных полей температур в многослойной стенке с переменными характеристиками // Тепломассообмен. - ММФ-У1; Т. 2. - С. 277-279; Минск, 2008.
7. О с и п о в М. И., О л е с е в и ч К. А., О л е с е в и ч А. К. Экспериментальное исследование теплогидравлических характеристик кожухотрубного теплооб-менного аппарата с винтовой перегородкой // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Машиностроение". - 2007. - № 2. - С. 89-96.
8. О с и п о в М. И., П ы л а е в А. М. Моделирование нестационарных полей температур в многослойной стенке с переменными характеристиками // Тез. докл. XIII Всеросс. межвуз. науч.-техн. конф. Газотурбинные и комбинированные установки и двигатели. - М.: СПРИНТ, 2008.
9. О л е с е в и ч К. А., О с и п о в М. И., О л е с е в и ч А. К. Теплообменные аппараты с винтовой перегородкой для применения в составе ГТУ и системах теплоснабжения // Тез. докл. XIII Всеросс. межвуз. науч.-техн. конф. Газотурбинные и комбинированные установки и двигатели. - М.: СПРИНТ, 2008.
Статья поступила в редакцию 8.09.2009 Михаил Иванович Осипов родился в 1938 г., окончил в 1963 г. МВТУ им. Н.Э. Баумана. Д-р техн. наук, заведующий кафедрой "Газотурбинные и нетрадиционные источники энергии", заслуженный работник высшей школы РФ, профессор, президент Восточно-Европейского регионального отделения Международной энергетической ассоциации. Автор более 265 научных работ в области газотурбинных и комбинированных энергоустановок и двигателей, систем охлаждения и тепловой защиты, газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках.
M.I. Osipov (b. 1938) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1963. Professor, head of "Gas-turbine and Non-traditional Energy Sources" department of the Bauman Moscow State Technical University. Honored Worker of Higher School of the Russian Federation, President of the East-European Regional Department of the International Energetic Association. Specializes in the field of gas-turbine and combined power units and engines, systems of cooling and thermal protection, gas-dynamics and heat and mass transfer in power units. Author of more than 265 publications.
Анатолий Михайлович Пылаев родился в 1936 г., окончил в 1960 г. Московский энергетический институт и в 1965 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Теплофизика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 96 научных работ в области теории тепло-массообмена, термодинамики, механики жидкости и газа.
A.M. Pylaev (b. 1936), graduated from the Moscow Energy Institute in 1960 and the Lomonosov Moscow State University in 1965. А^^г and co-author of more than 96 publications in the field of heat and mass transfer, thermodynamics, mechanics of liquid and gas.
