Нестационарная сетевая модель управляющего аппаратно-программного комплекса Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 681.142

В. П. Бубнов, д-р техн. наук,

B. А. Ходаковский, д-р техн. наук,

C. А. Сергеев, канд. техн. наук, В. Г. Соловьева

Кафедра «Информационные и вычислительные системы», Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

НЕСТАЦИОНАРНАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЮЩЕГО АППАРАТНО-ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

Рассматривается нестационарная сетевая модель управляющего аппаратно-программного комплекса в виде нестационарной сети обслуживания. Число заявок в нестационарной сети обслуживания эквивалентно числу операций управления в технологическом графике управления подвижными объектами. Модель учитывает тип заявок на обслуживание, приоритетность, доступность каналов обслуживания для каждого типа заявок. Приводится метод формирования матрицы коэффициентов системы однородных дифференциальных уравнений Чепме-на - Колмогорова, описывающих поведение нестационарной сети обслуживания. С помощью рекурсивного алгоритма нумерации состояний нестационарной сети обслуживания матрица коэффициентов системы однородных дифференциальных уравнений Чепмена - Колмогорова приводится к нижнетреугольному виду, что позволяет, при задании начальных условий, привести систему дифференциальных уравнений к численно-аналитическому методу решения. Приводятся результаты расчета вероятностно-временных характеристик обслуживания заявок, полученных с помощью предложенного метода и имитационного моделирования. Указываются области использования нестационарной сетевой модели для формирования рабочей нагрузки аппаратно-программных комплексов, находящихся в контуре управления подвижными объектами.

нестационарная система обслуживания; дифференциальные уравнения; матрица коэффициентов; заявка; сетевая модель

Введение

Современные аппаратно-программные комплексы, входящие в состав системы управления активными подвижными объектами [1], должны быть ориентированы на функционирование не только в нормальных, но и в критических (кризисных) условиях. Для определения возможности реализации всех операций, связанных с технологическим циклом управления на заданном временном интервале, применяют математическое моделирование. Математической базой является теория массового обслуживания. Большинство авторов

используют модели теории в предположении, что очередь заявок бесконечна, существует стационарный режим, а коэффициент загрузки не превышает единицы [2-4]. Однако наибольший практический и теоретический интерес представляют модели нестационарных систем обслуживания. Этим объясняется появление в последнее время публикаций, связанных с исследованием поведения моделей теории массового обслуживания в переходных режимах [5-10]. В [11-15] приведен ряд моделей нестационарных систем обслуживания, учитывающих немарковость распределений вероятностей временных интервалов между поступлением и обслуживанием заявок, отказы и восстановления каналов обслуживания, подключение и отключение резервного канала обслуживания. Однако процесс выполнения операций управления в аппаратно-программных комплексах центра управления активными подвижными объектами носит сетевой характер и не учитывается в моделях, приведенных в [11-15].

1 Математическая модель

Операции управления представляются заявками на обслуживание, компоненты аппаратно-программных комлексов, требуемые для их выполнения, -каналами обслуживания. Число операций управления, связанных с конкретным технологическим циклом управления, конечно. Операции управления имеют относительный приоритет. Каждый канал обслуживания имеет свою очередь. Длина очереди на обслуживание не ограничена. Заявки поступают из источника заявок в соответствии с матрицей доступности каналов (зависит от технологического графика управления) на обслуживание или в очередь к определенному каналу. После обслуживания заявки покидают сеть обслуживания. Графическая интерпретация представлена на рис. 1.

Мы

Рис. 1. Графическая интерпретация модели

Модель характеризуется следующими параметрами:

1. М - количество типов заявок, причем тип заявки определяет относительный приоритет, у ¡-го типа приоритет ниже, чем у (г + 1)-го типа, I = (1, М).

2. Щ (г = 1, М) - количество заявок ¡-го типа, поступающих в нестационарные системы обслуживания за интервал моделирования.

3. X, - элемент матрицы интенсивности поступления заявки ¡-го типа с номером у.

4. Ь - число каналов обслуживания.

5. (г = 1, М, у = 1, Ь) - элемент матрицы интенсивности обслуживания каналом с номером у заявки ¡-го типа.

6. фу (г = 1, М, у = 1, Ь) - элемент матрицы доступности каналов; при ф,, = 1 заявке типа . доступен канал с номером у, ф .. = 0 - в противоположном случае. _

7. п = {п}(. = 1, М) - вектор, определяющий количество заявок ¡-го типа, находящихся в нестационарных системах обслуживания.

8. т = {ж{}(?' = 1, М) - вектор, определяющий количество заявок каждого типа, уже получивших обслуживание и покинувших нестационарные системы.

9. I = {1у}(у = 1, Ь) - вектор состояний каналов обслуживания; I = 0, если у-й канал свободен, I. = ¡, еслиу-й канал обслуживает заявку типа ¡.

10. dqi - длина очереди к ¡-му каналу обслуживания, = 1,Ь.

11. qi = }, у = 1, dqi - вектор очереди к ¡-му каналу обслуживания, при этом у-я компонента ¡-го вектора равны номеру типа заявки, стоящей в очереди к ¡-му каналу обслуживания на у-м месте.

12. рг = {рг},i = 1, М - ¡-я компонента вектора определяет приоритет заявок ¡-го типа.

13. Временные интервалы между поступлением и обслуживанием заявок имеют экспоненциальное распределение.

Состояние нестационарных систем обслуживания в каждый момент времени характеризуются упорядоченным набором векторов

Пронумеровав все состояния нестационарных систем обслуживания и поставив им в соответствие вероятность нахождения в определенном состоянии, можно записать систему однородных дифференциальных уравнений Чепме-на - Колмогорова в векторно-матричном виде:

где Р() - вектор вероятностей всех возможных состояний в момент времени А - квадратная матрица коэффициентов, зависящая от интенсивности по-

( n, m, l, dQ, Q ).

(1)

P(t ) = AP(t ),

(2)

ступления и обслуживания заявок; Р(^к )•£, = 1 - сумма вероятносй всех возможных состояний нестационарных систем обслуживания в любой момент времени равна единице, где К - число возможных состояний системы, определяемое по (1). Задав начальные условия, можно решить соответствующую задачу Коши.

2 Алгоритм построения матрицы коэффициентов

Вывод общего уравнения Чепмена - Колмогорова системы однородных дифференциальных уравнений, описывающих поведение сетевой нестационарной системы, затруднителен, и авторы не пошли по пути, описанном в [11-13]. Было принято решение воспользоваться альтернативным методом генерации матрицы коэффициентов А, представленном в [16-17].

Суть метода в следующем. Начальным состоянием может быть состояние нестационарной системы обслуживания, в котором п = 0 и т = 0. На входе в алгоритм передается начальное состояние и его номер в списке состояний (Мыт). Для начального состояния Мыт = 1. Далее генерируется одно из возможных состояний по правилам перехода, проверяется, было ли генерировано данное состояние до этого, и если нет, то добавляется в список состояний (хТ). Затем записываются изменения в матрицу А по следующей формуле:

АхТ .¡вп, Мыт = Х;

А =А - Х (3)

Мыт, Мыт ^Мыт, Мыт

где хТ.1вп - длина списка состояний, генерированных на данный момент; х -интенсивность перехода из исходного состояния в новое (это может быть интенсивность поступления новой заявки либо интенсивность обработки очередной заявки).

Если полученное состояние уже было генерировано и находится в списке состояний с обозначением Мыт1, то формула (3) принимает вид

АМыт\, Мыт = Х;

А = А - Х (4)

Мыт, Мыт ^Мыт, Мыт

Если генерированное состояние не было получено ранее, то начинают рекурсивно генерироваться состояния, в которые нестационарная система обслуживания может перейти из только что полученного. При этом в рекурсию передается Мыт = хТ.1вп. Если для какого-либо состояния генерированы все состояния, в которые может перейти нестационарная система обслуживания, то данный этап рекурсии завершается. Алгоритм прекращает работу, когда завершатся все этапы рекурсии. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 2.

Входные параметры в - состояние системы хТ - список всех состояний 1Чит - номер состояния Б

Рекурсивный вызов

Рис. 2. Блок-схема метода

Для возможности гибкого распределения задач между узлами (каналами обслуживания) было введено понятие алгоритма выбора канала обслуживания. Алгоритм выбора канала обслуживания реализован в дополнительной функции choiceChannel. Эта функция имеет четыре параметра: ф - матрица доступности каналов; S - текущее состояние системы; zType - номер типа заявки; channel - переменная, в которую записывается результат работы функции.

Переходы между состояниями системы происходят по следующим правилам:

1. Из состояния P т i dQ Q(^), в котором п( + т{ < KT(, система может перейти в состояние P- — ^ ^ ^(t) с интенсивностью Х{ п + т +1. При этом номер канала (/), на который попадет заявка, определяется с помощью функции

екоюеСЬстпе/; если /. > 0, то dq1 . = dqj +1, а i добавляется в qj перед всеми заявками, имеющими меньший приоритет. Если /. = 0, то И. = ¡, вектор dq и матрица q остаются без изменения, а п1, = щ +1. Вектор т остается без изменений.

2. Из состояния Р. т . -Щ) д (^), в котором / > 0, система может перейти в состояние Р—.—.т.-^ ™ 0) с интенсивностью ц, i, где п1; = щ -1, т1; = т; +1,

п1, т1, /1, ад1, 4 ' г ц, i i 7 i 17

[ 0, dqi = 0;

/1, = < при этом необходимо удалить q...

^д, dqi > 0, ¡,1

Кроме того, в алгоритме используется функция проверки наличия состояния isExist. В качестве начального выбрано состояние, в котором 0 обслуженных заявок и 0 поступивших. Блок-схема алгоритма генерации матрицы коэффициентов для сетевой модели приведена на рис. 3, 4.

Данный алгоритм был интегрирован в программу, реализующую численно-аналитического метод [18]. Кроме того, была реализована имитационная сетевая модель [19]. В табл. 1 приведены вероятности поглощающего состояния системы в различные моменты времени, полученные двумя моделями при одинаковых исходных данных.

3 Сортировка элементов матрицы

Согласно [20], для системы (2) существует явное аналитическое решение, если только известны собственные числа матрицы А. Очевидным является тот факт, что в случае треугольного вида матрицы А (для определенности будем считать ее нижнетреугольной) ее собственные числа выписаны в явном виде на диагонали. Таким образом, аналитическое решение системы можно легко найти, если только матрица А - треугольная.

Если пронумеровать состояния по возрастанию числа обработанных запросов, а внутри этих групп - по возрастанию числа поступивших запросов, то ни одно из состояний полученного списка не будет иметь зависимости от последующих, а матрица А примет треугольный вид. Например, в сетевой модели в одной подгруппе одной группы будет более одного состояния, но нумерация останется верной, так как эти состояния не будут зависеть друг от друга.

На выходе предлагаемый метод генерации матрицы выдает нетреугольную матрицу А и массив хТ, в котором хранятся все состояния системы. Необходимо отсортировать элементы массива так, как это описано выше. Для этого необходимо воспользоваться любым алгоритмом сортировки. При этом, при перестановке двух состояний с номерами х1 и х2, необходимо поменять местами две строки и два столбца в матрице А с теми же номерами. Пример такой перестановки приведен в табл. 2 и 3.

Входные параметры Э - состояние системы хТ - список состояний Мит - номер состояния в в списке хТ

Snew=S

Snew.n[i]=S.n[i]+1 +

choiceChannel Channel=0 Ф=Ф S=S zType=i

Snew.dq[channel]=S.dq[channel]+1 K=1

Snew.q[channel][k]=l (при этом все элементы в векторе Э^сИаппе!] с большим индексом сдвигаются на 1)

Num1=xT.len+1 xT.add(Snew) A[Num][Num]-=A[i][S.n[i]+S.m[i]+1] A[Num1][Num]+=A[i][S.n[i]+S.m[i]+1]

A[Num][Num]-=A[i][S.n[i]+S.m[i]+1] A[Num 1 ][Num]+=A[i][S.n[i]+S.m[i]+1 ]

1 r

Метод

5=5пе\л/

Num= Num1

xT=xT

i=i+1

Рис. 3. Блок-схема алгоритма генерации матрицы коэффициентов

для сетевой модели (1)

Рис. 4. Блок-схема алгоритма генерации матрицы коэффициентов

для сетевой модели (2)

Таблица 1. Сравнение результатов моделей

Момент времени Имитационная модель Аналитическая модель

1 0,010411 0,0105599357

2 0,224826 0,225337103263

3 0,564251 0,56480951

4 0,776363 0,776569477849

5 0,869929 0,87000275886

Таблица 2. Фрагмент матрицы до перестановки

1 2 x1 x2 x3

1 1-1 2-1 x1-1 x2-1 x3-1

2 1-2 2-2 x1-2 x2-2 x3-2

x1 1-x1 2-x1 x1-x1 x2-x1 x3 x 1

x2 1-x2 2-x2 x1-x2 x2-x2 x3 x2

x3 1-x3 2-x3 x 1 x3 x2 x3 x3 x3

Таблица 3. Фрагмент матрицы после перестановки

1 2 x2 x1 x3

1 1-1 2-1 x2-1 x1-1 x3-1

2 1-2 2-2 x2-2 x1-2 x3-2

x2 1-x2 2-x2 x2-x2 x1-x2 x3 x2

x1 1-x1 2-x1 x2-x1 x1-x1 x3 x 1

x3 1-x3 2-x3 x2 x3 x 1 x3 x3 x3

В табл. 2 приведен фрагмент матрицы состояний А. Первый столбец и первая строка содержат условные номера состояний. В ячейках таблицы содержится информация вида: х—у, обозначающая интенсивность перехода из состояния х в состояние у. Допустим, в процессе сортировки появилась необходимость поменять местами состояния с номерами х1 и х2. Матрица коэффициентов А после такой перестановки представлена в табл. 3. Как видно из табл. 3, зависимости между состояниями не нарушены, что доказывает адекватность предлагаемого метода сортировки.

Заключение

Какой бы сложной и многопараметрической ни была модель нестационарной системы обслуживания, предложенный подход позволяет синтезировать для нее алгоритм генерации матрицы коэффициентов. Увеличение числа параметров системы ведет к увеличению числа состояний и иногда - правил переходов, но сложность вывода этих правил практически не меняется. Таким образом, рекомендуется пользоваться данным методом взамен вывода общего уравнения системы однородных дифференциальных уравнений. При больших размерах матрицы А возникает необходимость большого количества оперативной памяти в ЭВМ. Так, например, при точности до 1000 знаков после запятой и размерности матрицы А в 7500 строк и 7500 столбцов на ЭВМ с оперативной памятью в 4 Гб последняя была занята практически полностью реализацией аналитического метода. Следовательно, при построении аналитических моделей, основанных на предложенном методе, нужно учитывать, что при загруженной до предела оперативной памяти скорость расчета снизится из-за необходимости выгрузки части данных в файл подкачки. Вопросы влияния числа состояний на точность и затраты требуемой памяти при программной реализации предложенной нестационарной модели подробно освещаются в [20].

Предложенная нестационарная сетевая модель позволяет:

- определить вероятностно-временные характеристики выполнения операций управления компонентами управляющего аппаратно-программного комплекса на заданном (директивном) временном интервале в условиях «пиковых» изменений рабочей нагрузки;

- решать задачу распределения операций управления по компонентам аппаратно-программного комплекса, при заданных ограничениях на время выполнения технологического цикла управления;

- назначить приоритеты выполнения операций управления в технологическом цикле управления.

Библиографический список

1. Калинин В. Н. Многомодельное описание процессов управления космическими средствами / В. Н. Калинин, Б. В. Соколов // Теория и системы управления. -1995. - № 1. - С. 149-156.

2. Zegzhda P. D. Using graph theory for cloud system security modeling / P. D. Zegzhda, D. P. Zegzhda, A. V. Nikolskiy // Lecture Notes in Computer Science (including sub-series Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). -2012. - Vol. 7531. - Pp. 309-318.

3. Osogami T. Analysis of transient queues with semidefinite optimization / T. Osogami, R. Raymond // Queueing Systems. - 2013. - Vol. 73. - Pp. 195-234.

4. Upadhyaya S. Queueing systems with vacation : an overview / S. Upadhyaya // International journal of mathematics in operational research. - 2016. - Vol. 9. - Issue 2. -Pp. 167-213.

5. Wolff R. W. Little's law when the average waiting time is infinite / R. W. Wolff, Y.-C. Yao // Queueing Systems. - 2014. - Vol. 76. - Pp. 267-281.

6. Sudhesh R. Stationary and transient analysis of M/M/1 G-queues / R. Sudhesh, K. V. Vi-jayashree // Int. J. of Mathematics in Operational Research. - 2013. - Vol. 5. - Issue 2. -Pp. 282-299.

7. Sudhesh R. Stationary and transient solution of Markovian queues - an alternate approach / R. Sudhesh, Raj L. Francis // Int. J. of Mathematics in Operational Research. -2013. - Vol. 5. - Issue 3. - Pp. 407-421.

8. Czachorski T. Analytical and numerical means to model transient states in computer networks / T. Czachorski, M. Nycz, T. Nycz, F. Pekergin // Computer Networks. Proceedings of the 20th International Conference, CN 2013, Lwowek Sl^ski, Poland, June 17-21, 2013 ; Springer Communications in Computer and Information Science. -2013. - Vol. 370. - Pp. 426-435.

9. Wei Y. Queue size distribution and capacity optimum design for N-policy Geo (11, 12, A3)/G/1 queue with setup time and variable input rate / Y. Wei, M. Yu, Y. Tang, J. Gu // Mathematical and Computer Modelling. - 2013. - Vol. 57. - Issue 5-6. - Pp. 15591571.

10. Lu H. A functional central limit theorem for Markov additive arrival processes and its applications to queueing systems / H. Lu, G. Pang, M. Mandjes // Queueing systems. -

2016. - Vol. 84. - Issue 3-4. - Pp. 381-406.

11. Бубнов В. П. О загрузке вычислительной системы с изменяющейся интенсивностью поступления заданий / В. П. Бубнов, В. И. Сафонов, В. Л. Смагин // Автоматика и вычислительная техника. - 1987. - № 6. - С. 19-22.

12. Bubnov V. P. Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments / V. P. Bubnov, A. D. Khomonen-ko, A. V. Tyrva // Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2011), Munich, July 18-22, 2011. - Pp. 310-314.

13. Бубнов В. П. Разработка динамических моделей нестационарных систем обслуживания / В. П. Бубнов, В. И. Сафонов. - СПб. : Лань, 1999. - 64 с.

14. Zhernovyi K. Y. Determining stationary characteristics of two-channel queueing systems with Erlangian distribution of service time / K. Y. Zhernovyi // Cybernetic and systems analysis. - 2017. - Vol. 53. - Issue 1. - Pp. 92-104.

15. Wang F. F. Analysis of priority multi-server retrial queueing inventory systems with map arrivals and exponential services / F. F. Wang, T. M. Chang, A. Bhagat // OPSEARCH. -

2017. - Vol. 54. - Issue 1. - Pp. 44-66.

16. Бубнов В. П. Рекурсивный метод генерации матрицы коэффициентов системы однородных дифференциальных уравнений, описывающих нестационарную систему обслуживания / В. П. Бубнов, А. Д. Хомоненко, С. А. Сергеев // Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям, Санкт-Петербург, 2015. - Т. 1. - СПб., 2015. - С. 164-166.

17. Сергеев С. А. Метод составления систем однородных дифференциальных уравнений для расчета вероятностно-временных характеристик нестационарных

систем обслуживания / С. А. Сергеев // Интеллектуальные технологии на транспорте. - 2015. - № 2. - С. 32-42.

18. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации программы ЭВМ № 201561725. Программный комплекс аналитико-имитационных моделей для расчета вероятностно-временных характеристик нестационарных систем обслуживания / С. А. Сергеев, В. П. Бубнов, В. В. Бубнов. - М., 2015.

19. Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014662781. Программа для имитационного моделирования систем массового обслуживания с задержкой / С. А. Сергеев, В. П. Бубнов, А. С. Еремин. -М., 2014.

20. Бубнов В. П. Особенности программной реализации численно-аналитического метода расчета моделей нестационарных систем обслуживания / В. П. Бубнов, А. С. Еремин, С. А. Сергеев // Труды СПИИРАН. - 2015. - № 1. - С. 218-232.

Vladimir P. Bubnov, Valentin A. Khodakovsky, Sergey A. Sergeev, Valeria G. Solovyeva

«Information and computing systems» department Emperor Alexander I St. Petersburg state transport university

Non-stationary network model of the managing hardware and software complex

A non-stationary network model of the managing hardware and software complex in the form of a non-stationary service network is considered. The number of applications in the non-stationary service network is equivalent to the number of control operations in the technological schedule for managing mobile objects. The model considers the type of service requests, priority and availability of service channels for each type of applications. The method of forming the coefficient matrix of the system of homogeneous differential Chapman-Kolmogorov equations, describing the behavior of the non-stationary service network, is presented. Using the recursive algorithm for numbering states of a non-stationary service network, the matrix of coefficients of the system of Chapman-Kolmogorov homogeneous differential equations is reduced to a lower-triangular form, which allows, with

the specification of the initial conditions, to bring the system of differential equations to the numerical-analytical method of solution. The results of calculating the probabilistic-temporal characteristics of the service of applications, received using the proposed method and simulation modeling, are given. Areas of use of the non-stationary network model for forming the workload of hardware and software complexes located in the mobile objects control loop are proposed.

non-stationary service system; differential equations; coefficient matrix; application; network model

References

1. Kalinin V. N., Sokolov B. V. (1995). Multi-model description of the processes of control of space vehicles [Mnogomodelnoe opisaniye processov upravleniya kos-micheskimi sredstvami]. Theory and control systems [Teoriya i sistemy upravlenia], issue 1. - Pp. 149-156.

2. Zegzhda P. D., Zegzhda D. P., Nikolskiy A. V. (2012). Using graph theory for cloud system security modeling. Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics). -Pp. 309-318.

3. Osogami T., Raymond R. (2013). Analysis of transient queues with semidefinite optimization. Queueing Systems, vol. 73. - Pp. 195-234.

4. Upadhyaya S. (2016). Queueing systems with vacation: an overview. International journal of mathematics in operational research, vol. 9, issue 2. - Pp. 167-213.

5. Wolff R. W., Yao Y.-C. (2014). Little's law when the average waiting time is infinite. Queueing Systems, vol. 76. - Pp. 267-281.

6. Sudhesh R., Vijayashree K. V. (2013). Stationary and transient analysis of M/M/1 G-queues. Int. J. of Mathematics in Operational Research, vol. 5, issue 2. - Pp. 282299.

7. Sudhesh R., Francis Raj L. (2013). Stationary and transient solution of Markovian queues - an alternate approach. Int. J. of Mathematics in Operational Research, vol. 5, issue 3. - Pp. 407-421.

8. Czachorski T., Nycz M., Nycz T., Pekergin F. (2013). Analytical and numerical means to model transient states in computer networks. Computer Networks. Proceedings of the 20th International Conference, CN 2013, Lwowek Sl^ski, Poland, June 17-21, 2013. Springer Communications in Computer and Information Science, vol. 370. -Pp. 426-435.

9. Wei Y., Yu M., Tang Y., Gu J. (2013). Queue size distribution and capacity optimum design for N-policy Geo (11, 12, I3)/G/1 queue with setup time and variable input rate. Mathematical and Computer Modelling, vol. 57, issue 5-6. - Pp. 1559-1571.

10. Lu H., Pang G., Mandjes M. (2016). A functional central limit theorem for Markov additive arrival processes and its applications to queueing systems. Queueing systems, vol. 84, issue 3-4. - Pp. 381-406.

11. Bubnov V. P., Safonov V. I., Smagin V. L. (1987). About the loading of a computer system with a varying intensity of incoming assignments [O zagruzke vychislitelnoy sistemy s izmenyajusheisya intensivnostju postupleniya zadanii]. Automation and computer facilities [Avtomatika i vycheslitelnaya tekhnika], issue 6. - Pp. 19-22.

12. Bubnov V. P., Khomonenko A. D., Tyrva A. V. (2011). Software Reliability Model with Coxian Distribution of Length of Intervals Between Errors Detection and Fixing Moments. Proceedings of 35th Annual IEEE Computer Software and Applications Conference (COMPSAC 2011), Munich, July 18-22. - Pp. 310-314.

13. Bubnov V. P., Safonov V. I. (1999). Development of dynamic models of non-stationary service systems [Razrabotka dynamicheskikh modelei nestacionarnyh system obslu-zhivaniya]. St. Petersburg, Lan'. - 64 p.

14. Zhernovyi K. Y. (2017). Determining stationary characteristics of two-channel queue-ing systems with Erlangian distribution of service time. Cybernetic and systems analysis, vol. 53, issue 1. - Pp. 92-104.

15. Wang F. F., Chang T. M., Bhagat A. (2017). Analysis of priority multi-server retrial queueing inventory systems with map arrivals and exponential services. OPSEARCH, vol. 54, issue 1. - Pp. 44-66.

16. Bubnov V. P., Khomonenko A. D., Sergeev S.A. (2015). A recursive method for generating the coefficient matrix of a system of homogeneous differential equations describing a non-stationary service system [Rekursivnyi metod generacii matricy koefficien-tov sistemy odnorodnykh differencialnykh uravnenij, opisyvajushih nestacionarnuyu sistemu obsluzhivaniya]. International Conference on Soft Computing and Measurement, vol. 1. - Pp. 164-166.

17. Sergeev S.A. (2015). Method of compiling systems of homogeneous differential equations for calculating the probabilistic and temporal characteristics of non-stationary service systems [Metod sostavleniya system odnorodnykh differencialnykh uravnenij dlya rascheta veroyatnostno-vremennykh harakteristik nestacionarnych sistem ob-sluzhivaniya]. Intellectual technologies on transport (Intellektual'nye tekhnologii na transporte), issue 2. - Pp. 32-42.

18. Sergeev S. A., Bubnov V. P., Bubnov V. V. (2015). Software complex of analytical and simulation models for calculating the probabilistic and temporal characteristics of non-stationary service systems [Programmnyi kompleks analitiko-imitacionnykh modelei dlya rascheta veroyatnostno-vremennykh harakteristik nestacionarnych sistem obslu-zhivaniya]. The Federal Service for Intellectual Property, Patents and Trademarks. Certificate of state registration of the computer program № 201561725, Moscow.

19. Sergeev S. A., Bubnov V. P., Eremin A. S. (2014). Program for simulation modeling of queuing systems with delay [Programma dlya imitacionnogo modelirovaniya system massovogo obsluzhivaniya s zaderzhkoy]. The Federal Service for Intellectual Property, Patents and Trademarks. Certificate of state registration of the computer program № 2014662781, Moscow.

20. Bubnov V. P., Eremin A. S., Sergeev S.A. (2015). Features of software implementation of the numerical-analytical method for calculating models of non-stationary service systems [Osobennosti programmnoy realizacii chislenno-analiticheskogo metoda rascheta modelei nestacionarnych sistem obsluzhivaniya]. SPIIRAS Proceedings [Trudy SPIIRAN], issue 1. - Pp. 218-232.

Статья представлена к публикации членом редколлегии И. М. Кокуриным Поступила в редакцию 19.01.2018, принята к публикации 09.02.2017

БУБНОВ Владимир Петрович - доктор технических наук, профессор кафедры «Информационные и вычислительные системы» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I. e-mail: [email protected]

ХОДАКОВСКИЙВалентин Аветикович - доктор технических наук, заведующий кафедрой «Математика и моделирование» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I. e-mail: [email protected]

СЕРГЕЕВ Сергей Александрович - кандидат технических наук, преподаватель кафедры «Информационные и вычислительные системы» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I. e-mail: [email protected]

СОЛОВЬЕВА Валерия Геннадьевна - аспирантка кафедры «Информационные и вычислительные системы» Петербургского государственного университета путей сообщения Императора Александра I. e-mail: [email protected]

© Бубнов В. П., Ходаковский В. А., 2018 © Сергеев С. А., Соловьева В. Г., 2018