Несколько замечаний о нётеровости по уравнениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 24-28.

УДК 512.57+512.7 М.В. Котов

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О НЁТЕРОВОСТИ ПО УРАВНЕНИЯМ*

Алгебра называется нётеровой по уравнениям, если любая система уравнений от конечного числа переменных эквивалентна над этой алгеброй некоторой своей конечной подсистеме. В статье устанавливаются некоторые свойства нётеровых по уравнениям алгебр. В частности, доказывается, что факторалгебра любой нётеровой по уравнениям алгебры по замкнутой в топологии Зарисского конгруэнции является нётеровой по уравнениям.

Ключевые слова: топология Зарисского, нётеровость по уравнениям, универсальная алгебраическая геометрия, алгебраические множества.

Введём используемые в этой работе понятия алгебраической геометрии над алгебраическими системами, следуя Э. Ю. Данияровой, А. Г. Мяс-никову, В. Н. Ремесленникову [1; 2].

Пусть Ь - язык без предикатных символов, х = (х1;х2,...,хп) - конечный набор переменных, Х1 (х) , t2 (х) - термы языка Ь от переменных х. Формула Х1 (х) = t2 (х) называется уравнением. Любое множество уравнений языка Ь от переменных х называется системой уравнений.

Пусть А = (А,Ь) - алгебра языка Ь . Точка а е Ап называется решением уравнения s(x) языка Ь от п переменных х над алгеброй А , если А|= ^(а). Точка а е Ап называется решением системы уравнений S(х) над алгеброй А , если точка а является решением каждого уравнения системы S(х).

Множество всех решений системы уравнений S(х) от п переменных называется алгебраическим над А множеством и обозначается УА(S(х)) . Совокупность всех алгебраических над А множеств В с Ап обозначим АА,п .

Топологией Зарисского ZAn на множестве Ап называется топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических над А множеств АА,п .

Две системы уравнений S1(x) и S2(x) языка Ь называются эквивалентными над алгеброй А , если их множества решений совпадают. Алгебра А называется нётеровой по уравнениям, если для любого целого положительного п любая система уравнений S(х) от п переменных х эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме S0(x) с S(х) .

Пусть (X,Т) - топологическое пространство. Непустое множество У с X называется неприводимым в топологии Т, если для любых замкнутых в топологии Т множеств У15У2 с X из включения У с У1 и У2 следует, что У с У1 или У с У2.

Сформулируем следующий результат, который будет полезен нам далее.

* Исследование поддержано Министерством образования и науки РФ, проекты № 14.В37.21.0359 и 0859.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-01-00081-а.

© М.В. Котов, 2013

Теорема 1 [1]. Если алгебра A нётеро-ва по уравнениям, то любое непустое замкнутое в топологии Зарисского ZAn множество Z можно представить в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств Z = Y1 и Y1 и... и Ym . Более того, если Y & Y и Y ф Y , i ф j , то такое

' I J lJ ^

разложение единственно с точностью до перестановки компонент.

Докажем следующий критерий нётеро-вости по уравнениям, который понадобится нам в дальнейшем.

Лемма 1. Алгебра A = (A, L) не является нётеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда найдутся последовательность

элементов (ai )ieN , ai є An, и последовательность уравнений ((x))ieN языка L такие, что A|t^ (ai) для всех i, и A|= sj (ai) для всех j <i .

Доказательство. Необходимость.

Пусть A не является нётеровой по уравнениям, тогда по определению найдётся система уравнений S(x) , не эквивалентная никакой своей конечной подсистеме. Покажем по индукции существование искомых последовательностей. В качестве a0 выберем

любой элемент из An \VA(S(x)) , а в качестве s0(x) - такое уравнение системы S(x), что a0 й VA(s0(x)). Далее, положим a1 равным какому-нибудь элементу из VA(s0(x))\VA(S(x)) , а в качестве st(x) выберем любое уравнение из S(x), для которого a1 й VA(Sj(x)) . И так далее, пусть a0,a;,...,am и s0(x), s1(x),..., sm (x) с требуемыми свойствами уже построены. В качестве am+1 выберем любой элемент из

VA (S0(xX • • •, sm (x)) \ VA (S(x)) . Такой эле-

мент всегда найдётся, так как S(x) не эквивалентна никакой своей конечной подсистеме, а в качестве sm+1(x) выберем любое уравнение, для которого am+1 й VA(sm+1(x)).

Достаточность. Рассмотрим систему уравнений S(x) = {si(x)}ieN . Несложно заметить, что ai й VA(S(x)) для любого i. Но для любой конечной подсистемы S0(x) = {st (x)}ieI элемент amaxI+1 принадлежит VA(S0(x)) .

Введём следующее удобное обозначение. Пусть L - язык, A - множество и B с A . Тогда язык, полученный из L добавлением множества константных символов {cb }beB , обозначим LB . Если A = (A, LB) - алгебра такого языка, то будем подразумевать, что cbA = b для любого b є B .

Пусть Ь с Ь' - расширение языка, если А = (А,Ь) и А ' = (А,Ь') такие алгебры, что /А = /А для любого функционального символа / є Ь и сА = сА для любого константного символа с є Ь , то будем говорить, что А ' является расширением алгебры А .

Лемма 2. Пусть А = ( А, Ь) - некоторая алгебра, В = (В,Ь) - подалгебра алгебры А .

Если алгебра А нётерова по уравнениям и алгебра В конечно порождена, то расширение А' = (А, ЬВ ) алгебры А также нётерово по уравнениям.

Доказательство. Пусть подалгебра В порождается конечным набором элементов Ь , С - такой набор константных символов, что СА = Ь . Для любого терма ?(х) языка ЬВ через Ґ'(х, с) обозначим терм языка Ь , в котором все константные символы сь заменены на их выражения через С .

Рассмотрим произвольную систему уравнений £(х) языка ЬВ . Взяв для каждого уравнения ?1 (х) = ?2 (х) этой системы уравнение ґ[(х, с) = ?2(х, с) , построим систему £ '(х, с) языка Ь . Заметим, что УА(£(х)) = = УА'(£ '(х, с)) . Заменив с набором переменных у , получим систему уравнений £ '(х, у)

языка Ь. Так как алгебра А нётерова по уравнениям, то найдётся такая подсистема £0(х, у) системы £ '(х, у), что

^а(£0(х,у)) = Уа(£ '(х,у)) . Откуда получаем, что УА(£0(х, с)) = УА(£'(х, с)) . Построим систему £0(х), взяв для каждого уравнения системы £0(х, у) уравнение системы £(х) , из которого оно было получено. Так как Уа'(£о(х)) = Уа(£(х)), то £о(х) будет искомой конечной подсистемой.

Лемма 2 в случае групп доказана в работе Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ре-месленникова [4], в случае булевых алгебр -в работе А. Н. Шевлякова [6], в случае идем-потентных коммутативных полугрупп - в работе А. Н. Шевлякова [5].

Будем говорить, что алгебра А нётерова по уравнениям от п переменных, если любая система уравнений £(х) от п переменных х эквивалентна своей некоторой конечной подсистеме £0(х) с £(х). Пусть

Ь = {-,-1,1} - язык теории групп. В работе

Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Ремес-ленникова [4] сформулирована следующая проблема.

Проблема 1 [4]. Пусть группа

О = (0, Ь^а ) нётерова по уравнениям от од-

ной переменной. Следует ли отсюда, что группа G нётерова по уравнениям?

Решение этой проблемы автору не известно. Тем не менее, в общей ситуации для доказательства нётеровости по уравнениям нельзя ограничиться рассмотрением систем уравнений от одной, двух или любого другого фиксированного числа переменных.

Предложение 1. Для любого целого положительного n существует алгебра, которая нётерова по всем уравнениям от не более чем n переменных, но которая не является нётеровой по уравнениям.

Доказательство. Рассмотрим следующую серию алгебраических систем: An = (N,{ fk }ieN, 0) , где функциональные символы fk местности n интерпретированы следующим образом: fk(x1,x2,...,xn) = 0 , если найдётся i такой, что xt = 0, или найдутся такие i Ф j , что xt = xj , fk (x1; x2,..., xn) = max( xx, x2,..., xn, k) иначе.

Докажем, что алгебра An является нётеровой по уравнениям от m переменных, где m < n . Рассмотрим терм t( x1, x2,..., xm ) . Найдём в нём самое глубокое вхождение символа fk. Если среди аргументов этого символа есть 0 , то вхождение этого символа можно заменить на 0 . Иначе же, так как m < n , среди аргументов этого символа найдутся хотя бы две одинаковые переменные, следовательно, это вхождение можно также заменить на 0 . После этого снова найдём самое глубокое вхождение символа fk и применим те же рассуждения. Таким образом, если терм содержал хотя бы одно вхождение fk , то его в записи уравнений можно

заменить на 0 . Таким образом, можно считать, что любое уравнение от m переменных, m < n , имеет один из следующих видов: 0 = 0 , xt = 0 , xi = xj . В этом случае любая система уравнений будет эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме.

Докажем, что алгебра An не является нётеровой по уравнениям. Пусть уравнение

sk (xi, x2,--; xn ) имеет вид fk (xi, x2,---, xn ) = xn .

Рассмотрим систему уравнений

S(xi, x2, ., xn ) = {sk (xi, x2, xn )}keN\{0,1,.,n} . Выберем какую-нибудь конечную подсистему S0( xi, x2,..., xn ) = {sk (xi, x2,., xn )}kel . Пусть

m = max I. Заметим, что точка (m - n +1, m -n + 2, ..., m) является решением системы S0(x1,x2,...,xn) , но не является решением системы S(x1,x2,...,xn) .

В работе Г. Баумслага, А. Г. Мясникова и В. А. Романькова [3] доказана следующая теорема.

Теорема 2 [3]. Пусть группа в нётерова по уравнениям, N - нормальная подгруппа группы в, N является конечным объединением алгебраических над в множеств. Тогда группа также нётерова

по уравнениям.

Теорема 2 допускает следующее обобщение на случай произвольных алгебр.

Теорема 3. Если алгебра А нётерова по уравнениям, конгруэнция в на алгебре А является замкнутым в топологии ZA2 множеством, то алгебра А/в также

нётерова по уравнениям.

Доказательство. Предположим противное. Пусть алгебра А = (А,Ь) нётерова по уравнениям, в является замкнутым в ZA2 множеством, но алгебра А/в = (А/в,Ь) не является нётеровой по уравнениям. Тогда по лемме 1 найдутся последовательность элементов (а,. , а,, е Ап, и последовательность

уравнений (^ (х) = t2j (х)),е1^ языка Ь такие, что А / в |= ^ (а. / в) ф t2^ (а. / в) для всех ,, и А / в |= tl^ (а. / в) = t2^ (а. / в) для всех ] <.. Откуда следует, что (^А(а,.), tA(aj)) йв для всех . и (<А (а.), (а.)) ев для всех ] <,.

Так как алгебра А нётерова по уравнениям, то по теореме 1 конгруэнцию в можно представить в виде в = У1 и У2 и... и Ут , где У - алгебраические над А множества.

Отсюда следует, что найдутся такой индекс к0, 1 < к0 < т , и такое бесконечное

подмножество индексов 10 с N\ {0} , что (^(а.), ^0(а()) еУк0 для всех . е 10. Аналогично, найдутся такой индекс к1, 1 < к1 < т , и такое бесконечное подмножество индексов 1 с /0 \{1} , что (t1A (а.), ^(а.)) е Ук1 для всех . е /1. И вообще, для любого натурального I найдутся такой индекс к,, 1 < к, < т , и такое бесконечное подмножество индексов /, с /1 что (С (а.), ^ (а.)) еУк1 для всех

.е /1.

Так как алгебра А нётерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество является множеством решений некоторой конечной системы. Пусть Ук = УА(Sk(х1; х2)) ,

1 < к < т, где все системы уравнений Sk (х1; х2) конечны. Рассмотрим систему

уравнений S(х) = и^ Skl (t1, (хХ t2, (х)) . Так

как алгебра А нётерова по уравнениям, то система S (х) эквивалентна некоторой конечной подсистеме S0 (х) =

= U ,eISkl (t1t (x), t2l (x)), пусть r = max I. Заметим, что если a e VA(S(x)), то

(tA(a), t2A (a)) e в для любого l, следовательно, A/e\= t1l (a/в) = t2, (a/в) для любого l e N . С другой стороны a,, e VA(S0(x)) для всех i e Ir. Пусть i0 = min Ir, тогда A / в \= t1i0 (ai0 / в) = = t2i0 (ai0 /в). Получили противоречие с выбором последовательности (a( ) .

Рассмотрим два примера. Пусть G = (G, L G) - некоторая группа и Z(G) - её

центр. Определим конгруэнцию в следующим образом: x ~в у О x- у e Z(G) . Заметим, что в этом случае конгруэнция в является множеством решений системы S ( x, у) =

= {[g, x- у] = 1}geG . Следовательно, факторгруппа любой нётеровой по уравнениям группы по её центру снова является нётеро-вой по уравнениям (это также следует из теоремы 2). Пусть LLa - язык теории алгебр Ли, L = (A,LLaA) - алгебра Ли и Z(L) - её центр. В этом случае рассмотрим конгруэнцию в , заданную правилом: x ~в у О

О x - у e Z(L) . Аналогично конгруэнция в является множеством решений системы S(x, у) = {[a,x - у] = 0}aeL . Откуда получаем, что факторалгебра любой нётеровой по уравнениям алгебры Ли по её центру также является нётеровой по уравнениям.

Пусть A = (A,L) - алгебра языка L .

Отображение f : An ^ Am называется термальным, если существуют такие термы t1(x),t2(x),...,tm(x) языка L от n переменных

x , что f (a) = (ti(a), t2(a),..., tm (a)) для всех

ae An . В работе [2] доказывается следующее предложение.

Предложение 2 [2]. Пусть A = (A,L) -

произвольная алгебра, f: An ^ Am - термальное отображение. Тогда

1) прообраз f -1(F) любого алгебраического над A множества Y является алгебраическим над A множеством;

2) прообраз f -1(Z) любого замкнутого в топологии Зарисского ZAm множества Z является замкнутым в топологии Зарис-ского ZA,n множеством.

Для образов при термальных отображениях такое утверждение не имеет места. Тем не менее, в некоторых случаях некоторое описание образов алгебраических множеств при термальных отображениях все же можно получить. Для этого введём несколько обозначений и определений. Рассмотрим

алгебру А = (А,Ь) . Пусть ВАп - семейство конечных булевых комбинаций алгебраических множеств из АА,п . Множество выполнимости формулы р( х) над алгеброй А - это множество {а е Ап |А|=р(а)}. Пусть БАп -

семейство множеств выполнимости над А формул языка Ь с п свободными переменными.

Предложение 3. Пусть Т - некоторая теория языка Ь , допускающая элиминацию кванторов, А = (А, Ь) - нётеровая по уравнениям модель теории Т и /: Ап ^ Ат -термальное отображение. Тогда

1) для каждого к семейство множеств Ба к совпадает с семейством ВА к ;

2) образ /(2) любого замкнутого в топологии Зарисского ZAn множества 2 является конечной булевой комбинацией алгебраических над А множеств;

3) образ /(У) любого алгебраического

над А множества У является конечной булевой комбинацией алгебраических над А множеств;

4) проекция любого алгебраического множества У является конечной булевой комбинацией алгебраических над А множеств.

Доказательство.

1. Пусть X е Ба п , тогда найдётся такая

формула (р(х), что X = {а е Ап | А |= р(а)} . Так как Т допускает элиминацию кванторов, то найдётся бескванторная формула рчГ(х) такая, чтоX = {ае Ап |А|=рчГ(а)} . Следовательно, X является конечной булевой комбинацией множеств решений над А некоторых уравнений. С другой стороны, пусть X является конечной булевой комбинацией алгебраических над А множеств. Так как алгебра А нётерова по уравнениям, то любое алгебраическое над А множество является множеством решений некоторой конечной системы уравнений. Следовательно, X является множеством выполнимости над А некоторой бескванторной формулы.

2. Пусть 2 е ZAn . Заметим, что Ь е / (2) тогда и только тогда, когда найдётся а е 2 такой, что Ь = /(а). Из теоремы 1 следует, что множество 2 можно представить в виде 2 = У1 и У2 и... и Ук , где У1 - алгебраические множества. Из пункта 1 получаем, что найдётся такая формула р(х),

что 2 = {а е Ап |А|=р(а)} . Так как / - термальное отображение, то существуют такие термы ^( хХ ^(х Х.. С(х), что /(а) =

= (^(а),^(а),...,^(а)) для всех ае Ап. Откуда

получаем, что /(2) = {Ь е Ат | Зх р(х) л лЪ1 = t1(x) лЬ2 = t2(x) л... лЬт = ^(х)} . Снова применяем пункт 1 и получаем, что /(2) является конечной булевой комбинацией алгебраических над А множеств.

3. Очевидное следствие пункта 2.

4. Следует из пункта 3 и того факта, что

отображения проектирования р{: Ап ^ Ап-1, задаваемые правилами р{ (а) = (а1,..., а—,

а!+1,...,ап), являются термальными отображениями.

Предложение 3 можно применить, например, в случае нетривиальных делимых абелевых групп без кручения, так как любая абелева группа нётерова по уравнениям [4], а теория нетривиальных делимых абелевых групп без кручения допускает элиминацию кванторов [7, с. 77]. В случае алгебраически замкнутых полей этот результат хорошо известен [7, с. 88].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. 1 (2008). 80112.

[2] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания // Фундамент. и прикл. матем. 17:1 (2012). 65106.

[3] Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V. Two theorems about equationally Noetherian groups // J. Algebra. 194 (1997). 654-664.

[4] Baumslag G., Myasnikov A, Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and ideal theory // J. Algebra, 219 (1999), 16-79.

[5] Shevlyakov A. Commutative idempotent semigroups at the service of universal algebraic geometry // Southeast Asian Bull. Math. 35:1 (2011). 111-136.

[6] Shevlyakov A. Algebraic geometry over linear ordered semilattices, Algebra and Model Theory 8: Collection of papers. Novosibirsk : NSTU, 2011. P. 116-131.

[7] MarkerD. Model Theory: An Introduction,

Springer, 2002.