Несимплектические обобщения гамильтоновой механики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 4. 2010. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 536.4

Л. В. Прохоров, А. С. Ушаков

НЕСИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ ОБОБЩЕНИЯ ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ

Введение. В механике известны уравнения движения, которые нельзя получить в рамках лагранжева формализма, например, такие [1, с. 13]:

где в^к - единичный антисимметричный тензор, е\чз = 1. Гамильтонов формализм является более общим. Информация о законах движения в нём содержится не в одной функции (лагранжиан), а в двух независимых величинах: функции Гамильтона и симплектической 2-форме. К тому же в лагранжевой теории функционал действия варьируется по п функциям от времени ц1 (£), а в гамильтоновом формализме - по 2п функциям (дг(Ь),р^)). В гамильтоновой механике обычно используется простейший случай, когда симплектическая форма преобразованием Дарбу приводится к стандартному виду. Между тем эта механика допускает нетривиальные обобщения за счёт выбора 2-форм [2]. При надлежащем выборе 2-формы уравнения (1) получаются из гамильтоновых уравнений обобщённой механики.

Чтобы задать гамильтонову механику, нужно:

1. Задать чётномерное многообразие М2п и замкнутую невырожденную 2-форму на нём ю2 = (х)йх^ Л йху, ц, V = 1, 2,...,2п, х € М2п, йю2 = 0. Невырожденность

2-формы означает, что det(ю^V(х)) = 0; тогда пространство будет ориентируемым. В этом случае говорят, что задано симплектическое многообразие [3, 4]. Дифференциальная 2-форма позволяет определить скобку Пуассона для пары функций /(х),д(х):

2. Задать некоторую функцию (гамильтониан) Н(х) = Н(р,ц) на М2п, где х = = (ц1,..., цп,р1,... ,рп), Ц и р.1 - обобщённые координаты и импульсы, соответственно.

3. Постулировать существование «времени» (положительного параметра Ь); ц = = ц(Ь),р = р(Ь) есть однозначные функции Ь.

4. Задать законы движения. Уравнения движения записываются в виде

Помимо очевидных свойств скобок Пуассона (линейности по каждому аргументу и антисимметрии) предполагается выполнение тождества Якоби

Цг aвijk цк ■/ ^, 3,к 1, 2■ 3 а СОПв^

(1)

= 5^.

а* = {я1*, Я} = аГдуН, а* =

{!■ &■ Ь}} + {д■ {Ь /}} + {/■ д}} = °

(2)

© Л. В. Прохоров, А. С. Ушаков, 2010

что эквивалентно утверждению о замкнутости 2-формы

daw^v + d^wva + dvwa^ — °* (3)

Отметим, что ориентация фазового пространства задаёт «стрелу времени», а именно, в отличие от стандартных лагранжевых уравнений движения гамильтоновы не инвариантны относительно отражения времени. Чтобы гамильтоновы уравнения движения не изменились при отражении времени, нужно одновременно с обращением времени изменить знак матрицы ю^, (поменять ориентацию).

Уже при простейшем обобщении гамильтоновой механики (за счёт выбора 2-формы) легко получить уравнение (1), а именно, для свободной частицы (H — р2/2) в качестве антисимметричной 6 х 6 матрицы можно взять

— ( geijkpk &is А (4)

\ ^rj ferskqk J

где f — f (q), g — g(p); i, j, r, s,k — 1, 2, 3. Тогда гамильтоновы уравнения движения

qi — Pi, Pi — feijkqjPk (5)

эквивалентны уравнению (1), если f — a. Уравнения (5) при определённом выборе f описывают движение заряженной частицы в поле магнитного монополя.

С целью выявления общих закономерностей несимплектической гамильтоновой механики рассмотрено несколько примеров, характеризующих различные аспекты её возможных обобщений.

Особенности обобщённой гамильтоновой механики. Одна из особенностей предлагаемого обобщения гамильтоновой механики состоит в том, что, как можно убедиться, 2-форма с матрицей, обратной (4),

ф 1_____( feijkqk f 9Piqs ~ 5js A /gN

** (1 — /9ЧкРк) V &rj ~ f 94rPj 9erskPk )

не замкнута: dw2 — 0. Таким образом, мы получаем несимплектическую гамильтонову механику. К чему приводит данная особенность? Во-первых, не выполняется тождество Якоби (2), т. е. нарушается структура алгебры Ли скобок Пуассона на пространстве гладких функций. Во-вторых, неприменима теорема Дарбу, поскольку для её доказательства требуется тождество Якоби [4]. В-третьих, для таких теорий неизвестен вариационный принцип (для неточных форм см. работу [5], но там требуется замкнутость формы; если рассматривать некоторую звёздную область, то на ней любая замкнутая форма является точной). В-четвёртых, гамильтонов фазовый поток не сохраняет инвариантов Пуанкаре, кроме фазового объёма (теорема Лиувилля).

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим элемент фазового пространства ilk — (w2)k, k — 1, 2,... ,n; его дифференциал dik — k(w2)k-1dw2 обращается в ноль только в двух случаях: форма ю2 замкнута или k — n (din - это (2n + 1)-форма, а таких в пространстве M2n нет, если только дю^,/dt — 0; в противном случае теорема Лиувилля не выполняется). Очевидно, если с1ш2 = 0, то = 0 независимо от выбора гамильтониана, что и доказывает теорему о инвариантах Пуанкаре [3, 6, 7].

Даже положив в (6) g — 0, мы при неизменном гамильтониане приходим к тем же уравнениям (5), хотя 2-форма теперь другая:

ю2 — dqi Л dpi + feijkqkdqi Л dqj. (7)

При соответствующем выборе / второе слагаемое в (7) эквивалентно включению поля магнитного монополя.

Модели. Следующие конкретные примеры характерезуют некоторые аспекты простейших обобщений гамильтоновой механики.

Пример 1. Уравнения (5) допускают любопытную интерпретацию. Положив в них / = еде/(тос(</2 + + </|)5), = п, приходим к уравнению

- вде г х г

г=—^^, (8)

\т

13

описывающему движение частицы с зарядом e и массой m в поле магнитного монополя с магнитным зарядом ge (с - скорость света) [8]. Но это есть гамильтоновы уравнения для свободной частицы (H — р2/2) с модифицированной симплектической формой.

Уравнения (8) можно получить не только модификацией симплектической структуры. Согласно Кабиббо и Феррари [9], для включения магнитных монополей в теорию Максвелла тензор напряжённости электромагнитного поля F^v следует представить в виде

F^v — d\XAV dVA\X + e^Vp0дpB0, ^ V, P, О — 1, i2, ^ 4, (9)

где e^vp0 - единичный антисимметричный тензор, ei234 — 1, ВО - второе векторное поле. Выражение (9) сводится к обычному F^v — 3^Av — 3vA^, если отбросить последний член (ВО — const).

Введение второго векторного потенциала В^ ведёт к расширению группы калибровочных преобразований. Однако и при таком включении в теорию магнитного монополя не известен вариационный принцип.

Отметим, что в работе [10] магнитные монополи рассматриваются с точки зрения теории струн и предлагается вариационный принцип.

Пример 2. Уравнения (5) можно получить не только модификацией симплек-тической структуры, но и в рамках гамильтоновой механики со связями и стандартной симплектической матрицей

wv — ( 0 6Г |,r,s — 1, 2, 3,4, 5, 6;

— &Г.Э 0 ' ’ ' ’ '

размерность фазового пространства 2п = 12. Возьмём гамильтониан

Н = feijkpjqkqi+з + ^ (рфз - р^ър^ъ), г,.?, к = 1,2, 3, где / = /(ц1,ц2 ,Цз). Уравнения движения таковы:

& = /вijk ^ цк+3 + ри РЧ = /в3кр^ цк+3 + дqi/вijk ц р3 Чк+3^ &+3 = pi+3■ р^3 = /в3к ркц ■ г,3,к = 1 2■ 3.

Наложим связи

Фi = ГМ + Рi+3 = °, фi+з = qi - ^+3 =°, г =1, 2, 3.

Это связи 1-го рода:

^, Н} = /взкцзрк + /3рзЦк+3 + дq^/взкц%рзЦк+3 ~ °,

^+3,Н} = /в^кцзЦк+3 + Рi + Рi+з ~ °, {фг, Ф«} = °,

г,3,к =1, 2, 3, г,в = 1, 2,...,6.

Как легко убедиться, для физических переменных уравнения движения совпадают с уравнениями (5). С учётом связей гамильтониан обращается в ноль - для механики со связями в этом нет ничего необычного [1, с. 140, 11, с. 83].

Существует система, аналогичная предыдущей, но в которой гамильтониан

Н = /е^кр^ЯкЯг+з + - Ьіз (тмр^ + Рі+зРі+з), і, І, к = 1,2, З,

слабо не равен нулю. Уравнения движения те же, что и у предыдущей механической системы, за исключением уравнений Я2+з = р2+з . Наложим связи

Фі = Рі + Рі+з = 0, фі+з = Яі - Ял+з =0, і = 1, 2, 3.

Это связи 1-го рода (суммирования по і нет):

{фі, Н} = /в^кЯзРн + ІецкРіЯк+з + дЧі яіРзЯк+з ~ 0,

{фі+з, Н} = 2/яіЄіін Яз Як+з + 2яіРі - 2яі+зРі+з ~ 0, {фг, ф8} « 0,

і, 0,к = 1, 2, 3, г,в = 1, 2,...,6.

Для физических переменных уравнения движения совпадают с уравнениями (5). С учётом связей гамильтониан Н не обращается в ноль. Отметим, что в отличие от обычно рассматриваемых теорий каждая из связей ф2+з ~ 0 имеет два разных решения.

Пример 3. Рассмотрим гамильтониан

Н = Ь ■ Ш, (10)

где Ш = Ш(Ь),Яі = Фі,Рі = Ь [12]. В качестве матрицы возьмём матрицу (4) с д = = 0,/ = 1 и заменой я2 ^ Ьі, а именно

Ш" =( ° /т V (11)

\ —І етэкЬк )

Гамильтоновы уравнения

ср = ш, Ь = Ь х Ш (12)

суть уравнения Эйлера движения твёрдого тела с закреплённым центром тяжести.

В данной механике нестандартны и 2-форма (11), и гамильтониан Н (10), который

не ограничен снизу; он содержит произвольную функцию времени Ш и не сохраняется.

Рассмотрим теперь более сложную систему. Возьмём гамильтониан вида

Н = Ъ ■ Ш + р ■ и,

где и = и(€). Вектор фазового пространста есть х^ = (ф2, Ь2, Я2,р2). В качестве матрицы возьмём

= ( А В ) , ^ V =1, 2,...,12,

где

Л — ( -O biST ) , C — —B — ( O O ) , D — ( SO —O

у Srj erskTk J \ O erskpk J \ Srj O

где i, j, k,r, s — 1, 2, 3. Уравнения движения

p — ю, q — и, р — р х р; L — L х ю + р х и, (13)

совпадают с уравнениями Кирхгофа для движения твёрдого тела в идеальной, несжимаемой, покоящейся на бесконечности жидкости [13, с. 495]. Гамильтониан не ограничен снизу и содержит две произвольные функции ю и и, зависящие от времени.

Пример 4. Уравнения движения твёрдого тела (пример 3) могут быть включены в гамильтонову механику как уравнения в теории на алгебраическом многообразии [3, 4]. Рассмотрим алгебру Ли группы вращений SO(3). Пусть скобка Пуассона имеет вид

{Li,Lj } — eijk Lk. (14)

Отвечающая этой скобке Пуассона 2-форма вырождена. Фазовое пространство, образуемое каноническими переменными Li, нечётномерно: N — 3. Уравнения имеют вид [12]

Li — {Li,H(L)}.

Они эквивалентны уравнениям Эйлера (12), если взять гамильтониан H — L ■ ю.

Уравнения Эйлера для движения твёрдого тела с закреплённой точкой можно получить и в рамках симплектической гамильтоновой механики [3, 4, 14]. Сначала надо

снять вырождение. Для L2 выполняется равенство

{L2,Li} — 0, i — 1, 2, 3.

На поверхности уровня L2 — const (сферы) скобка (14) невырождена.

Возьмём гамильтониан вида

и 1 (L1 L2 L2 \

" 2 ( h + h + h ) ’

где Ii — const - моменты инерции. Уравнения движения

Li — eijk LkLj/Ij

суть уравнения Эйлера движения твёрдого тела с закреплённым центром тяжести.

Аналогично поступают и с уравнениями Кирхгофа (13). После снятия вырождения фазовое пространство имеет структуру кокасательного расслоения на сфере [14].

Хотя теория на алгебраическом многообразии и выглядит весьма необычно, она вкладывается в стандартную гамильтонову механику. В случае уравнений Эйлера фазовое пространство имеет размерность 2п — 6 и Li — ejkqjPk, где qj, pk - соответственно, канонические координаты и импульсы. Именно при переходе qi,Pi ^ Li фазовое пространство M6 ^ M3 и скобка Пуассона

{qi,Pj } — Sij ^ {Li,Lj } — eijk Lk, что и даёт необычную механику.

Пример 5. В некоторых случаях одни и те же уравнения движения можно получать при переносе информации из ю2 в Н и наоборот [2, 15]. Данный вопрос в общетеоретическом плане практически не исследован, поэтому желательно иметь по возможности простые примеры, позволяющие прояснить детали подобного соответствия.

Рассмотрим один из простейших примеров. Возьмём стандартную гамильтонову механику с двумерным фазовым пространством и гамильтонианом Н(ц,р). Перейдём к теории с гамильтонианом Н(ц,р) = Н + /(Н), где / - некоторая функция Н. Уравнения движения

ц = дрН(1 + /'), р = -дчН(1 + /'), /1 = дн/ индентичны уравнениям движения с гамильтонианом Н и симплектической формой

т= I ° (1 + /') \-( ° 1 \ , ( ° /'

ю 1 -(1 + /') ° ) V -1 ° ) + \ -/' °

Это есть пример переноса информации о движении из Н в ю2 и наоборот.

Пример, когда подобный переход ведёт к необычной гамильтоновой механике: пусть Н = \ (р2 + </2) + (р4 + </4) = Но + Н. Уравнения движения

Ч=р{^ + у ^ = Р<х>, р= -ц ^1 + у ^

представим в виде

ц = ю(ц,р){ц^ Но} р = ю(q■p){p■ Но}.

Тогда их можно записать с помощью матрицы

/ 2 \ / 2,2\/ 2 2 \

/ О 1 + 7г\ / 0 1 + 2^1- \ / п \

Ю1" = 2 6 = 2+ 2 ' 12 + 22 12 .

\-i-V » ) о ) V ° )

Здесь первая матрица антисимметрична, но вторая симметрична, т. е. это будет теория, в которой не сохраняется «энергия» (д^Н0ю^дуН0 = °) [2] (Н, разумеется, сохраняется). Итак, формально уравнения не меняются, но механика становится весьма необычной.

Заключение. Лагранжева механика включается в гамильтонову как частный случай (с помощью преобразования Лежандра). В общем же случае гамильтонова механика радикально отличается от лагранжевой. В гамильтоновой механике вдвое больше варьируемых переменных, в ней задаётся гамильтониан и независимо от него 2-форма.

Уравнение (1) невозможно получить в рамках лагранжевой механики [1], хотя при соответствующем выборе а данное уравнение представляет интерес - оно описывает движение заряженной частицы в поле магнитного монополя (8). При простейшем обобщении гамильтоновой механики (за счёт выбора 2-формы) мы можем получить уравнения (5), которые эквивалентны (1). Таким же образом в рамках этой модели получаются уравнения Эйлера движения твёрдого тела с закреплённым центром тяжести (12); уравнения Кирхгофа для движения твёрдого тела в идеальной, несжимаемой, покоящейся на бесконечности жидкости (13). Это обобщение является несимплектическим (йю2 = °), т. е. для скобок Пуассона не выполняется тождество Якоби. Соответствующую 2-форму можно представить в виде суммы стандартной симплектической формы и некоторой формы, заданной в конфигурационном пространстве (7), что эквивалентно включению поля магнитного монополя. В данной теории нет привычного нам преобразования Дарбу, не известен вариационный принцип, но она важна, поскольку позволяет включить в рассмотрение «нелагранжевы» системы.

Выше были рассмотрены примеры, которые характеризуют некоторые аспекты простейших обобщений гамильтоновой механики.

В примере 1 рассмотрена модификация гамильтоновой механики за счёт выбора 2-формы, которая позволяет получить «нелагранжевы» уравнения движения, в частности, движение в поле магнитного монополя.

В примере 2 в рамках стандартной гамильтоновой механики получены те же уравнения, но уже за счёт модификации фазового пространства M6 ^ M12 с введением в теорию нефизических переменных, т. е. в теории со связями. При этом сущетвует две модели: в одной гамильтониан с учётом связей равен нулю, а во второй не равен нулю.

В примере 3 показано, что модификация 2-формы допускает теорию с неограниченным снизу, явно зависящим от времени гамильтонианом. Соответствующая теория включает в себя уравнения Эйлера (12) и Кирхгофа (13).

В примере 4 рассмотрена необычная на первый взгляд модель с гамильтонианом вида (10) и скобкой Пуассона (14). В данной модели отсутствуют почти все признаки гамильтоновой механики: фазовое пространство нечётномерно, гамильтониан не ограничен снизу, скобка Пуассона совпадает с алгеброй Ли генераторов группы SO(3). Между тем уравнения движения (12) идентичны уравнениям движения твёрдого тела с фиксированной точкой, и данная теория вкладывается в стандартную гамильтонову механику. В случае уравнений Эйлера фазовое пространство имеет тогда размерность 2п — 6 и Li — eijkqjPk, где qj, Pk - соответственно канонические координаты и импульсы.

В примере 5 рассмотрены простейшие случаи переноса информации из ю2 в H и наоборот (при тех же уравнениях движения). Иногда при таком переносе может получиться весьма необычная механика (с несохраняющейся энергией!), но с неизменными уравнениями движения. В исходной теории энергия сохраняется.

Литература

1. Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб., 2006. 292 с.

2. Прохоров Л. В. // Физ. элементарн. част. атом. ядра. 2008. Т. 39. Вып. 5. С. 1565-1611.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М., 2000. 408 с.

4. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т.1. Ижевск, 1999. 444 с.

5. Golovnev A., Ushakov A. // J. Phys. (A). 2008. Vol. 41. P. 235210-(1)-235210-(12).

6. Голдстейн Г. Классическая механика. М., 1957. 408 с.

7. Невзглядов В. Г. Теоретическая механика. М., 1959. 584 с.

8. Poincare H. // Compt. rend. 1896. Vol. 123. P. 530-533.

9. Cabibbo N., Ferrari E. // Nuovo cimento. 1962. Vol. 23. P. 1147-1154.

10. Барбашов Б. М., Нестеренко В. В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М., 1987. 176 с.

11. Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. Ижевск, 2001. 231 с.

12. Martin J. L. // Proc. Roy. Soc. (A). 1959. Vol. 251. P. 536-542.

13. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М., 1964. 660 с.

14. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. М., 1985.

15. Martinez-Merino A. A., Montesinos M. // Ann. Phys. 2006. Vol. 321. P. 318-330.

Статья поступила в редакцию 29 сентября 2009 г.