CC BY
14
УДК 517.552
DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-26-37
НЕРАВЕНСТВО ЛУЗИНА ДЛЯ ДОПОЛНЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЭЛЛИПСОИДОВ В сn
А.С. Роткевич
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Аннотация
Получено обобщение интегрального неравенства площади для функций, определяемых в дополнение к комплексным эллипсоидам в С" сопряженными интегралами Коши — Лере — Фантаппье. Эти оценки могут быть применены для характеризации гладкости голоморфных функций с помощью псевдоаналитических продолжений и являются частью исследования, посвященного описанию пространств голоморфных функций через полиномиальные приближения. Методы исследования можно рассматривать как модельный пример применения векторнозначной Т1-теоремы для доказательства нелинейных неравенств
Ключевые слова
Неравенство Лузина, интеграл Коши — Лере — Фантаппье, Т1-теорема
Поступила в редакцию 25.09.2017 © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
Работа выполнена при поддержке РНФ (грант № 14-41-00010)
Введение. Рассмотрим область Радона О с С и для г едО сектор Б(г) = ^э^, дО) > 1 г| |. Известно [1, 2], что для функции /, морфной в области О,
№ (дО) ^ С(Р, О)11 А\ц>(дО), 1< Р < ^
для некоторой постоянной с( р, О), где — интеграл Лузина,
голо-
(1)
( Л1/2
Iг (г)= | | /'(^)|2 й№
V 5(2)
йц, — мера Лебега в комплексной плоскости С.
Обобщения неравенства (1) для областей в С" рассмотрены в работах [3-5]. Обобщение этого неравенства, в котором вместо голоморфной функции / рассмотрена функция, определенная ядром интегрального оператора Коши — Лере — Фантаппье в дополнение к строго выпуклой области в С", предложено в работе [6]. Цель настоящей работы — распространить результаты работы [6] на комплексные эллипсоиды. В дальнейших исследованиях полученный результат планируется применять к задачам описания гладкости голоморфных функ-
ций через псевдоаналитические продолжения и полиномиальные приближения (см. [7]). Геометрия эллипсоида подробно изучена в работах [8-10], и здесь будут активно использоваться полученные в них результаты.
Основные обозначения. Для краткой записи неравенств введем символы <, х, и будем утверждать, что / < g, если / < cg для некоторой постоянной с >0, не зависящей от основных аргументов величин / и g. Также / х g, если с"1 g < / < cg для некоторой постоянной с >1. Рассмотрим комплексный эллипсоид
Вр = [г е С" : р(г) = | ^ |2р1 + ... + | X" |2р" -1< г}, где р = (р1,..., рп) е №. Полагаем Вр = Вр.
" -Л \
Примем у(г,£) = (др(£), г) = ¿-^г— {г,]), тогда |у(г,х|у(^,г)| и
}=1
функция г) = |у(г,+ |у(^,г)| определяет на дВр квазиметрику. Шар в С"
обозначим через В = В(1, ^,1), соответствующую квазиметрику — через йВ.
Теорема Лере позволяет выписать воспроизводящую формулу для голоморфных в эллипсоиде В р функций в явном виде, точнее для функции / е Н1(Вр):
/ (г ) = КГ (г )= | / (£,)К & г №), г едВр. (2)
8Вр
Здесь г) = (ф(^), г)~"; dS(^) = (2яi)гnф®л(аф(^))"-1 — форма, определяющая меру Леви — Лере, причем йБ ~ wd<5, где = Пр I ^] I р] '
]=1
йа — индуцированная мера Лебега на границе дВр. Далее полагаем, что пространства Лебега Ьр на дВр определены относительно меры йБ и определяем Ьр (дВр ) = Ьр (дВр, йБ).
Квазишары В(г, 5) = В(г, 5, г) = |м &дВр : d(w, г)< 5} в квазиметрике й имеют меру, сравнимую с 5", | В(г, 5) |= й$ (В(г, 5)) х 5" равномерно по г е [0, е] для
любого значения в >0. Таким образом, |5Вр, й, йБ} является пространством однородного типа.
Для г е С" определим проекцию г на эллипсоид дВр формулой
г] =(1+р(г ))х/(2 р]) гу. В работе Т. Ханссона [9, леммы 2, 3] приведены следующие оценки:
|у(м,г)| хр(М) +1у(М,г), wе(Вр)с, гедВр; (3)
|v(w,г)х|уМ,г)|, м,ге(Вр)с. (4)
Кроме того, для у =- и некоторой постоянной С >0
2шах(р^)
\у(п, £) - у(г, £) + у(г, п)\ < й(п, г У й(г, п)1^ + й(п, £)Иг й(г, п), г, п е дБР; |у(п,£)-у(г,+Ц,п)-г)| < в?гоУ~у, г,п е 5БР, г, п е Б(г0, в), Е,едБР \ Б(г0, С в).
Пусть X, 7 — нормированные пространства. Пространство ограниченных линейных операторов из X в 7 обозначим через £(X, 7), пространства Шварца на 8БР — через 5(8БР), 5(5БР,X), пространство, сопряженное к пространству
Шварца 5(5БР, X), — через 3(дБР, X) = С(в(дБР), X). Более подробно это рассмотрено в работе [11].
Внешние угловые области Корани. Для точки ^еС" определим точку Е,(
формулой (£%)^ =(1 -р(^) +%)1/(2Р)\). В этом случае, если ^ебБР, то едБр.
Для е 8БР примем
Б%ц) = {те С" \БР : р(т) = %, й(т,|%)<л %}.
Определяем внешнюю область Корани как множество
ц) = л, в)= и Б & ц).
0 < % <8
Отметим, что |Б%х %", следовательно, для любой функции ¥, суммируемой в в),
I |Яг)|йф) х | ад | |Нт)|
БР\БР Б Б(§,Л,в) Р(Т)
Кроме того, если Р(п) = ¥(р(п)), то
I (т)|ф(т) X ||¥(%)| . (5)
С(§,л,е) 0
Уточним оценку (3) величины |у(х, г)| для точек т е Б(г,в). Лемма 1. Пусть в, ^ >0. Тогда
|у(т,п)| х р(т) + й(г,п), г,п е 5БР, т е Б(г,г|,в).
< Предположим, что р(т) = %. Согласно оценке (4), |у(т, ¿%)| х |у(т,г)| и, согласно оценке (3),
Ит,п)\ < |у(т,п)\ + % < |у(г,п)\ + |у(т,г)| < % + |у(г,п)|.
Однако из гладкости функции у(х, п) по т, п е С" получаем равномерную по п едБР оценку |у(т, п) - у(т, п)| < |т-т| < %. Следовательно,
Неравенство Лузина для дополнения комплексных эллипсоидов в С"
р(т) + \у(г, п)| < р(т) +| у(т, 2)| +| у(т, п)| < р(т) + |у(т, ^ )| + |у(т, п)| < р(т) +1у(т, п)|,
что заканчивает доказательство. ►
Для дальнейших рассуждений понадобятся отображения областей Корани Д(^, в) на некоторую универсальную область Корани Д0 для шара, и выберем
покрытие {Г]N множества ВрЕ \ Бр со следующими свойствами:
1) Г;- П 8Вр Ф 0;
2) отображение 2 е Г} ^ х(р) = (%р1,.. ,хр") голоморфно и инъективно;
3) на Гр = {х(р): 2 еГ ^ } можно задать голоморфную замену Л(п): С" ^ ^ ОЬ(",С), п е Гр так, что Л(п)п = еп = (0.....0,1) и ||Л(п)-Л(п')|| <| п-п' |;
4) пусть ф;- = Л(п)х(р): Г; хГ; ^ {1<| п |<1 + 2в} и Г0(п) = Л(п)Г<р). Обозначим обратное отображение через у1 (п, •). Можно полагать, что для некоторой постоянной гц >0 отображение у} (п, •) определено во внешней области Кора-ни для шара
Д0 = Д0(111,е) = {т£ С" :1<|т| <1 + 8, йв (т,|т|е" )<г|1 (|т|-Ц и для некоторой постоянной с >0 при 0< ^ < сц\
у1(п, Д^,в)) с Г^ п Д(п,сг|,се); ф,(п, Д(п,ц,в)) с Д0(сг|,се).
( ^
Далее предположим, что выбрано разбиение единицы для покрытия |Г^ | 1
N
х 1 е Сю(Г 1), 0 < X1 < 1, 8ирр X} с Г}, ^ X1 (х) = 1, х едВр.
¡=1
Основная теорема. Пусть в > 0, для функции g е 1}(8БР) и I е М0 определим функцию
ч 1/2
h (g, Z ) =
i
D(z s)
I
2
g (w)dS(w)
dBp v(T, w)«+l
d vi (t)
(6)
j / \ dp(r)
где йБ(п) = (2%1) "ф(п)л(дф(п))" (см. (2)) и (т) ^у-21-1 • Теорема 1. Пусть g е 1р(5Бр), 1< р < да, I е М0. Тогда 111 (g, х)рад < с(р,/) | |^х)|рад
дВр дВр
для некоторой постоянной с(р, I) > 0.
Отметим, что при " = 1 интеграл (6) является голоморфной функцией, и результат теоремы следует из статьи Е.М. Дынькина [2].
Основная идея доказательства этой теоремы заключается в том, что оператор 11 можно рассмотреть как сумму операторов со значениями в некотором модельном пространстве I2.
Зафиксируем параметры 0<в,г|,г|1 <в0, обозначим через (г, т) комплексный дифференциал отображения у ^, тогда
N
h(g,z)2 = Exj(z) J
j=1 D(z >n>s;
g (w) Jj (z, x)dS(w)
f
8Bp j (z, t), w)
d^(x)
N
< Z J
j=1 D
J
g (w )xf(z) Jj (z, x)dS(w)
B v(v j (z, "0, w )n+l
Рассмотрим функцию
Re(x„ )"-2l+1 ~ d^(x)
(7)
Re(x„)
n-2l +1
Kj (z, w)(x) =
%f(z)Jj (z, x) v(y j (z, x), w)n+l
как отображение дБР хдБР ^ С(С, Ь2(Б0, )) такое, что его значениями являются операторы домножения ^е С п) е 12(Б0, й\>1), где й\>1 (х) =
=-, мера на множестве Б0. Далее полагаем, что числа ), I зафикси-
1ш(Х")" 21+1
рованы. Норму функции Б в пространстве 12(Б0,) обозначим через ЦрЦ.
Покажем, что интегральный оператор Т), определенный ядром К}, непрерывно отображает пространство ЬР(дБР) в пространство ЬР (8БР, 12(Б0, й V/)).
Для этого адаптируем Т1 -теорему для интегральных операторов с операторно-значными ядрами [11] для рассматриваемого контекста.
Определение 1. Функцию / е С00 (дБР) называем ЬытР-функцией, ассоциированной с квазишаром Б(п0, г), если эирр / с Б(п0, г), |/| < 1, и
|/® - /(г) < , г едБР.
Множество ЬитР-функций, ассоциированных с квазишаром Б(п0, г), обозначим А(у, п0, г).
Теорема 2. Предположим, что ядро К: дБР х8БР ^ £(С, 12(Б0, dvl)) удовлетворяет оценкам
1
K(z, w)l " d(z, w)n' ||K(z, w) - K& w)|| < ^^ , d(z, w) > Cd(z,
||K(z, w) - K(z, w')|| < d}w' w')Y„, d(z, w) > Cd(w, w')
(8) (9) (10)
й(г,п)"+у
для Ъ,, г, п е дБР и некоторых постоянных С >0.
Предположим, что оператор Т: 5(5БР) ^ 5'(дБР, £(С, I2 (Б0, й\>1))) с ядром К удовлетворяет следующим условиям:
1) Т1, Т'1е БМО(5Бр, Ь2(Д), й\1)), где Т' формально сопряженный к Т оператор;
2) оператор Т является слабо ограниченным, т. е. для произвольных Ьитр-функций /, g е А(у, м0, г)
||(g, Т/)|| < Сг-",
где (^, Т/)е £(<С,Ь2(Д0,)) — действие Т/ е 5'(5Бр,£(С,Ь2(Д„й\1))) на функцию g е 5(5Бр). Тогда Т е £ (Ьр (8Бр), Ьр (8Бр, Ь2(Д0, ))) при р е (1, да).
Подробные определения, связанные с этой теоремой, и ее доказательство приведены в работе [11]. Отметим, что пространство Ьр(8Бр, Ь2(Д0, )) определяется относительно меры Лере — Леви ЧБ.
В следующие четырех леммах докажем, что ядра К^ и соответствующие им
операторы Т удовлетворяют условиям Т1 -теоремы. В частности, в леммах 2, 3 докажем, что Т1, Т '1 е Ь° (8Бр, Ь2 (Д, )) с БМО(8Бр, I2 (Д, )). Лемма 2. Ядро К^ удовлетворяет оценкам (7)-(9).
< Пусть Д(г) = Д(г, с^). Согласно лемме 1, |у(х, м)| х р(х) + Ч(г, м), г, м е 8Бр, х е Д(г). Следуя правилу (5), получаем
1|К (гм)||2 < Г ^(т) < ? г21 -Чг < 1 || )(2, м)|| - ¿}(р(т) + й(г, м))2"+21 ~ £ (г + й(г, м))2"+21 ~ Ч(г, м)2" '
Для доказательства свойства (9) введем обозначение хг = (г, т). Тогда
(А(г)хк) = (хг)рк, к = 1,...,", отсюда для некоторой постоянной С >0 (см. [9]) при й(г, м)> СЧ(г,
|у(хг, м) - у(х§ , м>)\ < |у(х§ , м^ У |у(£, г)|у.
Следовательно,
|у(хг,м) -у(х§,м)| £ |у(т2,м)|; |у(х§,м)р1-;
у(хг, w)m v(x§, w)
j=o
v(xz, w )mv(\ , w T \v(z,y |v(Xg, wfy < |v(z,y
|v(x§, w) |m+1 |v(x§, w) |m+y
Окончательно
\\v( ) ^ (J= )f< Г Iхj(z)1/2 "Xj(^)1/2|2 d^) Kj(z, w) - Kj w) < J 1 1
n-2l +1
'D\z) |v(x, w)2n+2l| p(x) |v(z, ^)|2 y ф(х) . |v(z, |v(z, d(z, tfy
D0 |v(Xz,w)|2n+2l+2y | X r2l+1 ~ |v(z,wf+2y ~ |v(z,w)|2n+2y ~ d(z,w)2n+2^
Свойство (10) доказывается аналогично. ►
Лемма 3. Пусть xz = уj (z, т), тогда
dS(w)
J
\n+1
< 1,
0BP (5p(lz ), Tz - wf
следовательно, ||Tj (1)|| ~1.
< Функция v(xz, w) = (öp(xz), xz - w^ голоморфна в Bp относительно w, отсюда
T/1U4 fX j (z)1/2 Jj (z, x)dS(w) fx j (z)1/2 Jj (z, x)dV(w) Tj (1)(x)= J . ,-mrr = J
8Bp - BP (5p(Xz), Xz - w)'
где dV (w) = (ddp(E)))n. Аналогично лемме 1
n+l '
|(5p(Xz), Xz -w)| X p(x)+ | p(w)| + |(öp(z), z-iw)|.
Следовательно,
Tj(Ш| £ J^L" < № J
dat
Bp\v(Tz, w) |n+l 0 Д (t + P(0 + v(z, w)>
n+l ~
T x vn-1dv
dt
z d ,„+1 z < p(^)1-1 ln 11+
0 0
(t + p(x) + v)n+l~ 0(t + p(x))1
p(T)
и
J |Tj(1)(X)|2 dvl(x) < jp(x)2"21 ln2f 1 1 dvl(x) < Jln2f 1+^sds < 1.
D D V Re(^n)) 0 V s J Это заканчивает доказательство теоремы. ► Лемма 4. ||l}(1)|| < 1. < Рассмотрим
v л Г *j(z)1/2Jj(z, x)dS(z) f xj (z)1/2Jj(z, x)(dS(z) - dS(xz)) Tj(1)(w )(X)= J , , j 4,„+I-= 1 --j-=-+
8bp \v(1z,w)|n+ 8bp
f Xj (z)1/2 Jj (z, x)dS(xz)
,in+1
|v(Xz, w)|
= L1 + L2.
8BP |v(Xz, w)| Отметим, что |dS(z) - dS(xz)| < p(xz )dc(z) и
L . p(xz)da(z) <| p(xz)vn~1dv _
5Bp |v(iz, w)\n+l~ 0 (p(Tz) + v)n+^ Re(xn)
Следовательно,
1
1
l1 ^(t) - 1 P(,zГ2 P(,z)
d^(x)
,21-2 \n-21+1 ~
■ tndt
^ < 1.
J f«-1 ~
(11)
Чтобы оценить L2, напомним, что dg
dS£)
(Фоа zj
= 0, z edßp, ^еС"\BP,
отсюда
\n-\
й ds(& (аф©)" . z))aösp(^)у- i dv® dt —-—:—— = —-—:—-— (" +1)- _
vß, z )"+l vß, z)"+l По теореме Стокса
v& z)
n+l
" v(£>, z)
n+l
T _ r Xj(z)1/2Jj(z,x)dS(iz)_ . öz(xj(z)1/2Jj(z,T))adS(zz) L2= J -Л"+1-= J
ÖBP v(Tz,w)
Bp \BP
S1
v(lz, w)
n+l
_ l . x j (z )1/2 Jj (z, x)dV (Tz)
nBP\BP v(Tz,w)"
S1
\"+l
Аналогично лемме 1 оцениваем |у(хг, м)| х р(т) + р(г) + |у(г, м)|, где г = ртдБр (г), откуда ||Ь2|| < 1 аналогично лемме 3. Объединяя это с оценкой (11), получаем
Т (1)1 ^ 1. ►
Лемма 5. Оператор Т слабо ограничен.
< Пусть f,g е A| —, w0,r |, введем обозначение tz = уj (z,т), тогда
||(g, Tjf)f < Jdvt(x) J |g(z)|dS(z)
D0 ^ B(w0,r)
f (w)dS(w)
i , v
B(w0,r)(Öp(Tz), Tz - w)
Обозначим t := inf |v(xz, w) и определим множество
wedBp
W(z, x, r) := {w e dBP : |v(xz, w)| < t + r}.
Отметим, что эирр / с Б(м0, г) с М"(г, х, сг) с Б(г, с2г) для некоторой постоянной с >0, отсюда
С f (w )dS(w)
B(w0,r) v(^z,w)"+l
+ | f (z )|
j f (w )dS(w)
W(z,r,cr) v(lz, w)"+l
dS(w)
< / fzfidS«-
i
W(z,T,cr)
dS(w) ^
afp v(xz,w)
ÖBP\W(z,x,cr) v(Tz,w)"
= L1(z, x) + |f (z ) (L2(z, x) + L3(z, x)).
Из оценки | f (z) - f (w) | < d(w'z) следует, что
L ( ) < , v(w, z)y dS(w) < ^ tn+y~1dt < _1_^ dt <
1(z, T) ~ у J . „V... ~Wn+l ~ „V J , 4-\n+l ~ „V J
ry BCzA)(P(T)+ v(w, z))n+l ~r? 0 (p(t) +1)n+l~f 0 (p(T) +1)l-y+1
< 1 f 1 1 1 (р(т) + r )l-^-p(x)1-
~г ЧрСО1 (р(х) + г )1 -у) г У р(х)1 -У (р(х) + г )1-У Таким образом,
1 Г1~у
11 (г, х) <--;-;—, р(х) < г;
~гу р(х)1 -у (р(х) + г)1
11 (г, т) < —-ГР(Т)/"У'1 , , Р(^) ^ г.
гу р(х)1 (р(х) + г)1
Используя оценку (5) и замену 5 = р(х), оценим !2(Д0,йх/) норму функции 11(г, х),
\ ¿1(г, Х)2(Х) < 1 + Гц] 52(1-у)(51, Г)2/-2у +
С0(т) Г 0 5 (5 + Г) 5
Г2 " 5"+2й5 < 1 (12)
+ г2у J 52(/-у)(5 + г)2/-2у 5"—2/+1 ~ . ( )
Чтобы оценить второе слагаемое 12, применим к дифференциальной форме йБ(п)
\n+l
теорему Стокса в области
(5p(Xz), Xz - w)"
W0 = {w e Bp : |(Öp(xz), Xz - w)| > t + cr}.
Тогда
j dS(w) = j dV(w)
8BP \W (z ,т ,cr) z ), Xz - W0 (öp(Tz ), Xz -
dS(w) T 1
rn+l
Г --г = 14--^Г^ Г (5р(Хг), Хг -И йБ(п).
/я / \ \"+/ 4 (% + СГ )2"+2/ Л \ ^ г» г /
пеБР (5р(Хг), Хг - ^ (% + СГ) пеБР
|у(Тг )|=% +сг |у(тг )|=%+сг
Из доказательства леммы 3 следует, что
ы < I_й^М_< Г_йХМ_< 1.
^0 (5р(Хг ), Хг - БР ф(Хг ), Хг - п)
Применяя теорему Стокса к области е БР : |у(хг,п)| < % + сг}, получаем
, , . . —---и+/
L5 := J v(xz, w) dS(w)= - J v(xz, w) dS(w) +
weBP wsdBP
|v(xz ,w)|=t+cr |v( Tz ,w )|<t+cr
+ J dw I v(xz, w)"+l Ja dS(w) + J v(xz, w)"+W(w).
wgbp ' "P
|v( Tz ,w )|<t +cr
wgbp |v( Tz ,w )|<t +cr
Поскольку
dw
(5p(iz), Tz - w) "j a dS(w)
J
t+cr
|(öp(Tz ), Tz - w)|
"+l -1
|L5|< J (s"+ls"_1 + s"+ls" + s"+l~1s")ds < J s2"+l~1ds < r(t + r)2"+l~1.
Отметим, что и
J L5(z,x)2dvi(x) < J
r(Re(X") + r )2"+l-1 (Re(xn) + r )2"+21
dvi(x) <
<» r2 £ I'
t"dt
<» al-1
j f-= r2\t~
t dt , 2 г dt
•< r J --— < 1
(13)
0 (t + r)2l+2 t"-2l+1 0 (t + r)2l+2 t"-2l+1~ 0 (r +1)3 Объединяя оценки (12), (13), лемму 3 и условие |f (z)| < 1, z e dBP, получаем
(
V
||(g, Tjf)|| <Jdvt(x) J |g(z)|(L1(z,x)+1 f(z)\(L2(z,x) + L3(z,x)))dS(z)
B(wo ,r)
<
<
МчиР) sup J ^ + ^ + z )2 )dVl ) <|Б(^' r)|2.
zeB d0
Эта оценка влечет слабую ограниченность оператора T и завершает доказательство теоремы. ►
Заключение. Доказательство теоремы 2. Поскольку операторы Tj с ядрами теоремы 1 Kj удовлетворяют условиям Tl-теоремы, Tj е C(Lp(8БР), ЬР(дБР, L2 (D0, dvj)) и
l'l(g *PP „P)
N
Z J IlTjg(z)|Г dS(z
j=16BP
N
= Z J dS(z)
j=1dBP
J
g (w)%1l2(z)IJ (z, x)dS(w)
ejjP (öp(Vj(z,x)), у,.(z,x)-w}'
V
d^(x) Re(X" )"-1
< I|glP
L (8BP)
Следовательно, из разложения (7) J Ii (g, z)p dS(z) < J |g(z)|p dS(z), что дока-
8BP 8BP
зывает теорему 1.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stein E.M. On the functions of Littlewood — Paley, Lusin, Marcinkiewicz // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. Vol. 88. P. 430-466.
2. Дынькин Е.М. Оценки аналитических функций в жордановых областях // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 73. С. 70-90.
3. Ahern P., Bruna J. Maximal and area integral characterization of Hardy — Sobolev spaces in the unit ball in Cn // Rev. Mat. Iberoamericana. 1988. Vol. 4. No. 1. P. 123-153.
4. Krantz S., Li S.Y. Area integral characterizations of functions in Hardy spaces on domains in Cn // Complex Variables. 1997. Vol. 32. No. 4. P. 373-399.
5. Sandrine G. Complex tangential characterizations of Hardy — Sobolev spaces of holomor-phic functions // Rev. Mat. Iberoamericana. 1993. Vol. 9. No. 2. P. 201-255.
6. Rotkevich A.S. External area integral inequality for the Cauchy — Leray — Fantappié integral. URL: https://arxiv.org/abs/1707.08181 (дата обращения: 15.09.2017).
7. Роткевич А.С. Конструктивное описание классов Бесова в выпуклых областях в Cd // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 2013. Т. 416. С. 136-174.
8. Bonami А., Lohoue N. Projecteurs de Bergman et Szego pour une classe de domaines faiblement pseudo-convexes et estimations LP // Comp. Math. 1982. Vol. 46. No. 2. P. 159-226.
9. Hansson T. On Hardy spaces in complex ellipsoids // Ann. Inst. Fourier. 1999. Vol. 49. No. 5. P. 1477-1501. DOI: 10.5802/aif.1727
10. Широков Н.А. Равномерные полиномиальные приближения в выпуклых областях в С" // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 2006. Т. 333. С. 98-112.
11. Hytonen T., Weis L. A T1 theorem for integral transformations with operator-valued kernel // J. Reine Angew. Math. 2006. Vol. 599. P. 155-200.
12. Leray J. Le calcul différentiel et intégral sur une variété analytique complexe (Problème de Cauchy. III) // Bull. Soc. Math. Fr. 1959. Vol. 87. P. 81-180. DOI: 10.24033/bsmf.1515
Роткевич Александр Сергеевич — доцент кафедры математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета (Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Роткевич А.С. Неравенство Лузина для дополнения комплексных эллипсоидов в Ся // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 1. C. 26-37. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-26-37
LUZIN INEQUALITY FOR THE COMPLEMENT OF COMPLEX ELLIPSOIDS IN Сn
A.S. Rotkevich [email protected]
Saint Petersburg University, St. Petersburg, Russian Federation Abstract Keywords
We consider a generalization of Luzin area integral ine- Luzin inequality, Cauchy — Leray —
quality for functions defined by Cauchy — Leray — Fan- Fantappie integral, Tl-theorem
tappie adjoint integral in the complement of complex
ellipsoids in Cn. In this work we obtain estimates that are
useful for characterization of the smoothness of holomor-
phic functions by pseudoanalytical continuations. These
results are a technical part of the investigation devoted to the description of spaces of holomorphic functions by polynomial approximations. Our methods could be considered as a model example of the application of vector- Received 25.09.2017 valued T1-theorem to the proof of nonlinear inequality © BMSTU, 2018
The work was supported by the Russian Science Foundation (grant no. 14-41-00010) REFERENCES
[1] Stein E.M. On the functions of Littlewood — Paley, Lusin, Marcinkiewicz. Trans. Amer. Math. Soc., 1958, vol. 88, pp. 430-466.
[2] Dyn'kin E.M. Estimates of analytic functions in Jordan domain. Journal of Soviet Mathematics, 1986, vol. 34, iss. 6, pp. 2060-2073. DOI: 10.1007/BF01741580
[3] Ahern P., Bruna J. Maximal and area integral characterization of Hardy — Sobolev spaces in the unit ball in Cn. Rev. Mat. Iberoamericana, 1988, vol. 4, no. 1, pp. 123-153.
[4] Krantz S., Li S.Y. Area integral characterizations of functions in Hardy spaces on domains in Cn. Complex Variables, 1997, vol. 32, no. 4, pp. 373-399.
[5] Sandrine G. Complex tangential characterizations of Hardy — Sobolev spaces of holomorphic functions. Rev. Mat. Iberoamericana, 1993, vol. 9, no. 2, pp. 201-255.
[6] Rotkevich A.S. External area integral inequality for the Cauchy — Leray — Fantappié integral. Available at: https://arxiv.org/abs/1707.08181 (accessed: 15.09.2017).
[7] Rotkevich A.S. Constructive description of the Besov classes in convex domains in Cd. Journal of Mathematical Sciences, 2014, vol. 202, iss. 4, pp. 573-600.
DOI: 10.1007/s10958-014-2064-z
[8] Bonami A., Lohoue N. Projecteurs de Bergman et Szegö pour une classe de domaines faiblement pseudo-convexes et estimations. Comp. Math., 1982, vol. 46, no. 2, pp. 159-226.
[9] Hansson T. On Hardy spaces in complex ellipsoids. Ann. Inst. Fourier, 1999, vol. 49, no. 5, pp. 1477-1501. DOI: 10.5802/aif.1727
[10] Shirokov N.A. Uniform polynomial approximations on convex domains in C". Journal of Mathematical Sciences, 2007, vol. 141, iss. 5, pp. 1564-1572. DOI: 10.1007/s10958-007-0064-y
[11] Hytönen T., Weis L. A T1 theorem for integral transformations with operator-valued kernel. J. Reine Angew. Math., 2006, vol. 599, pp. 155-200.
[12] Leray J. Le calcul différentiel et intégral sur une variété analytique complexe (Problème de Cauchy. III). Bull. Soc. Math. Fr., 1959, vol. 87, pp. 81-180. DOI: 10.24033/bsmf.1515
Rotkevich A.S. — Assoc. Professor of Mathematical Analysis Department, Saint Petersburg University (Universitetskaya naberezhnaya 7/9, St. Petersburg, 199034 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Rotkevich A.S. Luzin Inequality for the Complement of Complex Ellipsoids in Cn. Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. im. N.E. Baumana, Estestv. Nauki [Herald of the Bauman Moscow State Tech. Univ., Nat. Sci.], 2018, no. 1, pp. 26-37 (in Russ.). DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-26-37
