CC BY
12
УДК 517.988.5, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-579-584
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ
© В. С. Трещёв
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
Предлагаются условия, обеспечивающие непрерывную зависимость от параметров решений краевой задачи для системы неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Используемый в работе метод основан на результатах о векторно накрывающих отображениях, полученных Е.С. Жуковским.
Ключевые слова: система неявных дифференциальных уравнений; краевая задача; векторно накрывающие отображения; метрические пространства
Идея применения накрывающих отображений в исследовании неявных обыкновенных дифференциальных уравнений предложена в [1], в этой работе были получены условия существования и продолжаемости решений задачи Коши. В [2] в терминах накрывающих отображений были получены условия непрерывной зависимости решений задачи Коши от параметров. В связи с исследованиями краевых задач для неявных обыкновенных дифференциальных уравнений в [3]-[5] начато изучение накрывающих отображений в произведениях метрических пространств. Эти исследования привели к понятию векторно накрывающего отображения; основные результаты о векторно накрывающих отображениях получены в [6], [7].
В работах [8]-[13] результаты о возмущениях векторно накрывающих отображений применены к изучению задачи Коши и краевых задач для неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Данная статья продолжает это исследование. Здесь предлагаются условия, обеспечивающие непрерывную зависимость от параметров решения краевой задачи для системы неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Используются следующие обозначения: 1п — п -мерный вектор, все компоненты которого равны 1, Rra — n -мерное вещественное пространство и R+ — конус векторов с неотрицательными компонентами в этом пространстве; L^([a,b], R) — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций x :[a,b] ^ R с нормой ||ж||ьто([а,ь],к) = vrai supie[tt>5] \x(t)\; AC^([a,b], R) — банахово пространство абсолютно непрерывных функций, имеющих почти
всюду производную x G Loo([a, Ь], R), с нормой ||ж|иСоо(МД) = РНьоо(МД) + 1^)1- _
Пусть заданы метрические пространства Xj = (Xj,px;), Yj = {Yj, pYj), i = l,n, j = l,m.
_ n _ m
Определим произведения этих пространств X=Y[Xi, Y= П Yj и зададим в них векторные
г=1 _ j=1 _
метрики, полагая для х=(х\,.. .,хп), u=(v,i,... ,ип)еХ и у=(у ь ... ,ут), ш = (ш\,... ,шт)е Y Рх(х,и) = (рхL(a?l,«l), . . ■ ,рхп(хп,ип)), ру(у,ш) = (pYl{yi,Ul), ■ ■ ■ , pYm(ym,UJm)) .
Обозначим Бх1 {щ,() = {хг € Xг: рхг{иг,хг) < } — замкнутый шар в пространстве Xг с центром в точке щ € Хг радиуса (г > 0. Аналогично, обозначим Бу:/ {ш] ,Т]) замкнутый шар в пространстве {У] ,р). Определим произведения этих шаров
т
Ву(ш, г) = Ву^щ, Гу) = {у еТ, Ру(у, из) < г}, где г = (п, ...,гт)е М^,
3 = 1
п
ВТ(и, й) = П вхЛи*> где Л = (1п) е М+.
г=1
Пусть, задано множество \¥ СУ, пх т матрица А с неотрицательными компонентами
г],
dij, i = l,п, j = l,m. По заданным и°<ЕХ, Лей™ определим множество
®(и0,Д) = {(и, г) е В^{у°,В) х М™ : Аг+ рТ(и,и°) < Щ. (1)
Определение 1 [6], [7]. Отображение Ф : X —> У называем векторно условно А -накрывающим множество Ш на совокупности В {и0 , Я) если
УиеВТ(и°,Я) Ууе\¥ ПФ(Х) Ару(у, Ф(и)) + < Я =>
ЗжеХ Ф(х) = у, ~Рх(х, и) < А~ру(у, Ф(и)).
Будем рассматривать пространства Мп, Ь^{[а,Ь], Мп), АС^{[а,Ь], Мп) как произведения соответствующих метрических пространств, т. е. определим в этих пространствах векторные метрики равенствами
{(,1 ) = (( - ъ\,---, \йп - 1п\) Уй, 7 € Мп, РЬооСМ,»»)^.^)^ (\\У1 - ™1\\ьх({аДД), ■ ■ ■ ,\\Уп - Ып^^^адд-)) V у, V) € Ь^Ца, 6],Мга), Рж700([а>ь]>к»)(ж, у)=(\\xi- У1\\АСоо{[аМЛ),..., \\хп - уп\\АСоо{[аМЛ)) V X, V е АС«, ([а, Ь], Мга).
Сформулируем утверждение о непрерывной зависимости от параметров решений краевой задачи для системы неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Пусть при любом натуральном I заданы: вектор а1 е , непрерывная функция д1 : Мп х Мп — измеримая функция Н : [а, Ь] — Мп, измеримая существенно ограниченная функция у1: [а, Ь] — Мт, измеримая по Борелю ограниченная функция р1: {-ж, а){]{Ь, ж) —
— Мп, и определена удовлетворяющая условиям Каратеодори функция f1: [а, Ь] х Мп х Мп —
— Мт. Относительно функции f1 предполагаем, что для любого т € Мт существует такое г]1г > 0, что при почти всех £ е [а, Ь] и любых х, из € г) выполнено неравенство \! 1{г,х,ш)\<г!1г.
Рассмотрим при Ь € [а,Ь], I = 1, 2,... последовательность систем
ь]\°) — f j с краевыми условиями J
fi (t, Х\ (h[(t)) ,...,хп (hln(t)) ,xi(t),..., xn(t)^j = y\{t), i = l,m, Xj(s) = (p\(s), если s [a, b], j = 1, n,
(2)
д^х\(а),..., хп(а), х\(Ь),... ,хп(Ъ)) = А^, I = 1,2,..., г = 1, к. (3)
Для любого ] = 1 ,п, при всех ¿ = 1,2,... зададим (очевидно, измеримые) множества
Б] = {Н13 )-1 [а, Ь] = {Ь € [а, Ь] : Н13 (Ь) € [а,Ь]},
и числа Hj = vraisup(ftj(t) — a). Полагаем Hj = 0, если Ej = 0. Положим Hj = sup Hj .
teEj i=i,2,...
Определим оператор
Shi : AC ([a,b], Rn) — Lx([a,b], Rn), Shi x = (Shi xi,...,Shi xn),
(4 ,r)(t) - I ^ЧКЧЬ n-TH
{bhjx3){t) - I , h если t j = i,n.
Xj(hj(t)), если t / Ej, j (j (t)), если t/Ej,
Пусть заданы функция x0 /AC^([a,b], Rn) и n x m матрица A1 с неотрицательными компонентами. Пусть е1 >0, е2 > 0, R1 = еЧп, R2 = е2Тп G R™, d1 = еЧт G R™. Определим u0 — xP / LXl([a,b}, Rn ), y0 — x0(a) / Rn. Зададим при каждом t/ [a,b] совокупность B(u0(t),R1) С Rn x Ж^ равенством (1), где A — Ai, т.е.
«(^(i),^1) = {(u,r) G Rra x R™ : Air + pRn(u,u°(i)) < R1}.
Обозначим через Xj, j = l,n, компоненты функции x° G ACoo( [a, 6], Rra). Положим
5 (t) — П D (t:>, где D (t) — {+Ri(t-t*1"" t/Ej '
Определим при п. в. t G [a, b] и любом x<ED(t) множество Wl(t, x) = Bgm (/(t, x, u°(t)), d1) =
m _
= П Wl(t,x), Mt,x,u°(t)) + dl], 1 = 1,m.
i=1
Пусть определены матрица A2 с неотрицательными компонентами размерности n x k и вектор d2 /R+. Зададим совокупность 70 , R2) С Rn x R+ равенством
<В(70,Д2) = {(7> г) еГх^: A2r + pRn(7,7°) < Я2}-При любом x G ВRn (ж°(6), R2 + Rl(b — a)) определим множество W2(x) = ВЖк (д(70, x),d2) = = П W2(x) = Ы 7°, 9г( 7°, x)+d%\, i=TJ.
г=1 _
Положим при любом j = 1, п, при всех ¿ = 1,2,...,
&(t) — J! D (t) где D (t) — { , R + Rl(t ~ a)P, если t/Ej,
V (t) — j=j Dj(t) где Dj(t) —j ^hj(t))}j еслIj t/Ej.
Определим при п. в. t G [a, b] и любом x<EDl(t) множество Wll(t, x) = Bgm (fl(t, x, u°(t)), d1). Вычислим
y0l(t) — fl [t, (Sh{ x0)(t),..., (Shn x0n)(t),u0 (t),...,u0n(t)), A01 —g01 (70,...,7П ,y0 + } u1(s)ds,...,Y0n + } u0n(s)ds).
a a
Пусть при l ^ ж имеют место сходимости
vrai sup \y°l - yl \a01 - al | ^ 0, (4)
te[a,b]
Теорема 1. Пусть при каждом натуральном l — 1,2,... выполнены следующие условия:
• при почти всех t/ [a,b] и любом x/Dl(t) отображение fl (t,x, ) : Rn ^ Rm является векторно условно A1 -накрывающим мсожество W 1l(t,x) на совокупности B(u0(t),R1) ; при любом x G -Br™ (ж0(b), R2 + Rl(b — a)) отображение gl(-, x) : Rra —> Rfc является векторно
условно А2 -накрывающим множество Ш21{х) на совокупности ;
• для любых 1 = 1, т, з = 1,п существует такое /3^>0, что при почти всех всех
из € В^п (-и0(£), Я1) и любых ХрЕ 01р({),р = 1,п и рф], отображение
/■(Ь,х1,...,хз-1, ■,хз+1,. ..,Хп^) : Г] {Ь) — М
является (3^ -липшицевым; для любых 1 = 1, к, ] = 1 ,п существует такое (3^>0, что при всех 7€?8(7°,Я2) и любых хр € В^(хр(Ь), К2 + Кр(Ъ — а)), р=1,п и рф], отображение
д\{7,х1,.. .,х]-1, ■,х]+1, ...,х,п) : Бм (х°{Ь),Е2 + Щ{Ь - а)) — М является в2] -липшицевым;
• для любых г = 1,т, ] = 1 ,п, при почти всех ^ е [а, 6] и любых х^^Б1^) имеет место включение
у\(t) е fl (t, X!,..., , BRn (и0 (t), RL))
для любых i = l,k, j = l,n, любых Xj + Щ(Ь —aj) имеет место включение
спектральный радиус g произведения BA матриц
а=(А А)■ б=(Б11 Б12
V 0 А2) \Б21 Б22
где Б11 = {Н]в1 )тхп, б 12 = {в}3)тхп, Б21 = ({Ь - а)в23)кхп, Б22 = {в%)кхп, удовлетворяет неравенству д{БА) < 1;
Тогда, если имеют место соотношения (4), то при каждом I, начиная с некоторого номера, существует определенное на [а,Ь] решение £1 € АС^{[а,Ь], Мп) краевой задачи (2), (3) такое, 'что имеет место сходимость — х0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.
4. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об управлении объектами, движение которых описывается неявными нелинейными дифференциальными уравнениями // Автоматика и телемеханика. 2015. № 1. С. 31-56.
5. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. О периодической краевой задаче для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной // Известия ИМИ УдГУ. 2012. № 1(39). С. 52-53.
6. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 373-377.
7. Жуковский Е.С. О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 2 (236). С. 297-311.
8. Трещёв В. С. Разрешимость краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. Вып. 2. С. 440-443.
9. Трещёв В.С. Непрерывная зависимость от параметров решений краевых задач дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 1. С. 62-66.
10. Алвеш М.Ж., Плужникова Е.А., Трещёв В.С. Условия накрывания оператора Немыцкого а пространстве существенно ограниченных функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 5. С. 992-995.
11. Трещёв В.С. О задаче Коши для систем неявных дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 2. С. 430-434.
12. Трещёв В.С. Об условиях накрывания оператора Немыцкого в пространстве измеримых существенно ограниченных функций // Математическое и компьютерное моделирование, информационные технологии управления: сб. тр. Школы для студентов, аспирантов и молодых ученых «МКМИТУ-2016». Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2016. С. 229-232.
13. Трещёв В.С. О нелинейной краевой задаче для систем неявных дифференциальных урвнений с отклоняющимся аргументом // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. 9 Междунар. конф. «ПМТУКТ-2016». Воронеж: Изд-во «Нучная книга», 2016. С. 356-360.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 17-01-00553).
Поступила в редакцию 17 апреля 2017 г
Трещёв Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра функционального анализа, e-mail: [email protected]
UDC 517.988.5, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-579-584
CONTINUOUS DEPENDENCE ON PARAMETERS OF SOLUTIONS TO BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR A SYSTEM OF IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEVIATING ARGUMENT
© V. S. Treshchev
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 33 Internatsionalnaya st., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: [email protected]
Conditions are offered that ensure a continuous dependence on the parameters solutions of the boundary value problem for a system of implicit differential equations with a deviating argument. The method used in this paper is based on the results on vector-covering mappings obtained by E.S. Zhukovsky.
Key words: a system of differential equations; a boundary-value problem; vector covering mappings; metric spaces
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Avakov E.R., Zhukovskiy E.S. Nakryvayushchie otobrazheniya i ih prilozheniya k differentsial'nym uravneniyam, ne razreshennym otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2009. T. 45. № 5. S. 613-634.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O korrektnosti differentsial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2011. T. 47. № 11. S. 1523-1537.
3. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Nakryvayushchie otobrazheniya v proizvedenii metricheskih prostranstv i kraevye zadachi dlya differentsial'nyh uravnenij, ne razreshennyh otnositel'no proizvodnoj // Differentsial'nye uravneniya. 2013. T. 49. № 4. S. 439-456.
4. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. Ob upravlenii ob"ektami, dvizhenie kotoryh opisyvaetsya neyavnymi nelinejnymi differentsial'nymi uravneniyami // Avtomatika i telemekhanika. 2015. № 1. S. 31-56.
5. Zhukovskiy E.S., Pluzhnikova E.A. O periodicheskoj kraevoj zadache dlya differentsial'nogo uravneniya, ne razreshennogo otnositel'no proizvodnoj// Izvestiya IMI UdGU. 2012. № 1(39). S. 52-53.
6. Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah nakryvayushchih otobrazhenij v prostranstvah s vektornoznachnoj metrikoj // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2016. T. 21. Vyp. 2. S. 373-377.
7. Zhukovskiy E.S. O vozmushcheniyah vektorno nakryvayushchih otobrazhenij i sistemah uravnenij v metricheskih prostranstvah // Sibirskij matematicheskij zhurnal. 2016. T. 57. № 2 (236). S. 297-311.
8. Treshchyov V.S. Razreshimost' kraevyh zadach dlya differentsial'nyh uravnenij s otklonyayushchimsya argumentom // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2014. T. 19. Vyp. 2. S. 440-443.
9. Treshchyov V.S. Nepreryvnaya zavisimost' ot parametrov reshenij kraevyh zadach differentsial'nyh uravnenij s otklonyayushchimsya argumentom // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2015. T. 20. Vyp. 1. S. 62-66.
10. Alvesh M.ZH., Pluzhnikova E.A., Treshchyov V.S. Usloviya nakryvaniya operatora Nemytskogo a prostranstve sushchestvenno ogranichennyh funktsij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2015. T. 20. Vyp. 5. S. 992-995.
11. Treshchyov V.S. O zadache Koshi dlya sistem neyavnyh differentsial'nyh uravnenij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki. Tambov, 2016. T. 21. Vyp. 2. S. 430-434.
12. Treshchyov V.S. Ob usloviyah nakryvaniya operatora Nemytskogo v prostranstve izmerimyh sushchestvenno ogranichennyh funktsij // Matematicheskoe i komp'yuternoe modelirovanie, informatsionnye tekhnologii upravleniya: sb.tr. SHkoly dlya studentov, aspirantov i molodyh uchenyh «MKMITU-2016». Voronezh: Izd-vo «Nauchnaya kniga», 2016. S. 229-232.
13. Treshchyov V.S. O nelinejnoj kraevoj zadache dlya sistem neyavnyh differentsial'nyh urvnenij s otklonyayushchimsya argumentom // Sovremennye metody prikladnoj matematiki, teorii upravleniya i komp'yuternyh tekhnologij: sb. tr. IX mezhdunar. konf. «PMTUKT-2016». Voronezh: Izd-vo «Nuchnaya kniga», 2016. S. 356-360.
ACKNOWLEDGEMENTS: The present research is supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 17-01-00553).
Received 17 April 2017
Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Post-graduate Student, Functional Analysis Department, e-mail: treshchev.math@ mail.ru
Информация для цитирования:
Трещёв В. С. Непрерывная зависимость от параметров решения краевой задачи для системы неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 3. С. 579-584. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-579-584
Treshchev V.S. Nepreryvnaya zavisimost' ot parametrov resheniya kraevoj zadachi dlya sistemy neyavnyh differentsial'nyh uravnenij s otklonyayushchimsya argumentom [Continuous dependence on parameters of solutions to boundary-value problems for a system of implicit differential equations with deviating argument]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 3, pp. 579-584. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-3-579-584 (In Russian)
