Непрерывная модель трехфазного контура регулирования токов статора синхронного двигателя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОННЫЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ

УСТРОЙСТВА

УДК 621.314

А. И. Коршунов

НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХФАЗНОГО КОНТУРА РЕГУЛИРОВАНИЯ ТОКОВ СТАТОРА СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Рассматривается предельная непрерывная модель контура регулирования токов статора частотно управляемого синхронного двигателя. Показано, что при расчете процессов в синхронном электроприводе можно использовать более простую непрерывную модель контура, однако параметры контура следует выбирать с учетом дискретного характера управления, обусловленного наличием широтно-управляемого автономного инвертора.

Ключевые слова: контур регулирования, предельная непрерывная модель, ши-ротно-импульсная модуляция.

Использование предельной непрерывной модели системы с периодическим высокочастотным изменением структуры существенно упрощает ее расчет без внесения значительных погрешностей [1]. Трехфазный контур регулирования токов статора синхронного двигателя представляет собой такую систему. Построение его непрерывной модели является целью настоящей статьи.

Математическое описание силовой части трехфазного регулятора тока. Рассмотрим автономный инвертор, нагрузкой которого являются соединенные звездой обмотки статора синхронного двигателя (СД) с возбуждением постоянными магнитами (рис. 1, а, здесь гза, гзъ,

Рис. 1

Примем следующие допущения:

— в силу симметрии обмотки статора и неявнополюсного ротора СД полагаем сопротивления, индуктивности и взаимоиндуктивности фазных обмоток статора одинаковыми, т. е.

Га=Гь=Гс=Г, Ьа=Ьъ=Ьс=Ь, МаЬ =Мъа=Мас=Мса=Мъс=МсЪ=-М;

— транзисторные ключи считаем идеальными;

— предполагаем одновременное включение трех ключей, по одному из каждого плеча трехфазного моста;

— фазные токи считаем непрерывными;

— ЭДС вращения еа, еъ, ес, наводимые в обмотке статора полюсами ротора, полагаем образующими трехфазную симметричную систему.

Будем называть активным состояние ключей автономного инвертора (АИ), при котором к одному из полюсов источника питания подключена одна фаза статора, а к другому полюсу — остальные две фазы. При пассивном состоянии ключей все три фазы статора подключены к одному полюсу источника.

Рассмотрим электрическую схему автономного инвертора и его нагрузки для одного из активных состояний ключей (рис. 1, б). Очевидно, что иаъ = -иса = Е, иъс = 0 . Схема имеет три ветви и два узла, что позволяет описать ее тремя независимыми уравнениями электрического равновесия:

1а + Ч + 1с = 0, (1)

Ьё1а / & - Мй1ъ / & - Мй1с / & + т1а - Мц / & + Мй1а / & + МШс / & - щ = иаъ - еа + еъ, (2)

Ьёъ / & - Мй1а / & - Мй1с / & + гъ - Ьй1с / & + Мй1а / & + Мй1ъ / & - т1с = иъс - еъ + ес. (3)

В результате упрощений уравнений (2) и (3), подстановки в них значений тока, из уравнения (1) с учетом тождеств

еа + еъ + ес = 0 иаъ + иъс + иса = 0 (4)

и симметрии схемы получаем систему трех дифференциальных уравнений:

(Ь + М)Жа / & + Па = (иаъ - иса ) / 3 - еа . (5)

(Ь + М/ & + щ = (иъс - иаъ) / 3 - еъ, (6)

(Ь + М)фс / & + ™с = (иса - иъс ) / 3 - ес . (7)

Любое из уравнений (5)—(7) является следствием двух других, поскольку в схеме АИ (см. рис.1, б) всего два независимых контура.

Очевидно, что уравнения (5)—(7) справедливы при любом состоянии ключей автономного инвертора. При активном состоянии ключей линейные напряжения синхронного двигателя всегда таковы, что одно из них равно нулю, а два других равны +Е и —Е. При этом одно из фазных напряжений СД оказывается равным +2Е / 3 (-2Е / 3), а два других равны -Е / 3 (+Е / 3). Значения фазных напряжений согласуются с полученными в работе [2] без учета ЭДС вращения. При состоянии ключей, соответствующем схеме, приведенной на рис. 1, б, имеем иа = +2Е / 3, иъ = ис = -Е / 3 . При пассивном состоянии ключей линейные и фазные напряжения СД равны нулю.

Построение предельной непрерывной модели контура регулирования токов статора. Рассматриваемый способ широтно-импульсного управления инвертором основан на использовании алгоритма широтно-импульсной модуляции (ШИМ), аналогичного алгоритму ШИМ, осуществляемой с использованием симметричного пилообразного напряжения [3]. При этом изменение состояния ключей в каждом плече трехфазного моста происходит только один раз в течение периода Т (периода коммутации), соответствующего возрастанию или убыванию

симметричного пилообразного опорного напряжения модулятора. В начале каждого нечетного периода, соответствующего возрастающему участку, верхние транзисторные ключи плеч инвертора замкнуты, а нижние ключи разомкнуты; в четные же периоды, соответствующие участку спада, наоборот: верхние транзисторные ключи плеч инвертора разомкнуты, а нижние замкнуты (рис. 2, 3).

а1Т/2

5СП

5Ъп 5ап

-а1Т/2 0

-Е 0

-Е +Е

0 0

-Е/3 -2Е/3 Е/3 0

-Е/3 2Е/3 Е/3 0

а1Т/2

т1а

г

I I I I I I I :

Т1Ъ Т1с Т т

пТ

5ап

-а1Т/2 0

«аЪ

(п+1)Т г

I I

Т2с

пТ

I

т2а Т т

иЪс

(иаЪ - иса)/3

¡(«Ъс - «аЪ)/3 1 1

г

1 («са «Ъс)/3

I

-Е 0

-Е +Е

0 0

-Е/3 -2Е/3 Е/3 0

-Е/3 2Е/3 Е/3 0

«Ъс

(п

«аЪ

+1)Т г

(«аЪ - «са)/3

(«Ъс - «аЪ)/3 I

I I I I

(«са «Ъс)/3 '

Рис. 2

Рис. 3

Разностное уравнение широтно-импульсного контура регулирования токов статора, необходимое для построения его предельной непрерывной модели, получим вначале для нечетного периода.

Пренебрегая дискретностью значений ошибок управления, вызванной ограниченной разрядной сеткой микропроцессора, будем полагать

где функция насыщения

ту = (1+8а1;(кр57п /8m))T/2,у = а, Ъ, с,

(8)

, , х < 1; Г—1, х < 0;

8а1(х) = ^ 8§п( х) И о

х), |х| > 1, [1, х > 0;

т1]п — значение момента квантования т17- в п-м периоде коммутации; 57-п = ¡зу - ¡уп, ¡уп = ¡(пТ); 5т — граница линейной зоны ШИМ; кр — коэффициент усиления пропорционального регулятора.

В линейной зоне ШИМ

8/п I < 5т /кр-, 0 < Х17п < Т, у = а, Ъ, с.

Для определенности положим

0 < Т1ап < Т1Ъп < Т1сп < Т,

(9) (10)

5

сп

5

Ъп

г

г

и„„

са

са

г

г

г

г

г

г

г

что позволяет построить временные диаграммы линейных напряжений: иаъ(р), иъО и иса(р) (см. рис. 2) и определить импульсы фазных напряжений в правых частях уравнений (5)—(7) в п-м периоде (пТ < ^ < (п+1)Т):

иа=(иаЬ - иса )/3 = Е[-1(т - Та) + 1(Т - Тъ) - 1(т - Т1ап) + 1(Т - Т1сп)]/3 =

= £[-2-1(т - Т1ап) +1(т - Тъ) + 1(т - Т1сп)]/3; иЬ=(иЬс - иаЪ )/3= Е[-1(т - Т1Ьп) + 1(Т - Т1сп) + 1(Т - Т1ап) - 1(Т - Тъ)]/3 =

= Е[1(т - Т1ап) - 2-1(т - Т1Ъп) + 1(т - Т1сп)]/3; ис=(иса - иъс )/3= Е[1(т - Т1ап) - 1(Т - Т7сп) + 1(Т - Тш) - 1(Т - Т1сп)]/3 = = Е[1(т - Т1ап) + 1(Т - Т1Ъп) - 2-1(т - Т1сп)]/3,

где т = ^пТ.

Интегрирование уравнений (5)—(7) для п-го периода позволяет записать:

(11)

i ■■ (n+i) = ехр(-аГ)ijn + l 1 m Jехр(-а(Г - t))uj (x)dт

4 (n+1)

T

L + M

L + M-

о

1 T

—J ехр(-а(T -т)>у (T)dт, j = a, b, c, (12)

о

где а = r /(L + M).

Для получения дифференциальных уравнений предельной непрерывной модели контура необходимо вычислить значения производных:

dj = iim ij(n+1) - ■ . (13)

dt т^о T

Из выражения (12) получаем

ij(n+1) - ijn .. exp(^T) -1.

lim ——-—— = lim ——---ijn +

T^0 T T^0 T J

T

1 I 1

+

1— lim 1 — J exp(-а(T - t))u ■ (T)d т!

bMT^o|T O J

~ +LMTi-m0 {? JexP^T - т)Ъ (T)d tj . (14)

Несложно вычислить первый предел в правой части выражения (14):

Iimexp(-(XT) -1 = -а = , (15)

T ^0 T L + M

а второй предел, используя правило интегрирования по частям, можно представить в виде суммы:

lim J — j exp(-а(t - т))и (x)dт!

TlT 0 J

Vv (T) J1 T I

= lim —--lim s —1аexp(^(t-t))vv(T)dtj, (16)

r^n т r^n T J J \

0 т

где Vv (t) = J uv (T)dt, vv (o) = 0.

0

Отношение Уу (Т)/Т представляет собой среднее значение импульсного напряжения в фазе у, у=а, Ъ, с, в п-м периоде коммутации:

V, (Т) 1 т

ип = —;— = -1и](тМт , 7=а> с• (17)

т т 0

Согласно описанию ШИМ (8) при уменьшении периода Т и сохранении неизменными значений ошибок регулирования 5,п фазных токов форма импульсов фазных напряжений,

описываемых выражениями (11), не изменяется. Следовательно, не изменяются и их средние значения (17).

С учетом неравенств ехр(-аТ) < ехр(-а(Т - т)) < 1, |у(т)| < 2Ет / 3, справедливых при

0 < т < Т, несложно определить оценку модуля интеграла

т Т

|а ехр(-а(Т - т))У, (т)ё т

о

доказывающую равенство нулю второго предела в правой части выражения (16).

Также несложно вычислить и значение третьего предела в правой части уравнения (14):

Нт |1 |ехр(-а(Т-т))е,(т)л! = е,(0), е,(0) = е,(0|^Т . (18)

г 2E d ET 2 < а—та т = а—T ,

J 3 3

о

Учитывая выражения (15), (16) и (18), можно записать dij • 1

= -ai, + -

(Uj -ej), j = a, b, c . (19)

dt 3 L + M

Согласно уравнениям (8), (11) и (17) получены средние значения фазных напряжений: Ua = E[2ya - Yb - уc ] / 3 = E[2sat(k5a) - sat(k5b) - sat(k5c)] / 6; 1 Ub = E[-ya + 2yb - Yc ]/ 3 = E[-sat(k5a) + 2sat(k5b) - sat(k5c)] / 6; I (20)

Uc = E[-ya - Yb + 2yc ]/ 3 = E[-sat(k5a) - sat(k5b) + 2sat(k5c)] / 6,^ где k = kp / 5m; yj = T j / T = [1 + sat(k5j )] /2; j = a, b, c; 5j = i3j - ij.

Объединяя выражения (19) и (20), систему дифференциальных уравнений предельной непрерывной модели контура регулирования токов статора можно записать в следующем виде:

(L + M)dia / dt + ria = E[2sat(k(i3a - ia)) - sat(k(i3b - ib)) - sat(k(i3c - ic))] / 6 - ea;

(L + M)dib /dt + rib = E[-sat(k(/'3a -)) + 2sat(k(i3b -b))-sat(k(i3c -ic))]/6-ebЛ (21)

(L + M)dic / dt + ric = E[-sat(k(i3a - ia)) - sat(k(i3b - ib)) + 2sat(k(i3c - ic))] / 6 - ec.

При работе контура в линейной зоне ШИМ, т.е. при выполнении условия (9), система уравнений (21) допускает декомпозицию на три независимых уравнения:

(L + M)dij / dt + (r + kpE / 25m )ij = (kpE / 25m ^ - ej, j = a, b, c . (22)

Дифференциальные уравнения (21) и (22) получены для нечетных периодов коммутации (см. рис. 2). В четные периоды коммутации (см. рис. 3) импульсы фазных напряжений (при тех же значениях 5jn ) являются зеркальным отражением импульсов в нечетных периодах.

Это означает равенство средних значений импульсов и, следовательно, совпадение дифференциальных уравнений предельной непрерывной модели контура, полученных для четных и нечетных периодов.

Экспериментальная проверка результатов. Проверить, является ли период коммутации достаточно малым для замены реальной системы ее предельной непрерывной моделью, можно методом математического моделирования. Для этого целесообразно использовать две модели контура: дискретную, содержащую широтно-импульсный автономный инвертор, и непрерывную, построенную в соответствии с системой дифференциальных уравнений (21). Обе модели, полученные с использованием программного пакета Matlab 6.5, Simulink 5, Sim Power Systems,

представлены на рис. 4: слева — дискретная модель, справа — непрерывная. Каждая из моделей учитывает только задающие воздействия j j = a, b, с, представляющие собой трехфазную симметричную систему токов, а возмущающие воздействия, т.е. ЭДС вращения, приняты равными нулю (для сравнения моделей это несущественно). Источник задающего воздействия, представляющий собой программируемый трехфазный генератор напряжений (3-Phase Programmable Voltage Source 1), трехфазную активную нагрузку (3-Phase Series Branch) и трехфазный измеритель (3-Phase V-I Measurement 1), является общим для непрерывной и дискретной моделей.

Рис. 4

Трехфазный измеритель рассогласования непрерывной модели состоит из демультиплек-сора Demux 3 и трех сумматоров, вычисляющих разность 5,= i3j _ i,, j= a, b, c. Сигналы рассогласования усиливаются усилителями (Gain, 1, 2) с коэффициентом к = кр /5m. В соответствии с системой уравнений (21) коэффициент передачи усилителей (Gain 8, 9, 10) в цепи обратной связи каждого их трех интеграторов (Integrator, 1, 2) равен r/(L + М), а выходные сигналы сумматоров сигналов блоков насыщения (Saturation, 1, 2) проходят через усилители (Gain 6, 7, 11) с коэффициентом к = E/[6(L + M)].

Результаты моделирования в виде заданных значений фазных токов i, и действительных токов ij, j = а, b, с, полученные для дискретной (,д) и непрерывной (j) моделей соответственно, наблюдаются с помощью мультиплексора Мих 3 на осциллографе Scope 1.

Моделирование проводилось при следующих значениях параметров системы: Е = 50 В, L + М = 0,01 Гн, r = 6 Ом, 5т= 1 А, кр = 1,6, Т = 2,5-10-4 с, амплитуде заданных токов /зт= 1,6 А и частоте заданных токовf = 20 Гц. Выбран метод интегрирования ode 15S при шаге не более 10 .

На рис. 5 представлены результаты отработки заданных токов в первом полупериоде при нулевых начальных условиях. Из рисунка очевидно, что кривые токов j практически совпадают с кривыми токов j . Наибольшее различие токов j и j демонстрирует представленный

на рис. 6 график переходного процесса, соответствующего началу отработки заданных токов. Заметим, что переходный процесс в контуре наблюдается в течение первых двух периодов коммутации в зоне насыщения модулятора, а затем — в линейной зоне.

В линейной зоне модулятора можно выбрать коэффициент кр, соответствующий отработке постоянного задающего воздействия за один период коммутации. Такой режим формируется при выборе очень низкой частоты задающего воздействия, т.е. при /зТ<<1. Оптимальное по

быстродействию значение кр, в силу нелинейности системы разностных уравнений, изменяется при изменении 1зт. При постоянной времени, значительно превосходящей период коммутации ((Ь+Ы)/г >> Т), это изменение не очень существенно, поскольку система нелинейных разностных уравнений приближается к линейной. Причина этого заключается в приближении экспоненциальной зависимости к линейной при малых значениях ее аргумента.

На рис. 7 представлен график переходного процесса оптимальной по быстродействию отработки трехфазного задающего воздействия: 1зт = 0,624 А, /з=0,0002 Гц при кр=1,47. В этом случае особенно заметно различие токов / и / , что естественно, поскольку непрерывная модель линейна в линейной зоне ШИМ, а дискретная модель нелинейна даже в этой зоне. Однако спустя 3—4 периода коммутации различие токов становится практически незаметным.

Рис. 5

iзj, ¡/д А iзj, ¡/д А

Рис. 6 Рис. 7

При больших значениях кр различие между моделями увеличивается. В дискретной модели, представляющей собой замкнутую широтно-импульсную систему, может наблюдаться

колебательный свободный процесс. Увеличение значения кр сверх критического (кр>кр.кр) приводит к потере устойчивости системы, что не наблюдается в непрерывной модели [4, 5].

При выполнении условия (Ь+Ы)/г >> Т контур регулирования токов статора можно описать тремя автономными линейными разностными уравнениями, из которых следует условие устойчивости:

Обеспечение запаса устойчивости контура регулирования тока по амплитуде (кркр / кр > 3.. .5), что необходимо для его нормальной работы, позволяет исключить значения кр, при которых различие токов становится существенным.

1. Трехфазный контур регулирования токов статора синхронного двигателя с постоянными магнитами при достаточно высокой частоте коммутации автономного инвертора и пропорциональных регуляторах можно описать системой трех дифференциальных уравнений первого порядка (22).

2. При выборе параметров контура регулирования тока необходимо обеспечить условие его устойчивости (23), учитывающее дискретный характер управления трехфазным автономным инвертором, чтобы исключить нежелательные проявления.

1. Коршунов А. И. Предельная непрерывная модель системы с высокочастотным периодическим изменением структуры // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 9. С. 42—48.

2. Глазенко Т. А., Гончаренко Р. Е. Полупроводниковые преобразователи частоты в электроприводах. Л.: Энергия, 1969.

3. Вейнгер А. М. Регулируемый синхронный электропривод. М.: Энергоатомиздат, 1985.

4. Коршунов А. И. Устойчивость вынужденных движений в широтно-импульсных системах с модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1977. № 6.

5. Коршунов А. И. Определение параметров автоколебаний в системах с широтно-импульсными преобразователями // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1978. Т. 21, № 10. С. 25—30.

кр < кр.Кр = 4(L + M)/(ET).

(23)

Выводы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Анатолий Иванович Коршунов

Сведения об авторе д-р техн. наук, профессор; Военно-морской институт радиоэлектроники им. А. С. Попова, кафедра радиоэлектроники, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой радиоэлектроники

Поступила в редакцию 03.10.11 г.