CC BY
139
УДК 517.11
НЕПРЕРЫВНАЯ ЛОГИКА: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
© В.И. Левин
Levin V.I. Continuous logic: basic comprehension. The article looks at continuous logic as natural generalisation of discrete logic.
1. Введение. Непрерывная логика (НЛ) вводится как естественное обобщение дискретной логики (ДЛ). При этом большинство законов ДЛ остается в силе и для НЛ. Однако операцию отрицания НЛ нельзя определить так, чтобы она была дополнением, как, например, в двузначной логике, т. е. чтобы выполнялись законы исключенного третьего и противоречия. Поэтому структурно НЛ существенно отличается от двузначной ДЛ. Это и непрерывность переменных приводит к определенным отличиям НЛ от ДЛ в номенклатуре решаемых задач и методике их решения. На сегодня НЛ сложилась как самостоятельная научная дисциплина, характер которой определяется потребностями ее гармоничного развития, как математической дисциплины, и потребностями ее многочисленных приложений, охватывающих чуть ли не все области человеческой деятельности: математика (аппроксимация функций, геометрия теории множеств, теория чисел, интервальный анализ); техника (расчет электрических цепей; синтез функциональных генераторов и АЦП, расчет аналоговых и цифровых устройств, моделирование формы деталей; надежность, диагностика и техническое обслуживание); системы (теория систем обслуживания, распознавание образов и анализ сцен, принятие решений, обработка информации, синхронизация); экономика (дискретная оптимизация, теория расписаний, моделирование экономических систем), биология (моделирование нейронных структур), социология (моделирование динамики поведения коллектива); политология (моделирование динамики общества), история (моделирование потоков исторических событий). Во всех вышеперечисленных областях применение НЛ позволило либо впервые получить аналитическое решение задачи, либо прийти к решению, существенно лучшему, чем известные, в отношении обозримости при высокой размерности задачи и/или трудоемкости ее решения.
Основными задачами НЛ являются: 1) перечисление всех функций НЛ с данным числом аргументов; 2) представление функций НЛ в стандартной форме (в т. ч. однозначное представление); 3) выделение элементарных функций НЛ; 4) минимизация и декомпозиция функций НЛ; 5) анализ и синтез функций НЛ; 6) решение уравнений и неравенств НЛ; 7) дифференцирование и интегрирование функций НЛ; 8) установление полноты системы функций НЛ. Задачи 1-4 по постановке (и частично по методам решения) аналогичны соответствующим задачам ДЛ. Задачи 58 специфичны для НЛ.
Для получения новых результатов в НЛ используют ряд прямых методов: 1) вычисление таблицы значений логического выражения; 2) эквивалентные преобразования логических выражений; 3) сочленение частных логических выражений в общее; 4) расчленение общего логического выражения на несколько частных. Кроме того, используют метод погружения алгебры НЛ в более общую дистрибутивную структуру с привлечением методов теории структур.
2. Общее описание непрерывной логики. Пусть С = [А, В ] замкнутый интервал с серединой
М = (А + В )/2 . Основные операции НЛ определяются на С в виде
а V Ь = тах(а,Ь) (дизъюнкция), а а Ь = тіп(а, Ь ) (конъюнкция) (1)
а = 2М - а (отрицание).
Знак а часто не ставится. Реже в качестве базовых выбирают операции включения а з Ь = (а + Ь ) а В , импликации а ^ Ь = а V Ь ,
эквивалентности (а = Ь) = (а V Ь )(а V Ь) , неэквивалентности (а Ф Ь) = аЬ VаЬ, Шеффера а | Ь = аЬ, Вебба а X Ь = а V Ь , противоречия (а Ф а) = аа , тавтологии (а ф а) = а V а , запрета (а ^ Ь) = аЬ .
Алгебры, образуемые множеством С вместе с теми или иными базовыми операциями на нем, называются
алгебрами НЛ. Любая функция вида С" ^ С , в форме суперпозиции конечного числа базовых операций данной алгебры НЛ, примененных к аргументам х 1,..., X" є С , называется функцией НЛ. Число функций НЛ конечно, хотя множество всех функций вида С" ^ С является бесконечным.
Наиболее разработанная алгебра НЛ - квазибуле-ва алгебра
Д = (Су,а, ). (2)
Любая функция НЛ в алгебре (2) на любом наборе аргументов принимает значение одного из аргументов или его отрицания. Поэтому задать такую функцию можно таблицей значений. От табличного можно перейти к аналитическому представлению функции,
используя метод сочленения. Обратный переход осуществляется методом расчленения.
Число Р (п) функций НЛ от п аргументов в ква-зибулевой алгебре растет с увеличением " весьма быстро: Р (0) = 2, Р (1) = 6, Р (2) = 84, Р (3) = 43918. Для п = 0 эти функции - константы
Уо = A,Уі = В .
(3)
Для п = 1 это константы у0,у1 и еще 4 функции, существенно зависящие от аргумента х у2 = х, у3 = X , у4 = X V X, у5 = XX . (4)
Для п = 2 это 2 константы (3), 8 функций (4), зависящих от одного аргумента (XI или X2), 10 функций, зависящих от двух аргументов
у10 = XI V X2,у 11 = XIX2, у12 = (XI V X2 )(X1 V X2 ), у13 = X1X2 V XIX2,у14 = XIX2, у15 = XI V X2, (5)
У16 = ^ V X 2, у17 = x1 V X2, у18 = X1X 2, у19 = X1X2,
и еще 64 функции, зависящие от 2 аргументов, получаемые суперпозицией перечисленных 20 функций, либо составлением таблицы значений функции и последующим переходом к ее аналитическому представлению. Для п = 3 функции НЛ включают все упомянутые выше функции, зависящие не более чем от 2 аргументов, и все функции, существенно зависящие от 3 аргументов. Из последних наиболее употребительны дизъюнкция и конъюнкция
у = х1 V х2 V х3 = тах(х1,х2,х3), у = х~хгхъ = тт(х^ х2, х3)
медиана и ее отрицание (инверсия)
у = те^х^х2,х3) = х1х2 V х1х3 V х2х3, у = те^хь х2, х3) = х1х2 V х1х3 V х2х3,
функции Шеффера и Вебба
(6)
у = х1х2х3,у = х1 Vх2 Vх3
(7)
(8)
элементарные трехместные дизъюнкция и конъюнкция у = x1 V x1 V X2 V X2 V X3 V X3, у = x1x1x2X2X3X3. (9)
Остальные функции, существенно зависящие от 3 аргументов, можно получить суперпозицией перечисленных выше функций либо составлением таблицы значений и последующим переходом к ее аналитическому представлению. Аналогично строятся множества функций НЛ от большего числа аргументов.
Заметим, что число Р (п) функций НЛ от п аргументов растет при увеличении п гораздо быстрее, чем число Q (п) функций двоичной логики. Например, Q(0) = 2, Q(1) = 4, Q(2) = 16, Q(3) = 256. Поэтому изучать свойства функций НЛ путем их перебора, как
это делается в двоичной логике, нельзя. Так что ограничиваются изучением типовых функций НЛ.
Основные операции НЛ впервые рассмотрел P. Maк-Нoтoн. Общее описание НЛ и ее математический аппарат разработали С.А. Гинзбург, В.И. Левин, П.Н. Шимбирев. Обзор соответствующих работ приведен в [1, 2, 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 21].
3. Примеры приложений непрерывной логики. Рассмотрим несколько примеров применения НЛ.
Пример 1 (геометрия). Имеется кусочнолинейная функция у = / (X ) , образованная из двух
линейных функций у = ax + Ь и у = cx + ё . При этом слева от точки пересечения графиков образующих функций в качестве /(X ) принимается одна из них, а справа от этой точки - другая. По графикам прямых у = ax + Ь и у = cx + ё легко проверить, что возможны только два варианта образования функции /(X ) : 1) выбор в качестве /(X ) верхней из указанных прямых (вогнутая функция /(X ) ); 2) выбор в качестве /(X ) нижней из прямых (выпуклая функция /(X) ). Отсюда получаем аналитическое выражение кусочно-линейной функции / (X )
у = (ax + Ь)^ ^ + ё),
в котором операция дизъюнкции НЛ V берется в случае вогнутости графика /(X ) , а операция конъюнкции НЛ л - в случае ее выпуклости.
Аналитическое представление кусочно-линейных и кусочно-нелинейных функций с помощью НЛ разрабатывали Е.И. Беркович, С.А. Гинзбург и В.И. Левин. Обзор их работ см. в [1, 6, 12].
Пример 2 (теория цифровых автоматов). Имеется автомат с двумя двоичными входами X!,X2 и одним двоичным выходом у , реализующий булеву функцию «конъюнкция»:
у = x1 & X2, x1, X2, у е {0,1} .
На входы автомата действуют двоичные процессы вида
хі(/)=
0, ґ < а,
1 ґ > а,
х 2(? ) =
1 ґ < Ь,
0, ґ > Ь.
Найдем двоичный процесс у (/) на выходе автомата - реакцию на заданные входные процессы. Обозначим 1(А,В) двоичный процесс в виде импульса в интервале времени (А,В). Реакция автомата равна импульсу 1( а, Ь) при Ь > а и постоянному 0 при
Ь < а . Интерпретируем постоянный 0 как импульс с совпадающим началом и концом. Тогда искомая реакция запишется с использованием дизъюнкции НЛ в виде
у(ґ) =
1(а, Ь) при Ь > а 0 = 1(а, а) при Ь < а
= 1(а, а V Ь).
Аналитическая теория процессов в конечных автоматах с использованием НЛ разработана В.И. Левиным [2, 4, 6, 14].
Пример 3 (оптимизация). Имеется три должности и три кандидата на эти должности. Эффективность і -го кандидата в ] -й должности равна а^ . Необходимо распределить должности между кандидатами так, чтобы все должности были заняты, все кандидаты получили должность, а суммарная эффективность была максимальна. Ясно, что каждому распределению должностей соответствует своя распределяющая
сумма элементов матрицы А = ЩуЦ, включающая
ровно один элемент из каждого столбца и каждой строки, таким образом, задача сводится к нахождению максимальной распределяющей суммы А ^ элементов матрицы А. Общее выражение этой суммы с использованием операций НЛ
АУ = (ап + а22 + а33) V (ап + а23 + а^) V
V (а12 + а21 + а33) V (а12 + а23 + а31) V
V (а13 + а21 + а32) V (а13 + а22 + а31).
Оно дает алгоритм полного перебора для отыскания Ау . Объединим в этом выражении 1-ю скобку со 2-й, 3-ю с 4-й, 5-ю с 6-й и вынесем в каждой паре за скобки общее слагаемое. Получим выражение
А''' = {а11 + [(а22 + а33 ) V (а23 + а32 )]^
V {а12 + [(а21 + а33) V (а23 + а31)]^
V {а13 + [(а21 + а32) V (а22 + а31)]},
где на 3 операции меньше. То есть, это алгоритм сокращенного перебора для отыскания А ^ .
Методы решения задач оптимизации с использованием НЛ разработаны В.И. Левиным [6, 9, 14-20].
Многочисленные примеры использования НЛ приведены в [1] (аппроксимация функций, расчет электрических цепей), [3] (расчет цифровых устройств), [5] (теория множеств, принятие решений), [6] (расчет аналоговых и цифровых устройств, моделирование формы деталей, системы обслуживания, распознавание образов, обработка информации), [7] (надежность, диагностика, техническое обслуживание), [8, 13] (управление, принятие решений), [9] (моделирование и оптимизация экономических систем), [10-12, 17,19] (синтез функциональных генераторов, расчет аналоговых и аналогово-цифровых устройств), [15, 16, 18, 20] (моделирование экономики, социальных групп, общества, исторических событий).
4. Законы непрерывной логики. НЛ есть непосредственное обобщение ДЛ на случай непрерывного носителя С. Большинство законов ДЛ сохраняется и в НЛ:
а V а = а, аа = а (тавтология), (10)
а V Ь = Ь V а, аЬ = Ьа (переместительный), (11)
( а V Ь ) V с = а V (Ь V с), ( аЬ)с = а(Ьс)
(сочетательный), (12)
а(Ь V с) = аЬ V ас, а V Ьс = (а V Ь)(а V с)
(распределительный), (13)
а V Ь = аЬ, аЬ = а V Ь а V аЬ = а, а(а V Ь) = а
(де Моргана), (14) (поглощение), (15) (двойное отрицание), (16)
аА = А, аВ = а, а V А = а, а V В = В
(действия с константами),
(17)
аа(Ь V Ь ) = аа, аа V (Ь V Ь ) = Ь V Ь (Клини). (18)
Однако законы противоречия и исключенного третьего ДЛ здесь не действуют и заменяются на следующие законы
аа
=М — |а —М|, а V а =М + |а —М|
(19)
Так как операции НЛ применяются к непрерывным величинам, естественно их применение совместно с алгебраическими операциями над непрерывными величинами.
При комбинировании операций НЛ со сложением и умножением появляются новые законы - распределительный при сочетании дизъюнкции и конъюнкции со сложением
а + (Ь V с) = (а + Ь) V (а + с),
а + (Ь а с) = (а + Ь) а (а + с),
а - (Ь V с) = (а - Ь) а (а - с),
а - (Ь а с) = (а - Ь) V (а - с),
(20)
и аналогичный закон при сочетании дизъюнкции и конъюнкции с умножением; закон спуска отрицания на слагаемые
а + Ь = а - Ь = Ь - а
(21)
и др. Операции НЛ выражаются через алгебраические операции: сложения и умножения, при использовании нелинейных операций - единичной функции
а X > о ,,
I (X ) = < или модуля X . Так, дизъюнкция и
[0, X < 0 11
конъюнкция НЛ выражаются в виде а V Ь = 0,5[а+Ь +|а — Ь|], а лЬ = 0,5[а+Ь — |а — Ь|]. (22)
Возможность выражения операций НЛ через алгебраические операции (см. формулы (1), (22)) означает наличие связей между алгеброй и логикой.
Обобщая ДЛ, сама НЛ есть частный случай дистрибутивной структуры с псевдо-дополнением (то есть с операцией отрицания, которая не есть дополнение, т. к. не выполняются законы исключенного третьего и противоречия). Значения непрерывных переменных НЛ, принадлежащих интервалу [А,В], имеют интерпретацию, сходную с ДЛ: граничное значение
а = а
x = А (х = В ) считается мерой истинности абсолютно ложного (абсолютно истинного) высказывания, промежуточные значения х, А < х < В считаются мерой истинности любого другого высказывания.
Некоторые основные законы НЛ для частного случая С = [0,1] указал P. Maк-Hoтoн. В общем виде законы НЛ изучали С.А. Гинзбург, В.И. Левин и Е.И. Берхович. Обзор соответствующих результатов содержится в [1, 2, 4, 6, 9, 14-16, 21].
5. Перечисление и стандартизация непрерывно-логических функций. Наиболее традиционными для логики задачами НЛ являются перечисление всех функций НЛ с данным числом аргументов и представление функций НЛ в стандартной форме.
Перечисление всех функций НЛ в алгебре (2) требует указать для них соответствующие аналитические выражения. Для этого можно использовать 2-этапную процедуру: 1) перечисление таблиц значений функций (таблицы для всех функций имеют одинаковый порядок следования вариантов упорядочения аргументов х1,...,хп и их отрицаний х1,...,хп , отличаясь распределением значений функций, равных х і или
xi между вариантами); 2) переход от таблиц к соответствующим аналитическим выражениям методом сочленения. Однако такой подход при п > 3 затруднителен. Поэтому на практике ограничиваются определенными классами функций НЛ, которые выделяют по признаку сходства с соответствующими классами функций ДЛ, простоты получения формулы, важности практического применения.
В качестве стандартных форм функции НЛ в алгебре (2) принимают дизъюнктивую и конъюнктивную нормальные формы (ДНФ и КНФ). Они отличаются от аналогичных форм двузначной ДЛ тем, что их элементарные конъюнкции (дизъюнкции) могут вместе с аргументом хі включать и его отрицание
хі (см. (9)). Переход от любого аналитического представления функции НЛ к ее ДНФ или КНФ аналогичен соответствующему для функции двузначной ДЛ. Он состоит в случае ДНФ в: 1) спуске отрицаний на более простые выражения согласно законам (14), (16); 2) раскрытии скобок согласно 1-му закону (13), в случае КНФ - в: 1) таком же спуске отрицаний; 2) введении скобок согласно закону (13).
Пример 4. Перейдем от функции НЛ, заданной аналитически, к ее ДНФ.
(х1х2 Vх2х3)х1х4 = (х1х2 Vх2х3)(х1 Vх4) =
= х1х2 V ххх* V хлх~,хл V х^х~хл =
= Х-1Х2 v x^x^x^ v x^x^xA.
X 1 x2 x3
2x3x4 •
В качестве однозначных стандартных (канонических) форм функций НЛ принимают канонические ДНФ и КНФ. ДНФ однозначно представляет функцию НЛ, если она тупиковая (несократимая) дизъюнкция неразложимых элементарных конъюнкций. В свою очередь, элементарная конъюнкция неразложима в дизъюнкцию конъюнкций, если она фундаментальна, т. е. непротиворечива (не содержит одновременно X г- и Xi) или противоречива, но содержит все
аргументы данной функции, в прямом Xj или инверсном Xj виде. Отсюда - алгоритм приведения любой ДНФ функции НЛ к канонической ДНФ: 1) выделить в ДНФ все фундаментальные конъюнкции; 2) каждую нефундаментальную конъюнкцию к (она противоречива и содержит не все аргументы функций) представить дизъюнкцией фундаментальных конъюнкций (для чего взять ее конъюнкцию с подходящей дизъюнкцией вида X j V Xj (что не изменит величины к , содержащей xixi < M , ибо Xy V Xj >M ) и раскрыть скобки; 3) из каждой пары
сравнимых (в отношении <) конъюнкций ДНФ исключить меньшую. Полученная каноническая ДНФ по смыслу (но не по форме) аналогична совершенной ДНФ булевой функции.
Пример 5. Преобразуем функцию НЛ, заданную в ДНФ, к канонической ДНФ:
y = X2X4 V XjX2X3X4 V XjX2X2X3X3 .
Здесь первые две конъюнкции - фундаментальные. Третья конъюнкция - нефундаментальная, при умножении на X 4 V X4 разлагается в XjX2X2X3X3X4 V XjX2X2X3X3X4 . Полученные две фундаментальные конъюнкции поглощаются первыми двумя фундаментальными конъюнкциями заданной ДНФ функции y . Окончательно, каноническая
ДНФ функции
y = X2X4 V XjX2X3X4 .
Любая функция НЛ, отличная от фундаментальной конъюнкции, разложима, т. е. класс неразложимых (элементарных) функций НЛ в алгебре (2) состоит из одних фундаментальных конъюнкций.
Вопросами задания и перечисления функций НЛ занимались К.М. Кларк, Д. Дюбуа, А. Прад, А. Кан-дель, В.И. Левин, М.Мукайдоно, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 5, 6, 9, 11-13]). Представление функций НЛ в стандартной форме изучали Ф.П. Препарата,
А. Кандель, Д. Дюбуа, А. Прад, В.И. Левин, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 6, 9, 11].
6. Минимизация и декомпозиция непрерывнологических функций. Минимизация функций НЛ преследует ту же цель, что и минимизация функций ДЛ - приведение функций к форме с минимальным числом вхождений переменных.
Минимизация функций НЛ в алгебре (2) разработана лишь для функций, представленных в ДНФ. Ее задача - найти ДНФ с минимальным числом вхождений всех букв Xj,Xj . Процедура минимизации аналогична соответствующей для булевых функций: 1) отыскание всех фундаментальных конъюнкций функции НЛ f (они играют роль элементарных конъюнкций СДНФ булевой функции) и представление f в канонической тупиковой форме; 2) отыскание всех простых импликант функции (как обычно, импликантой функции f считаем элементарную конъюнкцию к , такую, что к < f ; если к не по-
глощается другими импликантами, она называется простой); 3) нахождение минимального покрытия множества фундаментальных конъюнкций множеством простых импликант (например, с помощью им-пликантных таблиц). Содержание шагов 1, 2 специфично для функций НЛ. О шаге 1 сказано выше. О шаге 2. В его основе - понятие консенсуса элементарных конъюнкций ki: если к1 = хіа,к2 = хіЬ , где а, Ь - конъюнкции других букв, то консенсус к1 и к2 - это множество таких противоречивых конъюнкций 1) аЬ, (если она противоречива); 2) конъюнкции хгхгаЬ, і = 1, п (если аЬ непротиворечива). Если к1, к2 не представлены в указанном виде ни при каком і , консенсус = 0.
Пример 6. Для элементарных конъюнкций к1 = х1х2х3,к2 = х2х3 консенсус
{х1х2х 2, х1х3х 3} .
Для элементарных конъюнкций
к1 = х1х2х3,к2 = х2х3 консенсус
{х1х2х3х3, х1х2х2, х1х1х2 } .
Отыскание всех простых импликант функции НЛ / , представленной в тупиковой ДНФ / = V кі,
і
выполняется по такому алгоритму: 1) для некоторой пары (кі, ку ) образуется консенсус; 2) к дизъюнкции
V кі добавляются все конъюнкции, полученные на
і
шаге 1; 3) удаляются все конъюнкции ка , входящие в другие конъюнкции къ (т. е. ка < къ ). Шаги 1-3 повторяются для новых пар (кі, к у ) до тех пор, пока выражение функции / не перестанет изменяться.
Окончательное выражение / =v кі в качестве
і
конъюнкций к будет содержать все простые импли-канты функции /.
В связи с быстрым ростом числа функций НЛ при увеличении числа их аргументов и сложностью их минимизации важное значение имеет задача декомпозиции этих функций.
Декомпозицией функции НЛ АХ), х = (х1;...,хп) называется представление / в виде композиции нескольких функций НЛ с меньшим числом аргументов
/(х) = р[/т(хт),...,А(х1),х'], хі сх, і = 0,т . (23)
Если множества хі, і = 0, т не пересекаются, декомпозиция называется разделительной, в противном случае - неразделительной. Представление (23) с т = 1 называется простой декомпозицией. На сегодня известен лишь алгоритм поиска простой декомпозиции функции НЛ в алгебре (2).
Вопросы минимизации и декомпозиции функций НЛ исследовали А. Кандель, Д. Дюбуа, А. Прад, П.Н. Шимбирев (см. обзоры [3, 9, 11, 12]).
7. Анализ и синтез непрерывно-логических функций. Анализ и синтез функций НЛ отличаются от аналогичных задач в ДЛ.
Пусть Бх - область значений вектора аргументов х = (^,...,хи ), Оут - область значений функции НЛ /(х ) и имеется взаимно-однозначное соответствие
(х є Ох ) ^ (/(х ) є О/ ) .
(24)
Анализом функции / называется нахождение в соответствии с (24) области Вх по заданным области .Оу и функции /(X ) . Синтезом функции /(X ) называется построение по заданным областям Ох и
О такой функции НЛ / , которая реализует соответствие (24). Основные методы анализа разработаны для частных случаев, когда / - многоместная дизъюнкция или конъюнкция, а Оу - полуинтервал или интервал. Они основаны на следующих эквивалент-
і=1
п
Vхі > а (х 1 > а или...или хп > а);
Vхі < Ь\ ^ (х1 < ^..^хп <Ь); і=1
(25)
Ахі > а \^ (х1 > а,...,хп > а);
і=1 п
Ахі < Ь \ » (х1 < Ь или...или хп < Ь). і=1
В общем случае, при произвольной функции НЛ / и ее области О, применяют формальн^іе методы, разбивая О на подобласти - полуинтервалы,
решая для каждой соответствующее неравенства (см. § 8) и объединяя результаты. Иногда под анализом функции / (х) понимают отыскание по заданным / и областям О ,...,О для аргументов х1,...,хп (составляющим в совокупности область О х ) соответствующей области О (24). Эта постановка об-
ратна рассматриваемой выше, а ее решение проще. Оно основано на эквивалентностях
(а < х1 < Ь, с < х 2 < ё) ^
^ (а V с < х 1 V х2 < Ь V ё, ас < х 1х2 < Ьё), (26)
(а < х < Ь) ^ (2М - Ь < х < 2М - а).
Задача синтеза функции НЛ в общем случае не имеет единственного решения, а алгоритм ее точного решения неизвестен. Возможный путь таков: 1) от-
П
П
бросить требование X < Ох ; 2) выбирают какую-либо типовую функцию /(X ) ; 3) проанализировать / (X ) по заданным условиям / е Оу, найти соответствующее условие для X : X е Ох ; 4) если
0 с Ох , то /(X ) - решение задачи. В противном случае - переход к следующей функции /(X ) и т. д. Такой перебор при большом п невозможен, и тогда отказываются от требования X е Dx , получая задачу синтеза: построить по заданной области О функцию /(X ) , такую, что /(X ) е Оу . Но любая (кроме констант) функция НЛ / (X) при подходящем X
может принимать любое значение в С . В итоге получаем обычную задачу анализа: найти в соответствии с (24) область Ох по заданной области Оу и
выбранной функции.
8. Решение уравнений и неравенств непрерывной логики. Уравнения и неравенства НЛ по смыслу аналогичны уравнениям и неравенствам ДЛ. Однако методы их решения особые, в связи с тем, что НЛ оперирует непрерывными множествами.
Уравнением (неравенством) НЛ называется уравнение (неравенство)
/ (а, X )<Р(а, X ), (27)
где / и Р - заданные различные функции НЛ, а а = (а1,...,ак ) - вектор параметров, X = (x1,...,xn ) -вектор неизвестных. Частным решением уравнения (неравенства) (27) называется любой вектор X , для которого справедливо равенство (неравенство) (27). Уравнения и неравенства НЛ классифицируются по числу неизвестных п и по сложности функций НЛ левой и правой частей, представленных в стандартной тупиковой ДНФ. Полное уравнение (неравенство) с 1 неизвестным в стандартной форме
ax V а1 X V ЬxX V с < dx V ё1X V XX V е . (28)
Наибольшее число неизвестных и их отрицаний в одной элементарной конъюнкции стандартизированного уравнения (неравенства) называется его порядком I. Для (28) I = 2 . Уравнения (неравенства) с
1 = 1 называются линейными, а с I > 2 - нелинейными. Общий вид линейного уравнения (неравенства) с п неизвестными в стандартной форме
V а^1 j V ^ а/^ j V С < ^ j V ^ ё'г j V е . (29)
Уравнения (неравенства) НЛ делятся на содержащие и не содержащие отрицание неизвестных. Основным методом решения уравнений (неравенств) НЛ является последовательное расчленение их правых и левых частей, позволяющее заменить исходное уравнение (неравенство) эквивалентным объединением систем более простых уравнений и неравенств.
Пример 7. Рассмотрим уравнение (неравенство) вида (27), в котором последняя операция в левой части - дизъюнкция НЛ
/(а,X) V/2(а,X)<Р(а,X).
Используя определение дизъюнкции НЛ, это уравнение (неравенство) можно расчленить, представив в виде эквивалентного объединения двух систем уравнений - неравенств
Г/1 (а х) > /2 (а х)11 I {-^1(а’х) < /2(а’ х)1 {/1(а,х) < Р(а х) { \/2(а,х) < р(а хЦ '
Здесь каждое полученное уравнение (неравенство) проще исходного, так как в одной части содержит меньше операций. Процесс упрощения можно продолжить расчленением правой части заданного уравнения (неравенства) и т. д. Этот процесс продолжается до получения нерасчленяемых уравнений и неравенств, дающих в совокупности решение заданного уравнения (неравенства).
Случай, когда последняя операция в левой или правой части заданного уравнения (неравенства) есть конъюнкция НЛ, рассматривается аналогично.
Теорию и методы решения уравнений и неравенств НЛ разработал В.И. Левин. Наиболее полные сведения по этому вопросу содержатся в [2]. Обзорные сведения можно также найти в [4-6, 9].
9. Дифференцирование и интегрирование непрерывно-логических функций. Как известно, функции ДЛ зависят от дискретных аргументов и потому не могут дифференцироваться и интегрироваться.
Функции НЛ зависят от непрерывных аргументов и потому могут дифференцироваться и интегрироваться. Трудность дифференцирования функций НЛ в том, что они всегда содержат точки излома, где производная не существует. Назовем функцию НЛ, образованную суперпозицией операций V ил над аргументами хI (и их отрицаниями), функцией 1 -го рода (2-го рода). Точка X = (x1,..., xn ) называется полуре-гулярной у функции 1 -го рода, если она имеет е -окрестность с постоянной упорядоченностью x1,...,xn . Точка X = ^,х1,...,xn,xn) называется регулярной у функции 2-го рода, если она имеет е -окрестность с постоянной упорядоченностью x1,x1,...,xnxn . Для полурегулярности точки X (регулярности точки X ) необходимо и достаточно, чтобы ее координаты были строго упорядочены по величине. Справедливы следующие теоремы: 1) Любая функция НЛ 1 -го рода имеет в каждой полурегуляр-ной точке единственную производную по любому аргументу со значениями из множества {0,1}; 2) любая функция НЛ 2-го рода имеет в каждой регулярной точке единственную производную по любому аргументу, со значениями из множества {1, -1, 0}; 3) любая функция НЛ / в каждой точке существования ее
производных с/1дxi, i = 1, п , имеет не более 1 производной, отличной от 0. Основным методом дифференцирования функций НЛ является их последова-
тельное расчленение с получением совокупности более простых выражений, справедливых в подобластях, и их дифференцированием. При необходимости используются также общие правила дифференциального исчисления (производная суммы, произведения и т. д.). Несколько примеров производных от функций НЛ:
хх =1, (х )х = -1,( х v х )х =
= 1(х -М) - 1(М - х),(хх)х =
= 1(М - х) -1(х -М),х ФМ; (30)
(х1 V х 2)х = 1(х1 - х 2 X (х 1х 2)х =
= 1(х 2 - x1), х1 Ф х 2.
Здесь 1(х) - единичная функция. Условие
х Ф М исключает нерегулярную точку х = М, в которой третья и четвертая производные не существуют. Дифференциальное исчисление в НЛ служит источником новых тождеств (законов). Они появляются, в частности, при дифференцировании законов алгебры НЛ и могут рассматриваться как дифференциально-разностные уравнения, определяющие различные функции НЛ. Например,
(х1 Vх2)'х1 + (х1х2)/х1 =1, (х1 Vх2)х1 • (х1х2)х1 = 0 . (31)
Система из двух дифференциальных уравнений (31) определяет две функции НЛ - дизъюнкцию и конъюнкцию, которые являются решениями этой системы.
При дифференцировании функций НЛ с большим числом аргументов целесообразно приведение этих функций к стандартным формам, в которых дифференцируемая переменная выделена. От такой формы легко взять производную. Примеры выделенных форм в классе ДНФ:
ах V ё, Ьх V ё . (32)
Их производные
(ах V ё)'х = I(ах - ё) • I (а - х ), ах Ф ё, х Ф а;
, (33) (Ьх V ё)х = I (Ьх - ё) • I (х - Ь), Ьх Ф ё, х Ф Ь.
Для функций НЛ можно определить также производные высших порядков (2-го, 3-го и т. д.). При этом любая функция 1 -го рода в каждой полурегулярной точке и любая функция 2-го рода в каждой регулярной точке имеют производные высших порядков и все они равны 0.
Функции НЛ, как функции непрерывных переменных, можно интегрировать. Для этого подынтегральную функцию последовательно расчленяют, получая совокупность более простых выражений, справедливых в своих подобластях, где их интегрируют.
При необходимости используются также обычные правила интегрирования (интеграл от суммы, разбиение интервала интегрирования и т. д.). Получаемые интегралы в силу непрерывности функций НЛ всегда существуют.
Дифференциальное и интегральное исчисление для функций НЛ исследовали Е.И. Беркович и
В.И. Левин. Обзор их работ приведен в [12].
10. Проблема полноты в непрерывной логике.
В НЛ, как в ДЛ, существует проблема полноты. Система функций НЛ {/1,...,/т} называется полной (базисом) в классе К, если любую функцию из Я можно представить суперпозицией функций /1,... , / т . В отличие от ДЛ, где Я задан, а ищутся базисы, в НЛ обычно задан базис, а отыскивается класс Я . Наиболее известные результаты здесь таковы. 1) Система функций {ча} есть базис для класса
Я1 тех функций вида Сп ^ С , которые принимают значение одного из аргументов; 2) Система функций ^,а, } есть базис для класса Я2 тех функций вида Сп ^ С , которые принимают значение одного из аргументов или его отрицания; 3) Системы {х:х 2} и {х: V х2} являются базисами для класса функций Я1 ; 4) Системы {х1х2, } и {х: V х2, } являются базисами для класса функций Я2 ; 5) Система функций ^,а, з} есть базис для класса Я3 тех функций вида С п ^ С , которые представимы в виде
п
у = [А V (Ь +^Ьіхі)]аВ , (34)
і=1
где Ь0,...,Ьп - целые числа.
Классы функций НЛ Я1, Я2, Я3 являются различными конечными подмножествами бесконечного множества всех функций НЛ. Математически эти классы достаточно узкие. Однако практически они весьма важны, так как элементарные операции НЛ (дизъюнкция, конъюнкция и др.) адекватны процессам, происходящим во многих реально существующих системах. Эта адекватность вместе с полнотой операций НЛ лежит в основе многочисленных применений НЛ к изучению математических, технических, экономических, социальных и других объектов (см. § 3).
Вопросы полноты систем функций НЛ изучали P. Maк-Hoтoн, Ф.П. Препарата, В.И. Левин. Обзор соответствующих результатов приведен в [5, 6, 9, 21].
11. Заключение. Можно ожидать дальнейшего расширения фронта исследований в области НЛ. В теории НЛ основное внимание будет, по-видимому, уделяться разработке различных новых обобщений НЛ, позволяющих расширять возможности НЛ в том или ином направлении. Не будут, вероятно, забыты и традиционные задачи НЛ: перечисление функций НЛ, их представление и минимизация; здесь будут искаться новые, более эффективные решения. Особенно большого продвижения можно ожидать в области применения НЛ. В первую очередь, это относится к исследованию операций, моделированию сложных экономических систем и нейронных структур, описанию и анализу процессов в социологии, истории и политологии.
Стоит заметить, что кроме изложенной в этой статье НЛ, существует другая бесконечнозначная логика. Это К0 -значная логика Лукасиевича, определенная на
отрезке [0,1] и имеющая базисные операции, аналогичные соответствующим в НЛ. Но, как показал Р. Мак-Нотон [21], не для всех наборов значений аргументов, для которых определены функции НЛ, определены соответствующие функции логики Лукасиевича. Далее, в работах В.И. Левина [2, 3, 6, 7, 9] установлено, что моделирование прикладных систем с помощью НЛ практически всегда требует, чтобы ее операции определялись на отрезке [А, В ], где А < 0, В > 1. Таким образом, теоретические и прикладные возможности НЛ шире, чем логики Лукасиевича.
Более подробные сведения по затронутым в данном обзоре вопросам можно найти в обобщающих работах [1-13]. Там же имеется обширная библиография.
Кратко изложим содержание русских работ [1, 2,
4, 6-12]. В работе [1] изложены основы НЛ применительно к задачам аппроксимации функций, синтеза функциональных преобразователей и расчета электрических цепей. В [2, 4] изложена теория НЛ, включая уравнения и неравенства НЛ и их применение к теории автоматов и расчету цифровых устройств. В [6] рассмотрены НЛ, ее обобщения и применения в теории автоматов, обработке информации, теории надежности, принятии решений, оптимизации. В [7] показана адекватность НЛ и задачи анализа надежности систем, и на основе этого построена логическая теория надежности технических систем. В [8] описаны различные нечеткие логики и их применение к принятию решений и оптимизации. В [9] рассмотрен математический аппарат НЛ и ее обобщений и их применение к системам обслуживания, оптимизации, теории расписаний, моделированию экономических систем. В [10] описано одно обобщение НЛ и его применение к расчету и синтезу аналоговых устройств. В [11] разработана теория непрерывной и непрерывно-дискретной логик с использованием теории алгебраических структур, включая вопросы минимизации функций НЛ; показано их применение к синтезу функциональных и аналогово-цифровых преобразователей. В [12] дан обзор основных результатов в области НЛ и ее обобщений, а также их приме-
нений в различных областях (математика, экономика, техника, теория систем, биология и др.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Гинзбург С.А. Математическая непрерывная логика и изображение функций. М.: Энергия, 1968.
2. Левин В.И. Введение в динамическую теорию конечных автоматов. Рига: Зинатне, 1975.
3. Kandel A., Lee S.C. Fuzzy switching and automata. Theory and application. N. Y.: Grain, Russak and Co, 1979.
4. Левин В.И. Динамика логических устройств и систем. М.: Энергия, 1980.
5. Коффман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.
6. Левин В.И. Бесконечно-значная логика в задачах кибернетики. М.: Радио и связь, 1982.
7. Левин В.И. Логическая теория надежности сложных систем. М.: Энергоатомиздат, 1985.
8. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986.
9. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем с применениями ЭВМ. М.: Наука, 1987.
10. Волгин Л.И. Синтез устройств для обработки и преобразования информации в элементном базисе реляторов. Таллинн: Валгус, 1989.
11. Шимбирев П.Н. Гибридные непрерывно-логические устройства. М.: Энергоатомиздат, 1990.
12. Волгин Л.И., Левин В.И. Непрерывная логика. Теория и применения. Таллинн: АН Эстонии, 1990.
13. Прикладные нечетких систем / Под ред. Г. Тэрано, К. Асаи и М. Сугэно. М.: Мир, 1993.
14. Непрерывная логика и ее применение в технике, экономике и социологии: Тезисы докл. I Всероссийской науч. конф. / Под ред. В.И. Левина. Пенза: Изд-во Пенз. Дома научно-технической пропаг., 1994.
15. Непрерывно-логические методы и модели в науке, технике и экономике: Материалы междунар. науч. -техн. конф. / Под ред. В.И. Левина. Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1995.
16. Непрерывные и смежные логики в технике, экономике и социологии: Материалы междунар. конф. / Под ред. В.И. Левина. Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1996.
17. Непрерывно-логические системы модели и алгоритмы: Тр. междунар. науч.-техн. конф. Т. 2 / Под ред. Л.И. Волгина. Ульяновск: Изд-во Ульян. гос. техн. ун-та, 1995.
18. Непрерывная и смежная логики в информатике, экономике и социологии: Материалы всероссийской науч. -техн. конф. / Под ред. В.И. Левина. Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1997.
19. Реляторные и непрерывно-логические сети и модели: Тр. междунар. НТК «Нейронные, реляторные и непрерывнологические сети и модели». Т. 2 / Под ред. Л.И. Волгина. Ульяновск: Изд-во Ульян. гос. техн. ун-та, 1998.
20. Логико-математические методы в технике, экономике и социологии: Материалы междунар. науч. -техн. конф. / Под ред. В.И. Левина. Пенза: Изд-во Приволжского Дома Знаний, 1998.
21. McNaughton R. A theorem about infinite-valued sentential logic // J. Symb. Logic. V. 16. № 1. 1951.
Поступила в редакцию 6 января 1999 г.
