Непараметрические модели и алгоритмы принятия решений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

Е. Б. Бурулёв, Е. А. Зайцева, А. В. Медведев НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Рассматривается задача моделирования дискретно-непрерывных процессов в обстановке случайных факторов и различного рода неопределенностей. При необходимости моделирования организационных процессов предлагается использовать декомпозицию рассматриваемой системы в зависимости от возможности ее математической формализации. Обсуждается задача моделирования в узком и широком смыслах, а также некоторые особенности идентификации организационных процессов.

Общая постановка задачи идентификации дискретно-непрерывных и организационных процессов. Введем следующие обозначения: х(0 - выходная переменная процесса, которую без нарушения общности можем считать скалярной; и(^ и ц(/) - соответственно управляемая и неуправляемая контролируемые переменные; ш(/) -неконтролируемая переменная, действующая на процесс (о ее существовании исследователь может и не знать); ^(/) - случайные возмущения; t - время. Таким образом, переменная х(0 может быть представлена в виде объективно существующей зависимости

х(/) = Л(ы(г), ц(/), ш(/), £(/),/), (1)

где А - неизвестный оператор процесса; и(г)е Як; ц(,)е Ят; ю(0 е Яп; ?(/) е Ях.

Измерение переменных х^), u(t) и ц(/) осуществляется со случайными ошибками, имеющими нулевое математическое ожидание и ограниченную дисперсию, плотность их вероятности неизвестна. Обозначим эти наблюдения как х(, и,, ц,, t = 1, 2, ..., здесь t- дискретное время. Существенно, что оператор Л(-) не зависит от t, т. е. он не изменяется во времени.

При моделировании подобных процессов преследуется цель построения математической модели

~ (/) = В (и (/), ц (/), /), (2)

где В - класс операторов, который определяется на основании имеющейся априорной информации; х (;) - выход модели. Ясно, что в этом случае стремятся к тому, чтобы х(t) был близок к х(() в смысле принятого критерия оптимальности. Очевидно, что модель (2), описывающая процесс (1), может быть удовлетворительной, если класс операторов В выбран удачно и если влияние ш(/) и случайных факторов, действующих на процесс и в каналах измерения, не существенно. При существенном влиянии на х^) переменной ш(/) или значительном влиянии случайных факторов удовлетворительную модель процесса построить нельзя. Описанная ситуация является типичной не только для разнообразных технологических процессов, но и для многих других. Проблема моделирования подобных процессов усугубляется недостатком априорной информации об операторе А и высокой размерностью переменных и^) и ц(/).

Существенной особенностью моделирования организационных процессов является наличие действующих на процесс факторов (назовем их влиянием внешней среды), которые порождают состояние неопределенности. В этом случае на процесс (объект) действует еще одна переменная 0(/), уравнение (1) примет вид

х(,) = Л(и(,), ц(,), ю(/),(,), 9(,), ,), (3)

а общая схема подобного процесса может быть изображена следующим образом (рис. 1) (№, Ни, Нх - случайные ошибки измерения соответственно ц(/), и (/) и х(()).

КО

№

и(г)

Ни

“(О

0(0

т

Процесс

х(г)

Рис. 1

Идентификация в условиях неполной информации.

При моделировании разнообразных дискретно-непрерывных процессов в настоящее время доминирует теория идентификации в узком смысле. Ее содержание состоит в том, что на первом этапе каким-то образом определяется параметрический класс операторов В, например:

~р (I) = Вр (и(/), ц(,), ,, Р), (4)

а на втором этапе осуществляется оценка параметров р на основе имеющейся выборки {х1, и,, ц,,, = 1,5], где 5 -объем выборки. Успех решения задачи идентификации в этом случае существенно зависит от того, насколько удачно определен оператор (4).

Идентификация в широком смысле предполагает отсутствие этапа выбора параметрического класса оператора (4), если, конечно, для этого нет достаточных априорных сведений. Часто оказывается значительно проще определить класс операторов (2) на основе сведений качественного характера, например линейности процесса или типа нелинейности, однозначности либо неоднозначности и др. В этом случае задача идентификации состоит в оценивании этого оператора на основе выборки {х,, и,, ц,, / = 1, 5] в форме

~5 (,) = В5 (u(t), ц(/X ,, Х5 , и5 , ц5 ), (5)

где Х5 = (X1, Х2 , ■■■, Х5 ), и5 = (и^ и2 , ■", и5 X ц 5 = (Цр-Ц 5 ) -

временные векторы. Для некоторых классов операторов теория идентификации в широком смысле была развита на основе методов непараметрической статистики. В этом случае формулы типа (5) являются непараметрическими моделями процесса (1). Эта теория была развита для многосвязных процессов с запаздыванием, линейных динамических процессов с запаздыванием и некоторых классов нелинейных динамических процессов.

и

Моделирование организационных процессов. Организационные процессы - это любые процессы, протекающие с участием человека. К ним можно отнести процессы, функционирующие в экономике, социологии, производственных отношениях, технике и др., а также управляющие процессы в различных областях деятельности человека. Для подобных организационных систем характерно наличие различного рода неопределенностей (не путать со случайностью!), которые неизбежно затрудняют математическую формулировку задач моделирования и управления, а во многих случаях делают ее просто невозможной. Существенная трудность моделирования таких процессов обусловлена еще и тем, что элементом процесса является человек. В этом случае схему, представленную выше, следует несколько видоизменить. Представим схему наблюдения активной организационной системы (рис. 2), характер зависимости которой может быть описан следующим образом:

x(t) = A(u(t), ц(/), ш(/), Ç(t), 0(t), X(t), t), (6)

где обозначения всех переменных те же, что и в (3), а X(t ) - переменная, определяющая поведение человека, которая также может быть измерена или оценена. В этом случае модель процесса (6) выглядит следующим образом: ~(t) = Bр(u(t), Kt), X(t), t,p), (7)

если задача идентификации рассматривается в узком смысле, и в виде

~s (t) = Bs (u (t X ^ (tX X(tX t, xS , u S , Д s , X S ), (8)

если задача идентификации рассматривается в широком смысле.

ресующего его параметра (подобная ситуация, собственно, и породила проблему малых выборок). Моделирование организационных процессов в этих условиях осуществляется на основе современной теории идентификации с той лишь разницей, что алгоритмы идентификации (модели) используются в модифицированном виде, адекватном существу исследуемого процесса.

При построении моделей дискретно-непрерывных процессов мы неизбежно сталкиваемся с ситуацией, когда характеристика исследуемого процесса изменяется во времени заранее не предвиденным образом. Таким образом, с точки зрения практики, оператор А в (1) не является неизменным во времени, как мы предполагали ранее, а исследуемые процессы относятся к типу нестационарных. Последнее обстоятельство кардинально изменяет ситуацию, а именно: выборки наблюдений уже не должны быть чрезмерно большими; использование старых наблюдений перестает быть целесообразным, так как сегодняшняя картина процесса уже иная; об асимптотической сходимости алгоритмов вообще говорить не имеет смысла, да и сама теория сходимости в современном виде в значительной степени утрачивает свое значение. Но, тем не менее, ничего страшного в этом нет, так как исследователи-практики хорошо знают время жизни моделей, которые они разработали, и своевременно их перестраивают, оценив время разладки системы, используя при этом, например, идею скользящего усреднения или иные приемы. Можно считать без преувеличения, что существующая теория идентификации и управления является стационарной, нестационарной теории просто нет, а есть лишь методики или приемы отслеживания изменчивости характеристик процесса, которые вызваны старением оборудования, технологических аппаратов, изменениями, связанными с ю(/) и 9(/) (см. рис.1) и другими причинами. Для модели стохастического статистического процесса в этом случае следует использовать статистику

1 s т

y s ( x) = -cm £ У П н

SCs ¡=1 j=1

c.

p(s - 0 >

(9)

Наиболее естественный путь моделирования организационных процессов состоит в предварительной декомпозиции, причем выявление фрагментов исследуемого процесса осуществляется исходя из возможностей его математической формализации. Те же фрагменты, которые не поддаются последней, отдаются на «откуп» лицу, принимающему решение (ЛПР). При моделировании по-добъектов (фрагментов), для которых возможна математическая постановка задачи, можно использовать модели и алгоритмы, изложенные выше. Но следует иметь в виду, что переход от содержательной характеристики задачи к ее математической формализации часто чрезвычайно труден, а сам этот процесс не формализуем.

Остановимся еще на одном факте, который обычно бывает на практике. Сущность проблемы состоит в том, что исследователь часто не имеет выборки наблюдений той или иной переменной такого объема, который достаточен для того, чтобы сделать устойчивый статистический вывод, а иногда он вообще не имеет измерений инте-

где р(л - і) - функция памяти, убывающая с ростом аргумента:

р(0) > р(1) > ... > р(5-1). (10)

Знак равенства в (10) возможен, например, в случае скользящего усреднения с одинаковым весом. Этот прием легко обобщается на другие задачи адаптации и обучения.

В случае отсутствия выборки наблюдений входа-выхода для организационного процесса (или его фрагмента) могут быть привлечены специалисты-эксперты. Их задача сводится к тому, чтобы на основе заданных (или каким-то образом определенных) значений вектора входных переменных х = (х1;..., хт) дать (назвать) количественно определенное значение отклика системы на основе собственного опыта и знаний. Таким образом может быть сформулирована выборка у5, Х5, которая используется для построения соответствующей модели. Влияние человеческого фактора, присущего этой выборке, найдет свое отражение и в модели, но в будущем, по мере того как моделирующая система будет пополнять-

Xj-Xj

ся уже объективными значениями наблюдений входа-выхода, модель должна корректироваться или обучаться.

Одной из наиболее сложных черт организационных процессов (напомним, что это процессы, протекающие с участием человека, коллектива и т. д.) является его замкнутость. В теории управления замкнутыми системами называют систему «объект-управляющее устройство (УУ)», которая охвачена обратной связью. При этом УУ рассчитывает управляющее воздействие, которое подается на объект, в зависимости от значения выходной величины объекта и его желаемого значения. В технике такую систему часто можно «разорвать» и объект исследовать независимо от УУ. В организационных системах это невозможно, потому что человек (коллектив) всегда находится под воздействием соответствующих управлений (регламент поведения, традиции, законы и т. д.)1.

Непараметрические алгоритмы принятия решений. Теория непараметрических систем своему становлению и развитию обязана проблеме, состоящей в необходимости решения различных задач адаптации в условиях, когда уравнение исследуемого процесса не определено с точностью до вектора параметров.

Пусть д[/] е Я", й[Г] е Як, 5[1] е Я™ - векторы наблюдаемых случайных последовательностей, представляющие собой соответственно выходные и входные переменные исследуемого процесса. Определим функцию решений г е Ь2 как некоторую функцию, являющуюся выходом (решением) адаптивной системы, а функцию отклика ш е Ь будем рассматривать как реакцию исследуемого процесса на Г. Функция ю поступает на вход адаптивной системы.

В дальнейшем в наблюдаемых переменных индекс h (помехи при измерении) - по соображениям простоты будет опущен. Помехи h и ^ таковы, что М Щ = 0, ВЩ М {£} = 0, В{£} Сформируем критерий оптимальности

Я(Г) = МШ{МГ{<2(г, Г)|ш}}, (11)

где Q(■) - некоторая выпуклая функция. Задача отыскания наилучшего Г сводится к минимизации Я (Г) по Г, т. е. к поиску такого Гопг, что

1 Попытки построить теорию управления организационными

процессами предпринимались еще М. А. Ампером. Он выделил специальную науку об управлении государством и назвал ее кибернетикой. Несколько позже польский философ-гегельянец Б. Трентовский читал во Фрейбургском университете курс лекций «Отношение философии к кибернетике как искусству управления народом», которые опубликовал в 1843 г. Он ставил целью построения научных основ практической деятельности руководителя (кибернета) и отмечая комплексность и сложность этой проблемы: «При одной и той же политической идеологии кибернет должен управлять различно в Австрии, России или Пруссии. Точно так же в одной и той же стране он должен управлять завтра иначе, чем сегодня». Б. Трентовский справедливо видел основную трудность управления коллективом, народом (организационной системой) в сложности поведения людей: «Люди не математические символы и не логические категории, и процесс управления - это не шахматная партия. Недостаточное знание целей и стремлений людей может опрокинуть любое логическое построение. Людьми очень трудно командовать и предписывать им наперед заданные действия. Приказ, если кибернет вынужден его отдавать, всегда должен четко формулироваться. Исполняющему всегда должен быть понятен смысл приказа, его цели, результат, который будет достигнут, и кара, которая может последовать за его невыполнением, - последнее обязательно».

л Ш1П л

R(roni) = —г-R(r).

г

Ясно, что вид r будет определяться видом функции Q(r, r). Если Q(r, Г) = (r - Г)2, то

Г(ю) = M{r | ю}. (12)

В дальнейшем необходимо оценить г(ю) по наблюдениям r[s], ю[;], которые формируются из исходных выборок q[t], u[t]. Знак ^ означает временной вектор.

При пассивном накоплении информации, т. е. при наличии выборки r[s], ю[;], непараметрический алгоритм оценивания (12) имеет вид

G = G Ф ], (13)

где матрицы G;,Gs,Ф; таковы, что

і. цГ T

рл = ЦпИ,...,rk[t], ф; =||pt[1],...,Pt[s],

g, =

г! [1] • • r1[;]

rk [1] • • rk[;]

(14)

р, л=Иф(с;‘(ш.[(] - ч [>]))/ 1Пф(с"(®. [{] - «V л),

■у=1 / /=1 'У=1

Т - знак транспонирования.

При активном накоплении информации алгоритм оценивания (12) имеет вид

в; = ^ ф;+д „1, (15)

где матрица Д ;+1, удовлетворяющая условиям сходимости,

Д;+1 =||д„[; + 1],...,Д*[; +1] . (16)

Элементы этой матрицы представляют собой поисковые шаги, которые обеспечивают процесс обучения адаптивной модели. Алгоритм (15) имеет простой физический смысл, который состоит в том, что первое слагаемое представляет собой знание об объекте, а второе слагаемое обеспечивает поиск (обучение), если этого знания недостаточно. Таким образом, в начале процесса обучения доминирующее значение имеет второе слагаемое Д ;+1, а по мере возрастания степени обучения системы усиливается роль первого слагаемого в;. Ф;.

Ранее рассматривались различные тактики формирования Д ;+1: алгоритм случайного поиска, алгоритм с обратной связью, поисковые алгоритмы. Для целей дальнейшего изложения выпишем только один алгоритм:

ХдлйПф(а-1(га*-®vW)) __

А. [; +1] = -

,. = {1, k}, (17)

ХПф(«- ® v[i]))

/=1 v=1

где а; - коэффициент размытости, удовлетворяющий тем же условиям, что и С;. Непараметрические алгоритмы идентификации могут быть использованы для обучения в условиях, когда характеристики исследуемых процессов, объектов изменяются во времени заранее не известным образом. В этом случае столбцы матрицы Ф; в (14) имеют вид

Р[; - лЩ ф(с;‘(® V - ® V [ л]))

р[г] = ---------^ , (18)

Х Р[; - л]П ф(с;‘(® V - ® v[ л]))

1=1 v=1

где Р[; -1 ] - некоторая функция памяти, убывающая с ростом [; - /].

i=1

;-1 n

Изложенные выше алгоритмы идентификации базируются на стохастических аппроксимациях непараметрического типа, которые в свою очередь относятся к классу локальных. Механизм их функционирования состоит в локализации области в пространстве входных-выходных переменных, которая определяется значениями соответствующих известных переменных (и (или) функциями от них) и усреднением искомой переменной в этой области. Такое свойство позволяет естественным образом конструировать непараметрические модели при наличии разнотипных переменных.

Пусть вещественные переменные, характеризирую-щие состояние исследуемого процесса, оказываются разнотипными. Следствием этого является наличие в векторе входных-выходных» переменных процесса компонентов, представляющих собой как дискретно-непрерывные переменные, так и дискретные переменные, а также переменные типа булевых и псевдобулевых. Существенным здесь является факт введения меры близости между соответствующими переменными. Если это возможно, то такие переменные являются аргументами колоколообразных функций, т. е. в алгоритмах (13)...(17) фигурируют

л-Пл. гг Л покомпонентные произведения ф(—--------л ) , л = 1, X, А

С5

- число компонент вектора. В частности,

П ф(С-(® vM - ® v[ л']))ф(^ - ^ [л])

р, [ л] = ^=" . (19)

ХП ф(С- (®v[1] - ®v[л]))ф- лi[л])

/=1 v=1

В случае если меру близости ввести нельзя (например, для булевых переменных), когда близость значений переменных предполагает их совпадение, то вместо обычных колоколообразных функций ф() возможно использовать кусочно-постоянные функции ф (■), такие, что для каждой j-й компоненты л

ф(Пл - Л л Н) =

1, если | л л - Л л И = 0,

0, если | л л - Л л Н ф 0-

(20)

Таким образом, алгоритмы класса (13) (17) могут быть

использованы и при наличии разнотипных переменных.

Формирование обучающей выборки с привлечением экспертов. Информационные технологии управления предоставляют широкие возможности для существенного повышения эффективности управленческой деятельности. Проведение, в частности, финансового анализа промышленного предприятия следует отнести к процессам организационного типа, которые являются прерогативой высшего звена управленческих структур предприятия, способных влиять на формирование и распределение финансовых ресурсов и на потоки денежных средств.

Конечно же, в такой системе крайне желательно использовать уже накопленный опыт по совершенствованию управления производством. Но если информацию такого рода извлекать на самом предприятии, то ее будет явно не достаточно. Здесь целесообразно использовать опыт и знания прогрессивных управленцев (менеджеров). Процесс получения данной информации можно представить себе как ответы различных экспертов-управлен-цев на различные вопросы, отражающие многообразие производственных и управленческих ситуаций.

Пусть некоторая производственно-финансовая функция, обозначим ее г, может быть охарактеризована количественно. Она зависит от п производственных, финансовых и экономических показателей х = (х^..., хп). Ясно, что характер такой зависимости заранее не известен. Но в результате опроса группы экспертов может быть сформирована обучающая выборка г., х, i =1,5. В этом случае может быть поставлен вопрос о построении модели исследуемого процесса, т. е. об установлении стохастической зависимости г от вектора х = (х1, ..., хп). Совершенно ясно, что реакция каждого эксперта, определение им соответствующего значения г на предоставленный ему набор параметров-признаков х ,...., х]п будет различной. Это различие обусловлено профессиональным уровнем самого эксперта, его опытом, знаниями, склонностями в оценивании ситуаций. Объективность подобной модели основывается на усреднении мнений этих экспертов.

Осуществление подобного опроса с целью формирования обучающей выборки требует тщательной подготовки. Она будет состоять в том, чтобы заранее сформулировать (описать и представить в численном виде) те или иные производственно-финансовые ситуации. Сама же процедура работы с группой экспертов будет состоять в предоставлении им описания г-й ситуации с последующей фиксацией оценки каждым экспертом значения г, г =1,5. Такая технология получения заключения эксперта может осуществляться по разным схемам («мозговой штурм», метод блокнота и др.). Следует обратить внимание, что вся процедура формирования обучающей выборки является очень важной и требует точной и внимательной обработки.

Если представить их модель в виде г = f(x, ш, , где

ш символизирует склонности, характер экспертов, а ^ -фактор случайности в оценке тех или иных ситуаций, то сама модель этого процесса будет выглядеть следующим образом: г = /(х). При таких условиях можно сформулировать задачу идентификации на основе имеющейся обучающей выборки г, х, г = 1,5. Эти модели могут строиться в классе регрессионных или в классе вероятностных. Последнее означает, что оценка г дается как наиболее вероятное значение отклика исследуемой системы на воздействие х. Если подобные модели построены, то большой интерес представляет эксперимент, состоящий в отклике (прогнозе) ситуации г, которая порождается значениями вектора х, и сравнении этого прогноза с оценками экспертов, или фактическим состоянием ситуации, если последнее реально осуществимо.

Такой эксперимент можно провести по имеющейся обучающей выборке в скользящем режиме, но может быть также осуществлен и на вновь сформированной обучающей выборке, где компоненты вектора х, задаваемые экспертами, могут не очень отличаться от тех, которые определены в исходной обучающей выборке. Конечно, в этом случае необходимо провести детальный ретроспективный анализ, особенно в тех ситуациях, когда компьютерный прогноз окажется существенно отличным от прогноза экспертов.

Как уже отмечалось выше, проведение подобного процесса накопления информации представляется неизбежным из-за того, что даже если производством или

другой системой, объектом, учреждением и управляли (принимали управленческие решения), но количественно или каким-либо другим способом все эти акты принятия решений не фиксировали, то возможность какого-либо объективного ретроспективного анализа в этом случае будет исключена. Предлагаемый путь создания соответствующих компьютерных систем принятия управленческих решений позволяет, опираясь на информацию, полученную за небольшой промежуток времени от экспертов, создать обучающуюся систему принятия решений, которая в последующем на основе уже реальных событий будет способна доучиваться. В этом смысле вполне возможно ожидать от нее повышения качества в процессе обучения принятию решений по формированию управленческих действий.

Таким образом может быть сформирована соответствующая обучающая выборка, которая и будет использована для построения диалоговой системы принятия решений «компьютер-ЛПР». В случае если некоторые фрагменты производственной и финансово-хозяйственной деятельности поддаются математической формализации, для конструирования блоков системы принятия решений стоит использовать существующие формальные процедуры, основанные на моделировании и оптимизации в обстановке случайных факторов, недостатка априорных сведений и различного рода неопределенностей.

Процесс выработки решений для управления описанной выше организационной системой является достаточно сложным, поскольку здесь фигурируют переменные различной природы: вещественные, дискретные, булевы. В принципе, можно также говорить и о переменных лингвистического характера. Здесь существенным, а может быть, и определяющим является тот факт, что сбор и накопление необходимой информации для создания компьютерной системы поддержки принятия решений крайне затруднены. Опыт показывает, что попытка создания соответствующих обучающих выборок или реализации по фактически имеющейся информации часто обречены на неудачу. Обусловлено это тем, что ряд значений тех или иных факторов, относящихся к категории 0(1), Х(1), часто оказываются утраченными. Не имея достаточно полноценной, объективной обучающей выборки, невозможно построить достаточно эффективную компьютерную систему поддержки принятия решений. Это обусловлено не только плохой памятью и эмоциями человека, но и, в частности, тем, что круг людей, принимавших решений раньше, мог за это время измениться.

Можно представить ситуацию, что мы с текущего момента начинаем создавать обучающую выборку. Понятно, что на этой стадии необходима тщательно разработанная с позиций системного анализа информационная структура, включающая все возможные факторы, которые влияют на выработку и принятие соответствующих организационных решений. Следует иметь в виду, что организационные решения могут иметь как производственную, так и финансово-экономическую сущность. Следовательно, для выработки соответствующих решений будут необходимы различные, соответствующие последним наборы факторов.

Допустим, что подобная работа проведена, тогда необходимо осуществить формирование соответствующих обучающих выборок, где опять будут фигурировать разнотипные переменные. Но как осуществить накопление значений этих переменных? Важнейшим здесь является время формирования подобных обучающих выборок. Совершенно очевидно, что подобная работа по формированию обучающих выборок затянется на многие годы. И это обстоятельство при создании компьютерной системы поддержки принятия решений может иметь решающее значение.

Известно, что сегодня эти решения принимаются управленцами различных уровней на основании создавшейся текущей ситуации и опыта этих управленцев. Опыт и знания управленца в данном случае являются синонимами тех обучающих выборок, которые необходимы для функционирования компьютерной системы поддержки принятия соответствующих решений. Каков же выход из создавшегося положения?

По-видимому, единственным реальным путем создания обучающих выборок является использование опыта управленцев различных рангов. И в этом случае наиболее эффективным видится создание группы экспертов, которыми и будут являться группы управленцев по тем или иным направлениям (производственным, финансовым, производственно-экономическим и т. д.). Причем совершенно очевидно, что это будут различные группы, соответствующие разным иерархическим уровням организационно-управленческой системы. Содержанием деятельностей этих групп является воссоздание каждым экспертом тех ситуаций, которые уже имели место ранее, и тех решений, которые были в то время приняты.

Одной из трудностей, с которыми мы столкнемся на этом пути, будут разные мнения различных экспертов по поводу выработки одних и тех же решений. Проблема согласования этих мнений сама по себе является достаточно трудной задачей.

Допустим, что все перечисленные выше трудности удалось преодолеть. В итоге будет сформирована обучающая выборка, состоящая из векторных переменных и(1), ц(/), ш(/), 0(1), Х(1). Нет сомнений, что размерность подобной задачи принятия решений будет достаточно велика. С другой стороны, объем обучающей выборки наверняка окажется достаточно малым по отношению к общей размерности задачи. Тем не менее следует отметить, что человек-управленец при выработке тех или иных решений находится именно в такой ситуации. Более того, известно немало примеров, когда в подобных условиях принимаются достаточно разумные, эффективные решения, как производственные, так и финансово-экономические. С математической точки зрения это может быть обусловлено следующей особенностью. Положим, что нам необходимо построить обучающиеся модели по соответствующим обучающим выборкам. Еще раз отметим, что значение выходной переменной (отклика принятия решения) зависит от достаточно большого числа входных переменных. Анализ показывает, что подобная модель, без которой невозможна выработка эффективных решений, вообще говоря, не может быть очень качественной. Но, как отмечалось выше, в организационных систе-

мах управления предприятиями все-таки имеют место достаточно эффективные решения, о чем можно судить по соответствующим откликам на эти решения. Если проводить математическую аналогию, то подобную ситуацию можно сравнить с необходимостью восстановления некоторой зависимости, когда число аргументов (входных переменных) достаточно велико. Например, можно говорить о восстановлении функций 10 аргументов, когда объем исходной выборки составляет 300 наблюденных значений. Совершенно очевидно, что объем выборки чрезвычайно мал, но задача аппроксимации функции тем не менее является решенной достаточно удовлетворительно.

С математической точки зрения это может иметь, пожалуй, единственное объяснение. Оно состоит в том, что исследуемый процесс имеет трубчатую структуру. Иными словами, речь идет не о восстановлении поверхности, а о восстановлении некоторой трубки (ее можно представить как вырожденный случай восстановления линии в многомерном пространстве).

Если при выработке управленческих решений мы располагаем достаточно качественной моделью, то и выработанные управленческие решения будут достаточно эффективными. В этой связи можно сделать заключение о том, что модели многих организационных процессов (да и не только организационных) имеют трубчатую

структуру. Моделирование и управление подобными процессами было осуществляется методами статистического моделирования.

Библиографический список

1. Цыпкин, Я. 3. Основы информационной теории идентификации / Я. 3. Цыпкин. М.: Наука, 1984. 320 с.

2. Медведев, А. В. Непараметрические системы адаптации / А. В. Медведев. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 174 с.

3. Катковник, В. Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных / В. Я. Катковник. М.: Наука, 1985. 336 с.

4. Хардле, В. Прикладная непараметрическая регрессия / В. Хардле. М.: Мир, 1993. 349 с.

5. Медведев, А. В. О моделировании организационных процессов / А. В. Медведев // Вестник Сибирской аэрокосмической академии имени академика М. Ф. Ре-шетнева: сб. науч. тр. / САА. Вып. 1. Красноярск, 2000. С. 173-191.

6. Льюнг, Л. Идентификация систем / Л. Льюнг. М.: Наука, 1991. 423 с.

7. Красноштанов, А. П. Комбинированные многосвязные системы / А. П. Красноштанов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 2001. 175 с.

E. B. Burulev, E. A. Zajtseva, A. V. Medvedev

NON-PARAMETRIC MODELS AND DECISION MAKING ALGORITHMS

The problem of discrete-continuous process modeling in case of chance factors and various indeterminations influence is considered. In case of need organization processes modeling the system involved decomposition is required depend upon math formalization ability. The problem of modeling in the narrow and the wide sense and also some organization processes identification features are discussed.