CC BY
13
НЕОКЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПТИМИЗАЦИИ МОДЕЛИ РЕГИОНАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ1
NEOCLASSICAL APPROACH TO OPTIMIZATION OF MODEL OF REGIONAL
BALANCE
БучаевЯхьяГамидович
д.э.н., профессор ГАОУ ВПО ДГИНХ
Гаджиев Магомедрасул Магомедович,
д.э.н., доцент, профессор кафедры «Менеджмент» ГАОУ ВПО ДГИНХ, [email protected]
Яковлева Елена Анатольевна
д.э.н., профессор кафедры «Финансы и денежное обращение» СПбГПУ, Финансовый университет при правительстве РФ, [email protected]
Аннотация
В статье представлена традиционная микроэкономическая модель оптимизации потребления и производства продукции в экономической системе, известная в экономической теории как модель «максимизации полезности от потребления определенного количества продуктов каждого наименования (вида) из определенного набора продуктов при имеющихся ресурсных ограничениях возможностей их производства». Abstract
The article presents the traditional microeconomic model of optimization of consumption and production in the economic system, known in economic theory as a model for maximizing the utility of consumption of products of each name (species) of a specific set of products with the available resource limits opportunities for their production ".
Ключевые слова: модель, оптимизация, цена, полезность, количество продукции, ресурсы.
Key words:model, optimization, price, value, number of products, resources.
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ проекта проведения научных исследований (№ 12-02-00247 «Управление и оценка эффективности инновационного развития социально-экономических систем»)
Для оптимизации потребления и производства продуктов в регионе может использоваться традиционная микроэкономическая модель оптимизации потребления и производства продукции в экономической системе, известная в экономической теории как модель «максимизации полезности от потребления определенного количества продуктов каждого наименования (вида) из определенного набора продуктов при имеющихся ресурсных ограничениях возможностей их производства». В контексте данного подхода, ресурсные ограничения относятся к любым видам ресурсов, включая материальные ресурсы,имеющиесяпроизводственные возможности (производственная мощность) производства продуктов, финансовые ресурсы. В рыночных условиях все ресурсные ограничения могут быть сведены к финансовым ограничениям.
Классическая постановка задачи представлена ниже: U(X1...Xn) ^ max
trj * X = Rj
i=1
i = i...n, j = 1..m
Xj - количество продуктов i-го вида,
Г-j - нормативный расход ресурсов j-го вида на производство единицы продукта i-го
вида,
РН. — имеющийся лимит ресурса j-го вида, Л- переменная Лагранжа,
и(X1...Хп) — функция полезности (ФП) потребления продуктов ( 1.. .п) в количестве
Х1... Хп ,
и, — предельная (дифференциальная) полезность потребления единицы i-го продукта,
п-количество видов продуктов, т- количество видов ресурсов.
Относительно функции полезности ФП в экономической теории принято, что это-нелинейная функция «п» переменных, при этом ограничения представлены как строгие равенства.При этих условиях приемлемым методом решения задачи является метод Лагранжа. Функция Лагранжа определяется в следующемвиде:
т п
L(X,, Л]) = и(XI...Хп) + X Л] * (Н — X Г] * X)
]=1 1=1
дL( X,, Л..) nдL( X,, Л..) п. , —4 " ¡' = 0,—4 1 = 0,, = 1...п, I = 1...т
дX¡ дЛ1
Из приведенной системы уравнений определяются искомые переменные «Xi». Для практических целей ФП трудно определить, поэтому сделаны допущения.
1. Предполагаем аддитивность ФП: U (X1... Xn) = U1( X1) + ... + Un (Xn),
Это означает, что интегральная ФП, как функция многих переменных, может быть представлена как сумма ФП отдельных переменных,
2. Предполагаем линейный характер ФП:
и,(X,) = u * X,, i = 1 ...n
Данное предположение несколько противоречит принятому в экономической теории криволинейному характеру функции полезности ФП, который обусловлен действием принципа «убывающей предельной результативности производственных затрат», однако в диапазоне незначительных изменений объема продукции данное предположение допустимо.
Приэтих предположениях получим линейную задачу оптимизации:
n
^ üj * Xi ^ max
i=1
Ъи * Xi < Rj
i=1
i = 1...n, j = 1...m
Или в матричной форме: Макс(и*Х),
r * X < R, X > 0
Здесь r- матрица нормативного расхода ресурсов на единицу продукта, X- вектор количества продуктов, u- вектор предельных полезностей продуктов, R - вектор имеющегося лимита ресурсов.
Использование линейной формы представления задачи «оптимизации потребления и производства продуктов в регионе» имеет определенные преимущества (перед традиционным подходом):
1. Методы получения оптимального решения для задач, представленных в линейной форме, широко известны и доведены до практического применения (симплекс метод решения задач линейного программирования входит в прикладной пакет программ «excel»),
2. Линейная форма представления задач оптимизации позволяет использовать принцип двойственности, т.е. формулировать двойственную задачу оптимизации, что
позволяет получить оценки (цены в широком смысле) эффективности применения оптимального плана.
Принято считать, что если линейная задача оптимизации, которая является по экономическому содержанию задачей «оптимального плана», а по постановке- прямой задачей, сформулирована экономически правильно, то двойственная задача не
обязательно имеет экономическое содержание, т.е. не всегда поддается содержательной экономической интерпретации. По нашему мнению это ошибочная точка зрения, вызванная тем, что постановщики оптимизационных задач (обычно математики) не всегда способны правильно трактовать экономические закономерности реальных процессов. Это видно на примере двойственной задачи к представленной выше задаче оптимального плана.
Сформулируем двойственную задачу (в чной и матричной форме). Для этого представим прямую задачу в более компактном виде, оставив из всех ресурсных ограничений только одно -на финансовые ресурсы.
u,* X, + ...un * Xn ^ max P, * X1 + ...Pn * Xn < M
Двойственная задача представляется в следующем виде: M * z ^ min P, * z > u,
Р * г > и
' п *--"л
Или в матричной форме
мин (R*z),
г * г > и г > 0
Двойственная переменная «2» представляет собой цены ресурсов (в изложенном выше смысле). Задача сводится к минимизации стоимости или затрат привлечения ресурсов в экономической системе, однако требуется
Содержательная интерпретация ограничений двойственной задачи-самостоятельная проблема, которую рассмотрим на примере использования принципов оптимального ценообразования при формировании цен капитальных активов.
Установление экономического равновесия спроса и предложения одного продукта определяется равенством спроса и предложения и численно характеризуется двумя параметрами: количеством и ценой продукта в точке равновесия. Соответственно имеется две взаимосвязанные экономические задачи: определение равновесного количества
продуктов и их равновесной цены. Решение этих задача для одного продукта может быть найдено аналитически, если функции спроса и предложения заданы в аналитической форме, либо иным способом. Если количество продуктов больше одного, равновесное количество продуктов должно удовлетворять и промежуточный и конечный спрос на продукты. Если ограничения на спрос являются строгими равенствами, равновесное количество продуктов находится из решения системы линейных уравнений и представляет собой хорошо описанную проблему межотраслевого баланса [5, 9]. При нестрогих ограничениях на спрос (в форме неравенств), возможны различные варианты достижения равновесия, среди которых есть оптимальный вариант, удовлетворяющий принятой целевой функции оптимизационной задачи. Данная проблема известна как проблема оптимального межотраслевого баланса или оптимального производственного плана, решение находится методом линейного программирования (при линейных целевой функции и ограничениях). При этом, равновесные цены продуктов находят при решении обратной (двойственной) задачи. В свое время интерпретация двойственных переменных как «теневых цен», а экономического смысла двойственной задачи как проблемы ценообразования явилось большим достижением экономической науки, в том числе и российских ученых (В.В. Новожилов).
Данный принцип ценообразования в полной мере относится и к ценам на капитальные активы и является одним из подходов (наряду с другими) к определению цен на капитальные активы или требуемой для достижения оптимального инвестиционного плана доходности инвестиций, а следовательно имеет значение для инвестиционного и финансового анализа.
Рассмотрим постановку стандартной линейной задачи оптимизации инвестиционного плана, т.е. минимизации расходов на привлечение инвестиционных ресурсов при установленных ограничениях по величине и направлению инвестиций:
п
I <р{ * X, ^ тт
I=1
п
IX, < X(1*)
I=1
X, > X, (2*), X, > 0,
I = 1...п
Ограничение (1*) представим в форме, соответствующей задаче минимизации:
п
г=1
Здесь /-направление инвестирования, Хг - объем инвестиционных ресурсов,
привлекаемых по каждому направлению, X - максимально допустимый объем привлечения инвестиционных ресурсов (лимит),
-минимально допустимый объем привлечения инвестиционных ресурсов по
каждому направлению, - трансакционные издержки привлечения единицы
инвестиционных ресурсов в экономическую систему по каждому направлению инвестирования.
Направление инвестирования в локальном случае можно рассматривать как инвестиционный проект с «открытой суммой», т.е. чем больше средств инвестируется по этому направлению, тем больше величина отдачи от инвестиций, при этом делается допущение о независимости предельной доходности инвестиций от величины инвестированных средств, т.е. в данном случае базовое неоклассическое предположение об убывающей предельной доходности инвестиций, не выдвигается (чтобы исключить нелинейность).
Целевая функция задачи представляет собой величину трансакционных издержек (ТИ) на привлечение инвестиций. Эти издержки не являются ценой финансовых ресурсов, привлекаемых для финансирования инвестиций, и устанавливаются не по источникам финансирования, а по направлениям инвестиционных расходов. Принято допущение о том, что предприятие заинтересовано использовать те направления инвестирования, для которых привлечение инвестиционных ресурсов требует наименьших ТИ.
Инвестиционные риски в рассматриваемой постановке задачи учитываются через установление максимально допустимой величины привлечения инвестиционных ресурсов. Экономический смысл данного ограничения становится очевидным, если предположить, что все финансовые ресурсы для инвестиционной деятельности привлекаются из заемных источников. Установление ограничения по минимально допустимой величине инвестиций по каждому из направлений инвестирования (2*) также косвенно учитывает фактор инвестиционного риска с точки зрения диверсификации инвестиций по различным направлениям.
Сформируем двойственную задачу:
п
X Г * — k * X ^ тах
1=1 г
Г — k < (р1, г, k > 0
г = 1 ...п
Здесь r¡ -рентабельность инвестированного капитала(РИК или внутренняя
доходность по направлениям инвестирования), k -цена привлечения финансовых ресурсов из внешних источников финансирования (при определенных условиях -ставка ссудного процента).
По экономическому содержанию это-задача ценообразования. Рентабельность инвестированного капитала РИК представляет собой результат (отдачу или цену) от использования единицы инвестиций, а процентная ставка - цену привлекаемых финансовых ресурсов. Целевая функция двойственной задачи представляет собой доход от инвестиций и является аналогом известного в экономике показателя «экономической добавленной стоимости» (ЭДС) от использования инвестиций, а ограничения представляют собой ЭДС от единицы инвестиции. В международной практике ЭДС- это показатель EVA (economicvalueadded). Таким образом, двойственная задача сводится к максимизации результата от использования инвестиций. Каждое ограничение
двойственной задачи: , ri — Vi + k , ri,k — 0 означает, что РИК не должна быть
i = 1...n
выше, чем издержки по привлечению инвестиционных ресурсов, которые складываются из ТИ а также «финансовых» издержек по оплате «услуг» по использованию источников финансовых ресурсов. Экономический смысл данного ограничения имеет существенное значение, поэтому рассмотрим его подробнее. Прямая задача соответствует также модели межотраслевого баланса. Балансовые модели «леонтьевского типа» построены на неоклассических принципах, в частности на фундаментальном предположении о совершенном конкурентном рынке (СКР). Согласно данному предположению, рентабельность инвестиций в пределе стремится к рентабельности рынка, т.е. к рыночной процентной ставке. Это происходит оттого, что если имеется инвестиционное направление, рентабельность которого выше рыночной, то на СКР, в этом направлении возникает дополнительны поток инвестиций, который, согласно фундаментальному правилу СКР об убывающей предельной доходности инвестиций (рентабельность каждой последующей инвестиционной единицы будет меньше предыдущей) прекратится тогда, когда рентабельность инвестиций сравняется с процентной ставкой. Если рентабельность
инвестиций меньше процентной ставки (инвестиции нерентабельны) ri < k, i = 1..n, то Щ = 0 - трансакционные издержки по привлечению инвестиционных ресурсов равны
нулю, т.к. нерентабельные инвестиции не будут реализованы. Отсюда также следует, что рентабельность инвестиций должна покрывать цену привлечения финансовых ресурсов,но
не должна полностью возмещать трансакционных издержек по привлечению инвестиционных ресурсов. Это также означает, что трансакционные издержки по своей экономической природе -это не производственные издержки.
Приведенные прямая и двойственная задачи могут быть решены методом множителей Лагранжа. На основании теоремы Куна-Таккера, общий минимум затрат (прямая задача) и общий максимум результатов (двойственная задача) осуществляются при таких фиксированных значениях переменных (X, r, k), при которых функция Лагранжа (ФЛ) достигает минимума как функция (X) при фиксированных (r,k) и максимума как функция (r,k) при фиксированных (X).
Zx(X,, г., k) = £ срг * Xt + k * (£ Xt - X) - £ г. *(Xt - X,) ^ min
'=\ '=1 '=1 (3*)
L1(Xi, г., k ) = Yr * X, - k * X + £ 0 - г,. - k)* X, ^ max i 1 i 1
В этих функциях в качестве вспомогательных (лагранжевых) множителей будут выступать переменные двойственной задачи [5]:
Минимальные значения L1 (соответствуют прямой задаче) равны максимальным значениям L2 (соответствуют двойственной задаче).
Частные производные L1 по переменным Xi определяют необходимые издержки на
единицу инвестиционных расходов для получения требуемой доходности инвестиций в оптимальном плане:
—^ = 0, г = ю. + k, i = 1..n (4)
dXt ' '
Частные производные L2 по переменнымrt,k ,i = 1..n определяют необходимые
соотношения ограничений по инвестиционным ресурсам в оптимальном плане, максимизирующем результат от инвестиционной деятельности:
1lX,=X (4*)
i=1
С учетом этого соотношения, максимум функции L2(.) по переменнымXi и
частные производные функции определяют в оптимальном плане необходимое условие сбалансированности результата (доходности) инвестиций и затрат (в нашем случае ТИ издержек) на привлечение инвестиционных ресурсов. Иными словами, если рассматривать L2 (.) только как функцию количества привлекаемых инвестиционных
ресурсов Xi, то с математической точки зрения это означает, что, с учетом выражения (4*), в функции L2(.), зависимым от переменных Xi будет только элемент
n
^ (щ — r) * Xt , а все остальные элементы, содержащиеся в (3*), будут константы i=1
относительно Xi. Тогда при увеличении количества инвестиционных ресурсов на одну единицу, затраты на их привлечение будут определяться только величиной «нефинансовых» издержек на привлечение ресурсов, т.е. в нашем случае -величиной ТИ (подробные алгебраические преобразования, обосновывающие справедливость этих утверждений, здесь не приводятся):
дЬЛ)
^^ = 0, r = щ, i = 1...n (5)
дХг ' '
Если при обсуждении этих вопросов следовать логике, содержащейся в [9], то анализ затрат обнаруживает определенное противоречие. Из сравнения (4) и (5) следует, что их левые части равны, а правые -нет. РИК с одной стороны должна быть в оптимальном плане равна всем издержкам по привлечению инвестиционных ресурсов ( трансакционным и финансовым издержкам), а с другой стороны -только их части, т.е. только трансакционным издержкам. Это означает, что издержки по привлечению финансовых ресурсов не создают стоимости (в отличие от трансакционных издержек).
Этот же вывод следует и из анализа структуры самого показателя экономической добавленной стоимости (иногда говорят об «экономической прибыли») от инвестиций: EVA (ЭДС)= (РИК - % ставка), т.е. РИК создает стоимость, издержки по привлечению финансовых ресурсов ее уменьшают. Этот вывод совпадает тем, к которому пришел более 35 лет назад В.В.Новожилов [9], обозначив эти издержки термином «затраты обратной связи». Во всяком случае, получается, что финансы не создают стоимости, хотя и способствуют ее созданию. Таким способом известный советский ученый -экономист маскировал свои неоклассические взгляды.
Выводы
Возвращаясь к сформулированной нами ранее задаче, содержательная интерпретация ограничений двойственной задачи должна свестись к объяснению, почему при оптимальном плане цена ресурсов на производство единицы продукции должна быть больше, чем предельная полезность от потребления единицы продукции?
Если принять во внимание, что предельная полезность от потребления единицы продукции -величина субъективная, т.е. практически определяемая экспертным способом, то данное ограничение по сути задает
«правило экспертизы», состоящее в том, что «при оптимальном плане производить должно быть выгоднее, чем потреблять», иначе никто не будет заниматься производством. Ключевое значение здесь имеет двойственный характер переменных двойственной задачи «z». Ресурсы, в «запасы» которых делает промышленность региона, могут быть только производственного характера (ресурсы для достижения социальных целей нами не рассматриваются) -например производственная мощность предприятия (см. ранее). Цена, которую необходимо платить за привлечение единицы каждого вида ресурсов, одновременно является минимальной/нижней границей требуемой доходности использования ресурсов. В противном случае не будет создаваться добавленная стоимость. Рентабельность/доходность вложений в промышленность региона не должна быть меньше, чем полезность от потребления продукции, в производство которой осуществляются вложения. Одновременно эксперт, осуществляющий оценку полезности, (поскольку иных методов оценки полезности, чем эспертная оценка, практически не существует) также должен иметь в виду это фундаментальное экономическое правило. Здесь нет противоречия также и в отношении измеримости показателей, т.к. и предельная полезность продуктов и рентабельность вложений в их производство -относительные величины.
Библиографический список:
1. Волкова В.Н. Системный анализ и принятие решений: Словарь-справ.:Учеб.пособие/ Под общ. ред. В.Н. Волковой и В.Н. Козлова. - М.: Высшая школа, 2004.
2. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: Учебное пособие /В.Н. Волкова, А.А. Емельянов. - М.: Финансы и статистика, 2013. -847 с.
3. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ: Учебник / В.Н. Волкова, А.А.Денисов. - М.: Юрайт, 2012.
4. Гаджиев М. М., Яковлева Е.А., Бучаев Я. Г., Козловская Э. А. Финансовая стратегия прогнозирования промышленного предприятия (монография). Махачкала: ИД «Наука плюс». 2012. с. 210
5. Ланкастер К. Математическая экономика./ «Советское радио», М. 1972.
6. Магомедов А.М., Бучаев А.Г. Пути развития распределительной логистики АПК региона // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2014. № 4 (64). С. 59.
7. Магомедов А.М., Бучаев Я.Г. Эффективность финансовых потоков в агропромышленном комплексе региона // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2014. № 4 (64). С. 60.
8. Магомедов А.М. Управление региональной экономикой логистический подход // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2012. № 12 (48). С. 106.
9. Новожилов В.В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании./ «Экономика», М.1967.
10. Экономическая диагностика: теория и методы: Монография / Н.Н.Погостинская, Ю.А.Погостинский, и др. - Нальчик: Эльбрус, 2000. - 320 с. Методы финансового анализа, моделирование финансовой стратегии, динамический норматив как инновационный метод диагностики, в том числе финансовой.
11. Финансы в нестабильной экономике: Монография / Под ред. проф. Н.Н.Погостинской.
- СПб.: Изд-во МБИ, 2010. - 208 с. Методы финансового анализа, динамический норматив как инновационный метод диагностики, в том числе финансовой, диагностика банкротства, оценка рисков.
12. Погостинская Н.Н., Погостинский Ю.А., Павлюк Г.А. Инновационный подход к оценке финансовой устойчивости предприятия // Финансы. Деньги. Инвестиции. - М.
- 2013. - №1. С. 10-16.
13. Погостинская Н.Н. и др. Баланс результативности и экономичности в динамическом нормативе / Н.Н.Погостинская, Ю.А.Погостинский, О.В.Суханов и др.// Экономика Бизнес Банки: Международный научно-практический журнал. — М.: НОУ "Рим университет", 2014. - № 1 (6). - С.72-85.
14. Яковлева Е.А., Бучаев Я. Г., Гаджиев М. М., Козловская Э. А. Управление стоимостью организации в инновационном процессе: эффективность инноваций в производственной сфере (монография) Махачкала: ИД «Наука плюс». 2012. с. 242 .
15. Яковлева Е.А., Бучаев Я. Г., Гаджиев М. М., Козловская Э. А. Оценка бизнеса.1-е издание (учебник: гриф УМО 080200 Менеджмент (профиль «Инновационный менеджмент»). М.: Экономика, 2013. 357 с/
