Необходимые условия минимума полинома от интегральных функционалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.97 А. В. Фоминых

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ МИНИМУМА ПОЛИНОМА ОТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

В данной статье изучаются условия минимума «полиномиального» функционала. Для «полиномиального» функционала выписан градиент Гато, найдены необходимые условия минимума, которые используются при описании метода наискорейшего спуска для рассматриваемой задачи. Дополнительно исследуется задача минимизации «полиномиального» функционала, когда присутствуют ограничения. С помощью теории точных штрафных функций эта задача при наличии ограничений сводится к задаче безусловной минимизации. Полученные условия минимума позволяют описать метод гиподифференциального спуска для решаемой задачи. Приведены численные примеры реализации описанных методов. Задача минимизации произведения степеней интегралов находит широкое применение в аэродинамике. Даны примеры некоторых интегральных уравнений и задачи теории управления, которые можно свести к задаче минимизации «полиномиального» функционала. Библиогр. 14 назв. Табл. 1.

Ключевые слова: градиент Гато, вариация, точная штрафная функция, метод наискорейшего спуска, метод гиподифференциального спуска, аэродинамика, управление, полином, интегральный функционал.

A. V. Fominyh

NECESSARY CONDITIONS FOR A MINIMUM OF A POLYNOMIAL OF INTEGRAL FUNCTIONALS

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

This paper investigates the conditions for a minimum of a "polynomial" functional. Gateaux gradient and necessary conditions for a minimum are obtained for the "polynomial" functional. The necessary minimum conditions are used in the description of the steepest descent method for the considered problem. Further the problem of constrained minimizing of the "polynomial" functional is investigated. Using the theory of exact penalty functions, this problem under constraints reduces to the problem of unconstrained minimization. The resulting minimum conditions allow us to describe the method of hypodifferential descent for the considered problem. Numerical examples of the described methods are included. The problem of minimizing the product of powers of the integrals is widely used in aerodynamics. Some examples of integral equations and the problem of the control theory are given, which can be reduced to the problem of minimizing a "polynomial" functional. Bibliogr. 14. Table 1.

Keywords: Gateaux gradient, variation, exact penalty function, steepest descent method, hypodifferential descent method, aerodynamics, control, polynomial, integral functional.

Введение и постановка задачи. Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений

y(x,x ,u,t)=0n (1)

Фоминых Александр Владимирович — аспирант; e-mail: [email protected] Fominyh Alexandr Vladimirovich — post-graduate student; e-mail: [email protected]

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12-01-00752, 14-01-31521 мол-а) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.205.2014).

с заданным начальным условием

х(0) = хо. (2)

Считаем систему полностью управляемой. Здесь Т > 0 - заданный момент времени, у - вещественная п-мерная вектор-функция, х(г) - п-мерная вектор-функция фазовых координат, которую будем считать непрерывно дифференцируемой на [0, Т], управление и принадлежит некоторому фиксированному множеству допустимых управлений и = {и е Рт[0,Т] | и(г) е V Ш е [0,Т]}, где V С Я™ - компактное множество. Предполагаем у(х,х,и,г) непрерывно дифференцируемой по х, х и и и непрерывной по всем четырем аргументам.

Пусть требуется подобрать такое управление и е и, при котором решение задачи (1), (2) удовлетворяет такому условию:

т

J уо(х,х,и,г)А = Ь, (3)

о

где в-мерная вещественная вектор-функция уо может содержать в себе информацию о положении объекта системы, значении его скорости и ограничениях на управление, Ь - заданный вектор из Яз. Считаем, что у о непрерывно дифференцируема по х, х и и и непрерывна по всем четырем аргументам. С помощью (3) могут быть записаны, например, интегральное ограничение на управление вида

т

¡и2т = 1 о

или ограничение на конечное состояние системы

т

хо + J х(г)А = хт. о

Задачу (1)-(3) сведем к минимизации следующего функционала на всем пространстве:

т з ( т \ 2

Р2 =J {у(г,и,Ь),у(г,и,Ь))& + ^ уол(г,и,Ь)& - Ь I , (4)

о 4=1 \о /

где г (г) = х(г); у(г,и,г) = у(хо + г(т ),г,и,г); уо(г,и,г) = уо(хо + / г (т ),г,и,г);

оо уо4 - г-тая компонента вектор-функции уо.

Функционал (4) содержит линейное слагаемое (первый интегральный функционал) и сумму квадратов от интегральных функционалов. Таким образом, задача (1)-(3) свелась к минимизации полинома второй степени от интегральных функционалов. Аналогично можно рассмотреть задачу минимизации полиномов высших степеней.

В работах [1, 2] описывалась задача минимизации произведения степеней интегральных функционалов, зависящих от искомой функции и ее производной. При этом значения функции в начальный и конечный моменты времени считались фиксированными. Задача сводилась к решению дифференциального уравнения второго

порядка, а после вывода его общего решения с учетом краевых условий - к п + 2 алгебраическим уравнениям с п + 2 неизвестными, где п - количество сомножителей в произведении степеней интегралов. В этих работах и ряде других (см., например, [3, 4]) охарактеризовано приложение полученных результатов к аэродинамике, а именно, к определению оптимальных в каком-то смысле форм аэродинамических объектов.

В данной работе выводятся необходимые условия минимума функционала (далее будем называть его «полиномиальным»)

Рк [Ь(х),...,1п(х)] (5)

с заданным начальным условием

х(0) = хо.

(6)

В выражении (5) Рк - полином заданной конечной степени к € N (его общий вид будет выписан ниже), а ] = 1, п, - интегральный функционал

т

I] (х) = I I] (х(Ь),Х(Ь),Ь)М,

рассматриваемый в классической задаче вариационного исчисления [5]. Здесь Т > 0 -некоторый фиксированный момент времени, I] - заданная вещественная скалярная функция, непрерывная по всем трем аргументам и непрерывно дифференцируемая по х и х, х(Ь) - п-мерная вектор-функция координат, непрерывно дифференцируемая на промежутке [0, Т].

Положим г(Ь) = х(Ь), г € Сп[0,Т]. Тогда с учетом (6) имеем х(Ь) = хо + г(т)в,т.

о

Требуется найти такую вектор-функцию х* € СП [0,Т], удовлетворяющую ограничению (6), которая доставляет минимум «полиномиальному» функционалу (5).

Необходимые условия минимума «полиномиального» функционала Рк.

Сначала изучим частный случай, когда минимизируемый функционал имеет следующий вид:

т / г п

Р2(г)

! I (х0 ^У г (т )^,г(г),г\ &

(7)

общий случай будет описан далее. Найдем производную Р2(г, у) по направлению V € Сп [0,Т] функционала (7). Имеем

Р2(г + ау) =

J I I хо + J г(т) + ау(т)йт, г(Ь) + ау(Ь), £ I

11 ^хо+1 г{т)<1т,г{г),г1 <й + а £ + (^Х^)| ^ + о(а)

= Р<2{г) + 2а1'\ v{т)dт\+[^-,v{t)^\dtjf I х0 + !г{т)<1т, г{г)ЛсИ + о{а) =

2

2

т ( / т

Р2(г) + 2а! \ П // +/г(т)(1т, А + о(а)

о ^ V

(8)

гДе -^тг

т

0 при а I 0 и (VI,У2)& - скалярное произведение вектор-функций VI,

о

v2. Из (8) далее получаем

р/, ^ г + ау) - Р2(г) Р2(г,у)= 1пп-

а|о а

т ( / т

2/ I / + (Й'^) I Г° + / (9)

о ^ \г

Из (9) следует, что функционал Р2(г) дифференцируем по Гато [6] в точке г и его «градиент» выражается по формуле

УР2(г) = 2

д/ > д/

ТГ^ +

дх дг

1 г

! /(хо + У г(т)йт,г(Ь),г)скЬ. (10)

Отсюда заключаем, что, для того чтобы вектор-функция е Сп[0,Т] была точкой минимума функционала (7), необходимо выполнение соотношений

д/ д/

ТГ^ +

дх дг

т г

! / (хо +У г* (т )^,г*(г),г)Л = 0п Ш е [0,Т],

дЦх*,г*,Т)

дг

оо

т г

(11)

! /(хо ^У г*(т)йт, г*(Ь),г)скЬ = 0п

в которых 0п - нулевой элемент пространства Сп [0, Т]. Второе равенство в (11) вытекает из первого при г = Т и представляет собой условие трансверсальности на правом конце.

Теперь получим выражения, аналогичные (9) и (10), и необходимое условие минимума, подобное (11), для «полиномиального» функционала

Рк[Ь (х),...,1п(х)]. В общем случае «полиномиальный» функционал имеет вид

Рк = ^2 ^Яг,

где

г=1

т \ т1 / т

Ъ = | У /1^] X ... X П /ГЛ

г

т

Здесь fj = fj(x, г, ] = \,п, к = тах(т*1 + ... + тгп), то* € N и {0}. Обозначим

¿=1/

(т \ т1 — 1 / т \ т2 / т \ "П

! 13 I х I у 12& I х ... х I у 1пЛ I , если т\ > 1,

Ц = 0, если ш\ = 0,

т \ т1 / Т \ тз'-1 / т \")1

¡П = { I 13 I х ... х I у 13-3 I х и 13зг I х

т \ тз'+1 / т \ "П

х I У ¡3+1 ¿г I х ••• х I у 1пА I , если т] > 1,

I] = 0, если т3 = 0,

т \ "1 / т \ "п-1 / т

1П = I /13 I х ... х ( / 1п- 3 I х | / 1п^ I , если тП > 1, чо / \о / \о

Гп = 0, если тП = 0, где /] = /](», =

Вначале найдем вариацию функционала ¥п. Проводя вычисления, аналогичные (8), (9), получаем

г т

Еп(х + ау)

( ¡1 (хо + 1 г(т) +ау(т)3т, г(г) +ау(г),г)3г

о

г

У IП (хо + 1 г(т) +ау(т)3т, г(г) +ау(г),г)3г

х ... х

о

т т

¡3) 'Чат! / ( I / 13) '

ог

т т т

У 1п3£) П + атП J

о о г

X ... X

тП-1

+ I изг) ' +о(а)

т т т т

/ ¡з) 1 х ... х ( / 1пЗг) п + атЦ I

о

о

ог

т т

ог

(12) 95

"

х

х

т т

ог т т

+т«/™У (У (13)

ог

и «градиент» Гато для функционала

^ V г '

Далее для «полиномиального» функционала Рк с учетом (12)-(14) имеем

т / т

Рк(г + ау) = Рк(г) + «^а^т}/] / / -^т + Ьй + о(а),

4=1 ^=1 о ^ г т , т

Р> (г, V) = ]Г а, ]Г т}/] + | »(*)) А

¿=1 ¿=1 о /

д/з , д/

дх дг

ог

и «градиент» Гато

дх д^ '

г=1 з=^ г

Таким образом, для того чтобы вектор-функция г* была точкой минимума функционала Рк, необходимо [7] выполнение соотношений

£ п / т \ ¿=1 ¿=1 £ г / (15)

г=1 3=1

где второе равенство представляет собой условие трансверсальности на правом конце.

Заметим, что в случае п = I = 1, а1 = 1, ш^ = 1 первый сомножитель в (15) равен 1, и мы приходим к необходимым условиям минимума

т

I

= 0„. (17)

дг

Дифференцируя (16) на интервале [0,Т], получаем уравнение Эйлера в дифференциальной форме для классической задачи вариационного исчисления. Выражение (17) представляет собой условие трансверсальности на правом конце.

Метод наискорейшего спуска. Опишем следующий метод наискорейшего спуска [8] для поиска стационарных точек функционала Рк.

Фиксируем произвольное г\ € Сп[0,Т]. Пусть уже построено гр € Сп[0,Т]. Если выполнено необходимое условие минимума (15), то гр является стационарной точкой функционала Рк, и процесс прекращается. В противном случае положим

гр+1 = гр + трдр,

(18)

где др = д(гр) - это антиградиент функционала Рк в точке гр, который находится по формуле

др = а^

г=1 з=1

д/, д/, дх дг

т, ,

а 7р есть решение задачи одномерной минимизации

шт Р (гр + 7др) = Р (гр + ^рЧр)-

7^0

(19)

(20)

Тогда Рк (гр+1) ^ Рк(гр). Если последовательность {гр} бесконечна, то при некоторых дополнительных предположениях метод наискорейшего спуска сходится в следующем смысле [8]:

\\д(гр

дрЛ —> 0 при р —> оо.

Если последовательность {гр} конечна, то последняя ее точка является стационарной точкой функционала Рк по построению.

Для иллюстрации работы метода градиентного спуска рассмотрим пример. Пусть требуется найти минимум функционала

Р2

1

¡{т+х<л}«

х(0) = 1.

(21)

Положим г1(Ь) = 0, тогда х^Ь) = 1, Р2 (г1) = 1. В данном случае из (21) имеем

Г1 д/ д/

/ -к~<1т = 1 — — = 2г(€) для всех £ € [0,1]. По формуле (19) получаем выражение

^ ъ дх дг

н

для антиградиента в точке г1

1

д1(г) = -(1 - г)! 1 Л = (Ь - 1).

По формуле (18)

Тогда

г2(г) = -1(1 - г).

ъ

х2(г) = 1 + ! { - 7(1 - т)рт = 1 - ^ + ±7г2

2

Решая задачу (20), находим

шт Р2(г1 + 1Я\) = шт

7^0 7^0

откуда 71 = А. Имеем

сИ

Н - ±

2Ь 2'

тогда

я2(*) = 1 - & +

+ М = о.

дх

дг

(22)

(23)

(24)

Из (24) следует, что в точке г2 необходимое условие (11) минимума выполнено. Таким образом, функционал Р2 достигает минимума в точке г2, определяемой соотношением (22) (а тогда ж2 выражается по формуле (23)), здесь Р2(-г2) = -щ. Отметим, что в этом примере метод наискорейшего спуска привел к точке минимума за один шаг.

Задача с ограничением на правом конце. Вернемся к исходной постановке задачи. Пусть помимо начального условия (6) задано ограничение на правом конце

х(Т) = хт ■

(25)

Требуется найти такую вектор-функцию х*, удовлетворяющую ограничениям (6), (25), которая доставляет минимум «полиномиальному» функционалу (5). Введем функцию

п

¥(г) = 53 ^ ^^ г=1

(26)

в которой

^г(г) =

1

Х0г +! гг(г)А - хц

Здесь хог - г-тая компонента вектора хо, а хтг — г-тая компонента вектора хт, г = 1,п. Нетрудно убедиться, что <^(г) = 0, когда (25) выполняется, и <^(г) > 0, если (25) не имеет места.

Теперь можно составить функционал

Ф(г) = Рк(г) + \р(г),

(27)

где Л - достаточно большое положительное число. Ниже будет показано, что при некоторых дополнительных предположениях это точная штрафная функция. Тогда задачу минимизации (5) при наличии ограничений (6), (25) можно свести к безусловной минимизации функционала (27).

Дифференциальные свойства функционала г). Рассмотрим функционал ^>(г) подробнее. Обозначим

(г) = х0г + J - хТг, г = 1, п.

0

1

Введем индексные множества

10 = {ъ = Т^\Ъ(г) = 0}, 1- = {г= | ^(г) < 0}, 1+ ={г = Т^, >0}.

Нам также потребуются множества

О = (г е Оп[0,Т] | у(г)=0},

= (г е Оп[0,Т] I у(г) <6},

Ой/О = (г е Сп [0,Т] I 0 <у(г) < 6}.

Пусть сначала у(г) = 0. В этом случае г) субдифференцируема, и ее субдифференциал с учетом (26) имеет вид

дф) = I 6 [-1. г = . (28)

где е^ - единичный вектор, в котором единица стоит на г-м месте, г = 1 ,п.

Пусть теперь у(г) > 0. В данном случае у(г) также оказывается субдифферен-цируемой, и ее субдифференциал с учетом (26) выражается по формуле

п

ду(г) = | ^^ + I е [-!, !], ® е 1о,

г€1о ¿=1

^ = 0, если I е 10, ^ = 1, если I е I+, ^ = —1, если I е .

Используя ту же технику, что и в [9, 10], можно показать, что имеет место Теорема 1. Пусть найдется такое положительное число Ао < ж, что У А > Ао существует г (А) е Сп[0,Т], для которого Фл(г(А)) = М Фл (г). Пусть так-

г£Сп[0,Т ]

же функционал Рк(г) является локально липшицевым на множестве Ой/О. Тогда функционал (27) будет точной штрафной функцией.

Теперь можно сформулировать необходимые условия минимума «полиномиального» функционала.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Для того чтобы точка х*(Ь) = х0 + /0 г*(т)йт удовлетворяла ограничениям (6), (25) и доставляла минимум функционалу (5), необходимо, чтобы для всех £ из промежутка [0,Т] выполнялось включение

Т^Т + дЛ

г=1 3=1 \Ч дх дг ) ^ и=1

/ 7Г'1: ' 7Г • Л 1<*е[-1,1], г = 1 ,п\. (29)

Доказательство. По теореме 1 функционал (27) - точная штрафная функция, поэтому существует такое число А*, что УА > А* задача минимизации функционала (5) при наличии ограничений (6), (25) эквивалентна задаче безусловной минимизации (27). Для того чтобы х* была точкой минимума (27), необходимо [11] выполнение соотношения

0п е дФ(х*). (30)

Поскольку при г € О субдифференциал функции у(х) выражается соотношением (28), а функционал Рк(г) дифференцируем по Гато и его градиент выписан в (15), то условие (30) запишется в виде

т

0п а

Е \ } дх

¿=1 0 =1 \4

^т+ъг! +Л \ | 6 [-1,1], * = 1,

.¿=1

и включение (29) доказано.

Метод гиподифференциального спуска. Найдем гиподифференциал функционала Ф(-г). Для гиподифференциала функционалов ^¿(-г), г = 1,п, имеем следующее выражение [12]:

(Ьрг(г) = со^р^г) - уф), е*], [-уф) - уф), -е*]}.

Тогда гиподифференциал функционала Ф(г) находится по формуле

т \

+ Х^^^г (г).

¿Ф(г)

¿=1 0=1 \г

г=1

Известно, что необходимым условием минимума функционала (27) в точке х* в терминах гиподифференциала является условие [12]

[0,0п] € ЗФ(х*).

(31)

Переход от субдифференциала к гиподифференциалу обусловлен тем фактом, что гиподифференциальное отображение, в отличие от субдифференциального, является непрерывным в метрике Хаусдорфа [12], а это позволит гарантировать сходимость в некотором смысле рассматриваемого численного метода.

Найдем минимальный по норме гипоградиент и € ¿Ф(г), т. е. решим задачу

шт || и ||2 = шт \\и(р1,...,вп

13ке[од]

к=1,п

(32)

где

1(в 1, ...,Рп) =

¿=1 0=1 \г

+ ЧРАч?! - VI, +

+ (1 - /?1)[-у>1 - уь ~ег] Н-----Ь Рп[<рп ~ 4>п, е„] + (1 - /3„)[-у„ - у„, -еп]) =

[А(2/Зх - 1)ух + • • • + А(2/3„ - 1)у„ - Ау, т + Й^ +

+ Х(2р1 - 1)в1 + ■■■ + Х(2вп - 1)еп]

А^(2/Зг - 1)щ - Ау, ]Га, ]Г ( /' + дЛ I т}/] + А]Г(2/Зг - 1)ег

¿=1

¿=1 0=1

¿=1

2

Таким образом, задачу (32) можно переписать следующим образом:

2

к=1,п

=1

+

--1 j=1 \t

dfj d_ | dfj m dx dz ' j3

fi + (2ßi - l)ei

dt

Задача (33) представляет собой задачу квадратичного программирования при наличии линейных ограничений. Для ее решения можно использовать, например, метод Вульфа или его модификацию [13]. Обозначим это решение (в*, ■ ■ ■ , в**). Вектор-функция

Я*(z) = 53

dfj d_ | df. m dx dz ' j 3

f] + (2ß* - l)ei

(34)

состоит из последних п компонент наименьшего по норме гипоградиента функционала Ф(-г). Если ||д*(,г)|| > 0 (в данном случае г не является стационарной точкой Ф),

то

чЧ*)

\q*(z)\

представляет собой направление спуска функционала Ф в точке z.

Перейдем к описанию метода гиподифференциального спуска [14] для нахождения стационарных точек функционала Ф^). Выберем произвольное zi G Cn[0,T]. Пусть уже найдено zp G Cn[0,T]. Если f(zp) = 0 и выполнено необходимое условие минимума (29) или (31), то точка zp стационарная, и процесс прекращается. Если же условие f(zp) =0 не выполнено или f(zp) = 0, но не выполнено необходимое условие минимума (29) или (31), то положим

*

zp+i zp - 1p qp,

где qp = q*(zp) определяется формулой (34), а yp является решением задачи одномерной минимизации

пшо ф(zp - Yqp) = Ф(^ - YpЯ**)■

Тогда Ф^+i) ^ Ф(zp). Если последовательность {zp} бесконечна, то можно показать, что метод гиподифференциального спуска сходится в следующем смысле [7]:

\\u(zp

Гг

W / updt ^ 0 при p

Если последовательность {гр} конечна, то последняя ее точка есть стационарная точка функционала Ф по построению.

Для иллюстрации работы метода гиподифференциального спуска рассмотрим пример. Пусть требуется найти минимум функционала

2=

X2(t) - tx(t) \dt

c(0) = 1, x(1) = 2 ■

2

l

Положим Л = 100, Х1(€) = 0, тогда х1^) = 1. В данном случае субдифференциал функционала Ф(х) имеет вид

дФ(г) = ( " Н Т + + Х(ш + /л),

где

11(х) = \х2(г) — гх(г)

а величины ш и V определены в выражении для субдифференциала дц>(х) перед теоремой 1. Гиподифференциал функционала Ф(х) вычисляется по формуле

сЩг) = [0, ( - А + ^ + 2г(1))11(х)] + ЛеоШг) - ф), 1], \-Тр{г) - ф), -1]},

Г

здесь ср(г) = \<р(г)|, <р(г) = хо+ / г{р)А — хт-

Jo

В таблице приведены результаты работы метода гиподифференциального спуска.

Результаты работы МГС

к 2к 1к*ЫН ФЫ

1 0 1 99.833 100.25

2 0.99917+ 0.002542 1 + 0.999174 + 0.0008(3)43 0.00419 0.02782

3 1.08(3) - 0.2542 1 +1.08(3)4-0.08(3)43 0 0.02596

Из таблицы видно, что в точке хз необходимое условие (31) минимума выполнено (я*Ш = 0).

Некоторые приложения. Приведем примеры задач, которые могут приводить к необходимости минимизации «полиномиального» функционала.

Рассмотрим вначале задачу нахождения таких вектор-функций х € С^ [0, Т] с заданным начальным положением хо, которые удовлетворяют интегральному соотношению

J д(х,х,1)& = К,

(35)

где К - заданная константа. Функцию д(х, х,€) считаем непрерывно дифференцируемой по х и х и непрерывной по всем трем аргументам. Нетрудно видеть, что задача (35) эквивалентна задаче минимизации функционала

Р?

Г "

/ д(х, х, 1)& — К

который представляет собой квадратичный трехчлен от интегрального функционала. Если дополнительно присутствует ограничение на правом конце хг, то требуется минимизировать функционал

2 =

J д(х,х,Ь)3;Ь — К I + I хо + J х(Ь)3;Ь — хг

(36)

1

2

2

2

Заметим, что в отличие от общего случая задачи с ограничением на правом конце, рассмотренного выше, здесь минимум функционала (36) ищется на всем пространстве, поскольку предполагается, что существует решение задачи (35), удовлетворяющее заданным начальному и конечному условиям. Поэтому в данном случае не возникает необходимости строить точную штрафную функцию и использовать методы негладкой оптимизации.

Аналогичным образом к задаче минимизации «полиномиального» функционала можно свести любое интегральное соотношение, содержащее положительные степени интегральных функционалов и константы.

Вернемся к задаче (1)—(3). С учетом (4) нетрудно проверить, что имеет место Теорема 3. Для того чтобы решение х* (^ = х0 + /0 г*(т)йт системы (1) при управлении и* удовлетворяло условиям (2), (3), необходимо, чтобы для всех £ из промежутка [0, Т] выполнялись соотношения

т

Г (ду(г*,и*, т) у „ (ду{г*,и*,Ь)\' У V-¿Ь-) У,и I-д~г-) +

г

т \ / т

¡' /.* т\ I [ дуог(г*,и*,г) 8ум(г*,и*,г)

+ V / yoi(z*,u*,t)dt-Li / yu,v ' ' 'dr +

/ , I i ^ 7 " ^«II/ о I „

^ \ .1 I \ J ox dz

(dy{z*,u*,t)\ * , ST- I [ ( * * г 1 dy0i(z*,u*,t)

I --J y{z ,u ,t) + / yoi{z ,u , t)dt - Li -—- = 0m,

где ' означает операцию транспонирования.

Наконец, если система (1) разрешена относительно производных, т. е. рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

X = y(x, u, t) (37)

с заданным начальным условием

x(0) = x0, (38)

то из теоремы 3 следует

Теорема 4. Для того чтобы решение x* (t) = x0 + f0 z*(t)dr системы (37) при управлении u* удовлетворяло условиям (3), (38), необходимо, чтобы для всех t из промежутка [0, T] выполнялись соотношения

z*(t) -y(z*,u*,t) - J (^V<kZdJ (z*(t) - y(z*,u*,T))dr +

t

dx dz

\t

( dy{z*,u*,t)\( , M.f [ / , * * .4 T | dy0i(z*,u*,t)

V--дй-J ^ ( ,u ' >>I у yoi^z ,u ' ' ~ 4-d^i-= "

где ' означает операцию транспонирования.

Как уже было отмечено раньше, необходимость минимизации произведения степеней интегралов возникает в задаче определения оптимальных в том или ином смысле форм аэродинамических объектов. В качестве конкретного примера рассмотрим задачу минимизации следующего интеграла качества:

I

I mi i mi i m3

здесь

Ii = / x(t)x3(t)dt, I2 = / x(t)dt, I3 = / x2 (t)dt,

x(0) = 0, x(l) = 1,

а mi, То2, тз - некоторые целые неотрицательные числа. Мы не останавливаемся подробно на физическом смысле функционала I. Отметим лишь, что интегралы Ii, I2, I3 с точностью до постоянных множителей представляют собой лобовое сопротивление, площадь и объем объекта соответственно и возникают при рассмотрении осесимметричного тонкого тела, находящегося в ньютоновском гиперзвуковом потоке под нулевым углом атаки. Детальное описание этой задачи можно найти в [4].

Заключение. Таким образом, в данной статье минимизация полинома от интегральных функционалов проводилась методом наискорейшего спуска и методом гиподифференциального спуска. Такие полиномы имеют приложение в некоторых задачах управления, интегральных уравнениях и аэродинамике.

Литература

1. Miele A. Drag Minimization as the Extremization of Products of Powers of Integrals. Rice University, Aero-Astronautics Report N 31, 1967. 31 p.

2. Miele A. The Extremization of Products of Powers of Functionals and Its Application to Aerodynamics // Astronautica Acta. 1966. Vol. 12, N 1. P. 1-41.

3. Lusty A. H., Jr., Miele A. Bodies of Maximum Lift-to-Drag Ratio in Hypersonic Flow // AIAA Journal. 1966. Vol. 4, N 12. P. 2130-2135.

4. Miele A., Hull D. G. On the Minimization of the Product of the Powers of Several Integrals // Journal of Optimization Theory and Applications. 1967. Vol. 1, N 1. P. 70-82.

5. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. М.: Гостехиздат, 1941. 308 c.

6. Крейн С. Г. Функциональный анализ. М.: Наука, 1964. 424 c.

7. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 c.

8. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 741 с.

9. Тамасян Г. Ш. Численные методы в задачах вариационного исчисления для функционалов, зависящих от производных высшего порядка // Проблемы математического анализа. 2012. Вып. 67. С. 113-132.

10. Тамасян Г. Ш. Градиентные методы в вариационной задаче со свободными концами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 224-230.

11. Васильев Л. В., Демьянов В. Ф. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. 384 c.

12. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 c.

13. Даугавет В. А. Модификация метода Вулфа // Журн. вычислит. математики и матем. физики. 1981. Т. 21, № 2. С. 504-508.

14. Демьянов В. Ф., Долгополик М. В. Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 3. С. 48-66.

References

1. Miele A. Drag Minimization as the Extremization of Products of Powers of Integrals. Rice University, Aero-Astronautics Report no. 31, 1967, 31 p.

i

i

i

2. Miele A. The Extremization of Products of Powers of Functionals and Its Application to Aerodynamics. Astronáutica Acta, 1966, vol. 12, no. 1, pp. 1—41.

3. Lusty A. H., Jr., Miele A. Bodies of Maximum Lift-to-Drag Ratio in Hypersonic Flow. AIAA Journal, 1966, vol. 4, no. 12, pp. 2130-2135.

4. Miele A., Hull D. G. On the Minimization of the Product of the Powers of Several Integrals. Journal of Optimization Theory and Applications, 1967, vol. 1, no. 1, pp. 70-82.

5. Gjunter N. M. Kurs variacionnogo ischislenija [Variation calculus course]. Moscow, Gostechizdat Publ., 1941, 308 p. (in Russ.)

6. Krein S. G. Funkcional'nyj analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1964, 424 p. (in Russ.)

7. Demyanov V. F. Usloviya ekstremuma i variacionnoe ischislenie [Extremum conditions and variation calculus]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2005, 335 p. (in Russ.)

8. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funkcional'nyj analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 741 p. (in Russ.)

9. Tamasyan G. Sh. Chislennye metody v zadachah variacionnogo ischislenija dlja funkcionalov, zavisjashhih ot proizvodnyh vysshego porjadka [Numerical methods in problems of calculus of variations for functionals depending on higher order derivatives]. Journal of Mathematical Sciences, 2013, vol. 188, issue 3, pp. 299-321.

10. Tamasyan G. Sh. Gradientnye metody reshenija zadachi Koshi [The gradient methods for solving the Cauchy problem]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2009, issue 4, pp. 224-230. (in Russ.)

11. Vasilyev L. V., Demyanov V. F. Nedifferenciruemaja optimizacija [Nondifferentiable optimization]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 384 p. (in Russ.)

12. Demyanov V. F., Rubinov A. M. Osnovy negladkogo analiza i kvazidifferencial'noe ischislenie [Basics of nonsmooth analysis and quasidifferential calculus]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 432 p. (in Russ.)

13. Daugavet V. A. Modifikacija metoda Vulfa [A modification of Wolfe's method]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1981, vol. 21, issue 2, pp. 250-256. (in Russ.)

14. Demyanov V. F., Dolgopolik M. V. Kodifferenciruemye funkcii v banahovyh prostranstvah: metody i prilozhenija k zadacham variacionnogo ischislenija [Codifferentiable functions in Banach spaces: methods and applications to Problems of Variation Calculus]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 3, pp. 48-66. (in Russ.)

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.