CC BY
11
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2004, Том 6, Выпуск 1
УДК 517.98
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ВЕКТОРНЫХ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПРОГРАММАХ
Е. К. Басаева
Памяти Юрия Александровича Абрамовича посвящается
Получены необходимые условия идеального и обобщенного экстремума для векторных квазидиф-
ференцируемых задач с ограничениями.
В цикле работ В. Ф. Демьянова, Л. Н. Поляковой и А. М. Рубинова [4-8, 11-14] введены квазидифференцирумые функции и построено исчисление квазидифференциалов. Необходимые и достаточные условия экстремума квазидифференцируемой функции исследовались в работах В. Ф. Демьянова и Л. Н. Поляковой [7, 11-13, 15], см. также [3, 6]. В работах [1, 2] квазидифференциальное исчисление распространяется на случай операторов, действующих из векторного пространства в произвольное ^-пространство.
Статья посвящена приложениям квазидифференциального исчисления негладких отображений к многоцелевым экстремальным задачам и является продолжением работ [1, 2]. В первом параграфе приведены необходимые условия идеального оптимума для векторных квазидифференцируемых программ. Второй параграф посвящен анализу ограничений типа включения. Третий параграф содержит необходимые условия обобщенного экстремума.
В статье использованы обозначения и терминология из [9, 10].
1. Необходимые условия экстремума
Всюду в этом параграфе X — векторное пространство, а Е — произвольное К-пространство. Рассмотрим программу (С,/), т. е. многоцелевую экстремальную задачу ж € С, /(ж) —» inf, где С С X — некоторое множество, a f : X ^ Е — отображение, предполагаемое в дальнейшем квазидифференцируемым в нужной точке core(dom(/)). Локальный оптимум в этой задаче будем понимать в следующем смысле: точка xq € С — идеальный локальный инфимум (супремум) в программе ж € С, /(ж) —> inf (или х € С, /(ж) —> sup), если существует множество U С X такое, что 0 € core(U) и f(xo) = inf {/(ж) : х € Cn(xQ + U)} (соответственно, /(жо) = sup {/(ж) : ж € CP\(xa + U)}).
1.1. Теорема. Пусть отображение ./' : .V ^ /','* квазидифференцируемо в точке xq € core(dom(/)). Если xq — идеальный локальный оптимум в безусловной векторной программе /(ж) inf, то <9/(жо) С <9/(жо) или, что то же самое, Vf(xa) ^ 0.
© 2004 Басаева Е. К.
<1 Так как точка хо является идеальным локальным оптимумом программы / —> шГ и отображение / дифференцируемо по направлениям в этой точке, то для любого ¡г € X при достаточно малых а > 0 справедливо неравенство
0 < /Ы + аЬ) ~/(х0) = +
а а
Переходя в этом неравенстве к о-иределу при а 4- 0, мы видим, что /'(хо)к 0 для всех Ь, € X. Далее, в силу квазидифференцируемости / будет /'(жо)Л. = р(Ь) — д(Ь) О (Ь, € Х)7 где р, д € БЬЦХ, Е) таковы, что др = д/(ха) и дд = <9/(жо). Тем самым р ^ д, что равносильно включению дд С др, совпадающему с точностью до обозначений с требуемым. >
Заметим, что необходимые условия оптимальности в теореме допускают следующую эквивалентную форму записи:
з/ы С д/Ы О 0 € р| (д/ы - V).
иедЦха)
1.2. Рассмотрим векторную программу вида (С,/), где С := {х € X : < 0},
причем отображения /ад квазидифференцируемы в нужной точке. Эту программу мы будем обозначать символом (д,/). Введем необходимое для дальнейшего условие квазирегулярности. Пусть X — векторное пространство, a£[^F — некоторые ^-пространства.
(1) Рассмотрим отображения / \ X ^ Е и д : X —> Р . Векторную программу (д,/) называют квазирегулярной в тючке х^ € соге(с1от(<?)), если выполнены условия:
(a) существуют сублинейный оператор Магарам г : /•' —» /',' п поглощающее множество и С X такие, что для любого х € хо + и выполняется тгх/(ха) ^ Кх/(Х)] гДе т^х '■= [(г ° — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о д(х))^;
(b) для любых оператора Т € дг(д(хо)) и ненулевого проектора тг € ^{Е) выполняется ттТ о дд(ха) П ттТ о дд(ха) = 0.
Условие (а) выполняется, если, например, существует такой сублинейный оператор Магарам г : /•' —» /','. что для любого х € X из д(х) ^ 0 следует г о д[х) 0.
(2) Рассмотрим векторную программу (К,Ь,1), где Ь и I те же, что и выше, а К С X — конус (вообще говоря, невыпуклый), допускающий представление К = ^ ^ Л'<. где (к\ )< = — семейство выпуклых конусов. В этом случае программу (К, Ь, I) мы будем называть квазилинейной.
Скажем, что квазилинейная программа (К, квазирегулярпа, если выполнены условия:
(а') существует сублинейный оператор Магарам К : —> Е такой, что для любого ¡г € К будет тт 1{Н) ^ 0, где тт := [(Д о ;
(Ь') для любых оператора Т € ¿Ш, индекса £ € Н и ненулевого проектора тт € имеет место соотношение ттТ о дЬ П (ттТдЬ + ттМе(К^)) = 0.
Условие (а') выполнено, если существует сублинейный оператор Магарам К : —> Е такой, что если ¡г € К и Ь(Ь) ^ 0, то й о ^ 0.
Если Ь = Р — (¡) для некоторых Р, (¡) € то условие (Ь') можно переписать в
следующем эквивалентном виде: для любых операторов Б € дЬ и Т € дК, индекса £ € Н и ненулевого проектора тт € ^(Е) существуют проектор 0 Ф тт' ^ тт и элемент х € К^ такие, что тт'ТБх > тт'ТРх.
Как видно, при К = К£ = X программа (К,Ь,1) совпадает с программой а
условия (а') и (Ь') превращаются в условие квазирегулярности (2).
1.3. Теорема. Пусть для квазилинейной программы (К,Ь,1) выполнено условие квазирегулярности 1.2 (2). Тогда равносильны следующие утверждения:
(1) нуль является решением программы (К, Ь,1);
(2) для любых 5 € 81, Б € <91/ и £ € Н существуют ортоморфизм а € ОгШ(_Е), оператор Магарам 7 € Ь+(Р,Е) и линейный оператор А € Ь(Х,Е) такие, что
кега = {0}, Л €
^А € а о (81 - в) + 7 о (81 - в).
<\ (1) —> (2): В силу квазилинейности I нуль будет идеальным решением квазилинейной векторной программы (К, Ь, I) в том и только в том случае, если для любого ¡1 € К из Ь(к) ^ 0 следует 1(}%) ^ 0. Отсюда видно, что нуль является идеальным оптимумом в векторной программе (К, Ь,1) тогда и только тогда, когда для любого £ € Н он является оптимальным в задаче Ь, € —> ш£, где <р : И, 1(Ь) V г о Ь(Ь). Таким образом,
если нуль — решение задачи (К,Ь,1), то для любого £ € Н будет
1(К) V ЯоЦН) > 0 (НеЩ).
Пусть сублинейные операторы р, д € Е) п I*. Ц (г таковы, что I = р — д и
р = р — Тогда ввиду [9; 1.4.14 (2)] будет
ш£ (р(Н) - з(К)) V г о (Р(Н) - 5(Л)) >0 (Н € К),
5е5(Э
следовательно, для любых в € дд, Б € 8С¡) и £ € Н справедливо неравенство
(р(Н) - в(Л)) V г о (Р(Н) - ЗД) >0 (Н € Щ).
Пусть 5(К) обозначает _Е-значный индикаторный оператор множества К. Тогда последнее можно переписать в эквивалентной форме:
(р(Н) - в(Л)) V г о (Р(Н) - ЗД) + 5(Щ)(Ь) >0 (Н € X).
Привлекая формулы субдифференцирования 2.1.7 (1), 3.2.8 из [9] и 4.5.2 из [10], выводим
0 € д[{р - й) V г о (Р - 5)) + 85(Щ)
У (а(др-з) У То (ЭР^Б) П +НЕ(Щ.
а,/ЗеОПЪ+(Е) ' )
а+0=1Е
Здесь Ме(К^) := же(К^) := дё(К^) = {Т' : Т'Н ^ 0, ¡1 € — нормальный конус к выпуклому конусу К^ (см. [9; 3.2.3]). Таким образом, для любых з € <9д, 5 € дС} и £ € Н существуют ортоморфизмы а,р € ОгШ+(_Е), а + р = /я, линейный оператор Магарам Т € дг и линейный оператор Л € Ме(К^) такие, что
^А € а о (др - в) + р о Т о (ЭР - в)
или, что то же самое в силу двойственности Минковского,
а(р(Н) - в(Л)) +роТо (Р(Н) - 5(Л)) + Л(Л) >0 (Л € X).
Обозначим через л проектор на компоненту ker(a) С Е и заметим, что ла = 0 и л/3 = л{1е — а) = л. Применив проектор л к последнему неравенству, получим
лТ о (P(h) - S(h)) + 7гЛ(Л.) > 0 {heX)
или эквивалентно
лТоБ(ЕлТодР + лХ.
Если теперь предположить, что л Ф 0, то в силу квазирегулярности рассматриваемой программы лТБ £ лТдР + лМЕ(Щ). Полученное противоречие означает, что 7Г = 0 или ker(a) = {0}. Обозначив 7 := /3 о Т, получаем требуемые необходимые условия.
(2) —> (1): Пусть выполнены необходимые условия (2). Субдифференциальное включение из (2) в силу двойственности Минковского равносильно неравенству
a{p{h) - s(h)) + 7 (P(h) - S(h)) + А (К) >0 (h€X).
Возьмем какую-нибудь допустимую точку h € X, т. е. h € К и L(h) ^ 0. Тогда 7L{h) ^ 0, так как 7 — положительный оператор. Подберем s € dl, S € дЬ и £ € Н так, чтобы h € ZlV. s(h) = q(h) и S(h) = Q(h). Тогда
0 < a{p{h) - s(h)) + 7(P(h) - S(h)) + X(h) < < a{p{h) - q(h)) + 7(Р(Л) - Q(/i)) = al(h) + 7ВД < ai(/i).
Таким образом, al(h) ^ 0 и поскольку ker(a) = {0}, получаем 1(h) ^ 0. >
1.4. Теорема. Предположим, что выполнено условие квазирегулярности 1.2(1). Если допустимая точка xq есть идеальный локальный оптимум квазирегулярной квази-диффереицируемой задачи (g,f), то для любых ,s € df(xo) и S € dg(xq) существуют положительный ортоморфизм a € Orth+(_E) и оператор Магарам 7 € L+(F,E) такие, что совместна система условий
kera = {0}, 7 о д(хо) = 0, 0(Ea(df(xo)^s)+7o(dg(xo)^S).
<1 Положим / := / — f(xо) ъ д := г о д, где отображение г удовлетворяет 1.2(1), и введем штраф ip := f V д. Как видно, допустимая точка xq будет идеальным локальным оптимумом в векторной программе (д, /) тогда и только тогда, когда она локально оптимальна в безусловной задаче tp(x) —> inf. В силу теорем о производной по направлениям композиции и максимума [2; теоремы 3.1 и 3.3] отображение <р дифференцируемо по направлениям. Поэтому если xq — идеальный оптимум задачи (g,f), то согласно 1.1
cp'(xQ)h >0 (h € X).
Воспользовавшись формулой вычисления производной максимума из [2; теорема 3.3], получаем
ip'(x0)h= V (af'(xo)h + Pgr(xo)h) (h £ X). (a,p)er2(x0j,g)
Включение (a,j3) € Г2(жо;/, g) означает по определению, что
0 = <£>(ж0) = af(xQ) + рд(хо) = рд(х0),
следовательно, имеет место представление
Г2(жо; f,g) = {{à,(3) € Orth+(I?) : à + [3 = Ie, Pg(xq) = 0}.
Обозначим через p проектор на компоненту, порожденную элементом g(xо). Используя найденное представление для Г2(жо;/,<?), находим, что Г2(жо; pf, рд) = {(р, 0)} и
Г2(ж0;pdf,pdg) = {(pdà,pdfi) : (àji) € Orth+(E), â + p = IE}.
Таким образом, привлекая [9; 2.1.5(3)] и формулу для вычисления производной по направлениям композиции [2; теорема 3.1], выводим
pd<p'(x0)h = Pd V (à(f(xQ)h + fig'(xQ)h) = pd(f(xQ)h V g'(xQ)h) &+P=Ie
= pd(f'(xo)hVr'(g(xo))(g'(xQ)h)),
ptp'(x0)h = pf'(x0)h (heX).
Положим l := pdf'(xq), L := pdg'{xq) и R := pdr'(g(xq)) и заметим, что по условию I € QL(X,pdE), L € QL(X,F) и R € Sbl(F,pdE). Так как dR С dr, то согласно [10; теорема 4.4.7] R — сублинейный оператор Магарам. Как видно, ф(Ь) := 1(Ь)УRoL(h) ^ 0 для всех h € X, а условие квазирегулярности 1.2 (1) влечет квазирегулярность векторной программы (L, I). Согласно 1.3 соотношение 0 ^ 4>(h) (h € X) справедливо в том и только в том случае, когда для любых ,s € df(xq) и S" € dg(xq) существуют ортоморфизмы <5, (3 € Orth+(_E) и оператор Т € dr(g(xq)) такие, что ker{<5} = 0 и
0 € pdâ{df{x0) -s) + pdj3oTo {dg{xQ) - S).
Далее, для проектора р при любом s € df(xo) будет
о ерШЫ-s).
Сложив последние два включения, содержащие р и pd, получим
0 € (р + pdà)(df(xQ) pd[3T о (дд(х0) - S).
Обозначив a := p + pdà, и 7 := pd[3 о T, перепишем последнее соотношение в виде
0^a(df(xo)^s) + 1o(d3(XQ)^S).
Легко видеть, что a € Orth+(_E) и 7 € L+(F,E) — оператор Магарам. Заметим, далее, что Т € dR тогда и только тогда, когда Т € дг и Т о g(xa) = г о g(xa) = g(xq). Кроме того, pdg{xq) = 0 и, следовательно, выполнены условия дополняющей нежесткости
7 о g(XQ) =pdfioTo g(XQ) = [3pd о g(xQ) = 0.
Пусть теперь ж — проектор на компоненту ker(a). Тогда ira = 0 и, поскольку ker(a) = кег(й) и ж¡3 = ж{1е — ск) = 7Г, приходим к соотношению
0 € жа(д/(хо) — s) + ж(1е - а)оГо (<3<?(жо) — S) = ж Т о (9^(жо) — S).
Последнее означает, что жТ о S € жТ о дд(хо). Тем самым предположение ж Ф 0 противоречит допущению (Ь) из условия квазирегулярности 1.2(1). Следовательно, ж = 0 или, что то же, ker(a) = {0}. >
2. Учет ограничений типа включения
В этом параграфе мы выведем необходимые условия экстремума в случае, когда в изучаемой задаче имеется ограничение в виде вхождения переменной в фиксированное множество. При этом условие регулярности последнего удобно формулировать, привлекая топологию в рассматриваемом векторном пространстве. В этой связи возникает необходимость определения топологического квазидифференциала. Для этого достаточно изменить определение квазилинейного отображения, понимая теперь под этим термином оператор, представимый в виде разности непрерывных сублинейных операторов.
2.1. Пусть X — топологическое векторное пространство, Е — топологическое К-пространство и Ас — алгебра непрерывных ортоморфизмов на Е. Конус положительных элементов топологического К-пространства считается нормальным. Поэтому двойственность Минковского д определяет биекцию между множествами непрерывных (всюду определенных) сублинейных операторов и эквинепрерывных опорных множеств (см. [9; 3.2.2(1)].
Символом Е) обозначим часть Е), состоящую из квазилинейных опера-
торов, пред ставимых в виде разности непрерывных сублинейных операторов. Очевидно, что 0,Ьс(Х,Е) — решеточно упорядоченный Лс-модуль. Модульные и решеточные операции, а также отношение порядка наследуются из С^Ь (Х,Е). Элементы С^ЬС(Х,Е) мы будем называть непрерывными квазилинейными операторами.
Аналогично, совокупность эквинепрерывных опорных множеств СБ^^С, Е) определяется как часть СБС(Х,Е), состоящая из опорных множеств непрерывных сублинейных операторов, см. [9; 3.2.2(1)]. Тождественное вложение 1(1 : СБ^^С, Е) —у Св силу [9; теорема 1.3.2] продолжается до изоморфного вложения [М] Лс-модуля [СБ^Х, Е)} в Лс-модуль [СБс(Х, Е)]. Ввиду этого в дальнейшем мы будем считать, что [СБд(Х, Е)] содержится в [СБс(Х,Е)}. Ограничение изоморфизма V, определенного в [2; 1.3] (см. также [10; 6.1.3]), мы обозначим символом Т>с. Ясно, что Т>с осуществляет изоморфизм
^-модулей [СБ^Е)] и ОЬс{Х,Е).
2.2. Как видно из 2.1, для сохранения формул исчисления квазидифференциалов из [1, 2] в топологическом случае достаточно потребовать, чтобы в определении квази-дифференцируемости производную по направлениям можно было представить в виде разности непрерывных сублинейных операторов.
Пусть X — топологическое векторное пространство и Е — топологическое К-пространство. Рассмотрим отображение X Е' и точку хо € соге(с1от(/)). Будем говорить, что / топологически квазидифференцируемо в точке жо, если в этой точке существует производная Дини /'(жо)/1 по любому направлению ¡г € X в смысле [1; п. 2.1] и отображение /'(жо) : ¡г —> /'(жо)/1 (¡г € X) представляет собой непрерывный квазилинейный оператор.
Итак, если отображение / топологически квазидифференцируемо в точке жо, то квазилинейному оператору /'(жо) € С^ЬС{Х,Е) в силу двойственности Минковского отвечает элемент £>(/'(жо)) € [СБ^Х,Е)}7 который называют топологическим квазидифференциалом / в точке жо и обозначают символом Рс/(жо).
Если /'(жо) допускает представление в виде разности непрерывных сублинейных операторов р и д, то Рс/(ж0) = [др, дд]. При этом опорные множества др и дд называют соответственно топологическим субдифференциалом и топологическим супердифференциалом отображения / в точке жо и обозначают символами <9с/(жо) и <9с/(жо) соответственно. Итак, Рс/(жр) := [<9с/(жо), <9с/(жо)].
Формулы, составляющие исчисление топологических квазидифференциалов, совпадают со своими алгебраическими аналогами, приведенными в [1, 2], если заменить Т> на Vе, см. также [10; §6.6].
2.3. Пусть X — топологическое векторное пространство С С X и жо € С. Конус допустимых направлений Рс1(С, жо) множества С в точке жо вводится формулой:
Р(1(С, ж0) :={НеХ : (Зе > 0) ж0 + [0, е)Л С С}.
Множество С называют К-регулярным в точке жо, если К — выпуклый конус ж К С. с1 (Р(1(С,жо)). Для _£Г-регулярного в точке жо множества С вводится нормальный конус НЕ{С, ж0) := же{К) := {Т : Тк «С 0, к € К} (см. [9; 3.2.3]). Как видно, нормальный конус к множеству в точке определяется неоднозначно.
Пусть множество С С X К-регулярно в точке жо € С, а отображение ./' : .V —» /',' квазидифференцируемо в той же точке жо € соге(с1от(/)). Для того чтобы жо была идеальным локальным оптимумом программы (С,/), необходимо, чтобы выполнялось включение
дс/(хо)сдс/(хо)+ШЕ(С,хо).
<1 Пусть жо € С является идеальным оптимумом векторной программы (С,/). Так же, как и в 1.1 выводится, что /'(жо)(Л) 0 для всех ¡г € Р(1((7,жо). Но в рассматриваемой ситуации оператор /'(жо)(-) непрерывен, следовательно, неравенство /'(жо)(Л) 0 выполняется для всех Ь, € с1 (Рс1(С, жо)). Если теперь /'(жо)(-) = р(-) — д(-) для некоторых непрерывных сублинейных операторов р, д € БЬЦХ, Е), то в силу ^-регулярности множества будет
о</'(Жо)(Л)=р(Л)-д(Л) (Нек).
Последнее означает справедливость неравенства д ^ р + ёЕ(К)7 которое, в свою очередь, равносильно соотношению
дсд С дср + дсёЕ{К) = дср + Л'/,-(С. ж0).
что и требовалось. >
В предложении (1) необходимые условия оптимальности могут быть записаны в следующей эквивалентной форме: для любого в € 9е/(жо) выполняется соотношение
0€ (дс/(хо)^з)+МЕ(С,хо)
или, что то же самое,
2.4. Рассмотрим теперь векторную программу (С,д, /). Пусть жо € СПсоге(с1от(/)) П соге((1от(<?)), и предположим, что отображения / : .V —» /',' . д : .V —» /•' топологически квазидифференцируемы в точке жо. Скажем, что векторная программа (С,д,/) квази-регулярна в точке жо, если выполнены условия:
(a) существуют непрерывный сублинейный оператор Магарам г : Е ^ Е и окрестность II точки жо такие, что для любого ж € С П и будет 7гж/(жо) ^ жх/(х)7 где т^х '■= [(г ° <?(ж))_] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о д(х))^;
(b) множество С является ^Г-регулярным в точке жо;
(c) для любых оператора Т € дг(д(жо)) и ненулевого проектора ж € ^Р(Е) имеет место соотношение жТ о дсд(жо) П (жТдсд(ха) + жМЕ(С, жо)) = 0.
2.5. Теорема. Пусть отображения / ид квазидифференцируемы в точке жо € С П соге((1от(/)) П соге(с1от(<?)). Пусть векторная программа (С,д,/) квазирегулярна в точке хо. Если жо — идеальный локальный оптимум программы (С, д, /), то для любых 5 € <9с/(жо) ж 5 € дсд(хо) существуют непрерывный ортоморфизм а € ОгШ(_Е), непрерывный оператор Магарам 7 € Е) и линейный непрерывный оператор А € ЦХ,Е) такие, что совместна система условий:
о ^ а ^ 1е, кега = {0}, Ае.ЛГе(С, жо), 70^(^0) = о, ^А € а(дс/(х 0)(дсд(ха) - 5).
<1 Обозначим / := / — /(жо) ш д := г о д, где отображение г удовлетворяет 2.4, и введем штраф (р := / У д. Как видно, допустимая точка жо будет идеальным локальным оптимумом в векторной программе (С,д,/) тогда и только тогда, когда она локально оптимальна в задаче (С, </?). В силу теорем о производной по направлениям композиции и максимума [2; теоремы 3.1 и 3.3] отображение <р дифференцируемо по направлениям. Поэтому если жо — идеальный оптимум задачи (С, </?), то
ср'{ж0)Л >0 {¡г € К).
Вновь воспользовавшись формулой вычисления производной максимума, получаем
<р'(х0)Н = \/ (а/'(х0)Н + рдГ(х0)Н) (Л € X).
Включение (ск,/3) € Г2(жо;/,<?) означает по определению, что
0 = <£>(ж0) = а/(ж0) + рд(хо) = (Зд{ ж0),
следовательно, имеет место представление
Г2(жо;/, ¿г) = {(а,/3) € ОгШ+(Е) : а + ¡3 = 1е, ¡Зд(ха) = 0}.
Обозначим через р проектор на компоненту, порожденную элементом ¿г(жо). Используя найденное выше представление для множества Г2(жо;/,¿г), находим, что
Г2(жо; р/, рд) = {(р,0)}, Т2(ха;р(Ч,р(1д) = {(раа,рар) : (а,/3) € ОгШ+(Е), а + (3 = 1Е}.
Таким образом, привлекая [9; 2.1.5(3)] и формулу для вычисления производной по направлениям композиции из [2; теорема 3.1], выводим
рУ (ж0)Л = / \/ (а/(хо)к + рд'(хоЩ &+0=1Е
= ра(Г(хо)кУ д'(хоЩ =ра(Г(хо)кУг'(д(хо))(д'(хоЩ)-, р<р'(хо)к = р/'(хо)к {¡г € X).
Положим I := ра/'(жо), Ь := д'{жо) и Я := р(1г'(д(жо)) и заметим, что по условию I € ОЬ(Х,р(1Е), Ь € С^ЦХ,Е) и Я € БЫ(Е,р(1Е). Так как Ж С дг, то согласно [10; теорема 4.4.7] К — сублинейный оператор Магарам. Как видно, ф{Н) := 1{}ъ) УКоЬ(к) 0 для всех ¡1 € К, а условие квазирегулярности 2.4 влечет квазирегулярность векторной программы
(К,Ь,1). Согласно 1.3 соотношение 0 ^ Ф(Ь) {¡г € К^) справедливо в том и только в том случае, когда для любых ,з Е <9с/(жо) и 5 Е дсд(хо) существуют ортоморфизмы а, (3 Е оператор Т Е дсг(д(хо)) и Л Е Ме(К) такие, что кегй = 0 и
-рЛ\ Е рЛа{д7(ж0) -з)+рЛроТо (дсд(х0) - 5).
Далее, для проектора р (см. 2.1) при любом в Е 9с/(жо) существует линейный оператор Л Е Ме(К^) такой, что
-рХ Е р(д7(ж0) - в). Сложив последние два включения, содержащие р и ра, получим
^Л Е (р + 7Ы - + р*Ьт о (^(жо) - 5).
Обозначив а := р + р^а и 7 := рА[3 о Т, перепишем последнее соотношение в виде
^А Е а(д с/(х0)ШсдЫ - 5).
Легко видеть, что а Е ОйЬ+(_Е) и 7 Е Ь+(Е,Е) — оператор Магарам. Заметим, далее, что Т Е Ж тогда и только тогда, когда Т Е дг и Т о д(хо) = г о д[хо) = д(хо). Кроме того, р(1д{хо) = 0 и, следовательно, выполнены условия дополняющей нежесткости
7 О д(хо) =р<1роТо д(хо) = ¡ЗрЛ о д(хо) = 0.
Пусть теперь л — проектор на компоненту кег(ск). Тогда жа = 0 и поскольку кег(а) = кег(й) и ж/3 = л (1е — &) = 7Г, приходим к соотношению
—7г А Е тта(дс/(ха) — в) + п(1е - а)°Го (дсд(х о) — 5) = ттТ о (дсд(х о) — 5).
Последнее означает, что жТ о Б Е (пТ о дсд(хо) + 7гА). Тем самым предположение тт Ф 0 противоречит допущению (с) из условия квазирегулярности 2.4. Следовательно, тх = 0 или, что то же, кег(а) = {0}. >
3. Необходимые условия обобщенного экстремума
Здесь рассмотрим необходимые условия обобщенного локального оптимума для векторных программ с квазидифференцируемыми данными. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
3.1. Пусть множество С с X К-регулярно в точке х^ Е С, а отображения /1,..., /п : .V —» /','* квазидифференцируемы в той же точке хо Е соге(с1от(Д)) (к := 1,..., п). Если хо является идеальным (локальным) оптимумом программы х Е С, А... А /п (х) —> т£, то для любых («1,..., ап) Е Дп(жо; ,..., /п) выполняется включение
п п
^акдс/к{ха) С ^ак3.с1к{ха) + Л^(С,ж0).
к=1 к=1
< Положим / := /! А ... А/п. Возьмем (аь...,ап) Е Ап{х0; /ь..., /п) и введем отображение ф : X Е формулой
п к=1
Допустим, что хо — идеальный (локальный) оптимум программы (С,/). Тогда жо будет идеальным (локальным) оптимумом программы (С, </?). В самом деле, если ж € С, то <р{хо) = /(жо) ^ /(ж) ^ </?(ж). Отображение (р квазидифференцируемо в точке жо (см. [1]). Согласно 2.3 имеет место включение <9с/(жо) С <9с/(жо) + МЕ(С,хо). Доказательство завершается ссылкой на [1; теоремы 2.2 и 2.3]. >
3.2. Множество {ж^,... , ж^} С С называют обобщенным локальным оптимумом программы (С,/), если существует такая окрестность нуля и, что /(ж?) Л ... Л /(ж^) ^ ¡{х\) Л ... Л /(жп) для всех Жг € (ж^ + II) П С и г := 1,..., п.
Пусть отображение ./' : .V —» /','* квазидифференцируемо в каждой из допустимых точек ж?,... € соге((1от(/)). Если множество {ж^,... , ж^} является обобщенным (локальным) оптимумом безусловной программы / (ж) —> т£, то для всех а.\,..., ап € ОгШ+(_Е) таких, что
п
«1 + ... + ап = 1Е, ^ = /(ж?) А ... Л /(ж°),
¿=1
выполняются включения
афс/{хк) С акдс/{хк) {к := 1,..., п).
<1 Это утверждение является частным случаем нижеследующей теоремы 3.3 при С = X. >
3.3. Теорема. Пусть отображение ./' : .V —» /',' квазидифференцируемо в точках
€ соге((1от(/)), а множество С с X Щ-регулярно в точке х® € С при I := 1,..., п, где К\,..., Кп — выпуклые конусы. Если множество {ж^,..., ж^} является обобщенным (локальным) оптимумом программы (С, /), то для всех а\,... ,ап € ОгШ+(_Е) таких, что
п
«1 + . ..-п„ //■;. 4) = /(ж?) Л ... Л /(ж°),
/г=1
выполняются включения
акдс/(х°к) Сакдс/(х0к)+ШЕ(С,х°к) (к := 1,...,п).
<1 Определим отображения /!,...,/„, / : —> равенствами
/¿(жь...,жп) :=/(жг) (г := 1,..., п), / :=Д А...д/П.
Легко видеть, что точка (ж^, ■ ■ ■, ж^) входит в С" П соге(с1от(/)) и является идеальным локальным оптимумом в задаче (С",/) тогда и только тогда, когда множество {ж^, ..., ж^} служит локальным обобщенным оптимумом в программе (С, /). Кроме того, очевидно, что множество Сп будет К\ х ... х ^„-регулярным в точке (ж^,... , ж^). Если {ж^, ... — обобщенный локальный оптимумом программы (С,/), то в силу предложения 3.1 для любых («1,..., ап) € Дп(жо; /1,..., /п) выполняется включение
п п
2 акдсШ,..., 4) С 2 »кдсМх1 ...,хап)+МЕ (С", (ж?,..., 4)).
/г=1 /г=1
Легко подсчитать содержащиеся в этом включении субдифференциалы и супердифференциалы:
дсМх°ъ... ,4) = {0} X ... X {0} X 5е/(4) X {0} X ... X {0}, 5сД(ж?,... ,4) = {0} х ... х {0} х ас/(4) х {0} х ... х {0}.
Отсюда видна справедливость равенств
п
^акдс/к(хЧ,...,хап) = гл{д7(ж?) х ... х апд7(ж°),
к=1
п
= «1^7(ж?) X ... ха»97(ж°).
/г=1
Ясно также, что Ме(Сп, (х®, ... , ж^)) = Ме(С, х®) х ... х Ме(С,х°п). Собрав теперь воедино полученные представления, получим
п п
/г=1 /г=1
что равносильно требуемым п включениям. >
3.4. Рассмотрим векторную программу (С,д7)- Пусть € С П соге(с1от(/)) П соге((1от((?)), и предположим, что отображения / : .V —» /',' . д : .V —» /•' топологически квазидифференцируемы в точках ж^ (г := 1,... , п). Скажем, что векторная программа (С,д7) квазирегулярна на множестве {х®,... если выполнены следующие условия:
(a) существуют непрерывный сублинейный оператор Магарам г : Р —> Е и окрестности Щ точек х\I такие, что для любого ж € С П Щ будет пхе ^ 7гж/(ж), где е := /(ж?) Л ... Л /(ж^) и ттх := [(го^(з;))"] — проектор на компоненту, порожденную элементом (г о <?(ж))7
(b) множество С является ^¿-регулярным в точке ж^;
(c) для каждого г := 1,... ,п имеет место соотношение ттТ о дсд(х¿) П (ттТдсд(х¿) + тгМе(С,х®)) = 0, каковы бы ни были оператор Т € дг(д(х^)) и ненулевой проектор
7Г €
3.5. Теорема. Пусть отображения д : X —» /•'* /// : .V —» /','* квазидифференцируемы в точках хЧ,..., х® € С П соге(с1от(/)) П соте(йот(д)). Предположим, что векторная программа (С, д, /) квазирегулярна в смысле 3.4 на множестве {ж^, • • •, ж^}. Если множество {ж^, ..., ж^} служит обобщенным локальным оптимумом программы (С, д, /), то для любых Зг €
и Я; (г дд(ж^) существуют ортоморфизмы ..., схп Е непре-
рывные операторы Магарам 71,... ,7П £ Ь+(Р,Е) и линейные непрерывные операторы Аг € Ь(Х,Е) такие, что
О ^ оц ^ 1е, кег(ск1) П...П кег(ап) = {0},
7г ° д(хо) = 0; € МЕ(Ки), € аг(57(хЬ - Зг) + 7г о - (г := 1,..., п).
<1 Пусть выполнены условия квазирегулярности 3.4. Обозначим е := /(ж^) Л ... Л /(ж^). Предположим, что множество {ж^, ■ ■ ■ , ж^} есть обобщенный оптимум программы (С,д7)- Тогда это множество будет обобщенным оптимумом и в задаче (С,ф) в силу 3.4(а).
Согласно теореме 3.3, для любых наборов ортоморфизмов Д,... ,рп € ОгШ+(_Е) таких, что
п
А+ ... + рп = 1Е,
к=1
справедливы неравенства
О < рцр'{хЧ)1ц (/ц € Ки ъ := 1,...,п).
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 2.5 с заменой ц>'{х,о) и К на рцр'(х®) и Кг, получим, что для любых € <9С/(4) и вг € дсд(х¿) существуют положительный ортоморфизм оц € ОгШ+(_Е), непрерывный оператор Магарам ^ € Ь+(Е,Е) и непрерывный линейный оператор Аг € Ь{Х,Е) такие, что совместна система условий
О ^ щ ^ 1Е, кегйг = {0}, Аг € ИЕ{С,х1), ^ о д(х0) = 0,
б - + Йъ о -
Обозначим щ := рцщ и ^ := /ЗгТг- Если е € кег(аг) для всех г := 1,..., п, то ¿¿(/ЗгН) = 0, а так как кег(йг) = {0}, то Рг{\е\) = 0. Просуммировав последнее равенство по г, получим е = 0.
Таким образом, для любых € д/(х¿) и Е дд(х^) существуют ортоморфизмы ск1,..., скп € ОгШ(_Е), непрерывные операторы Магарам 71,..., 7П Е ^+{Е,Е) и непрерывный линейный оператор А1,..., Хп Е Ь(Х, Е) такие, что совместна система условий
п
0 ^ оч ^ 1Е, Р| кег(аг) = {0}, 7г °д(хо) = 0, Аг € МЕ(С,х1),
г=1
^Аг € аг(дс1(4) - + Тг о №(4) - (г := 1,... ,п),
что и требовалось. >
Литература
1. Басаева Б. К. Квазидифференциалы в /^-пространствах // Владикавк. мат. журн.—2003.—Т. 5, № З.-С. 14-30.
2. Басаева Б. К. Кусраев А. Г. О квазидифференциале композиции // Владикавк. мат. журн.—2003.— Т. 5, № 4.-С. 10-25.
3. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация.—М.: Наука.—1981.—384 с.
4. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. О квазидифференцируемых функционалах // Докл. АН СССР.— 1980.-Т. 250, № 1.-С. 21-25.
5. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. О некоторых подходах к задачам негладкой оптимизации // Экономика и мат. методы.—1981.—Т. 17, № 6.—С. 1153-1174.
6. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление.—М.: Наука.—1990.—432 с.
7. Демьянов В. Ф., Полякова Л. Н. Условия минимума квазидифференцируемой функции на квази-дифференцируемом множестве // Ж. вычисл. матем. и физ.—1980.—Т. 20, № 4.—С. 849-856.
8. Демьянов В. Ф., Полякова Л. П., Рубинов А. М. Об одном обобщении понятия субдифференциала // В кн.: Тез. всес. конф. по динамическому управлению.—Свердловск, 1979.—С. 79-84.
9. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. I.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002 —уШ+372 с.
10. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. II.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2003 —уШ+413 с.
11. Полякова Л. Н. Необходимые условия экстремума квазидифференцируемых функций // Вестник Ленингр. ун-та.—1980.—№ 13.—С. 57-62.
12. Полякова Л. Н. Необходимые условия экстремума квазидиффереицируемой функции при квази-диффереицируемом ограничении // Вестник Ленингр. ун-та.—1982.—№ 7.—С. 75-80.
13. Полякова Л. Н. Достаточные условия локального экстремума квазидиффереицируемой функции при квазидифференцируемом ограничении // Вестник Ленингр. ун-та.—1985.—№ 22.—С. 26-30.
14. Demyanov V. F., Rubinov А. М. On quasidifferentiable mappings // Math. Operationsforsch. Statist. Ser. Optimization.—1983.—V. 14.-P. 3-21.
15. Polyakova L. N. On the minimization of a quasidifferentiable function subject to equality-type quasidifferentiable constraints // In: Mathematical Programming Study. Quasidifferential Calculus / Eds. Demyanov V. F., Dixon L. C. W.-V. 29.-P. 44-55.
Статья поступила 17 ноября 2003 г.
Басаева Елена Казвековна г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН E-mail: [email protected]
