Необходимые и достаточные условия для достоверной оценки состояния электрооборудования в условиях эксплуатации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ДОСТОВЕРНОЙ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ЭКСПЛУАТАЦИИ

В. В. ШАРОВ

Казанский государственный энергетический университет

Рассмотрена модель выбора оптимального числа контролируемых параметров электрооборудования в условиях эксплуатации по показателю достоверности. Показано, что математическая модель приемлема по точности получаемых решений и проста с точки зрения ее реализации на практике.

Для управления состоянием электрооборудования в условиях эксплуатации необходимо знать достоверность контроля при оценке его состояния. При разработке моделей управления состоянием различных технических систем, как правило, вводят предположение, что достоверность контроля состояния равна единице [1]. Однако на практике достичь такого уровня достоверности достаточно сложно, а в теоретическом плане это приводит к усложнению процедур получения решений [2, 3]. При решении практических задач оценки состояния

электрооборудования в условиях эксплуатации можно определить необходимые и достаточные условия, которые позволяют процедуру контроля при оценке состояния электрооборудования сделать достоверной.

Достоверность контроля при оценке состояния электрооборудования

Оценка состояния электрооборудования возможна двумя путями: первый -с контролем уровня надежности, второй - с контролем параметров [4]. Исходя из этого при постановке задач определяются области и условия работоспособности электрооборудования различных типов, которые имеют свою специфику. При использовании модели оценки состояния электрооборудования с контролем параметров учитываются следующие независимые и единственно возможные

события. Первое событие — параметр П1 годный. Второе событие — параметр П1 негодный. Третье событие — параметр П^к, который оценивается системой

контроля как годный. Четвертое событие — параметр П ск, который оценивается

системой контроля как негодный.

При этом под годным понимается параметр, значения которого находятся в пределах установленных допусков, при которых сохраняется работоспособность электрооборудования, а под негодным — параметр, значения которого выходят за пределы установленных допусков, при которых нарушается работоспособность электрооборудования.

Исходя из постановки задачи, события, записываемые в виде П1 П^к, П1 Пск, П1 Пск, П1 П^к, считаются как сложные события, поэтому их

© В. В. Шаров Проблемы энергетики, 2006, № 3-4

вероятности определяются, соответственно, как Р( П ■1 П^к), Р( П ■1 Пск),

Р И иск) и Р (П/ П9К).

Полученные таким образом сложные события в пределах рассматриваемого электрооборудования составляют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

Р( П. Пск) + Р( П. Пск) + Р( П. Пск) + Р( П. Пск) = 1. (1)

II I I I I I I

Используя теорему умножения вероятностей, получаем соотношения:

Р( П/ пск) = Р( П/ ) Р( пск / Пу ), (2)

Р( и1 иск) = Р( Пу ) Р( иск / и у ), (3)

Р( Пу иск) = Р( П/ ) Р( иск / П/ ), (4)

Р(П/ пск) = Р(П/ ) Р(пск/П/ ), (5)

где Р( П^к / Пу ) — условная вероятность оценки параметра «годен» при условии его годности; Р( Пск / Пу ) — условная вероятность оценки параметра «негоден» при условии его годности; Р( Пск / Пу ) — условная вероятность оценки параметра

«негоден» при условии его негодности; Р( П^к / Пу ) — условная вероятность

оценки параметра «годен» при условии его негодности.

Из соотношений (2)...(5) следует, что

Р( Пск / Пу ) + Р( П ск / П у ) = 1, (6)

Р(Пск/Пу ) + Р(П^к/Пу ) = 1. (7)

Кроме того, из соотношений (2).(5) определяются следующие значения вероятностей:

Р( Пу ) = Р( Пу пск) + Р( Пу иск), (8)

Р( Пу ) = Р( Пу Пск) + Р( Пу Пск), (9)

Р( Пск) = Р( Пу Пск) + Р( Пу Пск), (10)

Р( П ск) = Р( Пу П ск) + Р( Пу П ск). (11)

Анализируя соотношения (8).(11), можно сделать вывод, что ошибочная оценка параметров системой контроля имеет место при условии наступления

событий Пу Пск и Пу П^к. Исходя из этого, достоверность контроля г-го параметра Вк, под которой понимается вероятность правильной оценки системой

контроля состояния параметра, определяется из соотношения

Б* =Р( Пі Пск) + Р( Пі Пск).

Вероятности ошибочной оценки состояний і-го параметра Р( Пі П£к) и

заказчика, и ошибку первого рода, являющуюся риском изготовителя, соответственно.

допуска на параметр и по его среднему квадратическому отклонению, а также исходя из точности измерений для системы контроля, необходимо записать математические соотношения для этих вероятностей. Для решения данной задачи введем обозначения в виде плотностей распределения /п(х,) и ошибок измерения /ои (¿1) ,-го параметра соответственно, нижнюю хн, и верхнюю хв, границы его допуска соответственно, его номинальное значение х0у, величину его допуска А,- (1 + к,) = хв,- — хн,, а также коэффициент несимметричности поля его допуска к, = (хв, — хо,-)/(хо,- — хн,). Введенные обозначения показаны на рис. 1.

Рис. 1. Характеристики контролируемого параметра и системы контроля Исходя из принятых обозначений, соотношения для вероятностей

Р( П, П ск ) представляют собой ошибку второго рода, являющуюся риском

Для определения вероятностей Бі , Р( Пі П^к) и Р( П ■1 Пск )по величине

X;, І і

Р( Пі Пск), Р( Пі Пск), Р( Пі Пск) и Р( Пі Пск) будут иметь вид:

(13)

хнг хн1 х1 Ю

Р(П 1П ск ) =| /пХ )[ | Щ + | /ои(^ )й^ ] йх1 +

-ю -ю хвг- х1

Ю хш- х1 Ю

Н( В( ( ^ 41 I

Р(П г П ск) =| /п(х/)[ { /ои((1 Щ ]йх1 +/ /п(х/)[ | /ои(Ч № ] йх1. (16)

-ю хнг- х1 хв1 хн- х1

Для использования соотношений (13)__________(16) на практике необходимо

вероятности событий выразить через характеристики параметров электрооборудования. Обычно в состав контролируемого электрооборудования входит большое число элементов, на которые в процессе эксплуатации действуют различные дестабилизирующие факторы. В результате влияния большого числа факторов и равномерного их воздействия на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей делается допущение, что значения параметров электрооборудования распределены по нормальному закону. Практика эксплуатации электрооборудования данное допущение, как правило, подтверждает, и в большинстве случаев значения параметров электрооборудования подчинены нормальному закону. Исходя из этого,

подставляя в соотношения (13)_________(16) плотность распределения /п (х.) и

плотность распределения ошибок измерения /ои (^) г-го параметра для нормального закона соответственно, в результате получаем соотношения вида

/п (х) = е~(хг -хог)2/2°2 , (17)

о ¿V 2п

1 - № -% )2/2°2и.

/ои (*1) =----7= е 0и1 , (18)

оои. V 2п

где о. - среднее квадратическое отклонение г-го параметра; соиг- _ средняя

квадратическая ошибка измерения г-го параметра системой контроля.

Во время выполнения операций эксплуатационного контроля считаем, что систематическая ошибка измерения г'-го параметра отсутствует. В этом случае

% =0. Обозначим через а;/ ог- = гг, которая является характеристикой допусков

параметров электрооборудования в процессе производства, а через 3 оои. /Д = ц,

которая является характеристикой точности системы контроля при измерении параметров и известна в результате проведения испытаний данной системы. Для

определения вероятностей Р( Пг П^к), Р( П ■ Пск), Р( Пг Пск) и Р( Пг П^к)

II *-1 *-1 *-1

сделаем замену переменных в виде у = (хг - х0г)/ о г- и т = ¿¡/ оои; .

В результате замены переменных и преобразований, выполненных с

-ю

хвг

хвг- х;

соотношениями (13)______(16), а также с учетом соотношений (17) и (18) получаем

соотношения вида:

кг г.-у,

2 3 г г ■Уг 2

. к, г; - У]_ П Ч - И.

Р(П;Пск) = — Г е 2[ | е 2 йт;] йу,, (19)

2п ч -3гг+п

г; ч

г; + у;

у2 -3-^. т2 2

1 к;г; -г; г; —ю - т;

Р(П; Пск) = — \ е 2[ | е 2 йт; + Г е 2 йт; ] йу. , (20)

3 к; г; - у;

у2 -3-^ _ 2 2

1 - г - г, ч_______________________г— ю -

Р( п. пск) = — Г е 2[ / е 2 йт, + Г е 2 йт,] йуг +

2П |

- ю - ю 3 к, гг ~уг

П Ч

3 гг + У

2 -3---------- 2 2

1 ю - у; г; ч - ю -

+ — Г е2[ Г е2 йт, + Г е2 йт, ] йу,, (21)

к, ч - ю 3 к; г;- у;

г ч

к; г; - у;

2 3 ; ; п 2

- г; - у2 г; г; -

Р(П;ПСк) = 2- | е 2[ | е 2 йт;] йу1 +

2п -3гЛ+У±

г; г;

- ю

- г;

г; ч

к. г;- у,

2 3 ; ; ^г 2

1 ю - ^2 г; Ч - ^2

+ — Г е 2 [ Г е 2 Л,-] . (22)

2п к,г -3 з+уг.

г, Ч

Так как интегралы, определяемые соотношениями (19)_(22) не выражаются через элементарные функции, то определить их можно численными

методами. Для определения вероятностей Р( П, П^к), Р( П, Пск), Р( П, Пск) и

Р( П* П^к) можно построить номограммы [3]. По этим номограммам можно

решать прямые задачи, суть которых заключается в следующем. Задаваясь характеристиками г., к, и г, контролируемого параметра, можно определить любую

из вероятностей Р( П, пск), Р( П, П¿к), Р( П, Пск) и Р( П, П,ск). Кроме того,

используя номограммы можно решать и обратные задачи по определению допустимых погрешностей измерения параметров и выбору полей допусков на параметры, при которых вероятности ошибочной оценки системой контроля

состояния параметров Р( П1 П ск) и Р( П1 П,к )находятся в заданных пределах.

Представленные соотношениями (19)_(22) вероятностные модели по определению допустимых погрешностей измерения параметров и выбору полей допусков на параметры, а также вероятности ошибочной оценки системой

контроля состояния параметров Р( П, П ск) и Р( П, Пск) позволяют решать

оценочные задачи по отношению каждого отдельного параметра электрооборудования.

При комплексной оценке состояния электрооборудования по совокупности п контролируемых параметров решение задачи также сводится к определению

вероятностей Р( П, П;К ), Р( П, Пск), Р( П, П;К ) и Р( П, Пск). В этом случае при

решении задачи в такой постановке определяющими являются вероятности

Р( П; ПсК ) и Р( П, Пск) в виду того, что они позволяют осуществлять

достоверную оценку состояния контролируемого электрооборудования. При этом

вероятности Р( П, П,к), Р( П, Пск), Р( П, П,к) и Р( П, Пск) определяются

соответствующими вероятностями каждого контролируемого параметра электрооборудования.

Для определения указанных вероятностей делается допущение, что все п контролируемых параметров электрооборудования являются независимыми. Кроме того, под исправным электрооборудованием следует понимать такое его состояние, у которого все п контролируемых параметров находятся в пределах установленных допусков, а неисправным - у которого хотя бы один из этих параметров находится за пределами данных допусков.

Исходя из этого, соотношения для вероятностей будут иметь следующий

вид:

Р(Пэо) = П Р(П;), (23)

;=1

Р(Пэо) = П Р(П;) -X Р(П,П]) + X Р(П,П],Пк) -... +

;_1 ;,] и,к

л — — — п

+ (- 1)п-1 Р(П1,П2,...,Пп) = 1 - П Р(П;), при г ^ ] * к. (24)

;=1

Следующим условием перехода от вероятностей отдельных параметров к вероятностям для всего электрооборудования является соотношение следующего вида:

Р(Пск) = Пр(Пс к ), (25)

;=1

п

рпэк)=X рпск) - X рпск,и;к) + X рп™ ,и;кд™) -... +

;=1 ;,] ;,],к

л — — — п

+ (- 1)п-1 Р(иск ,П2к,...,Ппк) = 1 - П Р(П,к), при, * ] * к. (26)

;=1

Достоверность оценки электрооборудования в соотношении (25) заключается в том, что принятие решения «Допустить к дальнейшей эксплуатации» возможно, если каждый из его параметров оценен системой контроля как годный.

Учитывая соотношения (8), (10), (23) и (25), можно записать соотношения

для вероятностей Р(Пэо) и Р(ПэСк):

Р(Пэо ) = Р(ПэоПэк ) + Р(ПэоПэск ) = Р(Пэо )Р(Пск /Пэо ) + Р(Пэо )РПск /Пэо ) =

= П [Р(П;)Р(П,к/П;) + Р(П;)Р(П^/П;)] = П [Р(П;)Р(П^К/П;)] + П Р(П; )[1 -;=1 ;=1 ;=1

- П Р(П,к / П; )],

;=1

Р(иэк) = Р(ПэоПэк)+рПэоПэк) = Р(Пэо )Р(иск/Пэо)+Р(иэк )РПэо /иэк) =

= П [Р(П;)Р(П,к/П;) + Р(П,к)Р(П;/П?К)] = П [Р(П;)Р(П^К/П;)] + П Р(П^К)[1 -;=1 ;=1 ;=1

- П р(п; / пск)].

;=1

Окончательные соотношения имеют вид:

Р(ПэоПск) = П Р(П;Пск), (27)

;=1

Р(ПэоПэск) = Р(Пэо)- П Р(П;П,к), (28)

;=1

РПэоПэк) = Р(иэк)- П Р(П;П,к), (29)

;=1

РПэоПэк) = Р(Пэо) - Р(иэк) + II Р(П; П,к ) =

;=1

Р(Пэск) - Р(П;) + П Р(П;П,к). (30)

;=1

Таким образом, зная вероятности Р( П, Пск), Р( П, Пск), Р( П, Пск) и

Р П ; П ск ) и определив предварительно вероятности Р( П, ), Р( П,к), Р(Пэо) и

Р(П!;к) по соотношениям (8), (10), (23) и (25) соответственно, по соотношениям

(27)_(30) определяем, соответственно, вероятности Р(ПэоПэк), РП^П^),

РПэоПэСк) и Р(ПэоПэск).

Соотношения, которые используют при вычислении условных вероятностей

РП£ /Пэо), РП™ /Пэо), Р(Пэо /иэк) и Р(Пэо /Пэ^), имеют вид:

Р(иэк/Пэо) = При™ /П ; ), (31)

;=1

Р(иэк/Пэо) = 1 - П Р(иск/П,), (32)

;=1

Р(Пэо/иэк) = П Р(П; /иск), (33)

;=1

РПэо/иск) = 1 - П Р(П; /пск). (34)

;=1

Соотношения для определения условных вероятностей

РП“/Пэо), Р(Пэк/Пэо), РПэо/Пск), и Р(Пэо/П^) выразить в простой форме через соответствующие вероятности отдельных параметров электрооборудования в математическом виде представляет собой достаточно сложную задачу.

При оценке достоверности контроля в качестве ее количественной основы принимается вероятность правильного определения системой контроля состояния электрооборудования. В целом достоверность контроля зависит от методической и инструментальной достоверностей. При этом под методической достоверностью понимается вероятность правильного определения состояния

электрооборудования по контролируемым параметрам при условии безошибочной их оценки системой контроля. Под инструментальной достоверностью понимается вероятность правильной оценки системой контроля контролируемых параметров электрооборудования. Общая достоверность контроля электрооборудования определяется как произведение методической и

инструментальной достоверностей: Б™ = Б^1 -О“.

При решении поставленной задачи за основу берется инструментальная достоверность контроля электрооборудования, которая обозначена через Б^. В соответствии с определением соотношение для инструментальной достоверности Б^ будет иметь вид

Би = Р(ПэоПэСк) + РПэоПэск). (35)

При этом минимальное значение достоверности Б^1^ контроля, исходя из

числа п контролируемых параметров электрооборудования, определяется из следующего соотношения:

іїв и •

—кшп = 2 [Р(п і Пс к )]п 1п Р(п і Пс к) -

їп

- [Р(П і )]п 1п Р(П і) - [Р(ПСК )]п 1п Р(ПСК) = 0. (36)

Из соотношения вки = ф (п) видно, что с увеличением числа п контролируемых параметров электрооборудования достоверность контроля уменьшается и достигает минимума на основе соотношения (36).

Максимальные значения вероятности Р(ПэоПЭк), Р(ПэоПЭк), Р(ПэоПск)

и Р(ПэоПск), исходя из числа п контролируемых параметров электрооборудования, определяются на основе соотношений:

1Р(Пэ°Пэо) = [ р (п і пск )]п іп р(п і пск

їп

= [ Р (П і пск )]п 1п Р (П і пск) = 0; (37)

йр(П иэк) = [ р (и, )]п 1п р (и.) - [ р (и. п™ )]п 1п Р (П; Пск) = 0; (38)

ап

^Р(Пэ°Пэо) = [Р(Пск )]п 1п Р(П ск) - [Р(П ; Ик )]п 1п Р(П ; Ик) = 0; (39)

ап 1 1 1

аР(Пэ°Пэо) = [Р(П ск )]п 1п РП ск) - [Р(П I )]п 1п Р(П I) + ап

+ [Р(П,• пск)]п 1п Р(П,• пск) = 0 . (40)

Вероятности для одного параметра имеют следующие значения:Р( П; Пск) =

0,9990; Р( П1 П1с°) = 0,0002; Р( П; Пск) = 0,0001 и Р( П; Пск) = 0,0007.

Значения вероятностей Р^эеИ^), Р^оП^), Р(ПэоПэ°), Р(ПэоПэ°) и достоверности контроля Би представлены в табл. 1.

Таблица 1

Вероятности р(ПэоПэ° )> Р(ПэоПск )- Р(ПэоПск), Р(ПэоПэ°) и Би

Номер параметра Вероятность РЩэоЩк ) Вероятность Р(пэопск) Вероятность рйэоЩк) Вероятность р^пск) Достовер- тли ность вк

1 0,9991100 0,0002100 0,0001100 0,0005700 0,9996800

2 0,9982207 0,0004197 0,0002199 0,0011397 0,9993604

3 0,9973323 0,0006290 0,0003295 0,0017101 0,9990424

4 0,9964447 0,0008380 0,0004450 0,0022723 0,9987170

5 0,9955578 0,0010147 0,0005483 0,0028472 0,9984050

6 0,9946718 0,0012550 0,0006574 0,0034158 0,9980876

7 0,9937865 0,0014630 0,0007664 0,0039841 0,9977706

8 0,9929020 0,0016750 0,0008751 0,0045522 0,9974542

Номер Вероятность Вероятность Вероятность Вероятность Достовер-

параметра Р(ПэоПэк) р^п™ ) РПэоПээк ) ) тли ность Бк

9 0,9920183 0,0018781 0,0009836 0,0051200 0,9971383

10 0,9911354 0,0020851 0,0010920 0,0056876 0,9968230

11 0,9902533 0,0022918 0,0012817 0,0062547 0,9965080

12 0,9893720 0,0024981 0,0013082 0,0068217 0,9961937

13 0,9884914 0,0027042 0,0014161 0,0073883 0,9958797

14 0,9876117 0,0029099 0,0015237 0,0079548 0,9955665

15 0,9867323 0,0031157 0,0016316 0,0085204 0,9952527

16 0,9858544 0,0033204 0,0017385 0,0090866 0,9949410

17 0,9849770 0,0035252 0,0018456 0,0096522 0,9946292

18 0,9841003 0,0037297 0,0019526 0,0102174 0,9943177

19 0,9832245 0,0039377 0,0020593 0,0107824 0,9940069

20 0,9823493 0,0041377 0,0021660 0,0113470 0,9936963

21 0,9814751 0,0043410 0,0022723 0,0119115 0,9933866

22 0,9806015 0,0045442 0,0023786 0,0124756 0,9930771

23 0,9797288 0,0047470 0,0024846 0,0130396 0,9927684

24 0,9788569 0,0049494 0,0025904 0,0136032 0,9924601

25 0,9779857 0,0051516 0,0026961 0,0141665 0,9921522

26 0,9771153 0,0053534 0,0028016 0,0147296 0,9918449

27 0,9762456 0,0055550 0,0029070 0,0152923 0,9915379

28 0,9753768 0,0057562 0,0030121 0,0158549 0,9912317

29 0,9745087 0,0059571 0,0031171 0,0164171 0,9909258

30 0,9736414 0,0061576 0,0032219 0,0169790 0,9906204

Изменение достоверности контроля в зависимости от количества контролируемых параметров электрооборудования приведено на рис. 2.

Зависимость достоверности контроля ЭО от количества параметров

о

а,

«

х

о

5*

Л

—

с-»

О

о:

о

н

и

о

е*

2

н

к

о

О-

о*

за

Количество параметров Рис. 2. Изменение достоверности контроля в зависимости от количества контролируемых

параметров электрооборудования

Таким образом, приведенные математические соотношения позволяют определять допустимые погрешности измерения параметров электрооборудования в зависимости от их количества и значения полей допусков на эти параметры, при которых вероятности ошибочной оценки системой контроля состояния данных параметров находятся в заданных пределах.

Summary

The model of a choice of optimum number of controllable parameters of an electric equipment under operating conditions on a parameter of reliability is considered. It is shown, that the mathematical model is comprehensible on accuracy of received decisions and is simple from the point of view of its realization in practice.

Литература

1. Барзилович Е. Ю. Модели технического обслуживания сложных систем: Учебное пособие.- М.: Высш. школа, 1982.- 231 с.: ил.

2. Белоконь Р. Н., Кендель В. Г. Об одном оптимальном алгоритме

допускового контроля работоспособности изделий.- В сб.: Оптимизация

автоматизированных систем и технологических процессов.- Киев, 1973.

3. Вигман Б. А., Дунаев Б. Б. Определение точности допусковых контрольноизмерительных устройств.- Измерительная техника.- 1963.- №1.

4. Шаров В. В. Некоторые особенности эксплуатации энергосистем по техническому состоянию//Известия вузов. Проблемы энергетики.- 1999.- № 11-12.-

С. 61-66.

5. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. -М.: Изд. Стандартов, 1990.- 36 с.

Поступила 29.12.2005