Неминимально-фазовая коррекция цифрового электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 62-83; 681.51

НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВАЯ КОРРЕКЦИЯ ЦИФРОВОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

А.Н. Серебряков, Д.В. Коробатов г. Челябинск, ЮУрГУ

Предлагается ввести в состав регулятора скоростного электропривода неустойчивое апериодическое звено. Показано, что использование неминимально-фазовой коррекции обеспечивает подавление колебаний, возникающих при увеличении периода квантования по времени цифрового регулятора скорости.

Как известно, неминимально-фазовыми называют звенья, у которых хотя бы один нуль или полюс их передаточных функций является правым [1]. При синтезе коррекции с помощью аппроксимированных амплитудных частотных характеристик (ЛАЧХ) неминимально-фазовые корректирующие звенья обычно не используют, хотя их техническая реализация трудностей не вызывает, особенно, если она выполняется программным путем [2]. Это связано с отсутствием у неминимально-фазовых звеньев однозначной связи между амплитудными и фазовыми частотными характеристиками и невозможностью тем самым оценивать переходные процессы по виду ЛАЧХ [3].

Рассмотрим свойства замкнутого по скорости электропривода постоянного тока с малоинерционным преобразователем в цепи якоря. На линеаризированной структурной схеме (рис. 1) преобразователь П представлен апериодическим звеном с постоянной времени 7п=0,001 с. Это малая постоянная, которая учитывает в том числе «паразитные инерционности» элементов контура. Двигатель Д представлен в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев с постоянными времени якорной цепи 7д=0,004 с и электромеханической постоянной Гм=0,01 с. При 7’М = 4ГЯ такое представление вполне допустимо. Регулятор скорости (РС) выполнен как пропорциональнодифференциальное звено с фильтрацией, где постоянная времени инерционной части Т2-»Тх. Все переменные на схеме (рис. 1) выражены в долях от базовых значений, соответствующих номинальному напряжению на якоре IIя = ия ном

Стандартной настройке электропривода на «технический оптимум» соответствуют ЛАЧХ и ЛФЧХ, представленные на рис. 2. Контурный коэффициент передачи ^Р= 100 задается, исходя из требуемой точности отработки задания (Асо = 1 % ).

Частота среза системы сос= определяется

суммой малых «некомпенсируемых» постоянных времени контура

т„ = тя+тп =0,004+ 0,00! = 0,005 с.

Постоянная времени дифференцирующего канала регулятора выбирается равной наибольшей из по-

стоянных времени инерционных элементов объекта Тх = Ты= 0,01 с. Наконец, постоянная времени инерционного (фильтрующего) канала получается Г2 = Kv ■ 2Tß =100-2-0,005 = 1 с. Переходный процесс на выходе системы при скачке задания, соответствующий выбранной настройке электропривода, протекает с небольшим перерегулированием (рис. 6,а) и заканчивается за время

inn=(3-4)(27;+7;) =

= (3.. .4) (0,01 + 0,005) = (0,045.. .0, Об) с.

При программной реализации регуляторов важное значение приобретает правильный выбор периода квантования (дискретизации) по времени Г0. При малых значениях Т0 (например, для нашего случая Т0 < 0,001 с) влиянием дискретизации можно пренебречь и рассматривать электропривод как обычную непрерывную систему. Однако при этом время, отводимое для вычисления управляющего воздействия, сокращается и, как следствие, от реализации сложных управляющих алгоритмов приходится отказываться и применять наиболее простые в ущерб точности, быстродействию и другим важным характеристикам привода. Если же необходимо реализовать сложный алгоритм управления, то приходится применять более быстродействующие, а значит и более дорогие микропроцессоры (чаще специализированные) которые, как правило, обладают избыточными функциями, за которые тоже надо платить [4].

При увеличении Г0 (например, 0,001 < Г0<0,01) появляется возможность использовать дешевые микроконтроллеры общего назначения с меньшим быстродействием, так как времени на периоде квантования Г0 теперь достаточно для обработки информации от датчиков и формирования воздействий при сложных алгоритмах управления. В то же время увеличение Г0 >0,01 может привести к неустойчивости системы даже и в том случае, если непрерывная часть обладает достаточными запасами по устойчивости [5]. Предельным значением периода квантования Го, увеличивать который без потери работоспособности системы недопустимо, является 2

Г0пред = —, где ©с - частота среза непрерывной 03 с

системы [5]. Для рассматриваемого примера (рис. 1)

РС п-д

Рис. 1. Структурная схема электропривода

при сос-----= 100 рад/с максимально допустимой

2 Г^

величиной периода дискретизации является Г0 =Г0пред =0,02 с.

Наиболее наглядно влияние дискретизации можно выявить с помощью псевдочастотных ЛЧХ [6]. Для рассматриваемого примера (рис. 1)

в области малых частот со < сос 1р (го),

* 2 ( Т0

где СО =------------------12 СО —

Г„ *4 2

, рад/с - размерная псевдочас-

2 ( Т

тота. Так как при со<оос оо< —, то со—

».©— и со я (о. В области высоких частот 2

со > сос передаточная функция непрерывной части может быть записана так:

Шр) =

СОГ

СО г

р{Тяр + 1){Тпр + 1) р(Тмр +1)

■СО г

1

р т*р+1

Переходя к м^-форме при использовании подста-2 ерТ° -1

НОВКИ IV =

Г„ ерТ° +1

для прямоугольных импуль-

сов получаем [6]:

шЛ 1-*Д

о)сТм \

1+™т;

ТЖ Г'*2

Т01 + е

1-е

Примем

г;ред 0,02 — '

0,01с, тогда

2 2

Г/- 0,00655. Передаточная функция разомкнутого контура

Щ-М = о)с

и'(і + и>Т^

= 100

(1-0,005>у)(1 + 0,00155н')

м/(1 + 0,00655м/)

Последнее выражение позволяет определить частотные характеристики цифрового электропривода как функции псевдочастоты (рис. 3). Из рис. 3 видно, что учет дискретизации по времени приводит к значительному увеличению отстающей фазы при частоте среза со*с = со с = 100 рад/с. Если в непрерывной системе запас устойчивости по фазе составил А<р = 60° (рис. 2), то в дискретной системе с Г0 = 0,01с он уменьшился до величины А(р* = 36°. Для того, чтобы приблизить динамические характеристики цифрового и аналогового электроприводов в контур регулирования может быть введен дополнительный дискретный фильтр

с ЛАЧХ и ЛФЧХ (рф *(([>?-<р1)

(рис. 4). Так как со* Ф со при со >со*с, характеристики Ьф и ¿ф, <рф и <р1, близки лишь в среднечастотном диапазоне, когда со превышает сос примерно в (2...4) раза. На высоких частотах {со > 10сяс) расхождения амплитудных Ьф и 1?ф и

фазовых <рф и (рф характеристик более заметны. Однако при выборе структуры фильтра указанным различием характеристик можно пренебречь.

Особенность характеристик (рис. 4) состоит в том, что «падающему» виду желаемой ЛАЧХ фильтра должна соответствовать опережающая фаза при частотах, близких к частоте среза непрерывной части. Такой вид ЛЧХ имеет неминимально-фазовое звено с передаточной функцией

кФ{Р) = 1-

1-ТфР

Если выбрать Гф = Гя = 0,004 с, а ¿ф=0,25 < 1 и, следовательно, кфТф = 0,25 • 0,004 = 0,001 с = Гп, то аппроксимирующие ЛАЧХ и ЛФЧХ (они показаны на рис. 4 штриховыми линиями) будут близки к желаемым. При необходимости максимум штриховой опережающей фазы может быть смещен влево путем соответствующего выбора параметров ТФ и кф.

К сожалению, введение в контур дополнительного фильтра, формирующего на выходе сигнал,

Электромеханика

(р, град

Рис. 2. ЛЧХ аналогового электропривода

Ф, град

Рис. 4. Желаемые ЛЧХ цифрового фильтра

пропорциональный отрицательной производной входа, приводит к неустойчивости непрерывной и тем более импульсной систем. Сказанное побуждает к поиску нестандартных подходов к синтезу регуляторов высокоточных электроприводов [7, 8]. Один из возможных вариантов нетрадиционного

(р, град

Рис. 3. ЛЧХ цифрового электропривода

построения регулятора показан на рис. 5. По сравнению с обычным исполнением (рис. 1) здесь вместо дифференциального канала использовано неустойчивое апериодическое звено с коэффициентом передачи к2 и постоянной времени Т3. В отличие от исходной схемы (рис. 1), где коэффициент передачи пропорционального канала кх принимался равным единице, здесь кх может варьироваться в широких пределах. Необходимость в дополнительной фильтрации отпадает, поэтому Т2 = 0. Передаточная функция регулятора, соответствующая схеме на рис. 5, имеет вид:

к Т

где кгс = к2-к,; = -~-ът.

к2 -кх

Получается необычное реальное форсирующее звено, с помощью которого при к2 > кх и, следовательно, Т4 < Тъ возможно реализовать эффективную запаздывающую коррекцию.

Если отнести &рС в состав контурного коэффициента передачи системы, условия выбора параметров кх, к2, Т3 при настройке на технический оптимум запишутся так:

Т^к^-К.-Т,; Г4=-% = ГМ.

к2~кг

Отсюда, при Л'р — 100 получаем кх = 0,01; Т3 = к2-кх~к2—0,01. В частном случае, при к2= 1,001 коэффициент передачи регулятора к?с = 1, а фильтрующая постоянная времени Г3 = 1 с. Амплитудная характеристика разомкнутого контура с новой коррекцией в точности совпадает с ис-

Рис. 5. Структурная схема электропривода с неминимально-фазовым регулятором

а) б)

в) г)

Рис. 6. Переходные процессы в аналоговом и цифровом приводе

хоДной ЛАЧХ (рис. 2). Фазовые же характеристики в области низких частот существенно различаются. Если в исходной системе (рис. 1) отстающая фаза с ростом частоты равномерно увеличивается от 0° до 270°, то в схеме (рис. 5) она изменяется от -180° до -270° с существенным подъемом в области средних частот, компенсирующим отстающую фазу наиболее инерционного звена объекта. Подъем фазы с уровня -180° до уровня -90°, осуществляемый неминимально-фазовым звеном, свидетельствует как бы о появлении в контуре фиктивного форсирующего звена с постоянной времени Тфикт = Т3. Это обстоятельство благоприятно отражается на динамике контура. В этом можно убедиться, если проанализировать переходную характеристику регулятора

МО = ~(^2 + к^ + к2еТъ .

Для рассматриваемого численного примера при к) = 0,01; кг = 1,01; Г3 = 1 с получаем

й(г) = -1 + 1,01е'.

При t = 0 h(t) = к\ = 0,01; при t оо h(i) -» оо. Форсировка, которую создает неминимальнофазовое звено, более эффективна даже в сравнении с обычным интегральным регулятором. Если в интегральном регуляторе h(t) - это линейно-нарастающая функция, то здесь - нарастающая, но не по линейному, а по экспоненциальному закону.

Расчет переходных процессов в системах (рис. 1, рис. 5) с помощью ЭВМ также доказывает эффективность рассматриваемой коррекции. На рис. 6 показаны диаграммы рассчитанных переходных процессов. При этом, на ЭВМ моделировались как режимы работы систем с непрерывным корректирующим звеном (рис. 6а - для классической коррекции, рис. 66 - для неминимальнофазовой коррекции), так и режим работы с дискретным корректирующим звеном с периодом квантования Т’0 = 0,01 с (рис. 6в - для классической, рис. 6г - для неминимально-фазовой коррекции). Сравнивая характер переходного процесса (рис. 6г) в системе с неминимально-фазовым регулятором и характер процесса в системе с классиче-

Электромеханика

ским регулятором (рис. 6в) можно убедиться в том, что при неминимально-фазовой коррекции максимальное перерегулирование составляет 27 %, то есть почти в два раза меньше, чем при обычной коррекции. Время затухания колебаний при использовании классического регулятора составляет 0,2 с (рис. 6в) против ОД с в случае неминимальнофазовой коррекции (рис. 6г).

Таким образом, усиление фильтрующих свойств системы, а также формирование на входе непрерывной части возрастающей функции веса

тф) = создает необходимые предпосылки

ск

для устранения колебаний, связанных с увеличением периода дискретизации.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972.

2. Коробатов Д.В., Серебряков А.Н. Компьютеризированный учебно-исследовательский стенд «Цифровой электропривод»// Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». -2002. - Вып. 2,-№7.

3. Суворов Г.В. Оценка динамики сложной системы автоматического регулирования по ам-

плитудным частотным характеристикам// Исследование электрических машин и автоматизированных электроприводов: Сб. науч. тр. № 69. -Челябинск: ЧПИ, 1970. - С. 4-23.

4. Козаченко В. Основные тенденции развития встроенных систем управления двигателями и требования к микроконтроллерам// CHIP NEWS. 1999. № 5.

5. Серебряков А.Н. Приближенный критерий устойчивости линейных импульсных систем// Исследование автоматизированных электроприводов, электрических машин и вентильных преобразователей: Сб. науч. тр. №247. - Челябинск: ЧПИ, 1980. - С. 4-23.

6. Теория автоматического управления: Учебник для вузов/ Под ред. А. В. Нетушила. - 2-е изд. -М.: Высшая школа, 1976.

7. Кодкин В.П., Гафиятуллин Р.Х., Хайбяков

Э.Р. Частотный анализ цифровыхсистем управления высокоточными следящими электроприводами с учетом звена подавления// Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». -2002. - Вып. 2. —№ 7.

8. Хусаинов Р.З., Чайчук А.Ю. Исследование перспективных структур цифрового управления следящим электроприводом// Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». -2003. - Вып. З.-Ns 11.

Серебряков Анатолий Николаевич в 1961 г. окончил Челябинский политехнический институт по специальности «Электрификация промышленных предприятий и установок». В 1968 г. защитил кандидатскую диссертацию. В 1970 г. получил звание доцента. С 1988 г. и по настоящее время работает доцентом на кафедре электромеханики и электромеханических систем. Руководитель цикла «Теория автоматического управления».

Коробатов Денис Владимирович, окончил Южно-Уральский государственный университет в 1998 году, доцент кафедры электромеханики и электромеханических систем, руководитель цикла «Микропроцессорные средства и системы».